Содержание
Интеграл вероятности3
Свойства3
Применение6
Асимптотическое разложение6
Родственные функции6
Обобщённые функции ошибок.7
Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок9
Реализация9
Интегральная показательная функция10
Интегральный логарифм11
Разложение в ряд12
Интегральный логарифм и распределение простых чисел12
Интегральный синус12
Свойства13
Разложение в ряд14
Интегральный косинус14
Свойства16
Интегралы Френеля16
Разложение в ряд17
Спираль Корню18
Свойства19
Вычисление19
Бета-функция20
Свойства21
Производные21
Неполная бета-функция22
Свойства I(x)22
Применение22
Заключение23
Список использованной литературы24
Выдержка из текста работы
Данная курсовая работа раскрывает тему «Теорема о среднем значении дифференцируемых функции и их приложения», содержит в себе введение, обзор литературных источников, примеры, определения, теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши и основные понятия. При изучении для написания данной работы были использованы различные литературные источники, которые перечислены в настоящем документе. Целью написания данной работы было получение и закрепление практических навыков различными методами. Курсовая работа содержит 14 рисунков текст и описание работы.
Содержание
Введение
1. Теоремы о среднем значении дифференцируемых функции
1.1 Понятие непрерывности функции
1.2 Понятие производной
1.3 Локальный экстремум и теорема Ферма
1.4 Теорема Ролля о нулях производных
1.5 Формула конечных приращении Лагранжа
1.6 Некоторые следствия из теоремы Лагранжа
1.7 Обощенная формула конечных приращении (формула Коши)
2. Задачи на применение теоремы для дифференцируемых функции
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Данная курсовая работа раскрывает тему «Теорема о среднем значении дифференцируемых функции и их приложение».
Актуальность темы. На сей день это тема является актуальной. Она применяется непосредственно с самого начала изучения курса математического анализа. Из теоремы Ролля вытекает существование нулей производной между любыми двуия нулями дифференцируемой функции. Из нее получается теоремы Лагранжа и Коши. А при помощи теоремы Лагранжа доказывается, что если на отрезке производная 0, то функция постоянна. Откуда следует описание неопределенного интеграла (то есть множества всех первообразных) в виде множества постоянных функций, сдвинутого на любую из первообразных. Из теоремы Коши получаем остаток в форме Лагранжа в формуле Тейлора, а также правило Лопиталя.
Цель работы. Целью данной работы является раскрыть тему о теоремах дифференцируемых функции. Показать на графиках и примерах пути решения задач, связанных с этой темой.
Задача работы. Для достижения поставленной в курсовой работе цели нами решались следующие задачи: для полного раскрытия темы также использовались понятия о непрерывности функции, понятие о производной, теоремы были полностью раскрыты, а также предоставлены примеры.
Научная новизна. бульшая часть сведений, используемых в работе, появилась в научных публикациях лишь во второй половине ХХ-го века, «время появления новых областей приложения математики»; при изложении материала основное внимание уделено процессу получения математических утверждений и алгоритмов как ответов на чётко поставленные вопросы (а не широко распространённому в преподавании математики абстрактно-дедуктивному стилю изложения), «сознательный отказ от ответов на не поставленные вопросы».
Объектом исследования курсовой работы являются основные теоремы дифференцируемых функции.
Предметом исследования являются свойства теорем дифференцируемых функции с доказательствами и их применимость.
Практическая значимость. В настоящее время практическая значимость этой работы не теряется, эти теоремы используются в школьной программе, но дальнейшее глубокое рассмотрение происходит на курсе изучения математического анализа. Знание производной некоторой функции позволяет судить о характерных особенностях в поведении этой функции. В основе всех таких исследований лежат некоторые простые теоремы, называемые теоремами о среднем в дифференциальном исчислении. Начнем рассмотрение таких теорем с теоремы, связываемой с именем французского математика Ролля (1652-1719). Геометрический смысл данной теоремы следующий: если непрерывная кривая пересекает ось в двух точках , или принимает в них равные значения, то, по крайней мере, в одной точке между и касательная к кривой параллельна оси . Результаты теоремы Ролля используются при рассмотрении следующей теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу (1736-1813). Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, при теорема переходит в теорему Ролля. Рассмотрим, наконец, третью теорему о среднем, принадлежащей Коши (1789-1859), которая является обобщением теоремы Лагранжа. На основании теоремы Коши о среднем можно получить удобный метод вычисления некоторых пределов, называемый правилом Лопиталя (1661-1704).
1. Теоремы о среднем значении дифференцируемых функции
1.1 Понятие непрерывности функции
Определение 1
Функция определенная в некоторой окрестности точки , включая саму точку, называется непрерывной в этой точке, если
Замечание 1. Таким образом, согласно определению 20.1. предел функции и ее значение в точке равны.
Определение 2
Функция f(x) непрерывна в точке тогда и только тогда, когда для любой последовательности из некоторой окрестности точки , сходящейся к , соответствующая последовательность сходится к .
Определение 3
непрерывна в точке тогда и только тогда, когда:
Рис. 1
Пусть .
Тогда величина называется приращением аргумента.
называется приращением функции.
Преобразуем формулу (1):
. (2)
Определение 4.
Функция f(x) называется непрерывной в точке , если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при
Замечание 2. Определения 1-4 эквивалентны.
Дифференцируемость функции в точке, связь с непрерывностью
Определение 5. Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке можно представить в виде
где А — некоторое число, не зависящее от , а — функция аргумента являющаяся бесконечно малой при .
Установим связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в этой же точке.
Теорема 1. Для того чтобы функция была дифференцируема в необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование производной — понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной часто называют дифференцированием.
Установим связь между понятием дифференцируемости и непрерывности.
Теорема 2. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
Замечание 3. Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, т.е. не иметь производной в этой точке.
Например, функция непрерывна в точке , но производной в этой точке не имеет. Действительно,
Если функция имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то будем говорить, что функция дифференцируема на данном промежутке.
имеет положительный корень , то уравнение
также имеет положительный корень и притом меньший .
Рассмотрим функцию
Проверим для этой функции условия теоремы Ролля на отрезке
1) как многочлен;
2) .
так как — корень
Условия теоремы Ролля выполняются, отсюда следует
Найдём
Используя условие (3) получили, что
что значит что — корень уравнения (2). Так как , то следовательно .
Получаем что уравнение (1) имеет положительный корень , который больше чем корень уравнения (2).
Задача 2. Показать, что уравнение не может иметь двух различных корней в интервале (0,1).
Доказательство будем проводить методом от противного.
Рассмотрим функцию
Пусть имеет два различных корня в интервале (0,1). Проверим выполнение условий теоремы Ролля на отрезке [:
1) как многочлен;
2) — корни , то
Условия Теоремы Ролля выполняются, а это значит, что существует такая точка
Рассмотрим равенство , оно равносильно .
Точки не принадлежат отрезку [, следовательно и интервалу !!!
Не выполняется заключение теоремы Ролля, а это означает, что функция не может иметь двух различных корней в интервале .
Задачи на применение теоремы Лагранжа
Задача 3. Доказать неравенство
Рассмотрим функцию и применим для неё теорему Лагранжа на отрезке
1) f непрерывна на отрезке
2) f дифференцируема на отрезке
условия теоремы Лагранжа выполняются, отсюда следует, что существует такая точка , что:
Рассмотрим
по свойствам логарифма
Производная
, подставим :
Получаем что
, где .
Так как по условию теоремы Лагранжа , отсюда следует неравенство
Учитывая (1) получаем, что
(2).
Аналогично при получаем, что
Из неравенств (2) и (3) следует, что
Задача 4. Показать, что
, где
Пользуясь этим, убедиться в том, что корни квадратные из двух последовательных натуральных чисел, превышающих 25, отличаются между собой менее чем на .
Рассмотрим функцию
Проверим выполнение условий теоремы Лагранжа на отрезке
1) непрерывна на отрезке ;
2) дифференцируема на отрезке
Выполняются условия теоремы Лагранжа, следовательно, существует такая точка , что:
Найдём производную: . Подставим с, получим:
Получаем, что:
Из того, что число больше числа на единицу и , следует, что , где для числа выполняется условие
Получаем, что:
Покажем, что корни квадратные из двух последовательных натуральных чисел, превышающих 25, отличаются между собой менее чем на .
Возьмём натуральное число и запишем для него полученное равенство:
Из того что , получим:
Рассмотрим неравенство:
Получаем, что если , то выполняется неравенство:
Задача 5. Показать, что разность между синусами синусами двух углов не превышает по абсолютной величине разности между этими углами, взятыми в радиальной мере.
Рассмотрим функцию
Проверим выполнение условий теоремы Лагранжа на отрезке
1) непрерывна на отрезке
2) дифференцируема на отрезке
Выполняются условия теоремы Лагранжа, следовательно, существует такая точка
Найдём производную функции: Подставим
Получаем, что:
Так как может принимать значения только от -1 до 1, то получаем, что:
Так как , получаем, что:
Задача 6.Найти условный экстремум функции при условии
Решение: Составим функцию Лагранжа
Имеем
Система имеет два решения
Далее
При поэтому функция в точке имеет условный минимум, а приследовательно, функция имеет в точке условный максимум.
Задача 7.Найти условные экстремумы функции при наличии ограничения
Решение: Построим функцию Лагранжа
Стационарные точки определим из системы
Умножим первое уравнение на , а второе — на . После вычитания получим
Если , то из первых двух уравнений системы . Но такие значения переменных и не удовлетворяют уравнению связи. Значит и так как то из (27) имеем . Подставляя это в уравнение связи, получаем: откуда . Таким образом, из (1.27) .
Итак, единственная стационарная точка функции Лагранжа
Далее,
Тогда для при
Получаем
Из уравнения связи при находим соотношение для дифференциалов и , .
Подставляя в (1.28), получаем равенство
Поэтому, при в точке функция имеет условный максимум, а при — условный минимум. Экстремальное значение равно .
Заключение
Настоящая работа даёт учащимся новый подход к многим преобразованиям в математике, которые стандартным путём трудно разрешимы или разрешимы, но громоздкими способами. Рассмотренные подходы нестандартного характера для учащихся покажутся новыми и необыкновенными, что расширит их кругозор и повысит интерес к производной.
Итак, геометрический смысл производной: производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.
В результате написания курсовой работы мною были изучены теоремы о среднем значении дифференцируемых функции. Для достижения поставленной цели я решила следующие задачи: 1. Дала понятие производных и экстремумов и исследовала общие сведения о нем. 2. Рассмотрела теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. 3. Изучила методы решений задач с доказательствами на данную тему.
Подводя итоги курсовой работы, можно сделать следующие выводы.
Теорема Ролля
Пусть функция f: [a, b] > R непрерывна на сегменте [a, b], и имеет конечную или бесконечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, f(a) = f(b). Тогда внутри сегмента [a, b] найдется точка о такая, что f'(о) = 0.
Теорема Лагранжа
Если функция f: [a, b] > R непрерывна на сегменте [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого сегмента, то такое, что f(b) — f(a) = f'(о)(b — a).
Теорема Коши
Если каждая из функций f и g непрерывна на [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную на ]a, b[ и если, кроме того, производная g'(x) ? 0 на ]a, b[, то такое, что справедлива формула
Если дополнительно потребовать, чтобы g(a) ? g(b), то условие g'(x) ? 0 можно заменить менее жестким:
Список использованной литературы
1 Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа; учебное пособие — М., 1969. — 440с.
2 Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу: учебное пособие — М., 1973. — 256 с.
3 Зайцев И.А. Высшая математика. ДРОФА, 2005. — 400 с.
4 Краснов М. Вся высшая математика т. 1 изд. 2. Едиториал УРСС, 2003. — 328 с.
5 Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И., Шикин Е.В. Вся высшая математика Интегральное исчисление. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия Том 2.: Учебник — 3-е изд. ЛКИ, 2007.
6 Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. — 109 с.
7 Юнусов А.А. Курс лекции по высшей математике: учебное пособие — Шымкент, 2003. — 129 с.
8 Юнусов А.А. Конспект лекции по математическому анализу: учебное пособие — Шымкент, 2012. — 113 с.
Размещено на
