Выдержка из текста работы
- Основные понятия теории множеств: Множество, операции над множествами, отображения множеств, счетные и несчетные множества.
- Действительные числа. Аксиоматика действительных чисел. Рациональные и иррациональные числа. Счетность множества рациональных чисел и несчетность множества действительных чисел.
- Точная верхняя (нижняя) грань числового множества. Теорема о существовании точной верхней (нижней) грани у непустого ограниченного сверху (снизу) множества.
- Теорема Кантора о последовательности вложенных отрезков.
- Последовательность и ее предел. Свойства сходящихся последовательностей: арифметические свойства, единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности, переход к пределу в неравенствах, теорема о трех последовательностях, сохранение знака. Бесконечно малые (большие) последовательности и их взаимосвязь.
- Монотонные последовательности. Существование предела у возрастающей (убывающей) ограниченной сверху (снизу) последовательности. Число е.
- Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Понятие верхнего и нижнего предела последовательности. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши существования конечного предела последовательности.
- Предел функции в точке. Два определения предела функции и их эквивалентность. Свойства пределов функции: арифметические свойства, единственность предела, ограниченность функции, имеющей конечный предел, переход к пределу в неравенствах, связывающих функции, теорема о трех функциях, сохранение знака функцией, имеющей отличный от нуля предел, существование предела у модуля функции, имеющей предел. Критерий Коши существования предела функции. Предел функции в бесконечно удаленной точке.
- Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их взаимосвязь. Сравнение бесконечно малых (больших) функций. Два замечательных предела:
lim(sin(x)/x), x>0; lim(1+1/x)x, x>¥.
- Непрерывность функции в точке. Два определения непрерывности. Свойства непрерывных функций: арифметические свойства, сохранение знака. Непрерывность сложной функции. Точки разрыва функции и их классификация.
- Монотонные функции. Односторонние пределы. Теорема о существовании односторонних пределов у монотонной функции.
- Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольших и наименьших значений. Теорема о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции. Достаточные условия существования и непрерывности обратной функции для функции, заданной на отрезке и на интервале. Понятие равномерной непрерывности функции. Равномерная непрерывность функции, непрерывной на отрезке.
- Производная функции. Односторонние производные. Дифференцируемость функции и ее дифференциал. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнения касательной и нормали к графику функции.
- Производная сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций. Производная функции, заданной параметрически. Производные и дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы дифференциала первого порядка.
- Теоремы о среднем для дифференцируемых функций: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
- Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
Кафедра высшей математики
