Геометрическая вероятность, Материаловедение

Выдержка из текста работы

(1)

гдеиндекс F у знака интеграла указываетна то, что интегрирование ведется по всей площади сечения. Каждый из интеграловпредставляет собой сумму произведений, элементарных площадок

Очевидно,х

<img src="/cache/referats/1295/image010.gif" v:shapes="_x0000_s1032">
или

Такимобразом, при параллельном переносе

Рассмотримболее детально, например, первое из полученных выражений:

Величина

<img src="/cache/referats/1295/image014.gif" v:shapes="_x0000_s1035">Ось,относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Среди семейства параллельныхосей она является единственной, и расстояние до этой оси от некоторой, произвольновзятой, оси х

Рис.2

Аналогично для другого семействапараллельных осей

Точкапересечения центральных осей называется центромтяжести сечения. Путем поворота осей можно показать, что статическиймомент относительно любой оси, проходящейчерез центр тяжести, равен нулю.

Нетрудноустановить тождественность данного определения и обычного определения центратяжести как точки приложения равнодействующих сил веса. Если уподобитьрассмотренное сечение однородной пластинке, то сила веса пластинки во всехточках будет пропорциональна элементарной площади dF, а момент сил веса

Вдополнение к статическим моментам рассмотрим еще три следующих интеграла:

(2)

Черезх и у обозначены текущие координаты элементарной площадки

Осевыемоменты инерции всегда положительны, поскольку положительной считается площадьdF. Центробежный момент инерции можетбыть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от расположения сеченияотносительно осей х, у.

Выведемформулы преобразования моментов инерции при параллельном переносе осей. Будемсчитать, что нам заданы моменты инерции и статические моменты относительно осейх1 и

(3)

Подставляя сюда х

Еслиоси

(4)

Следовательно, при параллельном переносе осей (еслиодна из осей — центральная) осевые моменты инерции меняются на величину, равнуюпроизведению площади на квадрат расстояния между осями.

Изпервых двух формул (4) следует, что в семействе параллельных осей минимальныймомент инерции получается относительно центральной оси (а = 0 или Ь = 0).Поэтому легко запомнить, что при переходе от центральных осей к нецентральнымосевые моменты инерции увеличиваются и величины

Приопределении центробежного момента инерции по формулам (

ГЛАВНЫЕ ОСИ ИГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

Рис. 3

<img src="/cache/referats/1295/image044.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1050">Посмотрим,как изменяются моменты инерции при повороте осей координат. Положим, данымоменты инерции некоторого сечения относительно осей х, у (не обязательно центральных). Требуется определить

Проектируем замкнутый четырехугольник ОАВСО на оси и и v. Так как проекцияломаной линии равна проекции замыкающей, находим:

u = y sin

Ввыражениях

откуда

(5)

Рассмотрим два первых уравнения. Складывая ихпочленно, получим, что сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимноперпендикулярных осей не зависит от угла a и при повороте осей остается постоянной. При этом

x2 + y2 =

где

Jx+ Jy = Jp

где

величина которого, естественно, независит от поворота осей ху.

Сизменением угла поворота осей

Дифференцируявыражение

(6)

Приэтом значении угла

Оси,относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моментыпринимают экстремальные значения, называются главными осями. Если они к тому же являются центральными, то тогдаони называются главными центральнымиосями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Дляопределения этого первые две формулы (5) перепишем в виде

Далееисключаем при помощи выражения (6) угол

Верхний знак соответствует максимальному моментуинерции, а нижний — минимальному. После того как сечение вычерчено в масштабе ина чертеже показано положение главных осей, нетрудно установить, которой издвух осей соответствует максимальный и которой — минимальный момент инерции.

Еслисечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда будет главной.Центробежныймомент инерции части сечения, расположенной по одну сторону от оси, будет равенмоменту части, расположенной по другую сторону, но противоположен ему по знаку.Следовательно, Jху= 0 иоси х и у являются главными.