Выдержка из текста работы
В противоположностьчастотным методам, которые оперируют частотными характеристиками, существуютметоды, оперирующие функциями времени. Все воздействия, вообще говоря, являютсяфункциями времени. Среди них в классической теории управления особую рольиграют так называемые типовые воздействия.
Строго говоря, и вчастотных методах некоторые воздействия играют особую роль. Мы имеем в виду впервую очередь так называемые гармонические воздействия. Все частотныехарактеристики системы, так или иначе, описывают ее реакцию на гармоническиевоздействия различной частоты. Во временных методах также существует небольшоечисло типовых воздействий, реакция на которые представляет первоочереднойинтерес. Почти все они базируются на единичном ступенчатом воздействии, котороеописывается единичной ступенчатой функцией.
1 Типовыевоздействия
Единичная ступенчатаяфункция 1(t). С описательной точки зрения этофункция, которая равна нулю в отрицательные моменты времени и единице — вположительные. Принципиальным недостатком таких функций является то, что они недифференцируемы, тогда как основной математической моделью теорииавтоматического управления является дифференциальное уравнение.
Простейшим математическимописанием этой функции времени является следующее:
/>
Она рассматривается какпредел непрерывных и дифференцируемых функций времени />, зависящих от параметра b. Примером могут быть функцииарктангенса
/>.
Функция /> при каждом конкретномзначении параметра bдифференцируема. Это свойство переносится и на предельное значение этой функциипри />.Другими словами, можно определить значение производной функции 1(t).
/>
Дельта — функция (d-функция или функция Дирака)определяется как производная от единичной ступенчатой функции. Другими словами,
/>,
где в качестве функции /> может бытьвзята любая последовательность непрерывных дифференцируемых функций, сходящаясяк единичной ступенчатой функции.
В частности, одним изопределений d-функцияявляется следующее:
/>.
Последовательностифункций, сходящиеся к единичной ступенчатой функции и к d-функции при одинаковых значенияхпараметра b, показаны нарисунках 1 и 2 соответственно.
Не смотря на приведенноеопределение, d-функциинередко рассматривается просто как производная единичной ступенчатой функции />.
Простейшее определение d-функции как функции, равнойбесконечности в начале координат и нулю при остальных значениях аргумента малопродуктивно. Широко используются свойства d-функции, которые следуют из его определения как пределапоследовательности непрерывных функций.
Во-первых, интеграл от d-функции по любой конечной области,включающей начало координат, равен единице. В частности
/>.
Это почти очевидно: d-функция является пределомпроизводных последовательности функций, каждая из которых стремится к единице.
Другое не менее важноесвойство выражается равенством
/>,
которое тоже почтиочевидно для непрерывных функций, если вспомнить предыдущее свойство.
Наряду с этими двумятиповыми воздействиями иногда применяются тесно связанные с ними воздействия:единичная скорость />, единичное ускорение />и т.п.
Не трудно доказать, чтопреобразования Лапласа для этих воздействий:
/>, />, />, ….
2Импульсная переходная функция
Передаточная функция /> линейнойсистемы полностью ее характеризует. Действительно, по передаточной функции нетрудно восстановить дифференциальное уравнение, описывающее эту систему.Передаточная функция системы является изображением некоторой функции времени />
/>,
которая называетсяимпульсной переходной характеристикой этой системы.
Таким образом, импульснаяпереходная функция системы – это обратное преобразование от ее передаточнойфункции. Она столь же полно характеризует систему, что и передаточная функция,так как эти две функции связаны между собой как оригинал и изображение.
Импульсная переходнаяхарактеристика может быть определена не только как обратное преобразованиеЛапласа, но и как обратное преобразование Фурье, поскольку оно связано с нимтем же соотношением – прямым и обратным преобразованием Фурье
/>, />.
Фактически, импульснаяпереходная функция почти никогда не вычисляется в соответствии с этимиопределениями. Для этой цели используются замечательные свойства самойимпульсной переходной функцией и ее связью с другими временнымихарактеристиками системы.
Напомним, чтопреобразование Лапласа выходного процесса равно передаточной функции,умноженной на преобразование Лапласа входного процесса:
/>,
и что изображение d — функции равно единице. Подставим в последнее выражение единичноезначение изображения входного процесса и убедимся, что импульсная переходнаяфункция равна реакции системы при действии на ее входе d -импульса.
Подd — импульсом, как нетрудно догадаться, понимаетсяимпульс, математической моделью которого является d — функция. Это объясняет происхождение названия рассматриваемой временнойхарактеристики.
Импульсная переходная функция обладает рядом замечательныхсвойств. Одно из них касается условия устойчивости, а другое – условияфизической осуществимости.
Импульсная переходная функция /> любой устойчивой системы должнане только стремиться к нулю при увеличении аргумента, но и быть абсолютноинтегрируемой
/>.
Импульсная переходная функция />) любой физически осуществимойсистемы должна быть равна нулю при отрицательных значениях аргумента
/>.
Действительно, в любой физически осуществимой системе реакциясистемы не может наступить раньше причины, ее вызвавшей. В рассматриваемомслучае входным воздействием, реакцией на которое является импульсная переходнаяфункция, служит d — импульс, который равен нулю при отрицательных значениях аргумента.Следовательно, и реакция на такое воздействие должна быть равна нулю приотрицательных значениях аргумента.
Фактическое определение импульсной переходной функции, какреакции на d — воздействие, связано с определенными трудностями.
Во-первых, d- импульс бесконечно большой амплитуды, бесконечно малой длительности иединичной площади можно реализовать только приближенно. При этом суждение отом, достаточно ли малая длительность и достаточно ли большая амплитуда, чтобыреакция системы была достаточно близкой к импульсной переходной функции,сказать трудно. Кроме того, не всякая система допускает подачу на ее входимпульса выше определенной величины. Все сказанное о подобном способеопределения имеет отношение только к экспериментам над математическимимоделями, но не над физическими объектами. Следующая временная характеристика,с одной стороны, имеет очень простую связь с только что рассмотренной, а сдругой стороны, допускает сравнительно простую реализацию.
3 Единичная переходная функция
Под единичной переходной функцией понимают реакцию системы наединичное ступенчатое воздействие.
Так как изображение по Лапласу единичной ступенчатой функцииизвестно, то не трудно определить изображение по Лапласу />) единичной переходнойфункции />:
/>
при нулевых начальных условиях. Ясно, что оригинал может быть получен спомощью обратного преобразования найденного изображения. Однако прощевоспользоваться каким либо другим способом определения реакции системы на стольпростое воздействие.
Предложенная интерпретация единичной переходной функции какреакции на единичное ступенчатое воздействие может служить и основойэкспериментального определения этой характеристики. Единичное ступенчатоевоздействие, как и дельта -функция, является математической идеализациейреальных сигналов, которые предельно резко меняют свое значение с одного уровняна другое. Единственное различие между идеализированном сигналом и реальным –это время перехода из одного состояния в другое. Имея представление обыстродействии исследуемой системы всегда можно сказать, пренебрежимо мало оноили нет.
Между единичной переходной характеристикой и импульснойпереходной функцией существует очень простая связь. Достаточно определить однуиз них как определение другой уже не представляет труда.
Не трудно показать, что
/>.
Таким образом, импульсная переходная и единичная переходнаяфункции связаны межу собой как производная и интеграл. Другими словами, нарядус только что приведенным выражением справедливо и выражение
/>.
4 Связь между входным и выходным процессами вовременной области
Изображение выходного процесса /> равно произведению изображениявходного процесса /> на изображение импульснойпереходной функции />:
/>.
Согласно одной из теорем о преобразовании Лапласа,произведению изображений соответствует свертка оригиналов, т.е. из последнеговыражения следует
/> (1)
/>. (2)
В этих выражениях нередко верхний предел интегрированияполагается равным бесконечности. При определенных условиях это можно делать.
Для физически осуществимых систем значение импульснойпереходной функции равно нулю при отрицательных значениях аргумента, т.е. длятаких систем
/>.
Поэтому верхний предел в выражении (1) можно устремить кбесконечность, т.е. положить
/>
Именно в такой форме обычно используется выражение выходногопроцесса через входной во временной (в действительной) области.
Нередко в качестве входного воздействия принимается не простовоздействие при нулевых начальных условиях, а равное нулю при отрицательномвремени.
Однако, если /> при />, то /> и верхний предел в выражении (2)можно устремить к бесконечности, не изменив значения интеграла, т.е. положить
/>.
В приведенных выше выражениях нет уточнения, что считатьвходным, а что выходным процессом. Эти понятия определяют вместе с определениемпередаточной функции. Если под входным процессом понимать управляющеевоздействие, а в качестве выхода рассматривать сигнал ошибки, то для полученияизображения сигнала ошибки следует воспользоваться передаточной функцией поошибке. Обратное преобразование Лапласа от такой передаточной функцииназывается импульсной переходной функцией по ошибке. Она позволяет определитьсигнал ошибки по выражению входного сигнала (во временной области):
/>.
Здесь /> — импульсная переходная функциясистемы по ошибке, обратное преобразование по Лапласу от передаточной функциипо ошибке.
И вообще, если рассматривать выражения выходного сигналачерез внешние воздействия в частотной области как сумму произведенийизображений, то в действительной области каждому такому произведению будетсоответствовать свертка.
Другими словами, выходной процесс системы, на которуюдействуют управляющее /> и возмущающее /> воздействия со своимипередаточными функциями /> и />, в действительной области можнопредставить в виде
/>,
/>.
5 Графические представления частотных характеристик
Как уже отмечалось, частотные представления являются основойклассических методов теории автоматического управления. С частотныххарактеристик и началось знакомство с теорией управления. Ведение ииспользование передаточных функций не означает отклонения от частотногонаправления. Различие между введенными ранее понятиями частотной характеристикии передаточной функции чисто формальное. Как только заходит речь о графическомпредставлении, неважно, частотных характеристик или передаточных функций,переменная s в выражении передаточной функциизаменяется на переменную jw и изображению подлежиттолько частотная характеристика.
Среди всех графических представлений частотных характеристикособой популярностью пользуются годографы Найквиста и диаграммы Боде. Внастоящее время более употребительны диаграммы Боде, но они являютсяпроизводными от годографов Найквиста, поэтому рассмотрим сначала годографыНайквиста.
1 Годограф Найквиста.
Представление частотной характеристики
/>
на плоскости комплексной переменной в зависимости от частотыназывается амплитудно-фазовой частотной характеристикой (а.ф.ч.х.). Вообщеговоря, с изменением частоты wот нуля до бесконечности (0 < w <¥)вектор /> вплоскости комплексного переменного будет поворачиваться и его конец опишетнекоторую кривую, называемую годографом. Применительно с частотнымхарактеристикам этот годограф называется годографом Найквиста (а.ф.ч.х.).
На рисунке 1 приведен типичный пример годографа Найквиста вположительном диапазоне частот (0 < w <¥). На нем показаны все составляющие частотнойхарактеристики как комплексной функции вещественного аргумента.
Иногда, (например, в ППП Control System Toolbox) годограф строится во всем диапазоне частот (-¥ < w <¥). Не трудно доказать,что при отрицательных значениях частот годограф симметричен годографу приположительных значениях частот (относительно вещественной оси).
/>
Рисунок 1 — Годограф Найквиста
2 Диаграммы Боде
Логарифмические амплитудные и фазовые частотныехарактеристики (ЛЧХ), называемые диаграммами Боде, получили гораздо большеераспространение, чем годографы Найквиста.
Прологарифмировав выражение частотной характеристики (черезамплитудную и фазовую), получим, что ее логарифм равен сумме логарифмаамплитудной характеристики и фазовой характеристики:
/>.
Две характеристики /> и />, построенные в логарифмическоммасштабе частот (/>), называются натуральнымилогарифмическими амплитудными и фазовыми частотными характеристиками.
В теории автоматического управления используются десятичныелогарифмы. За единицу измерения принимается децибел (/>) и рассматривают двехарактеристики: /> и />, построенные в логарифмическоммасштабе частот. Именно они называются логарифмическими амплитудными илогарифмическими фазовыми характеристиками соответственно.
Логарифмический масштаб частот связан с некоторымиособенностями в терминологии. При двукратном изменении частот говорят, чточастота изменилась на октаву, а при десятикратном – на декаду. Иначе говоря,октава – отрезок логарифмической оси частот, между произвольным значениемчастоты и ее удвоенным значением.
Декада – отрезок логарифмической оси частот междупроизвольным значением частоты и в десять раз большим значением:
/>.
При графическом изображении логарифмических характеристикпридерживаются некоторых правил. Точка, соответствующая нулевому значениючастоты лежит слева в бесконечности, т.к. lg0 = -¥. Поэтомуось ординат проводится через любую точку оси частот так, чтобы справарасполагалась та часть ЛЧХ, которую нужно исследовать, а слева – для описаниякоторой достаточно качественных характеристик. Слева обычно остается та частьфазовой характеристики, которая мало отличается от нуля (или другогопостоянного значения). То же самое можно сказать и о коэффициенте наклонаамплитудной характеристики. Слева обычно оставляют ту часть амплитуднойхарактеристики, коэффициент наклона которой мало отличается от нулевогозначения (или другого постоянного значения.
Амплитудную и фазовую характеристики изображают на одномрисунке с общей осью частот. Ось частот разбивается на декады и, может быть,октавы, причем каждая декада разбивается на октавы отдельно. Для удобства подточками этой оси принято записывать не значения логарифмов частот, а значениясамих частот. Обе характеристики имеют общую ось ординат, но две разныеразметки: в децибелах для амплитудной характеристики и в радианах (илиградусах) для фазовой.
Удобство логарифмических характеристик заключается ввозможности простого определения амплитудных характеристик последовательногосоединения звеньев и спрямления амплитудных характеристик, как будет показанониже.
Передаточная функция последовательного соединения звеньевравна произведению передаточных функций соединяемых звеньев. Поэтому
/>.
Вместе с тем
/>.
Определим отсюда выражение логарифмических характеристикпоследовательного соединения звеньев:
/>,
/>
Таким образом, логарифмические характеристикипоследовательного соединения складываются. Это относится как к амплитудным, таки к фазовым характеристикам.
На рисунке 2 в качестве примера изображены логарифмическиехарактеристики (диаграммы Боде) системы с передаточной функцией
/>
/>
Рисунок 2 — Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
ЛИТЕРАТУРА
1. Мирошник И.В. Теорияавтоматического управления. Линейные системы. — СПб.: Питер, 2005.
2.Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. М.: ЛабораторияБазовых Знаний, 2001.
3. Методы классической исовременной теории автоматического управления в 3-х т. Т.1: Анализ истатистическая динамика систем автоматического управления / Под ред. Н.Д.Егупова. – Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
