Содержание
Введение5
Исходные данные7
Раздел 1: Задание начальных параметров.8
1.1. Вероятностные характеристики моделируемого процесса.8
Раздел 2: Математическое моделирование процесса11
Раздел 3. Обработка результатов машинного эксперимента15
3.1. Построение гистограмм распределения15
3.2. Вычисление математического ожидания и дисперсии для выборок n16
3.3. Вычисление 1 и построение графика динамики17
3.4. Вычисление 2 и построение графика динамики18
3.5. Вычисление корреляционной функции для первых 10-ти значений18
3.6. Проверка критерия согласия Пирсона (2)19
Заключение22
Список используемых источников23
Приложение 1: листинг программы MathCad 1424
Выдержка из текста работы
Актуальность курсовой работы по дисциплине «Математические методы прогнозирования экономических показателей» темы «Моделирование экономических систем с использованием марковских процессов» заключается в том, анализ и прогноз своей деятельности позволяет организациям улучшить управление и перераспределить финансирование производства.
Целью данной курсовой работы является созданию и реализации математической модели с использование марковских случайных процессов.
В рамках поставленной цели выделим следующие задачи:
.выполнить анализ литературы;
.используя аппарат цепей Маркова, сделать прогнозы тенденции увеличения расходов на заработную плату,
.решить задачу административного управления:
о возможности сохранения данной структуры штатов;
о достижимости оптимальной структуры.
Объектом исследования является штатный состав фирмы.
Предметом исследования является экономическая система финансирования штатного состава фирмы.
Важнейшим фактором повышения эффективности производства в любой отрасли является улучшение управления.
Совершенствование форм и методов управления происходит на основе достижений научно-технического прогресса, дальнейшего развития информатики, занимающейся изучением законов, методов и способов накопления, обработки и передачи информации с помощью электронных вычислительных машин (ЭВМ) и других технических средств. Методы и средства информатики реализуются в виде автоматизированных информационных технологий (АИТ), называемых также новыми или современными.
Под технологией в широком смысле понимают науку о производстве материальных благ, включающую три аспекта: информационный, инструментальный и социальный. Информационный аспект включает описание принципов и методов производства, инструментальный — орудия труда, с помощью которых реализуется производство, социальный — кадры и их организацию. В более узком промышленном смысле технология рассматривается как последовательность действий над предметом труда в целях получения конечного продукта.
Понятие информационная технология возникло в последние десятилетия XX в. в процессе становления информатики. Особенностью информационных технологий является то, что в ней и предметом, и продуктом труда является информация, а орудиями труда — средства вычислительной техники и связи. Информационная технология как наука о производстве информации возникла именно потому, что информация стала рассматриваться как вполне реальный производственный ресурс наряду с другими материальными ресурсами. Причем производство информации и ее верхнего уровня — знаний оказывает решающее влияние на модификацию и создание новых промышленных технологий.
Как и планирование, прогнозирование — это род предвидения, поскольку имеет дело с получением информации о будущем. Вместе с тем между планированием и прогнозированием существуют серьезные различия.
Известный отечественный футуролог И. Бестужев-Лада разделил прогнозирование и планирование как предсказание и предуказание.
Предуказание, включает в себя планирование и его элементы — целеполагание, программирование, проектирование, основано на принятии решений о проблемах, выявленных на стадии предсказания, на учете всех критических аспектов будущего.
Таким образом, в предвидении будущего фирмы прогнозирование, с одной стороны, предшествует планированию, а с другой — является его составной частью, используется на разных стадиях осуществления деятельности по планированию:
1.применяется на этапе анализа среды и определения предпосылок для формирования стратегии фирмы
2.осуществляется на стадии реализации планов для оценки возможных результатов и их отклонения от плановых показателей и имеет целью организации дополнительных управляющих воздействий на ликвидацию отклонений.
По своему составу прогнозирование шире планирования, т.к. включает не только показатели деятельности фирмы, но и разнообразные данные о ее внешней среде.
1. Моделирование экономических систем с использование марковских случайных процессов
1.1 Основные понятия марковских процессов
Функция называется случайной, если ее значение при любом аргументе t является случайной.
Случайная функция , аргументом которой является время, называется случайным процессом.
Марковские процессы являются частным видом случайных процессов. Особое место марковских процессов среди других классов случайных процессов обусловлено следующими обстоятельствами: для Марковских процессов хорошо разработан математический аппарат, позволяющий решать многие практические задачи; с помощью Марковских процессов можно описать поведение достаточно сложных систем.
Определение. Случайный процесс, протекающий в какой либо системе называется Марковским, если он обладает следующим свойством: для любого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем (при ) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние.
Классификация Марковских случайных процессов производится в зависимости от непрерывности и дискретности множества значений функций и параметра . Различают следующие основные виды Марковских случайных процессов:
с дискретными состояниями и дискретным временем (цепь Маркова);
с непрерывными состояниями и дискретным временем (марковские последовательности);
с дискретными состояниями и непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова);
с непрерывным состоянием и непрерывным временем.
В данной работе будут рассматриваться только марковские процессы с дискретными состояниями
Марковские процессы с дискретными состояниями удобно иллюстрировать с помощью, так называемого графа состояний, где кружками обозначены состояния системы , а стрелками — возможные переходы из состояния в состояние. На графе отмечаются только непосредственные переходы, а не переходы через другие состояния. Возможные задержки в прежнем состоянии изображают «петлей», т.е. стрелкой, направленной из данного состояния в него же. Число состояний системы может быть как конечным, так и бесконечным (но счетным).
Рис. 1. Граф состояния системы
1.2 Марковские цепи
Марковский случайные процесс с дискретными состояниями и дискретным временем называют Марковской цепью. Для такого процесса моменты , когда система может менять свое состояние, рассматривают как последовательные шаги процесса, а в качестве аргумента, от которого зависит процесс, выступает не время t, номер шага 1, 2, …, k, … Случайный процесс в этом случае характеризуется последовательностью состояний где — начальное состояние системы (перед первым шагом); — состояние системы после первого шага; — состояние системы после k-го шага…
Событие состояние в том, что сразу после k-го шага система находится в состоянии является случайным событием. Последовательность состояний можно рассматривать как последовательность случайных событий. Такая случайная последовательность событий называется Марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из любого состояния в любом не зависит от того, когда и как система пришла в состояние . Начальное состояние может быть заданием заранее или случайным.
Вероятностями состояний цепи Маркова называются вероятности того, что после k-го шага (и до (k+1) — го) система будет находиться в состоянии . Очевидно, для любого k
Начальным распределением вероятностей Марковской цепи называется распределение вероятностей состояний в начале процесса:
В частном случае, если первоначальное состояние системы S в точности известно , то начальная вероятность , а все остальные равны нулю. Вероятность перехода на k-м шаге из состояния в состояние при условии, что непосредственно перед этим она находится в состоянии .
Поскольку система может пребывать в одном из n состояний, то для каждого момента времени необходимо задать вероятностей перехода , которое удобно представить в виде следующей матрицы:
где — вероятность перехода за один шаг из состояния в состояние .
Матрица называется переходной или матрицей переходных вероятностей.
Если переходные вероятности не зависят от номера шага, а зависят только от того, из какого состояния в какое осуществляется переход, то соответствующая цепь Маркова называется однородной.
Переходные вероятности однородной Марковской цепи образуют квадратную матрицу размера. Отметим некоторые ее особенности:
1.Каждая строка характеризует выбранное состояние системы, а ее элементы представляют собой вероятности всех возможных переходов за один шаг из выбранного состояния, в том числе и переход в самое себя.
2.Элементы столбцов показывают вероятности всех возможных переходов системы за один шаг в заданное состояние (иначе говоря, строка характеризует вероятность перехода системы из состояния, столбец — в состояние).
3.Сумма вероятностей каждой строки равна единице, так как переходы образуют полную группу несовместных событий:
4.По главной диагонали матрицы переходных вероятностей стоят вероятности того, что система не выйдет из состояния , а останется в нем.
Если для однородной Марковской цепи заданы начальное распределение вероятностей и матрица перехода вероятностей , то вероятности состояний системы ().
2. Модель прогноза тенденций финансирования штатного состава фирмы
2.1 Качественная модель
Выделим в системе фирмы к основных категорий (должностей). Рассмотрим ситуацию типичную для многих организаций, вступивших в определенную стадию роста. Проблема заключается в том, что численность старших должностей растет относительно более низких. Трудность заключается не в том, что персонал старших рангов не желателен, а в том, что он выше оплачивается.
В период застоя в росте ассигнований, перспектива постоянного роста расходов на заработную плату ставит перед директором следующие вопросы:
) каков прогноз тенденции финансирования штатного состава,
2) что может быть сделано для прекращения роста расходов или для снижения.
Построение математической модели.
Модель будем строить в два этапа:
1)На первом этапе дадим количественное описание системы;
)На втором этапе введем ряд ограничений относительно происходящих в ней изменений.
Количественные характеристики задачи — это запасы и потоки
где — количество людей в определенной должности в момент времени .
На данном этапе моделирование ранжирование класса по старшинству необходимо. Объем запасов могут меняться в любое время, но поведение всей системы опраксимируется по периоду наибольшего числа.
Потоки. Размер запасов измеряется из-за наличия потоков направленных как в систему (принятие) так из системы (увольнение), а так же за счет перемещения внутри системы.
Поток, направленный внутри системы — это количество людей перешедших за один период времени из категории и :
Потоком, направленным за пределы системы (потоком увольнения) — называется количество людей уволившихся из данного класса во временной период , а принятые
Соотношение между запасами и потоками в каком либо классе на момент времени , будет выражать количество людей в категории к моменту .
Выразим количество людей оставшихся в категории j за период Т
Тогда (1) примет вид:
Основное уравнение соответствует системе уравнений, которое позволяет выявить основные ограничения в которых действует система.
Допущения относительно потоков.
Для начала построим статистическую модель, проведя статистическое исследование данных по запасам и потокам и получим модель. Рассмотрим потоки, характеризующие повышения должности. Они характеризуются некоторой совокупностью факторов варьирующихся от одного к другому виду. Иногда количество повышений прямо связано с количеством образовавшихся вакансий.
В других случаях повышения происходят по достижении уровня квалификации. Возьмем за основу последнюю возможность, которая выражается пропорциональной зависимостью вида:
Замечание. Здесь не учитывается статистические колебания, и такие допущения не учитываются, что уходит из системы на уровне отдельных лиц становится событием непредсказуемым.
Реалистическая модель должна включать в себя элемент стохастичности. Допустим, что перемещения происходят независимо и каждый индивидуум в классе характеризуется величиной — вероятностью перехода его в класс j за период , и величиной — это вероятность увольнения из фирмы. Тогда:
При этом допущении число лиц переходящих из класса i в класс j за год, случайная величина с биномиальным распределением при заданном начальном запасе . Ожидаемый поток при этом будет:
В организации или фирме с фиксированным общим числом сотрудников, общее число вновь набранных будет равняться числу ушедших.
— вновь набранные за год.
Обычно распределение лиц по классам определяется потребностями или политикой фирмы и поэтому фиксирована.
Следовательно, можно допустить, что доля общего числа нанимаемых зарезервирована для каждого класса причем: .
Допущения модели будут характеризоваться:
)Матрицей — это матрица вероятностей перехода сотрудников в другие классы или матрица управляющая перемещениями внутри системы.
)Вектор вероятности ухода ) связанный с матрицей соотношения (2)
)Вектор распределения нанимаемых в классы .
)Ограничением
Основное уравнение прогнозирования.
Перейдем к построению уравнения модели. Так как запасы следующего года случайные величины, то их значения не могут быть точно предсказаны в этих условиях используются ожидаемые величины случайной переменной.
Найдем математическое ожидание в обеих частях уравнения (1)
Тогда уравнение принимает вид:
Если параметры модели известны, то запас следующего года Т+1 может быть найден по запасу текущего года Т путем перемножения матриц
т.е. система штатного финансирования фирмы может быть спрогнозирована цепью Маркова, для которой вектором вероятности состояния системы является вектор ожидаемого распределения сотрудников по классам , а матрицей вероятности перехода системы является матрица Q. Такая цепь Маркова является искомой моделью прогноза.
Анализ.
Применяя аппарат цепей Маркова по формуле (5)* можно сделать прогноз ожидаемого числа сотрудников по каждой должности на любое количество или вперед опираясь на штатное расписание в начале прогноза.
Возможен долгосрочный прогноз ожидания распределения сотрудников для ситуации, когда система приходит в устойчивое положение — стационарное состояние цепи Маркова; вектор стационарного состояния.
Матрица Q действительно является МВПС цепи Маркова, так как для нее справедливо основное уравнение МВПС:
2.2 Прогноз возможности сохранения структуры через уравнения политикой фирмы
С обнаружением роста численности в более высоких классах с известной скоростью появляется задача управления ситуацией с помощью прогноза политики фирмы.
Предположим, что дирекция желает удержать систему на определенном уровне.
Пусть та структура, которую желательно сохранить
В математических терминах задача прогноза управления сводится к нахождению такой матрицы Q при которой выполняется равенство (6), но — это функция от , , и , а эти не все поддаются управлению:
Естественные потери не находятся под непосредственным контролем администратора, а увольнения стараются избежать, т.е. не самый удачный вариант для управления.
Перевод в более высокий класс находится под непосредственным контролем администратора и вектор приема так же является непосредственным управлению.
) Для начала прогноза сделаем допущения, которые часто соответствует действительности. Допустим, что и вообще не могут быть изменены и все управление должно быть реализовано через политику найма (через вектор ), который может изменяться по желанию руководства при соблюдении условий ,
так как , то (6) принимает вид:
Условие сохранения структуры при управлении. При этом ограничение (7) будет выполняться если
2)Продолжим прогноз, предполагая, что руководству необходимо сохранить без изменения политику найма и увольнения, и пытаться сохранить структуру, изменить политику перевода внутри системы, т.е. из класса в класс.
Из получаем:
(9),
Таким образом, используя (9) определяется политика перевода сохраняющей структуру и дается прогноз на будущее.
3. Прогнозирование
3.1 Реализация модели прогноза тенденции финансирования штатного состава фирмы
Цель:
1.Используя аппарат целей Маркова, сделать прогнозы тенденции увеличения расходов на заработную плату,
2.Решить задачу административного управления:
о возможности сохранения данной структуры штатов
о достижимости оптимальной структуры
Постановка задачи:
Штат сотрудников некоторой организации составляет 1290 человек, которые разделяются на 5 основных категорий (классов), ранжированных в порядке увеличения уровня квалификации.
Известны:
— начальное распределение сотрудников по категориям (0);
=54032025012060
— распределение нанимаемых за год по категориям ;
=0,70,150,10,050
— распределение вероятности увольнения за год по категориям ;
=0,450,380,10,20,4
матрица вероятностей перехода сотрудников из класса в класс за год P, определяющая политику повышений;
0,40,10,050000,40,2200=000,80,090,010000,60,200000,6
Рассматривается заключительная фаза периода роста организации (количество штатных мест перестало увеличиваться).
Определим тенденцию к продолжительности роста расходов на зарплату.
Представим задачу в виде цепи Маркова, построив по данным МВПС Q.
1.Вычислим структуру классов на 5 лет вперед, определив (1), (2), (3), (4), (5) и сделав анализ тенденций роста численности высоких классов.
.Сделаем долгосрочный прогноз ожидания состава сотрудников фирмы; через сколько лет система (фирма) достигнет стационарного состояния.
Опираясь на теоретический материал, рассмотренный в разделе 2, представим задачу в виде цепи Маркова, построив по данным МВПС Q:
0,450,38=0,10,20,4
0,3150,06750,0450,022500,2660,0570,0380,0190=0,070,0150,010,00500,140,030,020,0100,280,060,040,020
0,7150,16750,0950,0225010,2660,4570,2580,01901=0,070,0150,810,0950,0110,140,030,020,610,210,280,060,040,020,61
Вычислим структуру классов на несколько лет вперед, определив (1), (2), (3), (4), (5) и сделав анализ тенденций роста численности высоких классов:
Таблица 1
