Содержание
Введение…………………………………………………………………………………3
1. Метод простой итерации……………………………………………………………..4
1.1 Математическая модель, используемая для организации вычислительного процесса………………………………………………………………………………….4
1.2 Блок-схема реализации математической модели…………………………………6
1.3 Тестирование программного модуля……………………………………………….7
1.4 Листинг программы…………………………………………………………………8
2. Метод Эйлера…………………………………………………………………………9
2.1 Математическая модель, используемая для организации вычислительного процесса………………………………………………………………………………….9
2.2 Блок-схема реализации математической модели…………………………………10
2.3 Тестирование программного модуля………………………………….…………..10
2.4 Листинг программы…………………………………………………………………11
Приложение А…………………………………………………………………………..12
Заключение……………………………………………………………………………..13
Литература………………………………………………………………………………14
Выдержка из текста работы
Пусть требуется вычислить интеграл , где f(x) — непрерывная функция. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда f(x)? 0. Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков точками a=x0<x1<x2<…<xk-1<xk<…<xn=b и с помощью прямых х=хk построим n прямолинейных трапеций (эти трапеции заштрихованы на рис. 1). Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е.
Где f(xk-1) и f(xk) — соответственно основания трапеций; xk — xk-1 = (b-a)/n — их высоты.
Таким образом, получена приближенная формула
которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше n.
Разделим отрезок [a, b] на четное число равных частей n=2m. Площадь криволинейной трапеции соответствующей первым двум отрезкам [x0x1] и [x1x2] и ограниченной заданной кривой y=f(x) заменим площадью криволинейной трапеции которая ограничена параболой второй степени проходящей через три точки M(x0y0) M1(x1y1) M2(x2y2) и имеющей ось параллельную оси Oy. Такую криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией.
Уравнение параболы с осью параллельной оси Oy имеет вид
Коэффициенты A, Bи C однозначно определяются из условия что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строим и для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла.
Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции.
Лемма: Если криволинейная трапеция ограничена параболой
осью Ох и двумя ординатами расстояние между которыми равно 2h то ее площадь равна
где y0 и y2 — крайние ординаты а y1 — ордината кривой в середине отрезка.
Доказательство: Расположим вспомогательную систему координат так как показано на рисунке
Коэффициенты в уравнении параболы определяются из следующих уравнений:
Если то
Если то (2)
Если то
Считая коэффициенты ABC известными определим площадь параболической трапеции с помощью определенного интеграла:
Но из равенства (2) следует что
Следовательно
что и требовалось доказать.
Вернемся снова к основной нашей задаче (см. рис). Пользуемся формулой (1) мы можем написать следующие приближенные равенства():
Складывая левые и правые части получим слева искомый интеграл справа его приближенное значение:
или (3)
В конечном итоге мы получили формулу Симпсона. Здесь число точек деления 2m произвольно но чем больше это число тем точнее сумма в правой части равенства (3) дает значение интеграла.
1.2 Входные данные
В данном программном модуле входных данных нет. Все необходимые данные изначально заложены в программу.
2 Проектирование программного модуля
2.1 Структурная диаграмма программного модуля
2.3 Разработка пользовательского интерфейса
3 Реализация программного модуля
3.1 Код программы
3.2 Описание используемых операторов и функций
Заключение
Список использованных источников
