Содержание
СОДЕРЖАНИЕ
1. Теоремы Ролля и Лагранжа, их геометрический смысл
2. Первообразная, неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенных интегралов
Литература
Выдержка из текста работы
Знание производной некоторой функции позволяет судить о характерных особенностях в поведении этой функции. В основе всех таких исследований лежат некоторые простые теоремы, называемые теоремами о среднем в дифференциальном исчислении.
Начнем рассмотрение таких теорем с теоремы, связываемой с именем французского математика Ролля (1652-1719).
Теорема 1.1. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах отрезка , обращается в ноль, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .
Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке , то, согласно свойству 11.1.1, она должна достигать хотя бы один раз на этом отрезке своего минимума и максимума (рис. 1.1).
Если , функция постоянна, то есть . Но в этом случае для любого .
В общем случае , и хотя бы одно из этих чисел не равно нулю. Предположим для определенности, что . Тогда существует точка , в которой .
Рис. 1.1
Так как рассматриваемое значение является максимальным, то для него справедливо, что для и .
Рассмотрим пределы
для .
Так как оба предела равны производной функции в одной и той же точке , то они равны между собой. Значит, из одновременности и следует, что , что и требовалось доказать.
Следует отметить, что данная теорема справедлива и в том случае, когда на концах отрезка функция не обращается в ноль, но принимает равные значения . Доказательство проводится аналогично.
Геометрический смысл данной теоремы следующий: если непрерывная кривая пересекает ось в двух точках , или принимает в них равные значения, то, по крайней мере, в одной точке между и касательная к кривой параллельна оси .
Необходимо отметить, что если не во всех точках у рассматриваемой функции существует производная, то теорема может не выполняться. Это касается, например, функции (рис. 1.2):
Рис. 1.2
Данная функция непрерывна на отрезке и обращается в ноль на его концах, но ни в одной точке внутри отрезка производная не равна нулю.
2. Теорема Лагранжа
Результаты теоремы Ролля используются при рассмотрении следующей теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу (1736-1813).
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .
Доказательство. Рассмотрим график функции (рис. 2.1).
Проведем хорду, соединяющую точки и , и запишем ее уравнение. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки на плоскости, получим:
откуда:
Рис. 2.1
Составим теперь вспомогательную функцию, вычтя из уравнения кривой уравнение хорды:
Полученная функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление в точках и показывает, что . Значит, функция на отрезке удовлетворяет требованиям теоремы Ролля. Но в этом случае существует такая точка , в которой .
Вычислим производную функции :
Согласно теореме Ролля в точке производная , то есть и
что и требовалось доказать.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, при теорема переходит в теорему Ролля.
Теорему Лагранжа часто записывают в следующем виде:
то есть приращение функции равно приращению аргумента, умноженному на производную функции в некоторой внутренней точке. В связи с этим теорему Лагранжа называют также теоремой о конечных приращениях.
3. Теорема Коши
Рассмотрим, наконец, третью теорему о среднем, принадлежащей Коши (1789-1859), которая является обобщением теоремы Лагранжа.
Теорема. Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем не обращается в ноль ни в одной из указанных точек, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .
Доказательство. Так как во всех точках , то отсюда следует, что . В противном случае, как следует из теоремы Ролля, существовала хотя бы одна точка , в которой .
Составим вспомогательную функцию
Данная функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление ее в точках и дает: . Значит, функция удовлетворяет требованиям теоремы Ролля, то есть существует хотя бы одна точка , в которой .
Вычислим производную :
Из условия следует, что
что и требовалось доказать.
В случае, когда , теорема Коши переходит в формулировку теоремы Лагранжа.
4. Правило Лопиталя
На основании теоремы Коши о среднем можно получить удобный метод вычисления некоторых пределов, называемый правилом Лопиталя (1661-1704).
Теорема. Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы во всех точках полуинтервала и при совместно стремятся к нулю или бесконечности. Тогда, если отношение их производных имеет предел при , то этот же предел имеет отношение и самих функций, то есть .
Проведем доказательство данной теоремы только для случая, когда . Так как пределы у обеих функций одинаковы, то доопределим их на отрезке , положив, что при выполняется равенство .
Возьмем точку . Так как функции и удовлетворяют теореме Коши (п. 2.14), применим ее на отрезке :
, где .
Так как , то
Перейдем в данном равенстве к пределу:
Но если , то и , находящееся между точками и , будет стремится к , значит
Отсюда, если , то и , то есть
что и требовалось доказать.
Если при , то снова получается неопределенность вида и правило Лопиталя можно применять снова, то есть
Доказательство правила Лопиталя для случая проводится сложнее, и мы его рассматривать не будем.
При раскрытии неопределенностей типа , , , , правило Лопиталя применять непосредственно нельзя. Вначале все эти неопределенности необходимо преобразовать к виду или .
Правило Лопиталя может быть использовано при сравнении роста функций, в случае когда . Наибольший практический интерес здесь представляют функции , , . Для этого найдем пределы их отношений:
1) , значит, растет быстрее, чем ;
2) , значит, растет быстрее, чем ;
3) , значит, растет быстрее, чем .
Отсюда следует, что быстрее всего растет , затем и, наконец, .
Литература
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., «Высшая школа» изд. 5, 1977.
2. Зайцев И.А. Высшая математика. ДРОФА, 2005. — 400 с.
3. Краснов М. Вся высшая математика т. 1 изд. 2. Едиториал УРСС, 2003. — 328 с.
4. Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И., Шикин Е.В. Вся высшая математика Интегральное исчисление. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия Том 2.: Учебник — 3-е изд. ЛКИ, 2007.
5. Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. — 109 с.
