Содержание
Тема: Экономико-математическое моделирование. Решение задач на примере задачи о назначениях.
Введение3
1.Основные методы решения задач экономико-математического моделирования…..6
2.Формулировка задачи о назначениях..9
3.Решение задачи о назначениях с использованием Mathcad..11
Заключение…16
Литература17
Выдержка из текста работы
Представлен ход решения трех задач (линейного программирования, оптимизационной и экономико-статистической задач), и подробное описание сути каждого метода.
Ключевые понятия и термины: оптимизация, регрессия, параметр, функция, модель, симплекс, экстремум, детерминация, адекватность, устойчивость, прогноз.
1.1 Формулировка задания
На фабрике выпускаются три вида изделий. Для приготовления каждого можно использовать ткань трёх артикулов. Исходя из нормы расхода ткани на выпуск одного изделия, общего количества сырья на складе и рыночных цен необходимо определить, в каких объемах необходимо выпустить каждый вид изделий для того, чтобы стоимость выпущенной продукции была максимальной. Исходные данные представленны в таблице 1.1:
Таблица — 1.1
|
Артикул ткани |
Норма расхода ткани (м) на одноизделие |
Общее количество ткани (м) |
||
|
1 |
2 |
|||
|
I |
1 |
— |
180 |
|
|
II |
— |
1 |
210 |
|
|
III |
4 |
2 |
800 |
|
|
Цена одного изделия (дол.) |
9 |
6 |
Математическая формулировка заключается в следующем:
Необходимо определить максимум функции
где — это количество j -го типа изделия, а — это рыночная цена на этот тип изделия, при ограничениях:
где — это расход i-го вида артикула на изготовление j-го типа изделия, — это запас i-го артикула на складе.
Данные типы задач называют линейным программированием, поскольку функция, максимум которой находится, имеет линейный вид.
Решение данного задания можно выполнить в Mathcad и Excel.
1.2 Решение в Mathcad
Поиск максимума выполняется с помощью вычислительного блока. Начальные условия задаются в виде матриц:
Рис 1.1 — Представление исходных условий
Матрица R — это матрица в которой заданы нормы расхода каждого артикула ткани на каждый тип изделия. Матрица Z — это количество каждого артикула ткани на складе. Матрица P — это рыночная цена на каждый тип изделия.
Помимо этого необходимо задать матрицу, которая будет планом выпуска, и также общую стоимость выпущенной продукции.
Рис 1.2 — Задание целевой функции
К — это количество каждого типа ткани, S(K) — это функция, которая представляет собой стоимость выпущенной продукции. Именно ее максимум и необходимо найти.
После директивы GIVEN задаются ограничения, и соответственно использование встроенной функции MAXSIMIZE:
Рис. 1.3- Поиск максимума функции
Первое ограничение (на рис. 1.3) — это ограничение по ресурсам, второе задает только положительные значения для матрицы К (поскольку речь идет о количествах изделий). Результат на рис. 1.4:
Рис. 1.4
При выпуске 95 единиц первого вида товара, и 210 — второго, общая стоимость будет равна 2115 долл.
1.3 Решение в Excel
После ввода исходных данных, были заданы ячейки, которые будут планом выпуска продукции. Изначально они задаются нулевыми значениями, помимо этого также задается столбец расход ткани, каждая ячейка которого является суммой произведений нормы расходов каждого артикула ткани на количества соответствующих типов продукции, и строка стоимость, каждая ячейка которой находится как произведение количества на цену, и ячейка «Общая стоимость», которая в данном случае и есть целевая функция, максимум которой необходимо найти (рис.1.5).
Рис 1.5 — Представление исходных данных в Excel
После этого, для решения данного задания была использована надстройка «Поиск решения».
Рис. 1.6 — Использование надстройки «Поиск решения»
В открывшемся окне (рис. 1.6) задаются целевая ячейка (ячейка, максимальное значения которой необходимо получить), определяются ячейки с переменными (т.е. в данном случае это ячейки, отвечающие за количество), и задаются ограничения (использованное сырье не должно по количеству превышать запасы, и значения должны быть неотрицательными).
В результате получился следующий результат (рис.1.7):
Рис. 1.7 — Результаты использования надстройки «Поиск решения»
В результате необходимо выпустить 95 единиц изделия первого вида, и 210 — второго, при этом общая стоимость выпущенной продукции будет равна 2115 долл.
Оценка устойчивости полученных результатов проводилась с помощью построения отчета по найденному решению (рис.1.8):
Рис. 1.8 — Отчет об устойчивости
Согласно отчету об устойчивости (рис. 1.8) значения цен могут изменяться следующим образом (при этом не вызывая изменения плана выпуска, меняться будет только значение целевой функции): для первого типа изделий цена может вырасти на 3 единицы или же опуститься на 9, для второго — цена может либо вырастать неограниченно, либо опуститься только на 1,5 долл.
2. Оптимизационное задание
2.1 Формулировка задания
Необходимо найти минимум функции , используя метод Нелдера-Мида (метод деформируемого многогранника):
Оптимизацию проводить с точностью .
Процесс вычисления считать законченным, если выполняется следующее условие:
Начальная точка .
2.2 Описание метода
Данный метод относится к безусловным методам оптимизации функции от нескольких переменных, без использования градиента. Суть метода заключается в том, что формируется симплекс, постоянное перемещение точек которого, в конечном итоге позволяет найти экстремум функции. Нахождение новых точек происходит с помощью параметров метода б (коэффициент отражения, обычно равен 1), в (коэффициент сжатия, обычно равен 0.5), г (коэффициент растяжения).
Преимуществами данного метода являются:
ѕ не накладывает ограничений на гладкость функции
ѕ данный метод является эффективным при низкой скорости вычисления минимизирующей функции
2.3 Алгоритм метода
2.4 Реализация данного метода
Реализация данного алгоритма была проведена в Mathcad.
Рис. 2.1 — представление исходных данных в Mathcad
На рисунке 2.1, f(X0,X1), f1(X) — это функция, минимум которой находится. D(X0,X1)-это функция, которая является нормой градиента.
Одна исходная точка была задана в условии (2,2), остальные две были заданы выборочно.
В результате данный метод дал следующие результаты для разных степеней точности:
Рис. 2.2 — результаты реализации метода Нелдера-Мида
Как видно из результатов (рис. 2.2), при повышении точности, программа с каждым разом совершает большее количество шагов, и при этом в каждой последующей точке значение функции все меньше.
3. Экономико-статистическая задача
Многофакторное уравнение регрессии
Имеются наблюдения за показателями функционирования отрасли в течение 15 лет ( валовый выпуск; фондооснащенность; продуктивность труда).
Таблица 3.1 — Исходные данные
|
1 |
1133 |
2,61 |
6,1 |
9 |
2216 |
4,27 |
9,8 |
|
|
2 |
1160 |
2,56 |
5,9 |
10 |
2403 |
4,51 |
10,3 |
|
|
3 |
1402 |
2,67 |
6,7 |
11 |
2624 |
4,82 |
11 |
|
|
4 |
1524 |
2,94 |
7,2 |
12 |
2816 |
5,26 |
11,7 |
|
|
5 |
1595 |
3,08 |
7,2 |
13 |
3013 |
5,61 |
12,3 |
|
|
6 |
1556 |
3,41 |
7,5 |
14 |
2868 |
5,96 |
11,6 |
|
|
7 |
1679 |
3,59 |
7,8 |
15 |
3198 |
6,46 |
12,6 |
|
|
8 |
1843 |
3,74 |
8,2 |
Необходимо построить модель, на основании исходных данных (таблица 3.1), провести предварительный анализ и осуществить прогноз этих показателей на следующие 3 года.
В данном случае речь идет о многофакторном уравнении регрессии. Необходимо построить модель вида:
с учетом того, что Х1, Х2 также описываются своими моделями:
Для решения данной задачи необходимо построить адекватные модели, которые будут отображать поведение фондооснащенности и производительности труда, и модель, которая будет отображать поведение валового продукта, в зависимости от изменения фондооснащенности и производительности труда.
В Mathcad была построена модель для отображения поведения валового продукта:
Рис. 3.1
На рис. 3.1 продемонстрировано как именно была построена модель. Вначале были введены 3 вектора — значения У, Х1, Х2, потом построена матрица H (на основе предположения, что модель имеет вид Y=a0+a1*Х1+а2*Х2). Оценка адекватности этой модели проводилась с помощью коэффициента детерминации:
Рис. 3.2
Исходя из значения коэффициента (0.997), можно сделать вывод, что построенная модель адекватна, и ей можно пользоваться. Модель графически представлена на рис. 3.3.
Рис. 3.3 — Графическое отображение исходных значений У и модели
После этого, необходимо построить модели для Х1, Х2. Построение моделей проводилось в Excel (рис.3.4).
Рис. 3.4 — Построение моделей для Х1,Х2
После графического отображения исходных данных, была использована встроенная функция постройки линии тренда. С ее помощью были получены линейные модели для X1, X2. Значения коэффициентов детерминации для этих моделей говорят о том, что модели адекватно описывают поведение рассматриваемых величин.
Т. о. были получены следующие модели рассматриваемых величин:
На основании полученных моделей был построен прогноз (на следующих три периода, вычисления производились в Mathcad), рис. 3.5:
Рис. 3.5 — Нахождение прогнозных значений
В построенной матрице pr: первый столбец — это значения Х1, второй столбец — Х2, третий — У.
На основании как значений, как выборки, так и полученного прогноза можно сделать вывод о том, что рассматривается широко прогрессирующая отрасль, поскольку за 15 лет наблюдается уверенный рост всех показателей, с каждым годом увеличивается объем валового продукта. Вероятнее всего рассматривалась совсем новая отрасль, которая еще находится на стадии развития.
Выводы
В результате выполнения данной курсовой работы, были найдены решения по задаче линейного программирования, оптимизационной и экономико-статистической задачи, с использованием разнообразных информационных подходов.
Таким образом были получены следующие результаты:
ѕ по задаче линейного программирования, фабрике необходимо выпустить 95 изделий первого типа, и 210 — второго. При этом будет максимальная стоимость выпущенной продукции.
ѕ по задаче на оптимизацию, поиск минимума рассматриваемой функции методом Нелдера-Мида даст следующие результаты: для точности 0.1 — точку (0.227, 0.18), значение функции в этой точке будет равно 1.782, будет сделано 12 шагов; для точности 0.01 — точка(0.24, 0.184), значение функции — 1.781, сделано 21 шаг; для точности 0.01 — точка (0.242, 0.183), значение функции — 1,781, сделано 36 шагов. Т.е. повышение точности будет давать более улучшенные результаты, но ценой дополнительной нагрузки на систему. линейный программирование статистический регрессия
ѕ по экономико-статистической задаче, была построено многофакторное уравнение регрессии, и получены прогнозы для фондооснащенности (6.369 — 6.653 — 6.937), продуктивности труда (13.195 — 13.711 — 14.228), и валового выпуска (3302 — 3457 — 3611). Выдвинуто предположение, что рассматриваемая отрасль находится в стадии развития.
Список использованной литературы
1. В.И. Суслов, «Эконометрия»;
2. Е.В. Зандер, «Эконометрика — учебно-методический комплекс»
Размещено на
