Выдержка из текста работы
В большинстве школьных учебников действительные числа определяются как бесконечные десятичные дроби. Например,: «положительным действительным числом называют бесконечную десятичную дробь , не оканчивающуюся последовательностью девяток»; «назовем отрицательным действительным числом бесконечную дробь без «хвоста» из девяток со знаком «минус» перед ней: «. При таком подходе приходится существование и единственность суммы и произведения, а также свойства этих операций. При выборе темы данной дипломной работы нашей целью было изучить действительные числа и поле действительных чисел.
Поставленная цель в свою очередь требует решения следующих задач: 1. выяснить определение системы действительных чисел,
2. существование системы действительных чисел,
3. представляются ли действительные числа в виде десятичной дроби,
4. что такое система комплексных чисел и поле действительных чисел.
Основным опорным понятием выступает у нас понятие числовой прямой, которую мы воспринимаем почти физически как прямую с выбранными на ней началом отсчета, положительным направлением и единичным отрезком. Рассматривая числовую прямую как «геометрическую модель» действительных чисел, мы сделаем наглядно очевидными свойства сложения, умножения и отношения «меньше» на множестве действительных чисел. Таким образом, предметом исследования данной дипломной работы является поле действительных чисел. Объект же исследования — действительные числа.
Глава I. Система действительных чисел.
1.1. Формирование определения. Подыскивая определение системы действительных чисел, прежде всего отметим, что действительные числа, как и рациональные, можно складывать и перемножать, а также сравнивать, используя отношение “меньше”, причем выполняются те же свойства, что и для рациональных чисел. Короче говоря, систему действительных чисел следует определить как некоторое упорядоченное поле (R, +, •, <). Как известно, действительные числа можно изображать точками числовой прямой. Напомним, что числовая прямая — это прямая, на которой выбраны начало отсчета, положительное направление и единичный отрезок. Поэтому числовое множество R должно обладать теми же свойствами, что и множество точек прямой.
Характерным свойством прямой является её непрерывность, которая понимается нами как возможность начертить прямую, не отрывая карандаша от бумаги. Легко можно представить, что если из прямой удалить одну точку, то образовавшийся пробел лишает её непрерывности — такую прямую уже не начертишь, не отрывая карандаша от бумаги. Сформулируем требования, которые заставили бы вернуть на прямую удаленную точку и тем самым восстановить её непрерывность. Эти требования дадут аксиомы непрерывности системы действительных чисел.
Пусть из прямой удалена точка B, которая расположена правее начальной точки 0. Надо обнаружить этот пробел и устранить его. Сначала сформулируем требование, позволяющее дойти до пробела и перешагнуть через него, шагая по прямой от точки 0 шагами произвольной длины a. Требование, которое позволило бы преодолеть любое расстояние b (до точки B), можно сформулировать следующим образом: для любого положительного a R (а — длина шага) и любого b R (b предложенное расстояние) существует натуральное число n (n число шагов) такое, что na > b.
Замечаем, что высказанное требование — это аксиома Архимеда, записанная для элементов множества R.
Если из прямой удалена точка B, расположенная левее начальной точки 0, то процедура устранения пробела будет аналогичной.
В связи с этим сформулируем простое утверждение.
Предложение 1.1. В упорядоченно поле (P, <) аксиома Архимеда равносильна каждому из следующих утверждений:
1) для любого b P существует n N такое, что n > b,
2) для любого положительного a P существует n N такое, что < a,
3) для любого положительного a P и для любого b P существует натуральное n такое, что 10na > b.
Итак, пользуясь аксиомой Архимеда, можно дойти до пробела и перешагнуть через него. Другими словами, найти отрезок [Х0, Y0], содержащий этот пробел. Разделим этот отрезок пополам и через [X1, Y1] обозначим ту половину, которая содержит пробел. Полученный отрезок снова разделим пополам и через [X2, Y2] обозначим ту половину, которая содержит пробел, и так далее. Продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных один в другой отрезков [Х0, Y0],[X1, Y1],[X2, Y2], …, каждый из которых содержит пробел, образовавшийся в результате удаления точки В. Причем, если предположить, что, кроме удаленной точки В, еще некоторая точка С принадлежит всем отрезкам последовательности, то и весь отрезок ВС содержался бы в каждом из построенных отрезков. Но это невозможно, так как длины отрезков неограниченно убывают. Таким образом, удаленная точка — это единственная точка прямой, которая принадлежала всем отрезкам построенной последовательности. Требование, которое заставило бы вернуть на прямую удаленную точку и восстановить ее непрерывность, можно сформулировать так:
для любой последовательности вложенных отрезков должна существовать точка, принадлежащая всем отрезкам последовательности.
Это требование называется аксиомой Кантора. Заменяя в нем точки соответствующими числами, получим аксиому Кантора, сформулированную на языке чисел множества R.
Таким образом, аксиома Архимеда позволяет дойти до пробела и построить последовательность вложенных отрезков, содержащих пробел, а аксиома Кантора требует устранения этого пробела. Тогда систему действительных чисел целесообразно определить как упорядоченное поле, в котором выполняются аксиома Архимеда и аксиома Кантора. Уточним встретившиеся понятия.
Отрезком линейно упорядоченное множества (Р, <) называется множество [а, b] = {х Р : а ? х ? b, где а Р, b Р}.
Элементы а и b называются концами этого отрезка.
Определение 1.1. Последовательность отрезков {[аn, bn]} линейно упорядоченного множества называется последовательностью вложенных отрезков, если аn ? аn+1, bn+1 ? bn, для любого n.
Определение 1.2. Будем говорить, что в заданном линейно упорядоченном множестве (Р, <) (в частности, в упорядоченном поле (R, +, •, <)) выполняется аксиома Кантора, если для любой последовательности вложенных отрезков из (Р, <) существует элемент в Р, принадлежащий всем отрезкам.
Итак, приходим к следующему определению действительных чисел.
Определение 1.3. Системой действительных чисел (R, +, •, <) называется линейно упорядоченное поле, в котором выполняются аксиома Архимеда и аксиома Кантора.
Обе аксиомы в совокупности называются аксиомами непрерывности упорядоченного поля. Всякий элемент множества R называется действительным числом, а системы (R, +, •) и (R, +, •, <) называются соответственно полем и упорядоченным полем действительных чисел.
1.2. Обсуждение определения. Изложенный выше подход к определению системы действительных чисел позволяет считать, что прямая (точнее, числовая прямая) и система действительных чисел синонимы.
Переход к геометрической терминологии осуществляется простой заменой слова «число» словом «точка». Говорят, например, что точки 0 и 23 являются концами отрезка [0, 23], а его длиной является число 23, если в качестве единичного отрезка взять отрезок [0, 1]. При этой единице измерения для любых а,b R длиной отрезка [а, b] будет число b — а. Таким образом, действительные числа полностью обеспечивают задачу об измерении отрезков.
Упорядоченное поле действительных чисел содержит упорядоченное поле рациональных чисел. Но в упорядоченном поле рациональных чисел выполняется аксиома Архимеда. Не выполняется ли в нем аксиома Кантора? Ответ дает следующая теорема.
Теорема 1.1. В упорядоченном поле рациональных чисел аксиома Кантора не выполняется.
Доказательство. Для всех n = 0,1,… рассмотрим множество целых чисел, квадраты которых не превосходят 2 • 10n, и наибольшее число в этом множестве обозначим через хn. Пусть аn = и аn = аn + . Тогда аn является наибольшей из дробей со знаменателем 10n, квадраты которых не превосходят числа 2. Покажем, что последовательность отрезков {[аn, аn]} является последовательностью вложенных отрезков. В силу выбора дроби an+1 для любого номера n получаем:
Покажем, что аn+1 ? аn для любого n. Предположим, что аn < аn+1 для некоторого n, то есть
Тогда
Откуда (xn + 1)2 ? 2 • 10n, что противоречит выбору числа xn.
Следовательно, аn+1 ? аn для любого n и последовательность {[аn, аn]} является последовательностью вложенных отрезков.
Предположим, что рациональное число c принадлежит всем отрезкам этой последовательности. Тогда либо c2 > 2, либо c2 2, и найдем натуральное число k такое, что (c — k-1)2 > 2. Раскрывая скобки, получаем c2 — 2c k-1 + k-2 > 2, а последние будет выполнятся, если c2 — 2c k-1 >2, что равносильно неравенству k > 2c(c2 — 2)-1. Из аксиомы Архимеда следует, что существует натуральное число k, удовлетворяющее этому неравенству, а следовательно, и исходному неравенству (c — k-1)2 > 2. Тогда для любого натурального числа n имеем a2n < 2 0 и c — k-1 > 0, то an < c — k-1 < c < аn. Отсюда для любого n получаем:
Тогда k > 10n для любого натурального n, что противоречит аксиоме Архимеда.
В случае с2 < 2 аналогично находим число m такое, что (с + m-1)2 2 для любого n, то аn ? с < с + m-1 ? аn, что снова ведет к противоречию.
Таким образом, для последовательности вложенных отрезков {[аn, аn]} не
существует рационального числа, принадлежащего всем отрезкам этой последовательности, и аксиома Кантора для упорядоченного поля рациональных
чисел не выполняется.
Доказанная теорема, в частности, говорит о том, что Q ? R.
Определение 1.4. Всякое действительное число, не являющееся рациональным, называется иррациональным.
Таким образом, множество действительных чисел представляет собой объединение множества рациональных и множества иррациональных чисел.
Глава II. Существование системы действительных чисел.
2.1. Линейно упорядоченное множество десятичных дробей. Построим систему действительных чисел на основе десятичных дробей, то есть основным множеством этой системы будет множество S десятичных дробей.
Пусть даны две десятичные дроби ? = a0, a1a2… и ? = b0, b1b2….Вспомним некоторые обозначения:
? = ? ? a0, a1a2… = b0, b1b2… ? ai = bi для любого i = 0, 1, 2, …,
? < ? ? a0, a1a2… = b0, b1b2… ? ai = bi, i = 0, k — 1, но ak < bk для некоторого натурального k.
Если ?,? S, то запись ? ? ? означает, что ? ?, если ? < ? , и ? ? ?, если ? ? ? .
Теорема 2.1. Система (S, <) есть линейно упорядоченное множество.
Доказательство. В соответствии с определением линейно упорядоченного множества необходимо доказать, что элементы множества S обладают свойствами трихотомии и тразитивности.
1). Свойство трихотомии для десятичных дробей следует из свойства трихотомии и транзитивности.
2). Для доказательства свойства транзитивности покажем, что для любых ?, ?, ? S из неравенства ? < ?, ? < ? следует, что ? < ?.
Пусть ? = a0, a1a2…, ? = b0, b1b2…, ? = c0, c1c2…. По условию ? < ?, тогда существует k такой, что ak < bk, а для всех i < k имеем ai = bi. Аналогично ? < ?, и существует m такой, что bm < cm, а для всех j < m имеем bm = cm. Если n = min{k,m}, то an < cn, а для l < n имеем al < cl.
Следовательно, ? < ?, то есть свойство транзитивности доказано.
Теорема 2.2. В линейно упорядоченном множестве (S, <) выполняется аксиома Кантора.
Доказательство. Пусть {[?n, ?n]} — последовательность вложенных отрезков из S. Построим десятичную дробь, принадлежащую всем отрезкам. Для этого рассмотрим множество M всех десятичных дробей, каждая из которых не меньше любого из левых концов данных отрезков. Целая часть любой десятичной дроби из M не меньше целой части дроби ?, поэтому существует десятичная дробь в M с наименьшей целой частью, эту наименьшую целую часть обозначим через c0. Пусть M0 — множество всех десятичных дробей из M с целой частью c0. Наименьшею из первых цифр всех десятичных дробей из M0 обозначим через c1 и рассмотрим множество M1 всех десятичных дробей с целой частью c0 и первой десятичной цифрой c1. Продолжая описанный процесс, получим последовательность знаков c0, c1, c2 …. Докажем, что ? = c0, c1, c2 …. является десятичной дробью. Для этого остается показать, что ? не имеет периода из девяток.
Предположим обратное, пусть ? = c0, c1, c2 …cn99.…По построению ? в М должна существовать десятичная дробь вида ? = c0, c1, c2 …cn.…, при этом (по определению десятичной дроби) после цифры сn существует цифра, отличная от девятки. Пусть ? = c0, c1, c2, … cndn+1dn+2 … — одна из таких дробей, у которой первая не равная 9 цифра dn+k появляется раньше, чем у других дробей такого вида. Тогда приходим к противоречию с выбором девятки в качестве (n + к)-го знака для ?: ведь для ? выбирали наименьшую из возможных цифр. Полученное противоречие показывает, что ? не имеет числа 9 в периоде, то есть является десятичной дробью.
Докажем, что ? и есть общий элемент всех отрезков данной последовательности. Действительно, десятичная дробь ? принадлежит множеству М и не превосходит любой дроби из М (по построению числа ?), а поскольку ?n М (множество М состоит из десятичных дробей ? таких, что ?n ? ? для всех натуральных n), то ? ? ?n для любого номера n. Следовательно, ?n ? ? ? ?n для всех натуральных n, то есть ? принадлежит всем отрезкам [?n, ?n].
2.2. Сложение десятичных дробей. Рассмотрим множество десятичных дробей S. Напомним, что конечной десятичной дробью называется рациональное число, которое можно записать в виде десятичной дроби, то есть в виде а0, а1а2 … аn, где а1, а2 … аn — цифры.
Введем операцию сложения конечных десятичных дробей через операцию сложения рациональных чисел.
Определение 2.1. Положим а0, а1 … ak + b0, b1 … bm = c0, c1 … cn, если
Из этого определения следует, что сложение десятичных дробей обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.
Распространим операцию сложения конечных десятичных дробей на все множество S. Для этого введем одно важное понятие.
Определение 2.2. Последовательность вложенных отрезков {[?n, ?n]} из S назовем последовательностью стягивающихся отрезков концы которых ? и ? являются конечными десятичными дробями, а для любого натурального числа m существует номер k такой, что для всех n > k выполняется неравенство ?n — ?n < 10-m, то есть при увеличении n длины отрезков [аn, ?n] стремятся к нулю.
Список литературы.
1. Евсеев Е.А. Однозначность числовых систем. — Л.: ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1975.
2. Егоров А.В. Числовые системы: учебное пособие. — СПб.: ЛГУ им. А. С. Пушкина, 2004.
3. Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — М.: Наука, 1973.
4. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1971.
5. Ларин С. В. Числовые системы. — М.: АКАДЕМА, 2001.
6. Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975.
