Содержание
Введение
1.Кривые второго порядка
1.1 Эллипс
1.2 Гипербола
1.3 Парабола
2.Теоремы, связанные с кривыми второго порядка
Литература
Выдержка из текста работы
Роль идей и методов проективной геометрии весьма значительна в математической науке и, особенно, в ее геометрических разделах. Еще в XVII веке, во времена возникновения проективной геометрии, Блез Паскаль, один из ее основоположников, показал способы решения множества геометрических задач при помощи тогда ее еще новых приемов.
Эта возможность решения геометрических задач была настолько расширена в начале XIX века рядом геометров, и среди них Жаном Понселе и Якобом Штейнером, что видный математик этого века, Юлиус Плюккер, был вправе заявить, в 1830 году, об «ошеломляюще простом искусстве» геометрии положения (проективной геометрии), с помощью которой достигается «несметное множество результатов».
Проективная геометрия находится в тесной связи с высшей алгеброй, в том числе с одним из важнейших разделов алгебры — с теорией групп.
Проективная геометрия имеет большое значение как теоретическая база прикладной геометрической дисциплины, носящей название начертательная геометрия. Начертательная геометрия была и остается мощным орудием техники.
Проективная геометрия, изучающая свойства геометрических фигур, которые сохраняются при любом проектировании данной фигуры с одной плоскости на другую, показала, что задачи начертательной геометрии составляют один из классов задач проективной геометрии.
Заметим, что проективная геометрия лежит в основе теории аэрофотосъемки. Она же играет видную роль в графостатике — науке, решающей графическим путем вопросы равновесия твердых тел.
В той или иной мере проективной геометрией пользуются рабочие, мастера и конструкторы на заводах, топографы и геодезисты, архитекторы и декораторы, художники и скульпторы. Проективная геометрия необходима и космографам, изучающим Землю, Луну и планеты по фотоснимкам, сделанным с космических кораблей.
Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.
Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.
Цель курсовой работы — рассмотреть с помощью аппарата проективной геометрии закономерности овальных кривых второго порядка, теорему Штейнера.
Задачи:
— рассмотреть кривые второго порядка;
— рассмотреть овальные кривые второго порядка;
— доказать теорему Штейнера;
— показать применение теоремы Штейнера при решении задач.
1. Кривые второго порядка
Кривой 2-го порядка называется линия на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением
аx2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0
где a, b, c, d, e, f — вещественные коэффициенты, причем a2 + b2 + c2 ? 0 .
Вид кривой зависит от четырёх инвариантов:
инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:
инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):
Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой:
Так, например, невырожденная кривая оказывается вещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:
?2 ? I? + D = 0.
Корни этого уравнения являются собственными значениями вещественной симметричной матрицы и, как следствие этого, всегда вещественны:
Кривые второго порядка классифицируются на невырожденные кривые и вырожденные.
Доказано, что кривая 2–го порядка, определяемая этим уравнением принадлежит к одному из следующих типов: эллипс, гипербола, парабола, пара прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих), точка, пустое множество.
Иными словами, для каждой кривой 2-го порядка (для каждого уравнения) существует такая система координат, в которой уравнение кривой имеет вид:
1.2.Овальные кривые второго порядка.
Все кривые плоскости, проективно эквивалентные кривой, заданной уравнением (х0)2 +(х1)2 –(х2)2 =0 называются овальными кривыми. Ранг овальной кривой равен 3. [4]
1.2.1. Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная. Отрезки, соединяющие точку эллипса с фокусами, называются фокальными радиусами точки.[2]
Если эллипс описывается каноническим уравнением
где a > 0 , b > 0, a > b > 0 — большая и малая полуоси эллипса, то фокусы эллипса расположены симметрично на оси абсцисс и имеют координаты (?c, 0) и ( c, 0), где
Величина e = c/a называется эксцентриситетом эллипса.
Рис. 1.2.1.1.
По определению эллипса r1 + r2 = 2a, r1 и r2 ? фокальные радиусы, их длины вычисляются по формулам
Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс является окружностью.
1.2.2. Гипербола
Гиперболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением
где a > 0, b > 0 — параметры гиперболы. [2]
Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат, в которой гипербола описывается каноническим уравнением, называется канонической.
В канонической системе оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — ее центром симметрии.
Точки пересечения гиперболы с осью OX ( ± a, 0) называются вершинами гиперболы.
С осью OY гипербола не пересекается.
Отрезки a и b называются полуосями гиперболы.
Рис.1.2.2.1.
Прямые ay ? bx = 0 и ay + bx = 0 — асимптоты гиперболы, при удалении точки гиперболы в бесконечность, соответствующая ветвь гиперболы приближается к одной из асимптот.
Уравнение описывает гиперболу, вершины которой лежат на оси OY в точках (0, ± b).
Рис.1.2.2.2.
Такая гипербола называется сопряженной к гиперболе её асимптоты — те прямые ay ? bx = 0 и ay + bx = 0. Говорят о паре сопряжённых гипербол.
1.2.3 Парабола
Параболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением
у2 = 2 px
где p > 0 — параметр параболы.[2]
Такое уравнение называется каноническим уравнением параболы, а система координат, в которой парабола описывается каноническим уравнением, называется канонической.
В канонической системе ось абсцисс является осью симметрии параболы, а начало координат — её вершиной…
Список литературы.
1. Абруков Д.А., Электронный учебник по геометрии, ч.2 – Чебоксары: ЧГПУ, 2013 год.
2. Ильин В. А., Позняк Э. Г — Аналитическая геометрия, 7-е издание, М: ФИЗМАТЛИТ, 2004 год, 224 с.
3. Исаева М.А., Мартынюк А.Н., Матвеев О.А., Птицына И.В., Введение в действительную проективную геометрию. Учебное пособие. – М.: Издательство МГОУ, 2010 год, 135с.
4. Мостовской А.П. Лекции по геометрии. Учебное пособие.- Мурманск МГПИ, 2008 год, 273 с.
