Выдержка из текста работы
В логике, как и во всякой науке,главное — законы. Логических законов бесконечно много, и в этом ее отличие отбольшинства других наук. Однородные законы объединяются в логические системы,которые тоже обычно именуются логиками.
Без логического закона нельзяпонять, что такое логическое следование и что такое доказательство. Правильное,или, как обычно говорят, логичное, мышление — это мышление по законам логики,по тем абстрактным схемам, которые фиксируются ими. Законы логики составляюттот невидимый каркас, на котором держится последовательное рассуждение и безкоторого оно превращается в хаотическую, бессвязную речь.
Формулировказакона противоречия
Из бесконечного множествалогических законов самым популярным является закон противоречия. Он был открытодним из первых и сразу же объявлен наиболее важным принципом не толькочеловеческого мышления, но и самого бытия.
И вместе с тем в истории логикине было периода, когда этот закон не оспаривался бы и когда дискуссии вокругнего совершенно затихали бы.
Закон противоречия говорит опротиворечащих друг другу высказываниях, т. е. о таких высказываниях, одно изкоторых является отрицанием другого. К ним относятся, например, высказывания«Луна — спутник Земли» и «Луна не является спутником Земли», «Трава — зеленая»и «Неверно, что трава зеленая» и т.п. В одном из противоречащих высказыванийчто-то утверждается, в другом — это же самое отрицается.
Если обозначить буквой Апроизвольное высказывание, то выражение не-А, будет отрицанием этоговысказывания.
Идея, выражаемая закономпротиворечия, кажется простой и даже банальной: высказывание и его отрицаниене могут быть вместе истинными.
Используя вместо высказыванийбуквы, эту идею можно передать так: неверно, что А и не-А. Неверно, например,что трава зеленая и не зеленая, что Луна спутник Земли и не спутник Земли ит.д.
Закон противоречия говорит опротиворечащих высказываниях — отсюда его название. Но он отрицаетпротиворечие, объявляет его ошибкой и тем самым требует непротиворечивости —отсюда другое распространенное имя — закон непротиворечия.
Мнимыепротиворечия
Большинство неверных толкованийэтого закона и большая часть попыток оспорить его приложимость, если не вовсех, то хотя бы в отдельных областях, связаны с неправильным пониманиемлогического отрицания, а значит, и противоречия.
Высказывание и его отрицаниедолжны говорить об одном и том же предмете, рассматриваемом в одном и том жеотношении. Эти два высказывания должны совпадать во всем, кроме однойединственной вещи: то, что утверждается в одном, отрицается в другом. Если
эта простая вещь забывается,противоречия нет, поскольку нет отрицания.
В романе Ф. Рабле «Гаргантюа иПантагрюэль» Панург спрашивает Труйогана, стоит жениться или нет. Труйоган какистинный философ отвечает довольно загадочно: и стоит, и не стоит. Казалось бы,явно противоречивый, а потому невыполнимый и бесполезный совет. Но постепенновыясняется, что никакого противоречия здесь нет. Сама по себе женитьба — делонеплохое. Но плохо, когда, женившись, человек теряет интерес ко всемуостальному.
Видимость противоречия связаназдесь с лаконичностью ответа Труйогана. Если же пренебречь соображениямириторики и, лишив ответ загадочности, сформулировать его полностью, станетясно, что он непротиворечив и может быть даже небесполезен. Стоит жениться,если будет выполнено определенное условие, и не стоит жениться в противномслучае. Вторая часть этого утверждения не является, конечно, отрицанием первойего части.
Можно ли описать движение безпротиворечия? Иногда отвечают, что такое описание не схватило бы самой сутидвижения — последовательной смены положения тела в пространстве и во времени.Движение внутренне противоречиво и требует для своего описания оборотов типа:«Движущееся тело находится в данном месте, и движущееся тело не находится вданном месте». Поскольку противоречиво не только механическое движение, но ивсякое изменение вообще, любое описание явлений в динамике должно быть — притаком подходе — внутренне противоречивым.
Разумеется, этот подходпредставляет собой недоразумение.
Можно просто сказать: «Дверьполуоткрыта». Но можно заявить: «Дверь открыта и не открыта», имея при этом ввиду, что она открыта, поскольку не является плотно притворенной, и вместе стем не открыта, потому что не распахнута настежь.
Подобный способ выраженияпредставляет собой, однако, не более чем игру в риторику и афористичность.Никакого действительного противоречия здесь нет, так как нет утверждения иотрицания одного и того же, взятого в одном и том же отношении.
«Березы опали и не опали», —говорят одни, подразумевая, что некоторые березы уже сбросили листву, а другиенет. «Человек и ребенок, и старик», — говорят другие, имея в виду, что один итот же человек в начале своей жизни — ребенок, а в конце ее — старик.Действительного противоречия в подобных утверждениях, конечно же, нет. Точнотак же, как его нет в словах песни: «Речка движется и не движется… Песняслышится и не слышится…»
Те примеры, которые обычнопротивопоставляют закону непротиворечия, не являются подлинными противоречиямии не имеют к нему никакого отношения.
В «Исторических материалах»Козьмы Пруткова нашел отражение такой эпизод: «Некий, весьма умный, XIX векаученый справедливо тогдашнему германскому императору заметил: «Отыскиваяпротиворечия, нередко на мнимые наткнуться можно и в превеликие от того и смехудостойные ошибки войти: не явное ли в том, ваше величество, покажетсямалоумному противоречие, что люди в теплую погоду обычно в холодное платьеоблачаются, а в холодную, насупротив того, завсегда теплое надевают?»… Сии, с достоинством произнесенные, ученого слова произвели на присутствующихдолжное действие, и ученому тому, до самой смерти его, всегда особливоевнимание оказывалось».
Этот поучительный случайописывается под заголовком: «Наклонность противоречия нередко в ошибки ввестиможет». Применительно к нашей теме можно сделать такой вывод: наклонностьвидеть логические, противоречия там, где их нет, обязательно ведет к неверномуистолкованию закона непротиворечия и попыткам ограничить его действие.
В оде «Бог» — вдохновенном гимнечеловеческому разуму — Г.Р.Державин соединяет вместе явно несоединимое:
… Я телом в прахе истлеваю,
Умом громам повелеваю,
Я царь — я раб, я червь — я бог!
Но здесь нет противоречия.
Противоречие«смерти подобно…»
Если ввести понятия истины и лжи,закон противоречия можно сформулировать так: никакое высказывание неявляется вместе истинным и ложным.
В этой версии закон звучитособенно убедительно. Истина и ложь — это две несовместимые характеристикивысказывания. Истинное высказывание соответствует действительности, ложное несоответствует ей. Тот, кто отрицает закон противоречия, должен признать, чтоодно и то же высказывание может соответствовать реальному положению вещей иодновременно не соответствовать ему. Трудно понять, что означают в таком случаесами понятия истины и лжи.
Иногда закон противоречия формулируютследующим образом: из двух противоречащих друг другу высказываний одноявляется ложным.
Эта версия подчеркиваетопасность, связанную с противоречием. Тот, кто допускает противоречие, вводит всвои рассуждения или в свою теорию ложное высказывание. Тем самым он стираетграницу между истиной и ложью, что, конечно же, недопустимо.
Римский философ-стоик Эпиктет,вначале раб одного из телохранителей императора Нерона, а затем секретарьимператора, так обосновывал необходимость закона противоречия: «Я хотел бы бытьрабом человека, не признающего закона противоречия. Он велел бы мне подать себевина, я дал бы ему уксуса или еще чего похуже. Он возмутился бы, стал быкричать, что я даю ему не то, что он просил. А я сказал бы ему: ты не признаешьведь закона противоречия, стало быть, что вино, что уксус, что какая угодногадость: все одно и то же. И необходимости ты не признаешь, стало быть, никтоне силах принудить тебя воспринимать уксус как что-то плохое, а вино какхорошее. Пей уксус как вино и будь доволен. Или так: хозяин велел побрить себя.Я отхватываю ему бритвою ухо или нос. Опять начинаются крики, но я повторил быему свои рассуждения. И все делал бы в таком роде, пока не принудил бы хозяинапризнать истину, что необходимость непреодолима и закон противоречиявсевластен».
Так комментировал Эпиктет словаАристотеля о принудительной силе необходимости, и в частности законапротиворечия.
Смысл этого эмоциональногокомментария сводится, судя по всему, к идее, известной еще Аристотелю: изпротиворечия можно вывести все, что угодно. Тот, кто допускает противоречие всвоих рассуждениях, должен быть готов к тому, что из распоряжения принести емувина будет выведено требование подать уксуса, из команды побрить — командаотрезать нос и т.д.
Один из законов логики говорит:из противоречивого высказывания логически следует любое высказывание. Появлениев какой-то теории противоречия ведет в силу этого закона к ее разрушению. В нейстановится доказуемым все, что угодно, были смешиваются с небылицами. Ценностьтакой теории равна нулю.
Конечно, в реальной жизни всеобстоит не так страшно, как это рисует данный закон. Ученый, обнаруживший вкакой-то научной теории противоречие, не спешит обычно воспользоваться услугамизакона, чтобы дискредитировать ее. Чаще всего противоречие отграничивается отдругих положений теории, входящие в него утверждения проверяются иперепроверяются до тех пор, пока не будет выяснено, какое из них являетсяложным. В конце концов ложное утверждение отбрасывается, и теория становитсянепротиворечивой. Только после этого она обретает уверенность в своем будущем.
Противоречие — это еще не смертьнаучной теории. Но оно подобно смерти.
2. Закон исключенного третьего
Закон исключительного третьего,как и закон противоречия, устанавливает связь между противоречащими друг другувысказываниями. И опять-таки идея, выражаемая им, представляется поначалупростой и очевидной: из двух противоречащих высказываний одно являетсяистинным.
В использовавшейся уже полусимволической форме: А или не- А, т.е. истинно высказывание А или истинно егоотрицание, высказывание не- А.
Конкретными приложениями этогозакона являются, к примеру, высказывания: «Аристотель умер в 322 г. до н э. илион не умер в этом году», «Личинки мух имеют голову или не имеют ее».
Истинность отрицания равнозначналожности утверждения. В силу этого закон исключенного третьего можно передать итак: каждое высказывание является истинным или ложным.
Само название закона выражает егосмысл: дело обстоит так, как описывается в рассматриваемом высказывании, идитак, как говорит его отрицание, и никакой третьей возможности нет.
Сомненияв универсальности закона
Оба закона — и закон противоречияи закон исключенного третьего — были известны еще до Аристотеля. Он первым дал,однако, их ясные формулировки, подчеркнул важность этих законов для пониманиямышления и бытия и вместе с тем выразил определенные сомнения в универсальнойприложимости второго из них.
«… Невозможно, — писалАристотель, — чтобы одно и то же в одно и то же время было и не было присущеодному и тому же в одном и том же отношении (и все другое, что мы могли бы ещеуточнить, пусть будет уточнено во избежание словесных затруднений) — это,конечно, самое достоверное из всех начал». Такова формулировка законапротиворечия и одновременно предупреждение о необходимости сохранять одну и туже точку зрения в высказывании и его отрицании «во избежание словесныхзатруднений». Здесь же Аристотель полемизирует с теми, кто сомневается всправедливости данного закона: «… не может кто бы то ни было считать одно и тоже существующим и несуществующим, как это, по мнению некоторых, утверждаетГераклит».
О законе исключенного третьего:«… не может быть ничего промежуточного между двумя членами противоречия, аотносительно чего-то одного необходимо что бы то ни было одно либо утверждать,либо отрицать».
От Аристотеля идет также живущаяи в наши дни традиция давать закону противоречия, закону исключенного третьего,да и другим логическим законам, три разные интерпретации.
В одном случае закон противоречияистолковывается как принцип логики, говорящей о высказываниях и их истинности:из двух противоречащих друг другу высказываний только одно может быть истинным.
В другом случае этот же законпонимается как утверждение об устройстве самого мира: не может быть так, чтобычто-то одновременно существовало и не существовало.
В третьем случае этот законзвучит уже как истина психологии, касающаяся своеобразия нашего мышления: неудается так размышлять о какой-то вещи, чтобы она оказывалась такой и вместе стем не такой.
Нередко полагают, что эти триварианта различаются между собой только формулировками. На самом деле этосовершенно не так. Устройство мира и своеобразие человеческого мышления — темыэмпирического, опытного исследования. Получаемые с его помощью, положенияявляются эмпирическими истинами. Принципы же логики совершенно иначе связаны сопытом и представляют собой не эмпирические, а логически необходимые истины. Вдальнейшем, когда речь пойдет об общей природе логических законов и логическойнеобходимости, недопустимость подобного смешения логики, психологии и теориибытия станет яснее.
Аристотель сомневался вприложимости закона исключенного третьего к высказываниям о будущих событиях. Внастоящий момент наступление некоторых из них еще не предопределено. Нетпричины ни для того, чтобы они произошли, ни для того, чтобы они не случились.«Через сто лет в этот же день будет идти дождь», — это высказывание сейчасскорее всего ни истинно, ни ложно. Таким же является его отрицание. Ведь сейчаснет причины ни для того, чтобы через сто лет пошел дождь, ни для того, чтобыего через сто лет не было. Но закон исключенного третьего утверждает, что илисамо высказывание, или его отрицание истинно. Значит, заключает Аристотель,хотя и без особой уверенности, данный закон следует ограничить однимивысказываниями о прошлом и настоящем и не прилагать его к высказываниям обудущем.
Гораздо позднее, уже в нашемвеке, рассуждения Аристотеля о законе исключенного третьего натолкнули на мысльо возможности принципиально нового направления в логике. Но об этом поговоримпозже.
В XIX в. Гегель весьма ироничноотзывался о законе противоречия и законе исключенного третьего.
Последний он представлял, вчастности, в такой форме: «Дух является зеленым или не является зеленым», изадавал «каверзный» вопрос: какое из этих двух утверждений истинно?
Ответ на этот вопрос непредставляет, однако, труда. Ни одно из двух утверждений: «Дух зеленый» и «Духне зеленый» не является истинным, поскольку оба они бессмысленные. Законисключенного третьего приложим только к осмысленным высказываниям. Только онимогут быть истинными или ложными. Бессмысленное же не истинно и не ложно.
Гегелевская критика логическихзаконов опиралась, как это нередко бывает, на придание им того смысла, которогоу них нет, и приписывание им тех функций, к которым они не имеют отношения.Случай с критикой закона исключенного третьего — один из примеров такогоподхода.
Сделанные вскользь, разрозненныеи недостаточно компетентные критические замечания Гегеля в адрес формальной логикиполучили, к сожалению, широкое хождение. В логике в конце XIX — начале XX вв.произошла научная революция, в корне изменившая лицо этой науки. Но дажеогромные успехи, достигнутые логикой, не смогли окончательно искоренить техошибочных представлений о ней, у истоков которых стоял Гегель. Не случайнонемецкий историк логики X. Шольц писал, что гегелевская критика формальнойлогики была злом настолько большим, что его и сейчас трудно переоценить.
Критиказакона Брауэром
Резкой, но хорошо обоснованнойкритике подверг закон исключенного третьего голландский математик Л. Брауэр. Вначале этого века он опубликовал три статьи, в которых выразил сомнение внеограниченной приложимости законов логики и прежде всего закона исключенноготретьего. Первая из этих статей не превышала трех страниц, вторая — четырех, авместе они не занимали и семнадцати страниц. Но впечатление, произведенное ими,было чрезвычайно сильным. Брауэр был убежден, что логические законы не являютсяабсолютными истинами, не зависящими от того, к чему они прилагаются. Возражаяпротив закона исключенного третьего, он настаивал на том, что междуутверждением и его отрицанием имеется еще третья возможность, которую нельзяисключить. Она обнаруживает себя при рассуждениях о бесконечных множествах объектов.
Допустим, что утверждаетсясуществование объекта с определенным свойством. Если множество, в котороевходит этот объект, конечно, то можно перебрать все объекты. Это позволитвыяснить, какое из следующих двух утверждений истинно: «В данном множестве естьобъект с указанным свойством» или же: «В этом множестве нет такого объекта».Закон исключенного третьего здесь справедлив.
Но когда множество бесконечно, тообъекты его невозможно перебрать. Если в процессе перебора будет найден объектс требуемым свойством, первое из указанных утверждений подтвердится. Но еслинайти этот объект не удастся, ни о первом, ни о втором из утверждений нельзяничего сказать, поскольку перебор не проведен до конца. Закон исключенноготретьего здесь не действует: ни утверждение о существовании объекта с заданнымсвойством, ни отрицание этого утверждения не являются истинными.
Ограничение Брауэром сферыдействия этого закона существенно сужало круг тех способов рассуждения, которыеприменимы в математике. Это сразу же вызвало резкую оппозицию многихматематиков, особенно старшего поколения. «Изъять из математики принцип исключенноготретьего, — писал немецкий математик Д. Гильберт, — все равно что… запретитьбоксеру пользоваться кулаками».
Критика Брауэром законаисключенного третьего привела к созданию нового направления в логике —интуиционистской логики. В последней не принимается этот закон и отбрасываютсявсе те способы рассуждения, которые с ним связаны. Среди них — доказательствапутем приведения к противоречию, или абсурду.
Интересно отметить, что еще доБрауэра сомнения в универсальной приложимости закона исключенного третьеговысказывал русский философ и логик Н.А. Васильев. Он ставил своей задачейпостроение такой системы логики, в которой была бы ограничена не только сферадействия этого закона, но и закона противоречия. По мысли Васильева, логика,ограниченная подобным образом, не способна действовать в мире обычных вещей, ноона необходима для более глубокого дони-мания логического учения Аристотеля.
Современники не смогли в должноймере оценить казавшиеся им парадоксальными идеи Васильева. К тому же сам онсклонен был обосновывать свои взгляды с помощью аргументов, не имеющих прямогоотношения к логике и.правилам логической техники, а иногда и просто путано. Темне менее, оглядываясь назад, можно сказать, что он оказался одним изпредшественников интуиционистской логики.
3. Прочие законы
Законы двойного отрицанияпозволяют снимать и вводить такое отрицание. Их можно выразить так:
если неверно, что не- А, то А; если А, то неверно, что не- А.
Например: «Если неверно, чтоАристотель не знал закона двойного отрицания, то Аристотель знал этот закон», инаоборот.
Законтождества
Самый простой из всех логическихзаконов — это, пожалуй, закон тождества. Он говорит:
если утверждение истинно, то оно истинно, «если А, то А».
Например, если Земля вращается,то она вращается и т.п. Чистое утверждение тождества кажется настолькобессодержательным, что редко кем употребляется.
Древнекитайский философ Конфуцийпоучал своего ученика: «То, что знаешь, считай, что знаешь, то, что не знаешь,считай, что не знаешь». Здесь не просто повторение одного и того же: знатьчто-либо и знать, что это знаешь, не одно и то же.
Закон тождества кажется в высшейстепени простым и очевидным. Однако и его ухитрялись истолковывать неправильно.Заявлялось, например, будто этот закон утверждает, что вещи всегда остаютсянеизменными, тождественными самим себе. Это, конечно, недоразумение. Законничего не говорит об изменчивости или неизменности. Он утверждает только, чтоесли вещь меняется, то она меняется, а если она остается одной и той же, то онаостается той же.
Законконтрапозиции
«Закон контрапозиции» — это общееназвание для ряда логических законов,
позволяющих с помощью отрицания менять местами основание и следствие условного высказывания.
Один из этих законов, называемыйиногда законом простой контрапозиции, звучит так:
если первое влечет второе, то отрицание второго влечет отрицание первого.
Например: «Если верно, что число,делящееся на шесть, делится на три, то верно, что число, не делящееся на три,не делится на шесть».
Другой закон контрапозицииговорит:
если верно, что если не- первое, то не- второе, то верно, что если второе, то первое.
Например: «Если верно, чторукопись, не получившая положительного отзыва, не публикуется, то верно, чтопубликуемая рукопись имеет положительный отзыв». Или другой пример: «Если нетдыма, когда нет огня, то если есть огонь, есть и дым».
Еще два закона контрапозиции:
если дело обстоит так, что если А, то не- В, то если В, то не- А;
например: «Если квадрат неявляется треугольником, то треугольник не квадрат»;
если верно, что если не- А, то В, то если не- В, то А;
например: «Если не являющеесяочевидным сомнительно, то не являющееся сомнительным очевидно».
Законыде Моргана
Именем английского логика XIX в.А. Де Моргана называются логические законы,
связывающие с помощью отрицания высказывания, образованные с помощью союзов «и» и «или».
Один из этих законов можновыразить так:
отрицание высказывания «А и В» эквивалентно высказыванию «не- А или не- В».
Например: «Неверно, что завтрабудет холодно и завтра будет дождливо, если и только если завтра не будетхолодно или завтра не будет дождливо».
Другой закон:
неверно, что А и В, если и только если неверно А и неверно В.
Например: «Неверно, что ученикзнает арифметику или знает геометрию, если и только если он не знает ниарифметики, ни геометрии.
На основе этих законов, используяотрицание, связку «и» можно определить через «или», и наоборот:
«А и В» означает «неверно, чтоне-А или не-В»,
«А или В» означает «неверно, чтоне-А и не-В».
Например: «Идет дождь и идетснег» означает «Неверно, что нет дождя или нет снега»; «Сегодня холодно илисыро» означает «Неверно, что сегодня не холодно и не сыро».
Модуспоненс и модус толленс
«Модусом» в логике называетсяразновидность некоторой общей формы рассуждения. Далее будут перечислены четыреблизких друг другу модуса, известных еще средневековым логикам.
Модус поненс, называемый иногда гипотетическим силлогизмом, позволяет от утверждения условного высказывания и утверждения его основания перейти к утверждению следствия этого высказывания:
Если А, то В; А – В
Здесь высказывания «если А, то В»и «А» — посылки, высказывание «В» — заключение. Горизонтальная черта стоитвместо слова «следовательно». Другая запись:
Если А, то В. А. Следовательно,В.
Благодаря этому модусу от посылки«если А, то В», используя посылку «А», мы как бы отделяем заключение «В». Наэтом основании данный модус иногда называется «правилом отделения». Например:
Если у человека диабет, он болен.
У человекадиабет.
Человек болен.
Рассуждение по правилу отделенияидет от утверждения основания истинного условного высказывания к утверждениюего следствия. Это логически корректное движение мысли иногда путается сосходным, но логически неправильным ее движением от утверждения следствияистинного условного высказывания к утверждению его основания. Например,правильным является умозаключение:
Если таллий — металл, он проводит электрический ток.
Таллий — металл.
Таллий проводит электрический ток.
Но внешне сходное с нимумозаключение:
Если бы электролит был металлом, он проводил быэлектрический ток.
Электролит проводит электрический ток.
Электролит — металл.
логически некорректно. Рассуждаяпо последней схеме, можно прийти от истинных посылок к ложному заключению.Против смешения правила отделения с этой неправильной схемой рассужденияпредостерегает совет: от подтверждения основания к подтверждению следствиярассуждать допустимо, от подтверждения следствия к подтверждению основания —нет.
Модусом толленсом называется следующая схема рассуждения:
Если А. то В; неверно В — Неверно А
Здесь высказывания «если А, то В»и «неверно В» являются посылками, а высказывание «неверно А» — заключением.Другая запись:
Если А, то В. Не-В.Следовательно, не-А.
Посредством этой схемы отутверждения условного высказывания и отрицания его следствия осуществляетсяпереход к отрицанию основания. Например: «Если гелий — металл, онэлектропроводен. Гелий неэлектропроводен. Следовательно, гелий — не металл».
По схеме модус толленс идетпроцесс фальсификации, установления ложности теории или гипотезы врезультате ее эмпирической проверки. Из проверяемой теории Т выводитсянекоторое эмпирическое утверждение А, то есть устанавливается условноевысказывание «если Т, то А». Посредством эмпирических методов познания(наблюдения, измерения или эксперимента) предложение А сопоставляется среальным положением дел. Выясняется, что А ложно и истинно предложение не-А. Изпосылок «если Т, то А» и «не-А» следует «не-Т», то есть ложность теории Т.
С модусом толленсом нередкосмешивается внешне сходное с ним умозаключение:
Если А, то В; неверно А — Неверно В
В последнем умозаключении отутверждения условного высказывания и отрицания его основания осуществляетсяпереход к отрицанию его следствия, что является логически некорректным шагом.Рассуждение по такой схеме может привести от истинных посылок к ложномузаключению. Например:
Если бы глина была металлом, онабыла бы пластична. Но глина — не металл.
Неверно, что глина пластична.
Все металлы пластичны, и если быглина была металлом, она также являлась бы пластичной. Однако глина не являетсяметаллом. Но из этого очевидным образом не вытекает, что глина не пластична.Кроме металлов, есть и другие пластичные вещества, и глина в их числе.
Против смешения модуса толленса сданной некорректной схемой рассуждения предостерегает совет: от отрицанияследствия условного высказывания заключать к отрицанию основания этоговысказывания можно, а от отрицания основания к отрицанию следствия — нет.
Утверждающе-отрицающийи отрицающе-утверждающий модусы
Утверждающе-отрицающим модусомименуются следующие схемы рассуждения:
Либо А, либо В; А Неверно В и
Либо А, либо В; В
Неверно А
Другая запись:
Либо А, либо В. А. Следовательно, не-В.
Либо А, либо В. В. Следовательно, не-А.
Посредством этих схем отутверждения двух взаимоисключающих альтернатив и установления того, какая изних имеет место, осуществляется переход к отрицанию второй альтернативы: либопервое, либо второе, но не оба вместе; есть первое; значит, нет второго.Например:
Лермонтов родился в Москве либо в Петербурге.
Он родился в Москве.
Неверно, что Лермонтов родился в Петербурге.
Связка «либо, либо», входящая вугверждающе-отрицающий модус, является исключающей, она означает: истиннопервое или истинно второе, но не оба вместе. Такое же рассуждение, но с неисключающим «или» (имеет место первое или второе, но возможно, что и первое ивторое), логически неправильно. От истинных посылок оно может вести к ложномузаключению. Например:
На Южном полюсе был Амундсен или был Скотт.
На Южном полюсе был Амундсен.
Неверно, что там был Скотт.
Обе посылки истинны: и Амундсен,и Скотт достигли Южного полюса, заключение же ложно. Правильным являетсяумозаключение:
На Южном полюсе первым был Амундсен или Скотт.
На этом полюсе первым был Амундсен.
Неверно, что там первым был Скотт.
Отрицающе-утверждающим модусом называется разделительно-категорическое умозаключение: первое или второе; не-первое; значит, второе. Первая посылка — высказывание с «или»; вторая — категорическое высказывание, отрицающее один из членов первого сложного высказывания; заключением является второй член этого высказывания:
А или В; неверно А — В
А или В; неверно В — А
Другая форма записи:
А или В. Не-А. Следовательно, В.
А или В. Не-В. Следовательно, А.
Например:
Множество является конечным или оно бесконечною.
Множество не является конечным.
Множество бесконечно.
Средневековые логики называли утверждающе-отрицающий модус модусом понендо толленс,
а отрицающе-утверждающий модус модусом толлендо поненс.
Конструктивнаяи деструктивная дилеммы
Дилеммами называются рассуждения, посылками которых являются по меньшей мере два условных высказывания (высказывания с «если, то») и одно разделительное высказывание (высказывание с «или»).
Выделяются следующиеразновидности дилеммы.
Простая конструктивная (утверждающая)дилемма:
Если А, то С.
Если В, то С.
А или В. — С
Например: «Если прочту детективАгаты Кристи, то хорошо проведу вечер; если прочту детектив Жоржа Сименона,тоже хорошо проведу вечер; прочту детектив Кристи или прочту детектив Сименона;значит, хорошо проведу вечер».
Рассуждение этого типа вматематике принято называть доказательством по случаям. Однако числослучаев, перебираемых последовательно в математическом доказательстве, обычнопревышает два, так что дилемма приобретает вид:
Если бы было справедливо первое допущение, теоремабыла бы верна;
при справедливости второго допущения теорема такжебыла бы верна;
при верном третьем допущении теорема верна;
если верно четвертое допущение, теорема верна;
справедливо или первое, или второе, или третье, или четвертоедопущение.
Значит,-теорема верна.
Сложная конструктивная дилемма:
Если А, то В.
Если С, то Д.
А или С.
В или Д.
Например: «Если будет дождь, мыпойдем в кино; если будет холодно, пойдем в театр; будет дождь или будетхолодно; следовательно, мы пойдем в кино или пойдем в театр».
Простая деструктивная (отрицающая)дилемма:
Если А, то В.
Если А, то С.
Неверно В или неверно С.
Неверно А.
Например: «Если число делится на6, то оно делится на 3; если число делится на 6, то оно делится на 2;
рассматриваемое число не делитсяна 2 или не делится на 3; следовательно, число не делится на 6».
Сложная деструктивная дилемма:
Если А, то В.
Если С, то Д.
Не-В или не-Д.
Не-А или не-С.
Например: «Если поеду на север,то попаду в Тверь; если поеду на юг, то попаду в Тулу; но не буду в Твери илине буду в Туле; следовательно, не поеду на север или не поеду на юг».
ЗаконКлавия
Этот закон можно передать так: еслииз отрицания некоторого высказывания вытекает само это высказывание, то оноявляется истинным. Или, короче: высказывание, вытекающее из своегособственного отрицания, истинно.
Если неверно, что А. то А. — А
Например: если условием того,чтобы машина не работала, является ее работа, то машина работает.
Закон назван именем Клавия —ученого-иезуита, жившего в XVI в., одного из создателей григорианскогокалендаря. Клавий обратил внимание на этот закон в своем комментарии к«Началам» Евклида. Одну из своих теорем Евклид доказал из допущения, что онаявляется ложной.
Закон Клавия лежит в основерекомендации, касающейся доказательства: если хочешь доказать А, выводи А издопущения, что верным является не-А. Например, нужно доказать утверждение«Трапеция имеет четыре стороны». Отрицание этого утверждения: «Неверно, чтотрапеция имеет четыре стороны». Если из этого отрицания удается вывестиутверждение, то последнее будет истинно.
В романе И.С.Тургенева «Рудин»есть такой диалог:
— Стало быть, по-вашему,убеждений нет?
— Нет — и не существует.
— Это ваше убеждение?
— Да.
— Как же вы говорите, что их нет?Вот вам уже одно на первый случай.
Ошибочному мнению, что никакихубеждений нет, противопоставляется его отрицание: есть по меньшей мере одноубеждение, а именно убеждение, что убеждений нет. Отсюда следует, что убеждениясуществуют.
К закону Клавия близок по своейлогической структуре другой закон, отвечающий этой же общей схеме: если изутверждения вытекает его отрицание, то последнее истинно. Например, еслиусловием того, что поезд прибудет вовремя, будет его опоздание, то поездопоздает. Схема этого рассуждения такова:
Если А, то не-А.
Не-А.
Эту схему однажды использовалдревнегреческий философ Демокрит в споре с софистом Протагором. Последнийутверждал: «Истинно все то, что кому-либо приходит в голову». На это Демокритответил, что из положения «Каждое высказывание истинно» вытекает истинность иего отрицания: «Не все высказывания истинны». И, значит, это отрицание, а неположение Протагора на самом деле истинно.
Практическое задание
Датьлогическую характеристику понятиям:
· Государство – простое, положительное, конкретное,общее, безотносительное.
· Западные границы государства – простое,положительное, абстрактное,общее, соотносительное.
· Невиновность – простое, отрицательное, абстрактное,общее, безотносительное.
· Учитель – простое, положительное, конкретное,общее, соотносительное.
· Демонтаж – простое, отрицательное, абстрактное,общее, безотносительное
· Законность – простое, положительное, абстрактное,общее, безотносительное.
· Кража – простое, положительное, абстрактное, общее,безотносительное.
· Бескорыстие – простое, отрицательное, абстрактное,общее, безотносительное.
· Отечество – простое, положительное, абстрактное,единичное, относительное
· Министерство Юстиции – простое, положительное,конкретное, общее, безотносительное.
1. Войшвилло Е.К.,Дегтярев М.Г. Логика с элементами эпистемологии и научной методологии.Учебник.-М.: Интерпракс. 1994.-448 с.
2. Казаков А.Н..,Якушев А.О. Логика-I. Парадоксология:пособие для учащихся старших классов лицеев, колледжей и гимназий.-М.: АО«Аспект Пресс».1994.-256 с.
3. Классическаялогика: учебное пособие.-М.Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС.1996.-192 с.
4. Кумпф Ф., ОруджевЗ. Диалектическая логика: основные принципы и проблемы.-М.: Политиздат.1979.-286 с.
5. Логика:пособие для учащихся.-М.: Просвещение.1996.-206 с.
