Пример реферата по статистике: Теория вероятности

1. По содержанию информации:

ü используйте короткие слова и предложения, выражающие основную мысль;

ü минимизируйте количество предлогов, наречий, прилагательных;

ü дополните текстовую информацию визуальными материалами (фотографиями, формулами, рисунками…);

ü структурируйте информацию, выделяйте ключевые слова, термины, понятия.

2. По объёму информации:

ü не заполняйте один слайд слишком большим объемом информации;

ü используйте не более 7 строк на слайде.

3. По расположению информации на слайде:

ü отдавайте предпочтение горизонтальному расположению информации;

ü продумайте подписи изображений.

4. По оформлению слайдов:

ü соблюдайте единый стиль оформления презентации.

ü при выборе шрифта

· используйте шрифты без засечек (Arial, Franklin и др.);

· для заголовков – размером не менее 24 пунктов;

· для информации – размером не менее 18 пунктов;

· для выделения применяйте жирный шрифт или курсив.

ü при выборе цвета:

· для фона выбирайте светлые тона;

· для фона и текста используйте контрастные цвета;

· на одном слайде применяйте не более трёх цветов.

ü при выборе эффектов анимации:

· анимационные эффекты не должны отвлекать от содержания информации на слайде;

· не применяйте анимации к заголовкам на пустом слайде.

Как составить кроссворд

Помните, что кроссворд, который Вы составите, должен соответствовать выбранной тематике. Решать его будут такие же как Вы студенты. Поэтому постарайтесь проявить максимум фантазии и творчества при его составлении и оформлении.

При составлении кроссворда удобно соблюдать следующий порядок работы:

1. Вспомните основные понятия теории вероятностей и математической статистики, фамилии людей, связанных с этой наукой, интересные исторические факты. Запишите их.

2. Придумайте форму кроссворда. Чем она интереснее, тем лучше!

3. Отберите 10-15 понятий и разместите их в заготовленную форму, при необходимости корректируя её.

4. Постарайтесь придумать интересную формулировку выбранным понятиям, но при этом смысл понятия теряться не должен. Чувство юмора приветствуется!

5. Оформите кроссворд на листе формата А4. Он должен содержать:

· заголовок («Кроссворд по теме «____»);

· фамилии, № группы авторов работы;

· собственно кроссворд;

· вопросы, на которые необходимо ответить.

На отдельном листе запишите ответы к заданиям кроссворда.

Помните, что при выставлении оценки за составление кроссворда учитывается не только правильность его составления, но и оригинальность, красочность его оформления.

Как подготовить доклад

Помните, что доклад – публичное сообщение на определенную тему.

Доклад имеет следующую структуру:

· план;

· основную часть;

· выводы и обобщения.

При подготовке доклада удобно соблюдать следующий порядок работы:

1. Подберите литературу по изучаемой теме, познакомьтесь с ее содержанием.

2. Отметьте или выпишите ключевые моменты, раскрывающие данную тему. Продумайте, как можно изложить основной текст кратко, но с минимальными информационными потерями: что исключить? что обобщить?

3. Составьте план доклада.

4. Используя составленный план, напишите текст доклада:

• в начале доклада необходимо обосновать выбор темы, показать ее актуальность; чтобы доклад был интересен слушателям, сформулируйте проблемный или оригинальный вопрос по теме выступления;
• в основной части доклада раскройте каждый пункт плана; старайтесь использовать только понятную Вам информацию, иллюстрируя ее яркими, образными, запоминающимися примерами;
• в заключении доклада кратко изложите основные мысли, затронутые в докладе; выразите свое отношение к излагаемой теме и ее содержанию; для резюмирования можно использовать фразы: «таким образом…», «итак…», «можно утверждать…», «основная идея, следовательно, сводится к следующему…», «подытожим сказанное…».

5. Прочитайте текст доклада и отредактируйте его.

6. Оформите текст доклада в соответствии со структурой. Если Вы будете набирать текст доклада на компьютере, то используйте шрифт Times New Roman № 12, междустрочный интервал одинарный, поля по 2 см, снизу по центру – нумерация страниц. По-возможности текст доклада могут иллюстрировать картинки и фотографии.

7. Оформите титульный лист следующим образом:

Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования Ярославской области

Ярославский градостроительный колледж

Доклад на тему «_______________________»

Дисциплина: Теория вероятностей

И математическая статистика

Выполнил: студент группы ___

__________________________

Проверил: преподаватель

____________________________

Ярославль, ____ год

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Введение

Задание 1. Исследование частоты букв русского алфавита – 1 ч.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&7.1.Внимательно изучите теоретический материал по теме «Случайное событие. Виды событий. Алгебра событий».

7.2. Приведите свои примеры

• испытания и связанных с ним случайного, невозможного, достоверного события;
• событий равновозможных и неравновозможных;
• событий попарно совместных и несовместных.

?7.3. Составьте множество элементарных исходов, полученное при подбрасывании трех монет достоинством 1, 5, 10 коп.

?7.4. На плоскости нарисовали два пересекающихся круга и наудачу стали бросать точку. Пусть событие А – точка попадет в первый круг, В – точка попадет во второй круг. Опишите, какой смысл имеют события , , , , , ? Проиллюстрируйте каждое из них диаграммами Эйлера-Венна.

¶7.5. По телеграфной сети передаются три сообщения. Событие А₁ – первое сообщение передано правильно, А₂ – второе сообщение передано правильно, А₃ – третье сообщение передано правильно. Выразите через А₁, А₂ и А₃ следующие события:

• все три сообщения переданы без искажений;
• во всех трех сообщениях есть искажения;
• хотя бы одно сообщение передано без искажений;
• ровно одно сообщение без искажений;
• только третье сообщение без искажений;
• третье сообщение без искажений;
• хотя бы два сообщения без искажений.

Методические указания по выполнению работы:

Неразложимые исходы ω₁,ω₂,…,ω_n некоторого эксперимента будем называть элементарными событиями, а их совокупность Ω = {ω₁,ω₂,…,ω_n}- пространством элементарных исходов.

1. Сумма событий А и В — новое событие, состоящее в выполнении или события А, или события В. А+В или А или В

Вероятностью события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих событию А (m), к числу всех несовместных равновозможных исходов данного испытания (n).

Эта формула носит название классического определения вероятности.

Свойства классической вероятности:

1. Если событие А – невозможное, то Р(А) = 0.

2. Если событие А – достоверное, то Р(А) = 1.

3. Вероятность любого события 0 ≤ Р(А) ≤ 1.

При решении каждой вероятностной задачи выделите:

1. Каково испытание – комплекс условий, результатом которого является появление или непоявление события.

2. Выпишите случайное событие, вероятность которого необходимо найти по условию задачи.

3. По формуле классического определения вероятности найдите вероятность данного события (определите значение параметров п и т).

Пример 8.1.Игральную кость подбрасывают один раз. Найдите вероятности следующих событий:

1. А – появление «6»;

2. В – появление четного числа очков;

3. С – появления не менее 5 очков.

Решение: При решении будем пользоваться формулой: .

Испытание – подбрасывание 1 раз игральной кости. Опыт имеет 6 равновозможных независимых исходов (появление 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков), образующих полную систему событий, следовательно, n = 6.

1. Событию А благоприятствует один исход – выпадение 2, значит m = 1. Тогда .

2. Событию В благоприятствует три исхода – выпадение 2, 4 или 6, значит m = 3. Тогда .

3. Событию С благоприятствует два исхода – выпадение 5 или 6, значит m = 2. Тогда .

Пример 8.2.В компьютерном классе стоит 10 компьютеров. 10 студентов рассаживаются за ними случайным образом. Какова вероятность того, что Оля будет сидеть радом с Колей?

Решение. Выделим испытание — разместить 10 студентов у 10 компьютеров. Искомое событие А — Оля будет сидеть радом с Колей.

Воспользуемся формулой: . Найдем значение m и n.

Всего возможных способов размещения 10 студентов у 10 компьютеров существует Р₁₀ = 10!, следовательно, n = 10!

Подсчитаем число исходов m, благоприятствующих событию А. Раз Оля обязательно должна оказаться рядом с Колей, объединим их вместе. Получили пару Оля + Коля и еще 8 остальных студентов. Их можно рассадить в аудитории 9! способами. Внутри пары Олю и Колю также можно поменять местами, тогда благоприятных исходов m будет 2·9!

Следовательно, .

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. — М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 1, §1.5, с. 31-32, §1.7, с. 48-53.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. — М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. — Глава 1, §1.7, с. 18 – 19, §1.9, с. 28 – 30.

Раздел 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема 3.1. Случайные события. Понятие вероятности события

Задание 9. Вычисление вероятностей событий методом графов – 1,5 ч.

Цель: формирование умения применять метод графов для вычисления вероятностей событий.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

& 9.1.Повторите классическое определение вероятности события. Изучите материал о применимости метода графов к решению вероятностных задач.

Основные сведения из теории:

9.2. Закончите высказывания:

а) Наглядной интерпретацией проводимого испытания является …

б) На рёбрах графа проставляется … каждого исхода.

в) Граф обладает свойствами:

· сумма вероятностей на рёбрах графа, исходящих из одной вершины, равна…

· вероятность попадания из начальной вершины графа в конечную (вероятность исхода) можно вычислить, … вероятности, встречающиеся на ребрах графа;

· если нужно вычислить вероятность события, которому благоприятствует несколько исходов, то вероятности этих исходов ….

Примеры и упражнения:

?9.3. В подгруппе 12 студентов, среди которых 3 отличника. Наудачу отбирают двух студентов. Найдите вероятность того, что среди отобранных студентов а) оба отличника; б) оба не отличника; в) ровно один отличник; г) хотя бы один отличник.

?9.4. В группе ИС1-21 есть добрая традиция: приносить в свой день рождения в колледж конфеты и угощать всех студентов и преподавателей. Первого – по старшинству – преподавателя. Сегодня День Рождения у Миши. Он купил 35 конфет «Белочка» и 30 «Мишка косолапый» и положил в один пакет. Наталье Владимировне было предложено взять наугад две конфеты. Какова вероятность того, что ей достанутся а) две «Белочки»; б) два «Мишки»; в) разные конфеты; г) хотя бы одна «Белочка».

¶9.5. (задача Гюйгенса). В урне 2 белых и 4 черных шара. Один азартный человек держит пари с другим, что среди вынутых 3 шаров будет ровно один белый. В каком отношении находятся шансы спорящих?

C¶9.6. Действующие лица этой истории: звездочет, властелин, палач.

Властелин. Звездочет! Твои последние предсказания об ожидающих нас несчастьях опять не сбылись! Ты не способен читать книгу звезд. За свои ложные предсказания ты будешь казнен!

Звездочет. О, мудрый и справедливый повелитель! Помилуй меня! Язык звезд сложен и, тем не менее, иногда я делал правильные предсказания!

Властелин. В память о твоих заслугах, я даю тебе последний шанс. Вот тебе два черных и два белых шара. Ты должен их распределить по двум урнам.

Палач. Я выберу наугад одну из урн и вытащу из нее наугад один шар. Если шар будет черный, то тебя ожидает казнь. Если шар будет белый, то ты будешь помилован.

Звездочет. Дорогие студенты!!! Помогите! Умоляю – на Вас вся моя надежда! Каким образом я должен разместить шары в урнах, чтобы обеспечить себе максимальную возможность спастись? Переберите все варианты и оцените все вероятности. Да поможет Вам ГРАФ!

Методические указания по выполнению работы:

Облегчить решение многих вероятностных задач позволяет метод графов, делающий это решение наглядным и доступным.

При решении задач методом графов нужно:

1. построить дерево исходов;

2. на каждом ребре графа проставить вероятность соответствующего исхода;

3. при подсчете вероятностей использовать следующие правила:

Пример 9.1. В корзине лежит 2 белых и 4 черных шара. Из нее случайным образом извлекают 2 шара. Какова вероятность того, что

1. оба шара белые (событие А);

2. оба шара черные (событие В);

3. шары разного цвета (событие С);

4. шары одного цвета (событие D).

Решение. Испытание – выбор двух шаров из корзины, содержащей 2 белых и 4 черных шара. Составим вероятностное дерево исходов.

Расставим вероятности на ребрах графа. При извлечении первого шара вероятность достать белый шар равна (в корзине из 6 шаров 2 белых), а черный — (в корзине из 6 шаров 4 черных).

Когда мы извлекаем второй шар, в корзине уже осталось 5 шаров. Если первый шар был белый, то в корзине осталось 4 черных и 1 белый шар, следовательно, вероятность достать белый шар равна , а черный — . Если первым был извлечен черный шар, то в корзине осталось 3 черных и 2 белых шара, следовательно, вероятность достать белый шар равна , черный — .

Проверим, верно ли мы расставили вероятности. Сумма вероятностей на ребрах графа, исходящих из одной вершины, равна 1, следовательно, все сделали верно.

В колонке «исходы» получили все возможные исходы данного испытания. Для вычисления вероятности каждого исхода, необходимо перемножить вероятности на ветвях графа.

По графу легко определить вероятности событий А (извлечь 2 белых шара) и В (извлечь 2 черных шара). Для нахождения вероятности события С (извлечь шары разного цвета) необходимо сложить вероятности второго и третьего исходов. Для нахождения вероятности события D (извлечь шары одного цвета) необходимо сложить вероятности первого и четвертого исходов: .

Список литературы:

1. Афанасьев В.В. Введение в теорию вероятностей с помощью графов / В.В.Афанасьев // Математика. – 1999. — №35. – С.8-12. – («Приложение к газете 1 сентября».)

Раздел 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема 3.2. Вероятности сложных событий

Задание 10. Теоремы сложения и умножения вероятностей – 3 ч.

Цель: формирование умения представлять сложные события через элементарные с помощью операций над событиями, вычислять вероятности сложных событий с использованием теорем сложения и умножения вероятностей.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&10.1.Повторите,какие операции можно выполнять над событиями.Выучите теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий, теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий, теорему о вероятности противоположного события.

?10.2. Вероятность попасть в «десятку» равна 0,2, в «девятку» — 0,3, в «восьмерку» — 0,4. Определите вероятность при одном выстреле выбить а) не менее 9 очков, б) не менее 8 очков.

?10.3. Из чисел 1, 2, 3,… 20 наудачу выбирается число. Найдите вероятность того, что оно делится на 2 или на 3.

?10.4. Электронный прибор состоит из двух последовательно включённых блоков. Вероятность выхода из строя за месяц работы первого блока равна 1/3, второго – 1/4, обоих – 1/6. Найдите вероятность безаварийной работы прибора в течение месяца.

?10.5. Кириллу подарили две коробки конфет. В первой лежит 10 конфет с тёмным шоколадом и 5 с молочным, а во второй – 5 конфет с тёмным шоколадом и 7 с молочным, одинаковые на вид. Кирилл угостил Алёну. Из каждой коробки Алёна выбрала по одной конфете. Найдите вероятность того, что:

а) обе конфеты с тёмным шоколадом;

б) обе конфеты с молочным шоколадом;

в) одна конфета с тёмным, другая с молочным шоколадом;

г) хотя бы одна конфета с молочным шоколадом.

?10.6. В компьютере одновременно работают две независимые программы. Вероятность того, что первая программа даст сбой, равна 0,3, а вторая – 0,4. Найдите вероятность того, что:

а) обе программы дадут сбой;

б) обе программы проработают без сбоя;

в) ровно одна программа даст сбой;

г) хотя бы одна программа даст сбой;

д) хотя бы одна программа проработает без сбоя;

е) будет не более одного сбоя.

?10.7. В автопробеге участвуют три автомобиля. Первый может сойти с маршрута с вероятностью 0,16, второй – с вероятностью 0,12, третий – с вероятностью 0,2. Определите вероятность того, что к финишу:

а) прибудут все автомобили;

б) прибудут два автомобиля;

в) прибудут по крайней мере два автомобиля;

г) прибудет не более двух автомобилей;

д) прибудет только один автомобиль;

е) прибудет более трёх автомобилей;

ж) не прибудет никто.

?10.8. На столе преподавателя разложено 40 карточек с вопросами, из них 30 – по теории вероятностей, 10 – по статистике. Каждому студенту предлагается ответить на 2 вопроса. Студент вытащил первый вопрос по статистике. Какова вероятность того, что второй вопрос тоже будет по статистике?

?10.9. Из букв разрезной азбуки составлено слово «параллелепипед». Какова вероятность того, что перемешав буквы и укладывая их наудачу в ряд, получим слово

а) репа;

б) парад?

Решите эту задачу с использованием теоремы произведения вероятностей зависимых событий.

¶10.10. Четыре брата определяют дежурного по квартире при помощи четырех спичек, одна из которых короче остальных. В равных ли условиях находятся братья? (Указание: методом графов оцените вероятность дежурить для каждого брата)

¶10.11. Из 15 инвестиционных фондов 5 – «пирамиды». Вы приобретаете по одной акции трёх фондов. Какова вероятность того, что среди приобретённых акций хотя бы одна — не акция «пирамиды»?

¶10.12. В жюри из трёх человек 2 члена независимо друг от друга принимают правильные решения с вероятностью 0,9, а третий для решения бросает монету. Окончательное решение жюри выносится большинством голосов. С другой стороны, некий судья принимает правильное решение с вероятностью 0,9. Кто с большей вероятностью принимает правильное решение: жюри или судья?

Методические указания по выполнению работы:

При решении вероятностных задач на теоремы сложения и умножения вероятностей:

1. Выделите испытание.

2. Выпишите случайное событие, вероятность которого необходимо найти по условию задачи.

3. Определите, из каких более простых событий состоит данное событие.

4. Представьте данное событие в виде комбинации более простых событий, используя операции суммы, произведения или понятие противоположного события.

5. Примените соответствующие теоремы сложения (с учетом совместности или несовместности событий), умножения (с учетом зависимости или независимости событий) вероятностей или вероятности противоположного события.

При решении задач необходимо знание следующих теорем:

Теорема 1.Р(А+В) = Р(А) + Р(В),если А и В – несовместные события

Теорема 2. Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А·В),еслиА и В – совместные события

Применение теоремы 1 всегда требует проверки несовместности рассматриваемых событий.

Пример 10.1. В памяти компьютера в папке «Важное» находится 30 файлов. 5 из них имеют объем менее 5 страниц, 10 документов имеют объем от 5 до 10 страниц, остальные – более 10 страниц. Пользователь наугад открывает файл. Какова вероятность того, что он откроет документ объемом не менее 5 страниц?

Решение. 1. Выделим испытание – открыть файл из папки «Важное».

2. Искомое событие А – открытый документ имеет объем не менее 5 страниц.

3. Событие А можно разложить на более простые события А₁ и А₂, где

А₁ – открыть документ объемом от 5 до 10 страниц,

А₂– открыть документ объемом свыше 10 страниц.

4. Поскольку для осуществления события А необходимо выполнение или А₁, или А₂, то А = А₁ + А₂.

5. События А₁ и А₂ несовместны, т.к. не могут произойти одновременно. Тогда по теореме 1

Р(А) = Р(А₁) + Р(А₂).

Р(А₁) = , Р(А₂) = , следовательно, Р(А) = .

Пример 10.2. Найдите вероятность того, что при подбрасывании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет шестерка.

Решение. 1. Испытание — подбрасывание двух игральных костей.

2. Искомое событие А – выпадение хотя бы одной шестерки.

3. Разложим событие А на более простые события А₁ и А₂:

А₁ – выпадение 6 очков на первом кубике,

А₂ – выпадение 6 очков на втором кубике.

4. Поскольку для осуществления события А необходимо выполнение или А₁, или А₂, то А = А₁ + А₂.

5. Проверим, совместны ли события А₁ и А₂. По условиям испытания 6 очков может появиться или на одном кубике, или на обоих сразу, т.е. события А₁ и А₂ могут произойти одновременно, следовательно, эти события совместны. Тогда по теореме 2 Р(А) = Р(А₁) + Р(А₂) – Р(А₁·А₂).

Учитывая, что Р(А₁) = Р(А₂) = , Р(А₁·А₂)= , получим, что Р(А) = .

Теорема 3.Р(А) + Р(Ā) = 1

Теорема 4. Р(А·В) = Р(А) · Р(В), если события А и В независимы

Теорема 5.Р(А·В) = Р(А) · Р(В/А),если события А и В зависимы,гдеР(В/А) — условная вероятность события В, вычисленная при предположении того, что событие А уже наступило.

Пример 10.3. В компьютерный класс решили приобрести 3 дополнительных компьютера, заказав их в трех разных фирмах. Вероятность того, что первая фирма выполнит заказ в срок, равна 0,9, вторая – 0,8, третья – 0,95. Найдите вероятность того, что:

а. все три компьютера будут доставлены в срок,

б. ни один компьютер не будет доставлен в срок.

Решение. 1. Испытание — приобретение трех компьютеров в разных фирмах.

2. Искомое события А — все три компьютера будут доставлены в срок.

3. Разложим событие А на более простые события:

событие А₁ – первая фирма выполнит заказ в срок, Р(А₁) = 0,9,

событие А₂ – вторая фирма выполнит заказ в срок, Р(А₂) = 0,8,

событие А₃ – третья фирма выполнит заказ в срок, Р(А₃) = 0,95.

4. Событие А произойдет только тогда, когда будут выполнены и событие А₁, и событие А₂, и событие А₃. Следовательно, А = А₁· А₂· А₃.

5. События А₁, А₂ и А₃ независимы, т.к. осуществление или неосуществление любого из событий не влияет на вероятность осуществления остальных события. Тогда по теореме 4

Р(А) = Р(А₁·А₂·А₃) = Р(А₁) · Р(А₂) · Р(А₃),

Р(А) = 0,9·0,8·0,95 = 0,684.

6. Найдем вероятность события В – ни один компьютер не будет доставлен в срок. Событие В произойдет только тогда, когда и первый, и второй, и третий компьютеры не будут доставлены в срок. В решении появляются события, противоположные данным.

Событие Ā₁ – первая фирма не выполнит заказ в срок, Р(Ā₁) = 1 – 0,9 = 0,1

событие Ā₂ – вторая фирма не выполнит заказ в срок, Р(Ā₂) = 1 – 0,8 = 0,2,

событие Ā₃ – третья фирма не выполнит заказ в срок, Р(Ā₃) = 1 – 0,95 = 0,05.

Раз события Ā_1, Ā_2, Ā₃ должны быть выполнены одновременно, то мы имеем дело с произведением этих событий, т.е. В = Ā₁· Ā₂· Ā₃ .

События Ā_1, Ā_2, Ā₃ независимы, поэтому по теореме 4 Р(В) = Р(Ā₁·Ā₂·Ā₃) = Р(Ā₁) · Р(Ā₂) · Р(Ā₃),

Р(В) = 0,1·0,2·0,05 = 0,001.

Пример 10.4. Слово «МАТЕМАТИКА» разделено на отдельные буквы, из них произвольным образом отбираются и выкладываются по порядку четыре буквы. Какова вероятность получения слова «МАМА»?

Решение. 1. Испытание – выбор и расположение по порядку четырех букв из слова «МАТЕМАТИКА».

2. Событие А — получить слово «МАМА».

3. Первой буквой надо обязательно извлечь букву «М», назовем это событием А₁. Тогда P(A₁) = , т.к. в слове «МАТЕМАТИКА», состоящем из 10 букв, две буквы «М».

Второй буквой надо обязательно извлечь букву «А», назовем это событием А₂. Тогда P(A₂/A₁) = , т.к. осталось 9 букв, из них 3 буквы «А».

Третьей буквой надо обязательно извлечь букву «М», назовем это событием А₃. Тогда P(A₃/A₁·A₂) = , т.к. осталось 8 букв, из них 1 буква «М».

Четвертой буквой надо извлечь букву «А», назовем это событием А₄. Тогда P(A₄/A₁·A₂·A₃) = , т.к. осталось 7 букв, из них 2 буквы «А».

Удобно эту задачу проиллюстрировать методом графов, взяв в дереве испытаний только одну ветвь, соответствующую событию А:

4. Для осуществления события А необходимо выполнение всех событий А₁, А₂, А₃, А₄, следовательно, А = А₁·А₂·А₃ ·А₄.

5. События А₁, А₂, А₃ и А₄ зависимы, тогда в силу теоремы 5 Р(А) = Р(А₁·А₂·А₃·А₄) = Р(А₁) · Р(А₂/А₁) · Р(А₃/А₁·А₂)∙ Р(А₄/А₁·А₂·А₃), и

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. — М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 1, §1.6, с. 34-46.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. — М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. — Глава 1, §1.14 -1.16, с. 37-41.

Раздел 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема 3.2. Вероятности сложных событий

Задание 11. Вычисление вероятностей сложных событий с помощью формулы полной вероятности и формулы Байеса – 2 ч.

Цель: формирование умения вычислять вероятности сложных событий с использованием формулы полной вероятности и формулы Байеса.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&11.1.Выучите формулу полной вероятности и формулу Байеса. Разберите, в каких ситуациях применяют данные формулы.

?11.2. Театрал может приобрести билет на спектакль в одной из трех касс. Вероятность обращения в первую кассу составляет 0,4, вторую и третью – по 0,3. Вероятность того, что к приходу театрала билеты будут распроданы, равна 0,5 для первой, 0,3 для второй и 0,2 для первой кассы. Какова вероятность театралу купить билет на спектакль?

?11.3. Легковых автомобилей у заправочной станции проезжает вчетверо больше, чем грузовых. Вероятность того, что проезжающая машина подъедет на заправку, составляет для грузовой машины 0,05, для легковой – 0,15. Какова вероятность того, что приближающаяся машина заедет на заправку?

?11.4. Из пункта А в пункт В можно добраться тремя маршрутами. Водитель, незнакомый с трассой, выбирает дорогу наугад. Состояние дорог разное. Если водитель поедет по первому маршруту, то вероятность попасть в пункт В за сутки равна 0,6, по второму – 0,5, по третьему – 0,3. Водитель приехал в пункт В в течение суток. Какова вероятность того, что он ехал по первому маршруту? Второму? Третьему?

?11.5. Маша испекла на День Учителя 10 пирожков, из них 8 с яблоками. Алёна испекла 12 пирожков, из них 8 с яблоками, а Света — 28 пирожков, из них 14 с яблоками. Девочки выложили все пирожки на большое блюдо. Наталье Владимировне было предоставлено почётное право первой выбрать себе пирожок. Ей достался пирожок с яблоками. Какова вероятность того, что этот пирожок испекла Света?

¶11.6. В корзине лежат пять белых и четыре черных шара. Вынимают три шара. Какова вероятность того, что третий вытащенный шар будет белым?

¶11.7. У рыбака есть три излюбленных места рыбалки, которые он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность клева на первом месте равна 1/3, на втором – 0,5, на третьем – 0,25. Известно, что рыбак забрасывал удочку 3 раза, а вытащил только одну рыбку. Какова вероятность того, что он ходил на первое излюбленное место?

Методические указания по выполнению работы:

При решении вероятностных задач на формулу полной вероятности и формулу Байеса:

1. Выделите испытание.

2. Выпишите случайное событие А, вероятность которого необходимо найти по условию задачи.

3. Определите, при осуществлении каких гипотез Н₁, Н₂, …, Н_n может наступить событие А. Найдите вероятность осуществления каждой из гипотез: Р(Н₁), Р(Н₂)… Р(Н_п).

4. Найдите условные вероятности события А при выполнении гипотез Н₁, Н₂, …, Н_n: P(A/H₁), P(A/H₂)… P(A/H_п).

5. Если необходимо найти вероятность события А, то примените формулу полной вероятности. Если событие А произошло, и нужно найти вероятность того, что была выполнена какая-либо из гипотез, используйте формулу Байеса.

При решении задач необходимо знание следующих формул:

Пусть А – событие, которое может наступить только при появлении одной из гипотез Н₁, Н₂, …, Н_n, где n гипотез образуют полную систему событий. Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Р(А)=Р(Н₁)Р(А/Н₁)+ Р(Н₂)Р(А/Н₂)+…+ Р(Н_n)Р(А/Н_n),

где Р(Нi) – вероятность гипотезы Н_i, P(A/Hi) – условная вероятность события А при выполнении гипотезы H_i (i = 1, 2, …, n).

Вероятностный граф в этом случае имеет вид:

Вероятность каждой гипотезы находится по

формуле Байеса:

. 

Пример 11.1. На заводе, изготовляющем болты, первая машина производит 25%, вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%.

а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?

б) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой, второй, третьей машиной?

Решение. 1. Испытание – выбор одного болта среди болтов, производимых тремя машинами.

2. Пусть событие А — выбрать дефектный болт.

3. Мы не знаем точно, какая машина произвела дефектный болт. Выдвигаем три гипотезы:

Н₁ — болт изготовлен первой машиной, Р(Н₁)=0,25 (т.к. первая машина производит 25% продукции);

Н₂ — болт изготовлен второй машиной, Р(Н₂)=0,35;

Н₃ — болт изготовлен третьей машиной, Р(Н₃)=0,4.

4. В задаче необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный. Запишем вероятности брака для каждой машины.

Р(А/Н₁)=0,05 (вероятность того, что выбрали дефектный болт при условии, что он сделан на первой машине);

Р(А/Н₂)=0,04 (вероятность того, что выбрали дефектный болт при условии, что он сделан на второй машине);

Р(А/Н₃)=0,02 (вероятность того, что выбрали дефектный болт при условии, что он сделан на третьей машине).

Проиллюстрируем решение задачи на графе:

5 а) Вероятность события А находится по формуле полной вероятности: Р(А)=Р(Н₁)Р(А/Н₁)+ Р(Н₂)Р(А/Н₂)+ Р(Н₃)Р(А/Н₃).

Р(А) = 0,25ּ0,05 + 0,35ּ0,04 + 0,4ּ0,02 = 0,0345.

б) Событие А уже произошло, т.е. дефектный болт уже извлечен. Нужно найти вероятность осуществления трех возможных гипотез: что он был произведен первой (Н₁/А), второй (Н₂/А), третьей (Н₃/А) машиной. В этом случае применяем формулу Байеса: .

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. — М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 1, §1.8-1.9, с. 55-62.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. — М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. — Глава 1, §1.17 -1.18, с. 44-46.

Раздел 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема 3.3. Схема Бернулли

Задание 12. Вычисление вероятностей в схеме Бернулли – 1 ч.

Цель: формирование умения находить вероятности событий в схеме Бернулли.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

& 12.1.Проанализируйте, когда применяется схема Бернулли. Выучите формулу для расчета вероятностей событий в схеме Бернулли.

?12.2. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 90% случаях. Чему равна вероятность того, что из трех больных поправятся а) все три, б) два, в) не менее двух человек?

?12.3. По данным маркетинговой службы компьютерного салона, в среднем 20% покупателей в течение 3 лет с момента покупки модернизируют компьютер. Какова вероятность того, что из 4 наугад выбранных покупателей модернизировать компьютер в течение 3 лет будет а) ровно 1 человек; б) никто; в) не менее 3 человек?

¶12.4. (Задача де Мере). Сколько раз надо бросить пару игральных костей, чтобы с вероятностью, не меньшей можно было утверждать, что хотя бы раз появится 12 очков?

Методические указания по выполнению работы:

При решении вероятностных задач на использование формулы Бернулли:

1. Если в задаче рассматривается серия повторных независимых испытаний, то выделите их число — n испытаний.

2. Выпишите случайное событие А, вероятность которого необходимо найти по условию задачи.

3. Определите, что для события А будет являться успехом, а что неудачей при одном испытании.

4. Найдите вероятность успеха p и вероятность неудачи q в одном испытании.

5. Подсчитайте, сколько «успехов» т соответствует событию А.

6. Если число испытаний п невелико, то примените формулу Бернулли.

При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Если проводятся повторные независимые испытания (исход следующего испытания не зависит от исходов предыдущих), то

вероятность того, что в п испытаниях интересующее нас событие произойдет т раз, вычисляется по формуле Бернулли: , где

n – число испытаний,

m – число успехов,

p —вероятность успеха в одном испытании,

q = 1 – p — вероятность неудачи в одном испытании.

Пример 12.1. Подбрасывают игральную кость 3 раза. Какова вероятность того, что шестерка выпадет ровно два раза?

Решение: 1. В задаче рассматривается 3 повторных независимых испытания: 3 подбрасывания игральной кости, следовательно, число испытаний n = 3.

2. Искомое событие А – выпадет ровно две шестерки.

3. Для события А успехом в одном испытании будет выпадение «6».

4. Вероятность успеха p (выпадения «6») в одном испытании равна , неудачи q — невыпадения «6» равна 1 – p = 1 — = .

5. Событию А будет соответствовать ровно 2 успеха (2 шестерки), следовательно, т = 2.

6. Поскольку число испытаний невелико, применим формулу Бернулли: .

Тогда Р(А) = Р₃(2) = .

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. — М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 1, §1.10, с. 62-65.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. — М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. — Глава 1, §1.19-1.20, с. 47-51.

Раздел 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема 3.3. Схема Бернулли

Задание 13. Приближённые формулы в схеме Бернулли – 1 ч.

Цель: формирование умения находить вероятности событий с использованием формулы Бернулли, локальной и интегральной теорем Муавра-Лапласа.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

?13.1. Изучите, когда применяют приближённые формулы в схеме Бернулли. Проанализируйте, в чём отличие интегральной и локальной теорем Муавра-Лапласа.

?13.2. ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Задание 1: Садоводом посеяно 3 зерна с процентом всхожести р. Найдите вероятность того, что взойдёт k зёрен.

Задание 2: На опытном участке посеяно п зёрен с процентом всхожести р. Найдите вероятность того, что

1. число взошедших зёрен будет равно т;
2. число взошедших зёрен будет колебаться между т₁ и т₂.

№ варианта соответствует Вашему номеру по списку в журнале учебной группы

Методические указания по выполнению работы:

Домашняя контрольная работа выполняется в тетради для практических работ. Все расчеты следует выполнять с применением калькулятора или персонального компьютера с точностью 4 знака после запятой. В тетради необходимо прописать концепцию схемы Бернулли, все расчеты и используемые формулы. Значения функций Гаусса и Лапласа берутся из таблиц приложений 1 и 2.

· Прежде чем приступать к расчётам проанализируйте, рассматривается ли в задаче серия повторных независимых испытаний. Если да, то выделите их число — n испытаний.

· Выпишите случайные событие А и В, вероятность которых необходимо найти в заданиях 1 и 2.

· Определите, что для событий А и В будет являться успехом, а что неудачей при одном испытании.

· Найдите вероятность успеха p и вероятность неудачи q в одном испытании.

· Если число испытаний п невелико, то примените формулу Бернулли (задание 1). Если при выполнении задания 1 возникают сложности, обратитесь к методическим указаниям по выполнению практической работы №12 и разобранному примеру.

· Если число испытаний п достаточно велико и то примените приближённые формулы (задание 2).

Если в задаче требуется определить, что интересующее нас событие появится в п испытаниях ровно т раз, то искомая вероятность находится по локальнойтеореме Муавра-Лапласа: где .

Функция называется функцией Гаусса. Значения функции Гаусса помещены в специальных таблицах и приведены в приложении 1.

Важно, что т.е. — четная функция.

Если необходимо вычислить вероятность того, что интересующее нас событие появится в п испытаниях от т₁ до т₂ раз, то применяют интегральную теорему Муавра- Лапласа:

Пример 13.1. Вероятность того, что один компьютер не выйдет из строя в течение года, равна 0,8. Определите вероятность того, что из имеющихся в колледже 400 компьютеров

а) 315 будут в рабочем состоянии в течение года;

б) не потребуют ремонта от 300 до 340 компьютеров.

Решение. 1. Эксперимент заключается в проведении 400 повторных независимых испытаний с постоянной вероятностью в каждом. Следовательно, применима схема Бернулли, причём п = 400.

Будем искать вероятность события А — 315 ПК будут в рабочем состоянии в течение года

Введём вспомогательное событие А₁ — один ПК будет в рабочем состоянии в течение года.

Для А₁ р = 0,8, q = 0,2.

2. Поскольку п достаточно велико, проверим, выполняется ли равенство :

npq = 400·0,8·0,2 = 64 > 10, следовательно, локальная и интегральная теоремы применимы.

3. а) Используем локальную теорему Муавра-Лапласа при т = 315.

Найдем значение х:

Найдем В силу того, что по таблице значений функции Гаусса находим φ(0,625) ≈ φ(0,63) = 0,3271.

По теореме Муавра-Лапласа Р(А) =

Итак, вероятность того, что из имеющихся в колледже 400 компьютеров ровно 315 будут в рабочем состоянии в течение года, равна 0,0409.

б) По условию задачи т₁ = 300, т₂ = 340. Найдём вероятность события В — не потребуют ремонта от 300 до 340 компьютеров

Для вычисления Р(В) используем интегральную теорему Муавра-Лапласа.

Найдем значения х₁ и х₂:

= ;= .Найдем по таблицам значение функции Лапласа Ф(х). Т.к. Ф(-х) = — Ф(х), Ф(-2,5) = — Ф(2,5), Ф(2,5) = 0,4938. Тогда

Р(В) =

Итак, вероятность того, что в течение года из 400 компьютеров не потребуют ремонта от 300 до 340 компьютеров, равна 0,9876.

Ответ: Р(А) = 0,0409; Р(В) = 0,9876.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. — М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 1, §1.13, с. 70-73.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. — М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. — Глава 1, §1.21, с. 54-58.

Раздел 4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (ДСВ)

Тема 4.1. ДСВ: закон и функция распределения

Задание 14. Закон распределения и интегральная функция ДСВ – 1 ч.

Цель: формирование умения составлять закон и интегральную функцию распределения ДСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

& 14.1.Выучите, что называют случайной величиной, какая случайная величина называется дискретной, чем задается ДСВ. Разберите, что называют интегральной функцией распределения случайной величины и какими свойствами она обладает.

?14.2. Составьте закон распределения количества делителей натурального числа, выбранного наугад из чисел от 1 до 10.

?14.3. Преподаватель предлагает студенту Петрову решить две задачи. Вероятность правильно решить первую задачу для Петрова оценивается преподавателем как 0,7, вторую – 0,5. Составьте закон распределения числа задач, правильно решённых студентом Петровым.

?14.4. В группе туристов из 12 человек умеют готовить 8. Руководитель туристической группы назначает двух дежурных. Составьте закон распределения числа человек среди выбранных дежурных, которые умеют готовить.

?14.5. Составьте интегральную функцию распределения и постройте ее график для следующей случайной величины:

?14.6. Найдите закон и интегральную функцию распределения для числа выпадения «герба» при трех подбрасываниях монеты.

¶14.7. Составьте закон и интегральную функцию распределения для суммы очков, выпадающих на двух игральных костях.

¶14.8. Рассматривается работа трех независимо работающих технических устройств (ТУ). Вероятность нормальной работы первого ТУ равна 0,8, второго – 0,6, третьего – 0,5. Составьте закон и интегральную функцию распределения для числа нормально работающих ТУ.

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач на составление закона и интегральной функции распределения ДСВ:

1. Выделите испытание.

2. Опишите случайную величину Х, закон распределения которой необходимо составить по условию задачи.

3. Для заданной случайной величины начните составлять таблицу (закон распределения), выписав её возможные значения в верхней строке.

4. Найдите вероятность каждого значения ДСВ, используя ранее изученные методы, и занесите их во вторую строку закона распределения.

5. Проверьте корректность задания ДСВ: сумма вероятностей в нижней строке должна быть равна 1.

При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Случайная величина называется дискретной, если в результате опыта она принимает числовые значения, которые можно перечислить, или они эквивалентны счетному множеству.

Соответствие между возможными значениями случайной величины и ее вероятностями называют законом распределения случайной величины и записывают в виде таблицы:

Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, меньшее х:

F(x) = P(X < x), .

Пример 14.1.В стопке лежат 10 тетрадей с одинаковой обложкой, 4 из которых в линейку, остальные – в клетку. Саша наугад вынимает 2 тетради. Составьте закон распределения числа выбранных тетрадей в клетку.

Решение. 1. Испытание – выбор двух тетрадей из 10 (6 в клетку, 4 в линейку).

2. Случайная величина Х — число выбранных тетрадей в клетку.

3. Выделим возможные значения случайной величины Х: 0, 1, 2.

4. Для нахождения вероятности каждого исхода воспользуемся методом графов:

На рёбрах графа, ведущих к случайной величине Х, расставляем значения, которые принимает случайная величина при каждом исходе: выбрано 2 тетради в клетку (x₁=2), одна тетрадь в клетку (x₂ = 1), ни одной тетради в клетку (x₃ = 0).

С помощью графа найдем вероятности, с которыми случайная величина принимает то или иное числовое значение:

Р(Х = 2) = , Р(Х = 1) = , Р(Х = 0) = .

Искомый закон распределения запишем в виде таблицы:

5. Проверим сумму вероятностей в нижней строке: . Следовательно, закон распределения составлен корректно.

Пример 14.2.Составьте интегральную функцию распределения и постройте ее график для следующей случайной величины:

Решение.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. — М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.1.1-2.1.2, с. 102-106.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. — М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. — Глава 2, §2.1-2.3, с. 60-68.

Раздел 4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Тема 4.2. Числовые характеристики ДСВ

Задание 15. Нахождение числовых характеристик ДСВ – 2 ч.

Цель: формирование умения находить функции от ДСВ, вычислять числовые характеристики ДСВ, заданной законом распределения, строить графики функций от ДСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

& 15.1.Разберите, какие числовые характеристики дискретной случайной величины существуют. Вспомните формулы для расчёта и единицы измерения каждой ДСВ.

?15.2. Случайная величина Х задана законом распределения:

Найдите недостающую вероятность, числовые характеристики ДСВ, F(x). Постройте многоугольник распределения и график F(x).

?15.3. Для участия в олимпиаде по программированию в ЯГК были отобраны три юноши и три девушки. Три победителя будут участвовать в региональной олимпиаде. Составьте закон распределения числа девушек, которые будут участвовать в региональной олимпиаде. Составьте интегральную функцию распределения и постройте её график. Найдите числовые характеристики ДСВ.

?15.4. ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

В таблице в зависимости от варианта (совпадает с номером по журналу учебных занятий) дан закон распределения дискретной случайной величины Х.

Найдите:

1. недостающее значение вероятности;
2. моду;
3. медиану;
4. математическое ожидание;
5. дисперсию;
6. среднеквадратическое отклонение;
7. интегральную функцию распределения ДСВ.

Постройте:

1. многоугольник распределения ДСВ;
2. график интегральной функции распределения ДСВ.

¶15.5.Санкт-Петербургский парадокс: Вы решили сыграть в следующую игру: Вы платите некоторое количество денег за участие в игре. Затем Вы берёте монету и подбрасываете её до тех пор, пока не выпадет решка. Если решка выпадет при первом броске монеты, то Вы получите 2$, если при втором — 4$, если при третьем – 8$, если при четвертом — 16$ и т.д. (приз каждый раз удваивается). Сколько денег Вам нужно заплатить за участие в игре, чтобы игра была безобидной? (Указание: игра безобидная, если математическое ожидание случайной величины Х – суммы Вашего выигрыша, такое же, как ставка за участие в игре.)

Методические указания по выполнению работы:

1. Пояснения к решению:

Домашняя контрольная работа №2 включает в себя 8 заданий и состоит из двух частей: расчетной и графической. Работа выполняется в тетрадях для практических работ.

Все расчеты следует выполнять с применением калькулятора или персонального компьютера с точностью 4 знака после запятой. В отчетной работе необходимо приводить все расчеты и используемые формулы.

1.1. Расчетная часть: при выполнении расчетной части примените изученные Вами формулы.

1.2. Графическая часть:Графики выполняются в тетради для практических работ. Обязательно задание единиц измерения и соблюдение масштаба при построении графиков.

1.3. Выводы:В конце работы следует сделать вывод о том, какие числовые значения Мо(Х), М(Х), D(Х), получены, что они характеризуют и в каких единицах измеряются.

В случае затруднений при выполнении работы обратитесь к примеру 15.1.

Пример 15.1.Для ДСВ, заданной законом распределения

найдите недостающую вероятность, числовые характеристики, F(x). Постройте многоугольник распределения и график F(x).

Решение:

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. — М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.1.3, с. 106-118.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. — М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. — Глава 2, §2.1-2.3, с. 60-68.

Раздел 4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Тема 4.3. Законы распределения ДСВ

Задание 16. Запись распределения и вычисление характеристик для биномиальной ДСВ – 1 ч.

Цель: формирование умения составлять закон распределения и вычислять числовые характеристики биномиальной ДСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&16.1.Изучите особенности биномиально распределенной ДСВ.

?16.2. Ученику в начале урока предлагается небольшая тестовая работа, состоящая из 5 заданий. В каждом задании нужно ответить только «да» или «нет». Составьте закон распределения числа вопросов, на которые ученик может ответить правильно, если он отвечает наугад. Найдите числовые характеристики ДСВ.

?16.3. Кандидата Петрова перед выборами мэра города поддерживают 20% избирателей. На теледебаты пригласили четырёх человек – жителей города. Составьте закон и интегральную функцию распределения числа поддерживающих Петрова жителей города, участвующих в теледебатах. Найдите числовые характеристики ДСВ.

¶16.4. Докажите разумность или опровергните идею мартингальной системы, заключающейся в удвоении ставки при проигрыше. (Предположим, что мы играем в рулетку и всегда ставим на красное. Сначала поставим один доллар. Если выигрываем, то прекращаем игру; при проигрыше ставим в следующий раз 2 доллара и т.д.)

Методические указания по выполнению работы:

При выборе закона распределения, применяемого при решении конкретной задачи, удобно воспользоваться следующей схемой:

Пример 16.1. Студент, работая в Internet, по системе поиска нашел ссылки на 3 сайта, в каждом из которых может быть полезная для него информация с вероятностью 0,6. Составьте закон распределения числа сайтов с полезной для студента информацией. На скольких в среднем сайтах он найдет полезную для себя информацию? Найдите дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Решение. Испытание – поиск информации на 3-х сайтах.

Случайная величина Х — число сайтов с полезной для студента информацией. Она принимает значения 0, 1, 2 или 3.

Имеем серию повторных независимых испытаний, число испытаний задано (n = 3). Следовательно, перед нами биномиальное распределение. Вероятность успеха в одном испытании р = 0,6, вероятность неудачи q = 1 – 0,6 = 0,4.

По формуле Бернулли , тогда

;;;.Искомый закон распределения можно записать с помощью таблицы:

Проверим сумму вероятностей в нижней строке: 0,064+0,288+0,432+0,216=1. Следовательно, закон распределения составлен корректно.

Найдем числовые характеристики биномиально распределенной случайной величины:

М(Х) = 3·0,6 = 1,8, т.е. в среднем студент найдет полезную информацию на двух сайтах.

D(Х) = 3·0,6·0,4 = 0,72.

σ(Х) = .

Ответ: М(Х) = 1,8, D(Х) = 0,72, σ(Х) .

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. — М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.2, с. 118-123.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. — М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. — Глава 2, §2.7, с. 85-86.

Раздел 4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Тема 4.3. Законы распределения ДСВ

Задание 17. Запись распределения и вычисление характеристик для геометрически распределённой ДСВ – 1 ч.

Цель: формирование умения составлять закон распределения и вычислять числовые характеристики геометрически распределённой ДСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&17.1.Изучите особенности геометрически распределенной ДСВ.

?17.2. У Васи есть 3 верных друга. В каникулы Вася, чтобы не скучать в одиночестве, звонит по очереди своим друзьям. Если он застает первого друга дома, то сразу идет к нему в гости. Если нет – звонит следующему. Составьте закон распределения числа сделанных Васей звонков, если вероятность застать любого друга дома – 0,3. Найдите числовые характеристики ДСВ.

?¶17.3. Вы решили сыграть в следующую игру: Вы платите некоторое количество денег за участие в игре. Затем Вы берёте и бросаете игральную кость до тех пор, пока не выпадет шестерка. Если шестёрка выпадет при первом броске, то Вы получите 1 рубль, при втором – 2 рубля, при k-м броске — k рублей. Какой вступительный взнос Вам следует заплатить за участие в игре, чтобы игра была безобидной? (Указание: игра безобидная, если математическое ожидание случайной величины Х – суммы Вашего выигрыша, такое же, как ставка за участие в игре.)

Методические указания по выполнению работы:

При выборе закона распределения, применяемого при решении задач, воспользуйтесь схемой, приведённой в задании 16.

Пример 17.1. Студент, работая в Internet, по системе поиска нашел ссылки на 3 сайта, в каждом из которых может быть полезная для него информация с вероятностью 0,6. Если студент, зайдя на сайт, нашел информацию, он прекращает поиск. Составьте закон распределения числа посещенных сайтов.

Решение. Испытание – поиск информации в Internet до успеха (всего 3 сайта).

Случайная величина Х — число посещенных сайтов. Она принимает значения 1, 2 или 3.

Перед нами повторные независимые испытания, которые проводятся до успеха, следовательно, имеем распределение, аналогичное геометрическому, с ограничением числа проводимых испытаний.

Для нахождения вероятности каждого значения ДСВ используем метод графов:

; ; .Тогда искомый закон распределения можно записать с помощью таблицы:

Проверим сумму вероятностей в нижней строке: 0,6+0,24+0,16=1. Следовательно, закон распределения составлен корректно.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. — М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.3, с. 125-127.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. — М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. — Глава 2, §2.7, с. 88-89.

Раздел 4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Тема 4.3. Законы распределения ДСВ

Задание 18. Запись распределения и вычисление характеристик для ДСВ – 1 ч.

Цель: формирование умения составлять закон распределения и вычислять числовые характеристики разного вида ДСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&18.1.Повторите особенности биномиально и геометрически распределенной ДСВ.

?18.2. В библиотеке Ильи 12 книг по математике, из них 5 – по теории вероятностей и математической статистике. Алексей приходит к Илье в гости и выбирает 2 книги наугад. Составьте закон распределения случайной величины Х – числа книг по математической статистике, отобранных Алексеем. Запишите интегральную функцию распределения. Вычислите числовые характеристики составленной ДСВ.

?18.3. В библиотеке Ильи есть также четырёхтомник А.С. Пушкина. Алексей, увлечённый теорией вероятностей и играми, наугад вынимает тома в поисках «Пиковой дамы». Составьте закон распределения случайной величины Х – числа книг, которые просмотрел Алексей пока не нашёл нужную. Запишите интегральную функцию распределения. Вычислите числовые характеристики составленной ДСВ.

¶ 18.4. Решите задачу 18.2 при условии, что Алексей выбирает 4 книги.

Методические указания по выполнению работы:

При выборе закона распределения, применяемого при решении задач, воспользуйтесь схемой, приведённой в задании 16.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. — М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.3, с. 123-127.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. — М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. — Глава 2, §2.7, с. 88-91.

Раздел 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (НСВ)

Тема 5.1. НСВ: функции распределения

Задание 19. Геометрическое определение вероятности – 1 ч.

Цель: формирование умения применять формулу геометрического определения вероятностей.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&19.1.Разберите, в чем заключается геометрическое определение вероятности события, в каких случаях оно применимо.

?19.2.После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Ремонтная бригада, обслуживающая этот участок, располагается на 50-м километре. В какую сторону ей лучше выезжать? С какой вероятностью Ваш совет окажется правильным?

?19.3. На паркет, составленный из правильных треугольников со стороной 7 см, брошена монета радиусом 1 см. Какова вероятность того, что монета не заденет границы ни одного из треугольников?

819.4. Малыш наугад показывает пальцем точку на глобусе. Какова вероятность, что он попадет: а) в Россию; б) в Тихий океан; в) в Восточное полушарие.

Указание: для решения этой задачи Вам придется обратиться к энциклопедии или учебнику географии.

¶19.5. Два студента договорились о встрече в колледже в случайный момент времени с 12.00 до 13.00. Терпения друзей хватает только на 15 минут. Какова вероятность того, что встреча состоится?

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач на геометрическую вероятность:

1. Выделите испытание.

2. Опишите случайное событие, вероятность которого необходимо найти по условию задачи.

3. Определите, можно ли использовать формулу геометрической вероятности: каждый исход должен быть представим в виде точки на прямой, на плоскости или в пространстве. Общее число всех возможных исходов должно быть бесконечно.

4. Выполните чертеж, на котором обозначьте пространство всех возможных исходов W, и область исходов, благоприятствующих наступлению событию А.

5. Выберите соответствующую формулу для расчета в зависимости от того, какие области вы построили, и найдите вероятность события А.

При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области исходов Ω:

На числовой прямой «мера» — длина;

на плоскости «мера» — площадь;

в пространстве «мера» — объем.

Пример 19.1. На острове пираты зарыли клад. Искатели сокровищ точно знают, что клад надо искать на этом острове, но не знают, в каком месте зарыт клад. Они определили место для поисков в форме квадрата со стороной 10 метров. Какова вероятность того, что они найдут клад, если площадь острова 1000 м²?

Решение. 1. Испытание – поиск клада на острове площадью 1000 м².

2. Событие А – найти клад на выбранном участке в форме квадрата со стороной 10 метров.

3. Каждый исход (место расположения клада) можно рассматривать в виде точки на плоскости, следовательно, геометрическое определение вероятности применимо.

4. Выполним чертеж. Пространство элементарных исходов – область Ω произвольной формы, область исходов, благоприятствующих событию А – квадрат со стороной 10 м.

5. Поскольку мы работаем на плоскости, мерой является площадь, и Р(А) = ; S_Ω = 1000 м², S_А = 100 м² (площадь квадрата).

Тогда Р(А) = 100/1000 = 0,1.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. — М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 1, §1.5, с. 32-33.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. — М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. — Глава 1, §1.10, с. 31-33.

Раздел 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (НСВ)

Тема 5.1. НСВ: функции распределения

Задание 20. Вычисление вероятностей, запись функции плотности и интегральной функции распре­деления ДСВ – 2 ч.

Цель: формирование умения находить функцию плотности по интегральной функции распределения НСВ и наоборот; вычислять вероятности для НСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&20.1.Разберите, какой функцией задаётся НСВ и каковы её основные свойства. Проанализируйте, как связаны интегральная функция распределения и функция плотности вероятности для НСВ.

?20.2. Установите, какие из функций могут задавать f(x), какие — F(x) для НСВ и заполните таблицу:

?20.3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

1) 2) 3)

а) найдите функцию плотности вероятности f(x),

б) проверьте корректность задания функции плотности вероятности f(x);

в) найдите вероятность попадания случайной величины в интервал (0; 1);

г) постройте график функции плотности вероятности f(x), на нем отметьте вероятность попадания случайной величины в интервал (0; 1);

д) постройте график интегральной функции распределения F(x).

?20.4. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности

1) 2)а) проверьте корректность задания функции плотности вероятности f(x);

б) найдите интегральную функцию распределения,

в) найдите вероятность попадания случайной величины в интервал

20.4.1) (1; 2,5);

20.4.2)

г) постройте график функции плотности вероятности f(x), на нем отметьте вероятность попадания случайной величины в заданный интервал;

д) постройте график интегральной функции распределения F(x).

¶20.5. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

а) найдите функцию плотности вероятности f(x),

б) проверьте корректность задания функции плотности вероятности f(x);

в) найдите вероятность попадания случайной величины в интервал (0; 2).

¶20.6. Интегральная функция распределения задана выражением: F(х)= . Найдите коэффициент а, вероятность попадания в интервал (π/6; π/3), постройте график F(х).

Методические указания по выполнению работы:

Для решения задач нам потребуется знание следующего материала:

1. Интегральная функция распределения F(x) и функция плотности вероятностиf(x) связаны соотношениями: f(x) = F’(x), F(x) = .

Пример 20.2. По известной функции плотности вероятности f(x) найдите интегральную функцию распределения F(х), если .

Решение.

Воспользуемся формулой:

Поскольку функция у = f(х) состоит из трех частей, для каждой части будем применять данную формулу:

1) при х < -π/2

2) при -π/2 ≤ х <0

= sinx + 1

3) при х ≥ 0

= 1Получили, что F(х) имеет вид: F(х)= , что согласуется с определением и свойствами F(х).

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. — М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.5.1, с. 130-132.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. — М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. — Глава 2, §2.4, с. 69-73.

Раздел 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (НСВ)

Тема 5.2. Числовые характеристики НСВ

Задание 21. Нахождение числовых характеристик НСВ – 2 ч.

Цель: формирование умения находить числовые характеристики НСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&21.1.Повторите, как связаны интегральная функция распределения и функция плотности вероятности для НСВ. Изучите, какие числовые характеристики можно вычислить для НСВ, в чём сущность каждой характеристики.

?21.2. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

1) 2) 3)

а) найдите функцию плотности вероятности f(x),

б) проверьте корректность задания функции плотности вероятности f(x);

в) найдите числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), , Ме(Х).

¶21.3. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности

а) найдите числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), , Ме(Х).

б) проверьте корректность задания функции плотности вероятности f(x);

в) найдите интегральную функцию распределения.

¶21.4. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

F(х)= е^х, при х 0.

1 , при х>0

Найдите f(х), Р(-2 0), М(Х).

Методические указания по выполнению работы:

При выполнении работы необходимо знание числовых характеристик НСВ:

1. Математическое ожидание – среднее значение случайной величины – находится по формуле:

.Измеряется в тех же единицах, что и случайная величина.

2. Дисперсия характеризует степень отклонения значений случайной величины от ее среднего значения. Для вычисления D(X) удобна следующая формула:

, где M(X) находится в пункте 1.

Дисперсия измеряется в квадратных единицах.

3. Среднеквадратическое отклонение σ(Х) также характеризует степень рассеяния ДСВ относительно среднего значения, но измеряется в тех же единицах, что и случайная величина. Среднеквадратическое отклонение σ(Х) находится по формуле:

4. Медианой называется такое значение случайной величины М_е, что P{X < M_e} = P{X > M_e}. Для нахождения медианы нужно воспользоваться соотношением: .

Пример 21.1. Для найдите М(Х), D(Х), , Ме(Х).

Решение:

1. Найдём математическое ожидание: следовательно (т.к. при f(x)=0 крайние интегралы равны нулю: )

.2. По формуле дисперсии D(X) = M(X²) — M²(X), где .

Тогда .Получили, что D(X) = = .

3.Среднеквадратическое отклонение

4.Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение М_е, что P{X < M_e} = P{X > M_e}.

Для расчета медианы используют формулу: F(M_e) = ½.

Поскольку F(х)= (пример 20.1), а F(M_e) = ½, получим уравнение:

х² = ; х = . Нам подойдет только одно значение корня – положительное, поскольку функция принимает положительные значения лишь при х, принадлежащих промежутку от 0 до 1.

Тогда M_e = , M_e≈0,7.

Если на чертеже провести прямую х=M_e, она разделит площадь под кривой у= f(x) на две равные части.

Так, если в нашем примере на чертеже провести прямую х= , она разделит исходный прямоугольный треугольник на две фигуры (треугольник и трапецию), имеющие одинаковые площади:

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. — М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.5.2, с. 132-136.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. — М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. — Глава 2, §2.5, с. 73-80.

Раздел 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (НСВ)

Тема 5.3. Законы распределения НСВ

Задание 22. Нахождение числовых характеристик для равномерно и показательно распределенной НСВ – 1,5 ч.

Цель: формирование умения находить числовые характеристики для равномерно и показательно распределенной НСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&22.1.Изучите, какими функциями задаются равномерно и показательно распределённые НСВ. Разберите, какие формулы существуют для расчёта числовых характеристик данных НСВ.

?22.2. Непрерывная случайная величина Х распределена равномерно на отрезке

1) [3; 5]; 2) [-1; 7]; 3) [-6; -5]. Найдите:

а) функцию плотности вероятности f(x) и постройте её график;

б) числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), , Ме(Х);

в) интегральную функцию распределения и постройте её график;

г) вероятность попадания значений НСВ в интервал

22.2.1) [3; 4];

22.2.2) [0; 4];

22.2.3) [-5,5; -5].

?22.3. НСВ задана графически:

Определите:

а) вид распределения НСВ;

б) функцию плотности вероятности f(x);

в) числовые характеристики НСВ.

?22.4. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону с плотностью вероятности

1) ; 2) .

Найдите:

а) параметр λ и постройте график функции плотности вероятности f(x);

б) числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), ;

в) интегральную функцию распределения и постройте её график:

г) вероятность попадания значений НСВ в интервал [0; 1].

?22.5. Время безотказной работы компьютера распределено по показательному закону с надёжностью R(t). Найдите вероятность того, что компьютер проработает t часов, если

а) , t = 2 000 часов;

б) , t = 4 000 часов.

¶22.6. Вращаем рулетку в интеллектуальном казино. Случайная величина Х – угол, образованный стрелкой и сектором «зеро». Определите, на каком промежутке распределена случайная величина Х. Составьте функцию плотности вероятности f(х), найдите вероятность того, что стрелка отклонится от сектора «зеро» не более чем на 90^о в обе стороны.

¶22.7. Холодильник имеет постоянную интенсивность отказа, равную λ = 10^-5 откл/час. Какова вероятность того, что холодильник откажет после гарантийного срока 20 000 часов?

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач данной темы определите вид распределения НСВ и в зависимости от этого (равномерно или показательно распределённая НСВ) используйте соответствующие формулы. Они приведены в примерах 22.1 и 22.2.

Пример 22.1.Непрерывная случайная величина Х распределена равномерно на отрезке [0; 10]. Найдите:

а) функцию плотности вероятности f(x) и постройте её график;

б) числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), , Ме(Х);

в) интегральную функцию распределения и постройте её график;

г) вероятность попадания значений НСВ в интервал [3; 4];

Решение:

Пример 22.2.Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону с плотностью вероятности .

Найдите:

а) параметр λ и постройте график функции плотности вероятности f(x);

б) числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), ;

в) интегральную функцию распределения и постройте её график;

г) вероятность попадания значений НСВ в интервал [3; 4];

Решение:

Пример 22.3. Длительность безотказной работы элемента распределена по показательному закону при t > 0: R(t) = . Найдите вероятность того, что за время t = 40 ч

а) элемент не откажет;

б) элемент выйдет из строя.

Решение. Условие задачи указывает на показательный закон надежности для времени t = 40 ч.

Функция надёжности, определяющая вероятность безотказной работы за время t, имеет вид:

R(t) = , где λ – интенсивность отказов.

То есть вероятность безотказной работы элемента за 40 ч равна:

.Поэтому вероятность противоположного события – отказа или выхода из строя элемента за 40 ч – .

Ответ: а) вероятность безотказной работы элемента равна 0,45;

б) вероятность выхода элемента из строя – 0,55.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. — М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.7-2.8, с. 138-146.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. — М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. — Глава 2, §2.7, с. 91-96.

Раздел 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (НСВ)

Тема 5.3. Законы распределения НСВ

Задание 23. Нахождение числовых характеристик для нормально распределенной НСВ – 1,5 ч.

Цель: формирование умения находить числовые характеристики для нормально распределенной НСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&23.1.Изучите, как задаётся и какие числовые характеристики можно вычислить для НСВ, распределённой по нормальному закону. Проанализируйте, что будет происходить при изменении параметров а и σ.

?23.2. Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону с плотностью вероятности

1) ; 2) .

Найдите:

а) параметры а и σ и постройте схематически график функции плотности вероятности f(x);

б) числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), ;

в) вероятность попадания значений НСВ в интервал

23.2.1. [1; 4];

23.2.2. [-2; 0].

?23.3. Текущая цена акции может быть смоделирована по нормальному закону с математическим ожиданием 15 усл.ед. и среднеквадратическим отклонением 0,3 усл.ед. Найдите вероятность того, что цена акции

а) не превышает 15,5 усл.ед.;

б) не ниже 15,5 усл.ед.;

в) заключена в пределах от 15,1 до 15,4 усл.ед.;

г) с помощью правила трёх сигм установите границы, в которых будет находиться текущая цена акций.

?23.4. Волжский автомобильный завод запускает в производство новый двигатель. Конструкторы двигателя предполагают, что благодаря ему средняя длина пробега составит 160 тыс. км, а среднеквадратическое отклонение – 30 тыс. км. Средняя длина пробега автомобиля – случайная величина, подчинённая нормальному закону распределения. Найдите вероятность того, что длина пробега автомобиля с таким двигателем составит

а) не менее 110 тыс. км;

б) не более 170 тыс. км;

в) от 110 до 180 тыс. км;

г) с помощью правила трёх сигм установите границы, в которых будет находиться длина пробега автомобиля.

?23.5. Изменение индекса ценных бумаг на фондовой бирже может быть смоделировано как НСВ с нормальным распределением, параметры которой а = 1 и σ = 0,2. Постройте схематически график функции плотности вероятности f(x). Что произойдёт с кривой, если изменить параметры:

а) а = 1,5, σ = 0,2;

б) а = 0,8, σ = 0,2;

в) а = 1 и σ = 0,1;

г) а = 1 и σ = 0,3.

Постройте разными цветами на одном чертеже кривые для п. а) – г).

¶23.6. Чистая прибыль крупных нефтяных компаний за текущий год является нормально распределенной случайной величиной. Среднее значение прибыли составляет 40 млрд. руб, σ=10 млрд. руб. С вероятностью 0,9545 определите симметричный относительно математического ожидания интервал, в котором будет находиться чистая прибыль крупных нефтяных компаний.

Методические указания по выполнению работы:

Пример 23.1.Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону с плотностью вероятности .

Найдите:

а) параметры а и σ и постройте схематически график функции плотности вероятности f(x);

б) числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), ;

в) вероятность попадания значений НСВ в интервал [3; 6].

Решение:

Пример 23.2.Автомат штампует детали. Контролируемая ширина детали Х распределена нормально с математическим ожиданием (проектной длиной) 50 мм. Известно, что среднеквадратическое отклонение длины детали 3,6 мм.

а) Найдите вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет от 48 до 55 мм.

б) С помощью правила трёх сигм установите границы, в которых будет находиться длина детали.

Решение. а) Выделим параметры нормального распределения: а = 50 мм, σ = 3,6 мм. Найдем Р(48<x<55), т.е. α=48, β=55 мм.

Воспользуемся формулой: Р(α<x<β) = .

Найдем = ,

= .Тогда Р(48<x<55) = = 0,4177-(-0,2123) = 0,63.

б) По правилу трёх сигм можно считать практически достоверным, что значения случайной величины, распределенной по нормальному закону, принадлежат интервалу (a – 3σ, a + 3σ). Следовательно, длина детали будет от до мм, т.е. лежит в промежутке (44,2; 65,8) мм.

Ответ: а) Р(48<x<55) = 0,63, б) (44,2; 65,8) мм.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. — М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.6, с. 136-138.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. — М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. — Глава 2, §2.7, с. 96-103.

Раздел 6. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Тема 6.1. Закон больших чисел

Задание 24. Неравенство Чебышева, статистическое определение вероятности – 1 ч.

Цель: формирование глубоких и прочных знаний центральной предельной теоремы, неравенства Чебышева, закона больших чисел в форме Чебышева и Бернулли, усвоения понятия «статистическая вероятность».

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&24.1.Изучите, используя список литературы, теоретический материал по теме «Закон больших чисел».

Основные сведения из теории:

24.2. Ответьте на следующие контрольные вопросы:

· Что включает в себя закон больших чисел?

· Какова формулировка неравенства Чебышева?

· К каким видам распределения случайных величин применимо неравенство Чебышева?

· На какой теореме основан применяемый в статистике выборочный метод? Приведите формулировку этой теоремы.

· Что называют частотой события А?

· Дайте определение статистической вероятности события А. Проанализируйте, когда применяется классическое, когда геометрическое, а когда статистическое определение вероятности события.

· Какая теорема является теоретической основой статистического определения вероятности? Приведите ее формулировку.

· Сформулируйте центральную предельную теорему. Какой опыт служит ее наглядной иллюстрацией?

Примеры и упражнения:

?24.3. Известны значения М(Х) и D(Х). Оцените с помощью неравенства Чебышёва Р(α<x<β), если:

а) М(Х) = 12, D(Х) = 5, α = 8, β = 16;

б) М(Х) = 4, D(Х) = 1, α = 3, β = 5.

?24.4. Волжская ГЭС обслуживает сеть из 20 000 объектов, вероятность включения каждого из которых в вечернее время зимой составляет 0,85.Найдите вероятность, с которой число объектов, включённых в сеть зимним вечером, будет отличаться от математического ожидания менее чем на 600. (Указание: используйте биномиальное распределение и неравенство Чебышёва).

?24.5. Осветительная сеть зала включает десять параллельно подключённых ламп. Вероятность того, что в течение суток лампа будет включена, составляет 0,75. Оцените вероятность того, что модуль разности между числом включённых ламп и средним числом включённых ламп за сутки окажется не больше двух. (Указание: используйте биномиальное распределение и неравенство Чебышёва).

824.6. Задайте событие, вероятность которого можно вычислить только опираясь на понятие статистической вероятности. Проведите соответствующий эксперимент с максимально для Вас возможным числом опытов. Найдите вероятность заданного Вами события (например, вероятность попадания Вами мячом в баскетбольную корзину с расстояния 5 м).

Методические указания по выполнению работы:

Закон больших чисел – это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

По неравенству Чебышёва устанавливается вероятность отклонения Х от ее математического ожидания на величину ε:

Неравенство Чебышева задает вероятность попадания значений случайной величины в интервал (М(Х)–ε; М(Х)+ε) независимо от закона распределения случайной величины:

М(Х)–ε М(Х) М(Х)+ε х

Пример 24.1. При заданных технологических условиях масса заготовки является случайной величиной с математическим ожиданием 50 кг. Среднее квадратичное отклонение не превышает 0,2 кг. Оцените вероятность того, что масса наудачу взятой детали будет лежать в границах от 49,5 до 50,5 кг.

Решение. Введем случайную величину Х – масса наудачу взятой детали.

Известно, что М(Х) = 50 кг, σ = 0,2 кг, отклонение ε значений 49,5 и 50,5 от среднего 50 составляет 0,5 кг.

Воспользуемся формулой , где D(Х) = σ² = 0,04.

Получаем, что .

Итак, вероятность того, что масса наудачу взятой детали будет лежать в границах от 49,5 до 50,5 кг, больше или равна 0,84.

Ответ: .

Пример 30.2. Вероятность выхода с автомата стандартной детали равна 0,96. С помощью неравенства Чебышева оцените вероятность того, что среди 2000 изделий брак будет составлять 60 – 100 деталей.

Решение. Введем случайную величину Х– число нестандартных деталей в партии из 2000 штук. Для того чтобы воспользоваться неравенством Чебышёва, нужно знать M[X] и D[X]. Нетрудно увидеть, что в задаче рассматривается серия повторных независимых испытаний (проверка на годность каждой из 2000 деталей), следовательно, имеем дело с биномиальным распределением, n=2000.

Вероятность успеха в одном испытании (вероятность того, что одна наудачу взятая деталь будет нестандартной) p= 1 – 0,96 = 0,04, соответственно q = 0,96.

Тогда M[X] = np = 2000·0,04 = 80 и D[X] = npq = 2000·0,04·0,96 = 76,8. Нужно оценить, что число нестандартных деталей (60-100) отличается от среднего (80) на ε = 20. Воспользуемся неравенством Чебышева: .

Подставив в него M[X] = 80, D[X] = 76,8, ε = 20, получим

Следовательно, вероятность того, что из 2000 изделий брак будет составлять 60 – 100 деталей, больше или равна 0,808.

Ответ:

Пусть А – случайное событие, связанное с некоторым опытом. Например, испытание – выстрел стрелком по мишени, событие А – поразить цель. Найти вероятность данного события по классической формуле невозможно. Тогда проведём опыт п раз в одних и тех же условиях, и пусть при этом событие А появится т раз.

Отношение числа т опытов, в которых событие А произошло, к общему числу п проведенных опытов, называется частотой события А.

Постоянная величина р, к которой все более приближается частота т/п события А при достаточно большом числе повторений опыта, называется статистической вероятностью события А.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. — М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.10, с. 148-160.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. — М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. — Глава 5, §5.1-5.4, с. 162-172.

Раздел 7. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Тема 7.1. Основы математической статистики

Задание 25. Сбор и обработка статистических данных – 2 ч.

Цель: формирование умения проводить статистические исследования: осуществлять сбор, систематизацию и проводить полную обработку статистических данных. в том числе строить графическую диаграмму выборки, рассчитывать по выборке ее числовые характеристики.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

& 25.1.Разберите, какие основные этапы включает в себя статистическое исследование, в виде какого ряда можно представить статистические данные, что является геометрической интерпретацией таких рядов. Изучите формулы для нахождения числовых характеристик выборки.

Основные сведения из теории:

25.2. Закончите высказывания:

а) Математическая статистика – раздел математики, изучающий …

б) Основными понятиями математической статистики являются … и …

в) Выборка должна быть …, т.е. достаточно полно отражать все изучаемые свойства генеральной совокупности.

г) Первым этапом статистического исследования является …

д) Вторым этапом статистического исследования является …

е) Статистические данные представляют в виде вариационного ряда, записываемого в виде таблицы, в верхней строке которой — …, в нижней — … .

ж) Вариационный ряд выбирается дискретный, если … или интервальный, если …, где d — …

з) Если ряд статистический, то выписываются …, которые находятся по формуле …

и) Геометрической интерпретацией дискретного вариационного ряда является … — ломаная, …

к) Геометрической интерпретацией интервального вариационного ряда является … — ступенчатая фигура, …

л) Числовые характеристики выборки находятся по формулам:

· выборочное среднее:

· выборочная дисперсия: , где

· выборочное среднеквадратическое отклонение:

Примеры и упражнения:

825.3.Выполните проектную работу по одной из следующих тем:

I. Блок «Познай себя!»

В течение месяца собирайте статистические данные по выбранной проблеме.

1. Сколько времени в день Вы проводите перед персональным компьютером (включая занятия в колледже)?
2. Сколько сигарет Вы выкуриваете за день? Какой вред своему здоровью Вы этим наносите?
3. Сколько минут в день Вы говорите по мобильному телефону или пользуетесь услугами ICQ?
4. Какую часть Вашей жизни занимает сон: проанализируйте, сколько часов в день Вы спите. Каковы гигиенические нормы сна для Вашего возраста?
5. Сколько времени в день Вы пользуетесь услугами сети Internet?
6. Сколько времени в день Вы тратите на выполнение домашнего задания?
7. Сколько денег в день Вы тратите на «карманные расходы» (питание, пользование услугами мобильной связи, любые текущие покупки (даже на «вредные привычки»), плату за проезд)?

II. Блок «Моя группа – какая она?»

Опросите всех студентов Вашей группы по выбранной проблеме.

1. Какова статистика роста студентов Вашей группы?
2. Какова статистика роста при рождении студентов Вашей группы?
3. Какова статистика веса при рождении студентов Вашей группы?
4. Сколько часов в день студенты Вашей группы уделяют занятию спортом (включая занятия по физической культуре)?
5. Сколько раз в месяц студенты Вашей группы употребляют спиртные напитки (включая пиво и энергетические напитки)? Какой вред своему здоровью они наносят?

III. Блок «Моя планета, моя страна, мой город»

Найдите соответствующие данные в сети Интернет

1. Проанализируйте данные о числе шайб, забитых в каждой игре чемпионата России по хоккею, прошедшему в 201__ году. Сколько в среднем шайб было забито в каждой игре?
2. Выберите любой вид спорта, входящий в программу олимпиады в _________. Проанализируйте данные о его результатах.
3. Какова экологическая ситуация в том районе, в котором я проживаю за последние 3 года (например, анализ содержания в воздухе оксида углерода по месяцам)?
4. Проанализировав данные о результатах в марафонском беге за последние 3 года, сделайте вывод о том, на какой возраст приходится расцвет спортивной карьеры бегуна-марафонца. Источник данных – http://www.alltime-athletics.com.
5. Проанализируйте данные о крупнейших авиакатастрофах ХХ века. Каково среднее число жертв в катастрофах за последний год? Источник данных – http://www.airdisasters.co.uk. Как Вы считаете, можно ли определить по этим данным наиболее опасные для полетов время года, месяц, день недели, тип самолета?
6. Проанализируйте последние статистические данные о самых населенных городах России. Составьте интервальный вариационный ряд с шагом d =100 тыс. человек для числа городов России с численностью более 500 тыс. человек (не включая Москву и Санкт-Петербург). Источник данных – http://rating.rbc.ru.

IV.Анализ статистических данных по теме, выбранной Вами самостоятельно. Тема обязательно должна быть согласована с преподавателем.

Методические указания по выполнению работы:

Математическая статистика — раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Основными понятиями математической статистики являются генеральная совокупность – совокупности всех изучаемых объектов, и выборка – часть объектов генеральной совокупности. Выборка должна быть репрезентативной – достаточно полно отражать изучаемые признаки генеральной совокупности.

Статистическое исследование состоит из нескольких этапов:

1. Определение цели и методов исследования (опрос, наблюдение).

2. Сбор статистических данных (обязательное условие – данные должны выражаться числом).

3. Представление статистических данных в виде дискретного (если все значения целесообразно перечислить) или интервального вариационного ряда (если значения целесообразно разделить на интервалы одинаковой ширины d).

Дискретныйвариационный ряд:

Интервальныйвариационный ряд:

где x_i — варианты (те данные, которые были получены), x_m – наименьшее значение изучаемого признака;

m_i – частоты (показывают, сколько раз встретилась каждая варианта);

Для интервального вариационного ряда d подбирается самостоятельно таким образом, чтобы таблица содержала не более 7-8 столбцов. В нижней строке записывают сумму частот вариант, попавших в каждый интервал.

4. Помимо вариационного, составляют статистический ряд — таблицу, первая строка которой содержит в порядке возрастания элементы x_i, а вторая – их относительные частоты f_i .

Относительная частота f_i — отношение частоты к объему выборки, т.е. .

Дискретныйстатистический ряд:

Интервальныйстатистический ряд:

Относительная частота — аналог вероятности появления той или иной варианты. Очевидно, что

5. Геометрическая интерпретация статистических данных:

· для дискретного вариационного ряда — полигон частот (ломаная с вершинами в точках (x_i, m_i));

· для интервального вариационного ряда — гистограмма частот (ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, построенных на интервалах длиной d, высота которых равна отношению m_i/d (плотность частоты на данном интервале)).

6. Нахождение числовых характеристик выборки:

Для интервального вариационного ряда в качестве x_i выбирают середину соответствующего интервала.

7. Вывод по проведённой работе (достижение целей исследования).

8. Оформление результатов в виде презентации (см. рекомендации по созданию презентаций на стр. 9).

Пример 25.1. Данные о количестве баллов, полученных на вступительном экзамене по математике среди случайным образом выбранных десяти человек, были следующие:

4,5; 7,0; 9,0; 6,5; 9,0; 6,0; 7,0; 7,0; 8,0; 7,5.

Составьте дискретный и интервальный вариационные и статистические ряды оценок, найдите числовые характеристики выборки. Постройте полигон и гистограмму частот.

Решение. Выполним группировку статистических данных, т.е. расположим их в порядке возрастания: 4,5; 6,0; 6,5; 7,0; 7,0; 7,0; 7,5; 8,0; 9,0; 9,0.

Составим дискретный вариационный ряд:

Составим статистический ряд:

В нашем примере полигон частот выглядит следующим образом:

Составим интервальный вариационный ряд. Зададим ширину интервала d. Пусть она равна 2 баллам. Тогда в вариационном ряду вместо значений вариант будем писать диапазон значений вариант, начиная с наименьшего возможного количества баллов (4), заканчивая наибольшим (10): 4,0 – 6,0; 6,0 – 8,0; 8,0 – 10,0. Договоримся значение левой границы каждого интервала считать принадлежащим данному интервалу, а правой – нет (за исключением двух крайних значений 4,0 и 10,0– их всегда берем включительно). Для вариант, попавших в один интервал, соответствующие частоты складываются. Тогда интервальный вариационный ряд будет иметь вид:

Составим статистический ряд:

Построим гистограмму частот. Она будет состоять из трех прямоугольников, построенных на интервалах длиной d = 2 с высотами m_i/d:

Найдем числовые характеристики выборки:

Для дискретного вариационного ряда

Это означает, что средний балл у 10 наудачу выбранных абитуриентов равен 7,15.

Тогда 52,775 – (7,15)² = 1,6525.

балла.Для интервального вариационного ряда в качестве x_i берут середину интервалов.

= балла;

, 56,2 – (7,4)² = 1,44,

балла.Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. — М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 3, §3.1-3.3, с. 181-197.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. — М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. — Глава 7, §7.1-7.5, с. 212-224.

Раздел 7. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Тема 7.1. Основы математической статистики

Задание 26. Интервальное оценивание М(Х) и вероятности события – 2 ч.

Цель: формирование умения рассчитывать доверительные интервалы с заданной надежностью для математического ожидания и вероятности события.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&26.1.Вспомните, какая оценка называется интервальной. Изучите алгоритмы нахождения интервальной оценки М[Х] при известной D[Х] нормального распределения и интервальной оценки вероятности события.

?26.2. Исследовалось время безотказной работы 50 лазерных принтеров, выпускаемых фирмой. Из наблюдений известно, что среднее квадратичное отклонение времени безотказной работы s = 16 ч. По результатам исследований получено среднее время безотказной работы =1000 ч. Постройте доверительный интервал с надежностью 0,9 для среднего времени безотказной работы.

?26.3. Из 225 тестируемых в экстремальных условиях компьютеров 10 вышли из строя. Найдите интервальную оценку вероятности события А – при тестировании компьютер выйдет из стоя — с надежностью 0,99.

Методические указания по выполнению работы:

Интервальнойназывают такую оценку параметра, которая определяется двумя числами – концами интервала.

При нахождении интервальной оценки удобно использовать следующие алгоритмы:

Нахождение интервальной оценки математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии (известном среднеквадратическом отклонении)

Пусть – выборочное среднее, рассчитанное по данным, полученным в ходе эксперимента, тогда искомое значение математического ожидания а с доверительной вероятностью α будет принадлежать промежутку ( —δ; +δ):

—δ +δ х

δ – точность оценки, находится по формуле: , где

п – объем выборки,

σ – среднеквадратическое отклонение (задано в условии задачи),

t – аргумент функции Лапласа, при котором , находится по таблице (приложение 2).

Алгоритм поиска доверительного интервала при заданных значениях х^*, σ, надежности α можно представить в виде схемы:

^{Прилож.2} t ( )

Пример 26.1.При контрольном испытании 100 батареек был определен средний срок службы батареек при максимальной нагрузке = 20 часов. Считая, что срок службы батареек распределен нормально с σ = 5 часов, найдите доверительный интервал для оценки с надежностью 0,9 неизвестного математического ожидания а.

Решение. Требуется найти доверительный интервал .

Поскольку надежность α = 0,9, то =0,45.

Найдем t из соотношения Ф(t) = 0,45. По таблице приложения 2 находим t = 1,65.

По формуле , где t = 1,65, σ = 5 часов, п = 100 (число испытаний – испытывалось 100 батареек), найдем δ: (часов).

Получаем доверительный интервал ;

20 – 0,825 < a < 20 + 0,825;

19,175 < a < 20,825.

Ответ: с надежностью 0,9 неизвестное математическое ожидание а

принадлежит интервалу (19,175; 20,825).

Нахождение интервальной оценки вероятности события

Рассмотрим формулу для нахождения вероятности события Р(А), если число испытаний п гораздо больше 100. Пусть р = – частота события, рассчитанная по данным, полученным в ходе эксперимента, тогда искомое значение вероятности Р(А) с доверительной вероятностью α будет принадлежать промежутку (р—δ; р+δ), где

δ – точность оценки, находится по формуле: ,

п – объем выборки,

t – аргумент функции Лапласа, при котором , находится по таблице (приложение 2).

Алгоритм поиска интервальной оценки вероятности события с надежностью α можно представить в виде схемы:

Приложение2 t( )

Пример 26.2. Из 500 случайным образом отобранных деталей оказалось 25 нестандартных. Найдите интервальную оценку вероятности события А – выбрать нестандартную деталь — с надежностью 0,95.

Решение. По условию α = 0,95, п = 500, т = 25.

Тогда р = , р = 25/500 = 0,05.

По схеме нахождения интервальной оценки вероятности события

α/2 = 0,95/2 = 0,475. По таблице значений функции Лапласа находим t=1,96.

Вычислим δ по формуле: .

.Получаем доверительный интервал :

0,05 – 0,019 < Р(А)< 0,05 + 0,019

0,031 < Р(А)< 0,069.

Полученный результат означает, что с надежностью 0,95 неизвестная вероятность появления нестандартной детали принадлежит интервалу (0,031; 0,069).

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. — М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 3, §3.4-3.5, с. 197-212.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. — М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. — Глава 8, §8.1-8.4, с. 225-243.

ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ

Цель: обобщение и систематизация знаний, полученных при изучении дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», расширение кругозора студентов в области приложения знаний по дисциплине, развитие творческих способностей студентов.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

?П1.В газете «Окно» 8 страниц. Сколькими способами в ней можно разместить 4 фотографии, если на каждой страницы должно быть не более 1 фотографии?

?П2. Одна и та же контрольная работа была проведена в трех параллельных группах. В первой группе из 30 студентов на «отлично» выполнили работу 3 человека, во второй из 25 – 5 человек, в третьей из 24 – 3 человека. Какова вероятность того, что при повторной проверке из наугад выбранной стопки выберут тетрадь студента, получившего «отлично»?

?П3. Два друга договорились сыграть в настольный теннис 5 партий. Вероятность выигрыша первого оценивается как . Составьте закон распределения числа партий, выигранных первым игроком. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа выигранных первым игроком партий.

?П4. Жильцы проанализировали количество сжигаемых в месяц киловатт по показаниям счетчика за электроэнергию в течение трех лет. Получились следующие данные:

Найдите выборочную среднюю, постройте гистограмму частот.

&П5. Ответьте на следующие вопросы:

· Какими функциями можно задать непрерывную случайную величину? Какими свойствами они обладают?

· Какие законы распределения НСВ существуют? Какой вид имеет функция плотности вероятности для каждого закона?

· Как изменится вид кривой Гаусса для закона нормального распределения, если изменять поочередно параметры а и σ?

?П6.Составьте кроссворд по дисциплине, включив в него изученные понятия, факты из истории теории вероятностей и математической статистики.

?П7. Подберите литературу и оформите письменный доклад или создайте электронную презентацию по одой из тем:

• «Теория вероятностей и области ее применения»;
• «Теория вероятностей и моя будущая профессия»;
• «Теория вероятностей – это интересно!»;
• «Нормальное и показательное распределение вокруг нас».

Методические указания по выполнению работы:

Проанализируйте, к какому разделу теории вероятностей и математической статистики может быть отнесена каждая задача. Попробуйте самостоятельно найти алгоритм решения задач. Если это Вам не удается, воспользуйтесь следующими указаниями:

П1. Вспомните, какие основные понятия комбинаторики существуют (размещения, перестановки, сочетания). В чем их принципиальное отличие? Какое комбинаторное понятие применимо при решении данной задачи? При необходимости внимательно изучите методические указания к решению комбинаторных задач.

П2. Вспомните, какие основные приемы нахождения вероятности событий существуют (классическое определение вероятности, теоремы сложения, умножения вероятностей, метод графов, формулы полной вероятности и Байеса, формула Бернулли). Какую из них можно применить для решения данной задачи? Обратите внимание на наличие гипотез. При необходимости внимательно изучите методические указания к решению задач на формулу полной вероятности.

П3. Вспомните, как составлять закон распределения ДСВ (не забудьте выделить испытания и проанализировать, зависимые они или независимые). Идет ли в задаче речь о классических распределениях: биномиальном или аналогичном геометрическому? При необходимости внимательно изучите методические указания к решению задач на составление закона распределения ДСВ.

П4. Обратите внимание, дискретный или интервальный вариационный ряд представлен в условии задачи. Какова его геометрическая интерпретация и числовые характеристики. При необходимости внимательно изучите методические указания к решению задач по математической статистике.

П5. Внимательно изучите теоретический материал учебника или конспект лекций.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. — М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. — М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с.

КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

ВНЕАУДИТОРНОЙ РАБОТЫ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. — М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. — М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с.

Дополнительная литература:

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. — М.: Высш. шк., 2009. – 479 с.

4. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие. — 11-е изд., перераб. И доп. – М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2011. – 404 с..

5. Калинина В.Н. Математическая статистика: учебник для ССУЗов / В.Н. Калинина, В.Ф.Панкин — М: Высш.шк., 2002. – 336 с.

6. Спирина М.С. Дискретная математика: учебник для студ. СПО / М.С. Спирина , П.А. Спирин. — М.: Академия, 2012. – 368 с.

7. Кочетков Е.С. Теория вероятностей в задачах и упражнениях: учебное пособие / Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская. – М.: Форум: Инфра-М, 2005. – 480 с.

8. Афанасьев В.В. Теория вероятностей в примерах и задачах: учебное пособие / В.В.Афанасьев Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 1994. – 123 с.

9. Афанасьев В.В. Введение в теорию вероятностей с помощью графов / В.В.Афанасьев // Математика. – 1999. — №35. – С.8-12. – («Приложение к газете 1 сентября».)

10. Афанасьев В.В. Теория вероятностей: учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности «Математика» / В.В.Афанасьев. – М.: Изд-во «Владос», 2007 – 351 с.

11. Афанасьев В.В. Школьникам о статистике в играх: учебное пособие / В.В.Афанасьев, М.А.Суворова. — Ярославль, Изд-во ЯГПУ, 2012. – 153 с.

Приложение 1

Таблица значений функции , где , причём = .

Приложение 2

Таблица значений функции Лапласа Ф(х), где , причём Ф(х) = — Ф(х).