Выдержка из текста работы
<img src="/cache/referats/1295/image002.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1028"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<img src="/cache/referats/1295/image004.gif" v:shapes="_x0000_s1027"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> (1)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">гдеиндекс F у знака интеграла указываетна то, что интегрирование ведется по всей площади сечения. Каждый из интеграловпредставляет собой сумму произведений, элементарных площадок
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Очевидно,х
<img src="/cache/referats/1295/image007.gif" v:shapes="_x0000_s1029"> <img src="/cache/referats/1295/image008.gif" v:shapes="_x0000_s1030">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US">
<img src="/cache/referats/1295/image010.gif" v:shapes="_x0000_s1032">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">или
<img src="/cache/referats/1295/image012.gif" v:shapes="_x0000_s1031">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Такимобразом, при параллельном переносе
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Рассмотримболее детально, например, первое из полученных выражений:
<img src="/cache/referats/1295/image012.gif" v:shapes="_x0000_s1033">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Величина
<img src="/cache/referats/1295/image014.gif" v:shapes="_x0000_s1035"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Ось,относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Среди семейства параллельныхосей она является единственной, и расстояние до этой оси от некоторой, произвольновзятой, оси х
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Рис.2
<img src="/cache/referats/1295/image016.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1034"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Аналогично для другого семействапараллельных осей
<img src="/cache/referats/1295/image018.gif" v:shapes="_x0000_s1036"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Точкапересечения центральных осей называется центромтяжести сечения. Путем поворота осей можно показать, что статическиймомент относительно любой оси, проходящейчерез центр тяжести, равен нулю.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Нетрудноустановить тождественность данного определения и обычного определения центратяжести как точки приложения равнодействующих сил веса. Если уподобитьрассмотренное сечение однородной пластинке, то сила веса пластинки во всехточках будет пропорциональна элементарной площади dF, а момент сил веса
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Вдополнение к статическим моментам рассмотрим еще три следующих интеграла:
<img src="/cache/referats/1295/image022.gif" v:shapes="_x0000_s1037"> <img src="/cache/referats/1295/image023.gif" v:shapes="_x0000_s1038"> <img src="/cache/referats/1295/image024.gif" v:shapes="_x0000_s1039">
(2)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Черезх и у обозначены текущие координаты элементарной площадки
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Осевыемоменты инерции всегда положительны, поскольку положительной считается площадьdF. Центробежный момент инерции можетбыть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от расположения сеченияотносительно осей х, у.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Выведемформулы преобразования моментов инерции при параллельном переносе осей. Будемсчитать, что нам заданы моменты инерции и статические моменты относительно осейх1 и
<img src="/cache/referats/1295/image028.gif" v:shapes="_x0000_s1040"> <img src="/cache/referats/1295/image029.gif" v:shapes="_x0000_s1041"> <img src="/cache/referats/1295/image030.gif" v:shapes="_x0000_s1042">
(3)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Подставляя сюда х
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">
<img src="/cache/referats/1295/image034.gif" v:shapes="_x0000_s1043"> <img src="/cache/referats/1295/image035.gif" v:shapes="_x0000_s1044"> <img src="/cache/referats/1295/image036.gif" v:shapes="_x0000_s1045"> <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Еслиоси
<img src="/cache/referats/1295/image039.gif" v:shapes="_x0000_s1047"> <img src="/cache/referats/1295/image040.gif" v:shapes="_x0000_s1048"> <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> (4)
<img src="/cache/referats/1295/image042.gif" v:shapes="_x0000_s1049"> <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">
Следовательно, при параллельном переносе осей (еслиодна из осей — центральная) осевые моменты инерции меняются на величину, равнуюпроизведению площади на квадрат расстояния между осями.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Изпервых двух формул (4) следует, что в семействе параллельных осей минимальныймомент инерции получается относительно центральной оси (а = 0 или Ь = 0).Поэтому легко запомнить, что при переходе от центральных осей к нецентральнымосевые моменты инерции увеличиваются и величины
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Приопределении центробежного момента инерции по формулам (
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">ГЛАВНЫЕ ОСИ ИГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Рис. 3
<img src="/cache/referats/1295/image044.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1050"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Посмотрим,как изменяются моменты инерции при повороте осей координат. Положим, данымоменты инерции некоторого сечения относительно осей х, у (не обязательно центральных). Требуется определить
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Проектируем замкнутый четырехугольник ОАВСО на оси и и v. Так как проекцияломаной линии равна проекции замыкающей, находим:
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">u = y sin
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Ввыражениях
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<img src="/cache/referats/1295/image048.gif" v:shapes="_x0000_s1051"> <img src="/cache/referats/1295/image049.gif" v:shapes="_x0000_s1052"> <img src="/cache/referats/1295/image050.gif" v:shapes="_x0000_s1053"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">откуда
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<img src="/cache/referats/1295/image053.gif" v:shapes="_x0000_s1054"> <img src="/cache/referats/1295/image054.gif" v:shapes="_x0000_s1055"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> (5)
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<img src="/cache/referats/1295/image056.gif" v:shapes="_x0000_s1056"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
Рассмотрим два первых уравнения. Складывая ихпочленно, получим, что сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимноперпендикулярных осей не зависит от угла a и при повороте осей остается постоянной. При этом
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">x2 + y2 =
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">где
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> Jx+ Jy = Jp
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">где
<img src="/cache/referats/1295/image058.gif" v:shapes="_x0000_s1057"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">величина которого, естественно, независит от поворота осей ху.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Сизменением угла поворота осей
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Дифференцируявыражение
<img src="/cache/referats/1295/image060.gif" v:shapes="_x0000_s1058"> <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> (6)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Приэтом значении угла
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Оси,относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моментыпринимают экстремальные значения, называются главными осями. Если они к тому же являются центральными, то тогдаони называются главными центральнымиосями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Дляопределения этого первые две формулы (5) перепишем в виде
<img src="/cache/referats/1295/image062.gif" v:shapes="_x0000_s1059"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<img src="/cache/referats/1295/image064.gif" v:shapes="_x0000_s1060"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Далееисключаем при помощи выражения (6) угол
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<img src="/cache/referats/1295/image066.gif" v:shapes="_x0000_s1061"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
Верхний знак соответствует максимальному моментуинерции, а нижний — минимальному. После того как сечение вычерчено в масштабе ина чертеже показано положение главных осей, нетрудно установить, которой издвух осей соответствует максимальный и которой — минимальный момент инерции.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Еслисечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда будет главной.Центробежныймомент инерции части сечения, расположенной по одну сторону от оси, будет равенмоменту части, расположенной по другую сторону, но противоположен ему по знаку.Следовательно, Jху= 0 иоси х и у являются главными.