Задания по логике (4 задачи), Логика

Содержание

1.Произведите обобщение понятий

2.Проверьте истинность суждений по логическому квадрату.

Ложно, что ни одна проектная организация не осуществляет авторского надзора над строительством; значит, истинно, что некоторые проектные организации осуществляют авторский надзор за строительством.

Выдержка из текста работы

1. Даны следующие простые высказывания:
А = {Число 3 является делителем числа 171},
B = {Коля Петров — отличник},
C = {Число 2 больше числа 3},
D = {Идет дождь}, и пусть A и B истинны, а С и D ложны. Применяя к данным элементарные операции отрицания, дизъюнкции, конъюнкции, эквиваленции и импликации, можно получить 34 сложных высказываний. Сколько среди них истинных?

2. По мишени произведено три выстрела. Пусть . Что означают следующие высказывания:
а)
б)
в)
г) ?

3. Какие из логических операций не будут иметь истинного значения, когда на входе операции все аргументы истинны? Сколько таких логических операций?

4. Какие из логических операций при обработке двух противоположных аргументов выдают различные значения, зависящие от порядка аргументов? Сколько таких логических операций?

5. Какие из логических операций будут иметь истинное значения, когда на входе операции все аргументы ложны? Сколько таких логических операций?

6. Какая формула соответствует высказыванию «для A достаточно B» (A и B – логические переменные)?

7. Какая формула соответствует высказыванию «для A необходимо B» (A и B – логические переменные)?

8. Какая формула соответствует высказыванию «неверно, что если C, то B» (C и B – логические переменные)?

9. Какая формула соответствует высказыванию «A тогда и только тогда, когда B» (A и B – логические переменные)?

10. Какая формула соответствует высказыванию «неверно, что A эквивалентно B» (A и B – логические переменные)?

11. Сформулируйте на естественном языке отрицание следующего высказывания, обосновав свою формулировку с помощью языка алгебры логики: "Если урок по информатике будет интересным, то никто из учеников — Петя, Витя, Кира не будет смотреть постоянно в окно".

12. Сформулируйте на естественном языке отрицание следующего высказывания: "Виктор пойдет на рыбалку только при солнечной погоде, если не будет жарко".

13. Мальчик решил в воскресенье закончить чтение книги, сходить в музей или кино, а если будет хорошая погода – пойти на реку выкупаться. В каком случае можно сказать, что решение мальчика не выполнено?

14. Пусть высказывания , , , . Прочитайте словесно следующие формулы: ; ; ; ;
; .

15. , . Прочитайте словесно: ; ; ; ; ; ; ; . Какие формулы по содержанию истинны независимо от значений истинности x и y? Какие формулы истинны независимо от содержания высказываний x и y?

16. Припишите буквам некоторые математические высказывания так, чтобы формулы оказались истинными: .

17. Ни 7, ни 13 не являются четными числами. С помощью высказываний , запишите это сложное высказывание.

18. Докажите равносильность .

Докажите следующие законы:

19. Закон объединения посылок:

20. Закон перестановки посылок:

21. Закон исключения дизъюнкции:

22. Закон исключения конъюнкции:

23. Закон отрицания импликации:

24. Закон исключения отрицаний в эквиваленции:

25. Закон переноса отрицания в эквиваленции:

26. Закон исключения отрицаний в импликации:

Дополнительные законы поглощения:

27.28.29.

30.31.32.

33. Составьте таблицу истинности для высказывания

34. Составьте таблицу истинности для функции , в которой столбец значений аргумента A представляет собой двоичную запись числа 15, столбец значений аргумента B – числа 51, столбец значений аргумента C – числа 85. Число в столбце записывается сверху вниз от старшего разряда к младшему. Переведите полученную запись значения функции F в десятичную систему счисления.

35. Найдите восьмеричное представление значения логической функции в однобайтовом формате при .

36. Найдите четверичное представление значения логической функции в однобайтовом формате при .

37. Найдите восьмеричное представление значения логической функции в однобайтовом формате при .

38. При каких значениях переменных следующее выражение ложно?

Упростить логическое выражение:

39.40. )

41.42.43.

44.45.46.

47.48.49.

50.51.52.

53.54.55. Какие из ниже перечисленных логических формул являются тождественно-истинными (тавтологиями)?

1)2)3)

4)5)56. Заданы логические функции и . Путем тождественных преобразований получить минимальную форму записи функций и проверить, является ли функция тождественной функции .

57. Заданы логические функции и Необходимо:

1) путем тождественных преобразований получить минимальную форму записи функций

2) проверить, является ли функция тождественной функции .

58. Является ли тождественно-истинной данная формула: .

59. Является ли тождественно-истинной данная формула: ?

60. Даны два десятичных числа X и Y. Их перевели в двоичную систему счисления и определили, что в числе X из 6 разрядов четыре единицы, а в числе Y из 4 разрядов три единицы. Логическое произведение (конъюнкция) этих чисел равно 101₂, а логическая сумма (дизъюнкция) — число 111101₂. Определить числа X и Y в десятичной системе счисления.

61. Даны два десятичных числа X и Y. Их перевели в двоичную систему счисления и определили, что в числе X из 4 разрядов три единицы, а в числе Y из 5 разрядов две единицы. Логическое (побитовое) произведение этих чисел равно 10₂, а логическая (побитовая) сумма – 11110₂. Чему равны числа X и Y в десятичной системе счисления? При побитовом сложении или произведении чисел вычисляется результат соответственной логической операции над каждой парой бит независимо без переноса в следующий разряд.

62. Даны два десятичных числа X и Y. Их перевели в двоичную систему счисления и определили, что в числе X из 4 разрядов три единицы, а в числе Y из 5 разрядов две единицы. Логическое (побитовое) произведение этих чисел равно 1₂, а логическая (побитовая) сумма – 11101₂. Чему равны числа X и Y в десятичной системе счисления? При побитовом сложении или произведении чисел вычисляется результат соответственной логической операции над каждой парой бит независимо без переноса в следующий разряд.

63. Даны два десятичных числа X и Y. Их перевели в двоичную систему счисления и определили, что в числе X из 5 разрядов три единицы, а в числе Y из 4 разрядов три единицы. Логическое (побитовое) произведение этих чисел равно 1001₂, а логическая (побитовая) сумма – 11101₂. Чему равны числа X и Y в десятичной системе счисления? При побитовом сложении или произведении чисел вычисляется результат соответственной логической операции над каждой парой бит независимо без переноса в следующий разряд.

64. Каково наибольшее натуральное число X, при котором высказывание
будет ложным?

65. Каково наибольшее натуральное число X, при котором высказывание:
будет ложным?

66. Каково наибольшее натуральное число X, при котором высказывание:
будет истинным?

СДНФ и СКНФ

67. Найти логическую функцию F, зависящую от логических переменных A, B, C, по заданной таблице истинности. Упрощенный вид функции должен содержать не более трех логических операций.

A	B	C	F

68. Найти логическую функцию F, зависящую от логических переменных A, B, C, по заданной таблице истинности. Упрощенный вид функции должен содержать не более трех логических операций.

A	B	C	F

69. Найти логическую функцию F, зависящую от логических переменных A, B, C, по заданной таблице истинности. Упрощенный вид функции должен содержать не более четырех логических операций.

A	B	C	F

70. Известно, что логическая функция F(A,B,C) принимает ложные значения на всех наборах значений операндов кроме представленных в таблице. Запишите упрощенный вид этой функции. Упрощенный вид функции должен содержать не более трех логических операций.

A	B	C	F

71. Известно, что логическая функция F(A,B,C) принимает ложные значения на всех наборах значений операндов кроме представленных в таблице. Запишите упрощенный вид этой функции. Упрощенный вид функции должен содержать не более трех логических операций.

A	B	C	F

72. Заданы функции трех и четырех аргументов. Минимизировать сложность их формул с помощью метода Карно-Вейча.

Решение задач на приведение множеств в соответствие

73. На заводе работают три друга: слесарь, токарь, шлифовщик. Их фамилии: Борисов, Иванов, Семенов. У слесаря нет ни братьев, ни сестер, он самый младший из друзей. Семенов женат на сестре Борисова и старше токаря. У кого какая специальность?

74. Ученики 8 класса Андрей, Егор, Ксюша и Игорь занимались факультативными занятиями по информатике, биологии, английскому языку и математике. Известно, что каждый ученик занимался только одним факультативом, и никакой факультатив не посещали два ученика. Ксюша и Игорь никогда не посещали факультатив информатики. Андрей вместе с учеником, посещавшим факультатив математики, ходили в гости к любителю английского языка. Ксюша никогда не посещала факультативных занятий по английскому языку, а Андрей на последнем факультативе изучал строение кольчатого червя. Кто из ребят занимался английским языком?

75. Друзья Дима, Саша, Витя и Стас занимались различными видами спорта: футбол, хоккей, баскетбол и фигурное катание. Известно, что каждый из мальчиков занимался только одним видом спорта, и никаким спортом не занималось два человека. Витя и Стас ездили на соревнования по фигурному катанию, чтобы поболеть за еще одного из четырех друзей. Саша и Дима никогда не играли в баскетбол, а Стас и Саша не увлекались зимними видами спорта. Дима никогда не играл в хоккей. Каким видом спорта занимается Витя?

76. У рассеянной хозяйки есть три ящика для рассады с надписью "Огурцы", "Цветы" и "Ромашки". Она посадила семена ромашек, огурцов и колокольчиков в эти ящики так, что все надписи оказались неверными. Что вырастет в ящике с надписью "Ромашки"?

77. На скамейке сидит Маша, ее мама, бабушка и кукла. Бабушка сидит рядом с внучкой, но не рядом с куклой. Кукла не сидит рядом с мамой. Кто сидит рядом с мамой Маши?

78. В школе учатся четыре талантливых мальчика: Иванов, Петров, Сидоров и Андреев. Один из них – будущий музыкант, другой преуспел в бальных танцах, третий – солист хора мальчиков, четвертый подает надежды как художник. О них известно следующее:

1) Иванов и Сидоров присутствовали в зале консерватории, когда там солировал в хоре мальчиков певец.

2) Петров и музыкант вместе позировали художнику.

3) Музыкант раньше дружил с Андреевым, а теперь хочет познакомиться с Ивановым.

4) Иванов не знаком с Сидоровым, так как они учатся в разных классах и в разные смены.

Кто чем увлекается?

79. Трое мальчиков, Григорьев, Капранов и Литвинов, живут на одной улице. Один из них – известный в микрорайоне шахматист, другой – заядлый футболист и болельщик, а третий – любитель всяческих вечеринок.

Однажды футболист пришел к своему другу, чтобы поучиться приемам игры в шахматы, но мама шахматиста сказала, что сын ушел с известной всей улице личностью на дискотеку. Известно, что Литвинов никогда не слышал о Капранове.

Кто есть кто?

80. В школьной математической олимпиаде лучше других выступили школьники: Виктор, Егор и Аня.

1) Егор справился со всеми заданиями и показал изобретательность и умение принимать нестандартные решения. Но из-за небрежности в оформлении работы мнение членов жюри выразилось в двух противоположных оценках: первое и третье место.

2) Аня тоже решила все задания, но шла стандартной и неоптимальной дорогой. Поэтому члены жюри дали ей места с первого по третье.

3) Витя показал себя с хорошей стороны, и все судьи назвали его вторым или третьим.

Найдите приемлемые варианты распределения мест. Оформите решение задачи в виде таблицы.

81. После традиционного вечера встречи с выпускниками школы в стенгазете появилась заметка о трех наших бывших учениках. В ней было сказано, что Иван, Андрей и Борис стали учителями. Теперь они преподают разные дисциплины: один из них – математику, второй – физику, а третий – химию. Живут они тоже в разных городах: Минске, Витебске, Харькове. В заметке было также написано, что их первоначальные планы осуществились не полностью:

1) Иван живет не в Минске.

2) Андрей – не в Витебске.

3) Житель Минска преподает не математику.

4) Андрей преподает не физику.

5) Повезло только жителю Витебска: он преподает любимую им химию.

Можно ли по этим данным определить, кто где живет и что преподает?

82. В конструкторском бюро работают Антонов, Борисов, Кириллов и Дроздов. Все хотят отдыхать летом, и поэтому при составлении графика отпусков всегда возникают бесконечные споры. Попробуйте помочь составить график отпусков на 4 года, который бы удовлетворял следующим пожеланиям сотрудников:

1) в отпуск сотрудники хотят идти только с мая по август;

2) продолжительность отпуска – один месяц;

3) в каждом месяце в отпуск может пойти только один человек;

4) за четыре года каждый из четырех сотрудников должен получить отпуск по одному разу в каждом из этих месяцев;

5) в первый год Кириллов хочет отдыхать в июле;

6) во второй год Антонову отпуск нужен в мае;

7) в третий год Дроздову отпуск нужен в июне;

8) Борисов на четвертый год предполагает уйти в отпуск в июле;

9) в августе все хотят отдыхать следующим образом: в первый год – Дроздов; во второй – Кириллов; в третий – Борисов; в четвертый – Антонов.

83. В одном доме живут Воронов, Павлов, Журавлев, Синицын. Один из них – математик, другой – художник, третий – писатель, а четвертый – баянист. Известно, что:

1) ни Воронов, ни Журавлев не умеют играть на баяне;

2) Журавлев не знаком с Вороновым;

3) писатель и художник в воскресенье уезжают на дачу к Павлову;

4) писатель собирается написать очерк о Синицыне и Воронове.

Требуется определить, кто есть кто.

84. Маша, Лида, Женя и Катя играют на разных инструментах – виолончели, рояли, гитаре, скрипке, но каждая только на одном. Они же владеют иностранными языками – английским, французским, немецким, испанским, но каждая одним. Девушка, играющая на гитаре, говорит по-испански. Ни Лида, ни Маша не играют на скрипке и на виолончели, не знают английского языка. Девушка, которая говорит по-немецки, не играет на виолончели. Женя знает французский язык, но не играет на скрипке. Кто играет на каком инструменте и каким иностранным языком владеет?

85. В девятом классе в понедельник шесть уроков: иностранный язык, физика, химия, биология, литература, математика. Каждый из шести преподавателей – A, B, C, D, E, F – должен провести один урок. Известно следующее:

1) Если C не преподает химию, то уж точно биологию; он же занят на третьем уроке в восьмом классе.

2) F не литератор, на втором уроке присутствовать не может.

3) A и B преподают иностранный язык или физику.

4) На четвертом уроке – химия, физика или иностранный язык, но преподаватели не A и не B.

5) Пятый уро проводит если не B, то D.

6) На шестом уроке иностранный язык, химия или литература: преподаватели B или C.

7) Математик, считая (согласно учения Пифагора!) четные числа «счастливыми», просил дать ему «четный» урок.

8) Биологический кабинет освобождается не ранее второго урока.

Составить расписание на понедельник для 9-го класса, удовлетворяющее всем требованиям, и узнать, какой предмет преподает каждый учитель.

86. Три друга — Алеша, Боря и Витя — учатся в одном классе. Один из них ездит домой из школы на автобусе, другой — на трамвае, третий — на троллейбусе. Однажды после уроков Алеша пошел проводить своего друга до остановки троллейбуса. Когда мимо них проходил автобус, третий друг крикнул из окна: “Боря, ты забыл в школе тетрадку!”. Кто на чем ездит домой?

87. Квадрат, круг, ромб и треугольник вырезаны из белой, синей, красной и зеленой бумаги. Известно, что: круг не белый и не зеленый; синяя фигура лежит между ромбом и красной фигурой; треугольник не синий и не зеленый; квадрат лежит между треугольником и белой фигурой. Поставьте в соответствие фигуры и их цвета!

88. Каникулы в школе птиц и зверей начались большим карнавалом. Медведь, волк, лиса и заяц явились в маскарадных костюмах волка, медведя, лисы и зайца. На балу зверь в маскарадном костюме зайца выиграл в лотерее банку меда и остался этим очень недоволен. Известно также, что медведь не любит лису и никогда не берет в лапы картинок, где она нарисована. Зверь в маскарадном костюме лисы выиграл в лотерее пучок моркови, но это тоже не доставило ему никакой радости. Не могли бы вы сказать, какой маскарадный костюм смастерил себе каждый из зверей?

89. Беседуют трое друзей: Белокуров, Рыжов и Чернов. Брюнет сказал Белокурову: “Любопытно, что один из нас блондин, другой — брюнет, третий — рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии”. Какой цвет волос у каждого из друзей?

90. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что: вода и молоко не в бутылке; сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом; в банке не лимонад и не вода; стакан стоит между банкой и сосудом с молоком. В каком сосуде находится каждая из жидкостей?

91. Однажды на отдыхе за круглым столом оказались пятеро ребят родом из Москвы, Санкт-Петербурга, Новгорода, Перми и Томска: Юра, Толя, Алеша, Коля и Витя. Москвич сидел между томичом и Витей, санкт-петербуржец — между Юрой и Толей, а напротив него сидели пермяк и Алеша. Коля никогда не был в Санкт-Петербурге, а Юра не бывал в Москве и Томске, а томич с Толей регулярно переписываются. Определите, в каком городе живет каждый из ребят.

92. На деловой встрече были писатель, химик, биолог и врач. Их звали (по алфавиту): Анна, Дмитрий, Екатерина и Стас. Дмитрий сказал биологу, что только что встретил Екатерину с пончиками. Анна сидела напротив врача и рядом с химиком. Врач про себя размышлял о том, что Стас — глупое имя. Назовите специальность каждого.

93. Четыре подружки: Зина, Лариса, Юля и Маша купили мобильные телефоны разных фирм (Nokia, Motorola, Philips и Samsung). Известно, что у Зины не Nokia и не Motorola. У Юли — Philps. У Ларисы — не Motorola. Какой телефон у Маши никто не знает. У кого из девочек телефон фирмы Samsung?

94. Алексей, Борис, Виктор и Григорий — друзья. Один их них — врач, другой — журналист, третий — спортсмен, а четвертый — строитель. Журналист написал статью об Алексее и Григории. Спортсмен и журналист вместе с Борисом ходили в поход. Алексей и Борис были на приеме у врача. Какая профессия у Григория?

95. Школьники: Сергей, Владимир, Петр и Борис приехали на олимпиаду из разных городов: Орла, Саратова, Москвы и Новосибирска. Школьник из Саратова подружился с Сергеем и Борисом. Школьники из Москвы и Саратова прошли регистрацию позже, чем Владимир. Сергей и Владимир жили в одной гостинице со школьником из Орла. Из какого города приехал Борис?

96. Андрей отправился на концерт. Борис провел все время в кафе с Ольгой, Петр так и не увиделся с Марией. Полина побывала в кино. Мария посмотрела спектакль в театре. Постоянными членами компании были также Дмитрий и Алла. Вместе с каждым юношей на том же виде культурных развлечений присутствовала и одна девушка. Кто с кем и где был?

97. На международном конгрессе встретились четверо ученых: физик, историк, биолог и математик. Национальности их различны и, хотя каждый из ученых владеет двумя языками их четырех (русский, английский, французский и итальянский), нет такого языка, на котором они могут разговаривать вчетвером. Есть язык, на котором они могут разговаривать сразу трое, – итальянский. Никто из ученых не владеет французским и русским языками одновременно. Хотя физик не говорит по-английски, но может быть переводчиком, если биолог и историк захотят поговорить друг с другом. Историк может говорить с математиком по-французски. Физик, биолог и математик не могут беседовать втроем на одном языке. Какими двумя языками владеет биолог?

98. В одном небольшом кафе в смене одновременно работают пять человек: администратор, повар, кондитер, кассир и дворник. Одновременно на работу выходили мисс Гэлбрэйт, мисс Шерман, мистер Вильямс, мистер Вортман и мистер Блэйк. При этом было известно, что: повар – холостяк; кассир и администратор жили в одной комнате, когда учились в колледже; мистер Блэйк и мисс Шерман встречаются только на работе; миссис Вильямс заболела, когда муж сказал ей, что администратор отказал ему в отгуле на субботний вечер; Вортман собирается быть шафером на свадьбе у кассира и кондитера. Какую должность занимает Вильямс?

99. В авиационном подразделении служат Потапов, Щедрин, Семенов, Коновалов и Самойлов. Их специальности (они перечислены не в том же порядке, что и фамилии): пилот, штурман, бортмеханик, радист и синоптик. Об этих людях известно следующее: Щедрин и Коновалов не умеют управлять самолетом; Потапов и Коновалов готовятся стать штурманами; Щедрин и Самойлов живут в одном доме с радистом; Семенов был в доме отдыха вместе со Щедриным и сыном синоптика; Потапов и Щедрин в свободное время любят играть в шахматы с бортмехаником; Коновалов, Семенов и синоптик увлекаются боксом; Радист боксом не увлекается. Какую специальность имеет Семенов?

100. Когда через реку имени королевы Рейчел был построен мост, она решила взимать плату за проход по нему. Каждый человек, проходивший по мосту, должен был платить 0,05 от цены своих ботинок! Так, если туфли стоили 1 доллар, их владелец должен был заплатить пять центов в качестве пошлины. Использую данную ниже информацию, выясните: у кого сколько стоят ботинки и туфли, и какого цвета они были у пешеходов.

1) Ботинки Курта не зеленого цвета. Туфли, стоящие 3,60$, тоже имеют другой цвет.

2) Человек в голубых туфлях должен заплатить пошлину в 36 центов.

3) Джек заплатил больше Синди, и ни у одного из них не было черной обуви.

4) Человек, чья обувь стоит 3,60$, не Джон.

5) Тот, чьи туфли не зеленые и не красные, заплатил 18 центов.

6) Владелец красных ботинок заплатил пошлину в 14 центов.

7) Джон заплатил 24 цента.

8) Человек в белых ботинках заплатил 38 центов.

9) Туфли Синди голубого цвета.

Имена людей: Джейн, Синди, Курт, Джек, Джон. Цвета ботинок или туфлей: красный, зеленый, голубой, белый, черный. Стоимость: 2,80$, 3,60$, 4,80$, 7,20$, 7,60$

101. На одном вечере среди гостей оказались пять офицеров: пехотинец, артиллерист, летчик, связист и сапер, среди них — три майора, капитан и полковник. У Николая такое же звание, как у его друга сапера. Офицер-связист и Федор — друзья. Офицер-летчик вместе с Борисом и Леонидом недавно побывали в гостях у Федора. Незадолго до вечера у артиллериста и сапера почти одновременно вышли из строя радиоприемники. Оба в один день обратились к Леониду с просьбой зайти к ним и помочь связисту устранить неисправность и не ошиблись: с тех пор приемники у обоих работали отлично. Федор чуть было не стал летчиком, но потом по совету друга, сапера, избрал иной род войск. Николай по званию старше Леонида, а Борис старше Федора. Андрей накануне вечером был в гостях у Леонида. Определите звания каждого офицера и род войск, в котором они служат.

Решение задач с помощью кругов Эйлера

102. Изобразите схематически множества истинности высказываний и и покажите штриховкой множества истинности следующих высказываний:
а) ; б) ; в) ; г)

103. В классе 36 человек. Ученики этого класса посещают математический, физический и химический кружки, причем математический кружок посещают 18 человек, физический – 14, химический – 10. Кроме того, известно, что 2 человека посещают все три кружка, 8 человек – математический и физический, 5 – и математический и химический, 3 – и физический и химический. Сколько учеников класса не посещают никаких кружков?

104. После зимних каникул классный руководитель спросил, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк. казалось, что из 36 учеников класса двое не были ни в кино, ни в театре, ни в цирке. В кино побывало 25 человек, в театре – 11, в цирке – 17; и в кино, и в театре – 6; и в кино, и в цирке – 10; и в театре, и в цирке – 4. Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и в цирке?

105. Контрольную работу, содержащую одну задачу по алгебре, одну задачу по геометрии и одну по тригонометрии, писали 105 учащихся. Задачу по алгебре решили 70 человек, по геометрии – 59, по тригонометрии – 62. 90 учащихся решили задачи по алгебре или геометрии, 89 – по геометрии или тригонометрии, По алгебре или тригонометрии задачи были решены 91 учащимся, а 6 школьников не решили ни одной задачи. Сколько учащихся решили все три задачи?

106. Запишите логическое выражение, описывающее заштрихованное множество точек на рисунке:

а) б) в)

г) д)

107. Запишите логическое выражение, описывающее заштрихованное множество точек:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

108. Высказывания A, B, C истинны только для точек, принадлежащих кругу, треугольнику и прямоугольнику соответственно. На схеме цифрами обозначены непересекающиеся области. Напишите номера областей, в которых будет истинным выражение:

109. Построить логическое выражение, описывающее заштрихованную область:

-2

-1

-2

110. Построить область, описываемую следующим логическим выражением:

1) ((x³-2) and (x£-1) and (y³1) and (y£3)) or ((x³-1) and (x£3) and (y³1) and (y£2))

2) (x³-2) and (x£4) and (y³-1) and (y£2)

3) ((x³-1) and (x£1) and (y³-1) and (y£1)) or ((x³1) and (x£3) and (y³1) and (y£3))

Решение задач с помощью характеристических уравнений

111. Следующие два высказывания истинны: «неверно, что если будет экскурсия в город В, то не будет экскурсии в город С» и «если будет экскурсия в город С, то не будет экскурсии в город А». В каких городах будет экскурсия?

112. Следующие два высказывания истинны: «школьник В пойдет в кино, а школьник С не пойдет» и «из двух школьников А и С пойдет в кино только один». Кто из школьников пойдет в кино?

113. Следующие два высказывания истинны: «неверно, что если магазин А организует распродажу, то магазин С тоже» и «из двух магазинов В и С организует распродажу только один». Какие магазины организуют распродажу?

114. Следующие два высказывания истинны: «Миша посмотрит фильм А, но не посмотрит фильм С» и «из двух фильмов В и С Миша посмотрит только один». Какие фильмы посмотрит Миша?

115. Следующие два высказывания истинны: «неверно, что если корабль А вышел в море, то корабль С – нет» и «в море вышел корабль В или корабль С, но не оба вместе». Какие корабли вышли в море?

116. Кто из абитуриентов A, B, C и D играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее:

1) Если A или B играет, то C не играет;

2) Если B не играет, то играют C и D;

3) С играет.

117. На олимпиаде по информатике студенты A, B, C и D заняли первые четыре места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три ответа: D – первый или B – второй; C – первый или A – четвертый; D – второй или B – третий. Как распределились места, если в каждом ответе только одно утверждение истинно?

118. На вопрос, какая завтра погода, синоптик ответил: если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя; если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра; если будет пасмурно, то будет дождь и не будет ветра. Подумав немного, синоптик уточнил, что его три высказывания можно записать более лаконично. Попробуйте это сделать!

119. Три друга – Петр, Роман и Сергей – учатся на математическом, физическом и химическом факультетах. Если Петр математик, то Сергей не физик. Если Роман не физик, то Петр – математик. Если Сергей не математик, то Роман – химик. Определите специальности каждого.

120. В деле об убийстве имеются двое подозреваемых: A и B. Допросили четверых свидетелей. Показания первого таковы: «A не виноват». Второй свидетель сказал: «B не виноват». Третий свидетель: «Из двух показаний по крайней мере одно истинно». Четвертый: «Показания третьего свидетеля ложны». Четвертый свидетель оказался прав. Кто же совершил преступление?

121. (Пятеро друзей). Пятеро друзей решили записаться в кружок любителей логических задач: Андрей (А), Борис (Б), Виктор (В), Григорий (Г), Дмитрий (Д). Но староста кружка предложил им выдержать вступительный экзамен. «Вы должны приходить к нам по возможности больше вечеров, однако, в разных сочетаниях, соблюдая следующие условия:

1) Если А приходит вместе с Д, то Б должен присутствовать.

2) Если Д отсутствует, то Б должен быть, а В пусть не приходит.

3) А и В не могут одновременно ни присутствовать, ни отсутствовать.

4) Если приедет Д, то Г пусть не приходит.

5) Если Б отсутствует, то Д должен присутствовать, но это в том случае, если не присутствует В. Если же В присутствует при отсутствии Б, то Д приходить не должен, а Г должен прийти.»

Сколько вечеров и в каком составе друзья могли прийти?

122. (Диагностическая). Имеются два симптома S1 и S2 двух болезней X1 и X2. Известно:

1) При X2 есть S1.

2) При X1 и отсутствии X2 есть S2.

3) При X2 и отсутствии X1 нет S2.

4) При S1 или S2 есть, по крайней мере, X1 или X2.

Составьте логическое уравнение, позволяющее по «значениям» признаков («есть», «нет») определить «значения» болезней.

123. (Экономическая). Менеджер банка должен установить 4 банкомата. В течение каждого дня работы должны выполняться следующие условия:

1) Если работает первый банкомат, то третий банкомат не должен работать, а второй и четвертый должны.

2) Если работает третий банкомат, то первый и четвертый не должны работать, а второй должен.

3) Должен работать по крайней мере один банкомат.

Необходимо определить наибольшее число дней, которое могут работать банкоматы при выполнении этих условий, так, чтобы их назначение ни в один из дней не повторялось, а также указать допустимое расписание на каждый день.

124. (Спортивная). Шесть спортсменов – Адамов, Белов, Ветров, Глебов, Дронов, Ершов – в проходившем соревновании заняли шесть первых мест, причем ни одно место не было разделено между ними. О том, кто какое место занял, были получены такие высказывания:

1) «Кажется, первым был Адамов, а вторым – Дронов»;

2) «Нет, на первом месте был Ершов, а на втором – Глебов»,

3) «Вот так болельщики! Ведь Глебов был на третьем месте, а Белов – на четвертом»;

4) «И вовсе не так: Белов был пятым, а Адамов – вторым»;

5) «Все вы перепутали: пятым был Дронов, перед ним – Ветров».

Известно, что в высказывании каждого болельщика одно утверждение истинное, а другое ложное. Определите, какое место занял каждый из спортсменов.

125. Три подразделения A, B и C торговой фирмы стремились получить по итогам года прибыль. Экономисты высказали следующие предположения:
— либо подразделения А и В получать прибыль одновременно, либо одновременно не получат;
— получение прибыли подразделением С равносильно тому, что получение прибыли подразделением В не будет достаточным основанием для получения прибыли подразделением А;
— ни подразделение А и ни подразделение С не получит прибыль.
По завершению года оказалось, что истинны только два из трех предположений. Какие подразделения получили прибыль по окончанию года?

126. Три подразделения A, B и C торговой фирмы стремились получить по итогам года прибыль. Экономисты высказали следующие предположения:
— получение прибыли подразделением С не является необходимым для получения прибыли либо подразделением А, либо подразделением В;
— подразделение А получит прибыль только тогда, когда ни подразделение В, ни подразделение С не получат прибыль;
— подразделение А получит прибыль только тогда, когда получение прибыли подразделением С не будет достаточным основанием для получения прибыли подразделением В.
По итогам года оказалось, что только одно из трех предположений истинно. Какие подразделения получили прибыль по окончанию года?

127. Три подразделения A, B и C торговой фирмы стремились получить по итогам года прибыль. Экономисты высказали следующие предположения:
— подразделения В и С не получат прибыль;
— подразделение В получит прибыль или получат прибыль подразделения А и С;
— либо подразделение В, либо подразделение С получит прибыль.
По завершению года оказалось, что одно из трех предположений ложно. Какие подразделения получили прибыль по окончанию года?

128. Три подразделения A, B и C торговой фирмы стремились получить по итогам года прибыль. Экономисты высказали следующие предположения:
— получение прибыли подразделением А не является необходимым условием для получения прибыли одним из двух подразделений В или С;
— подразделение А получит прибыль или получит прибыль либо подразделение В, либо подразделение С;
— получение прибыли подразделением А равносильно получению прибыли подразделениями В и С.
По завершению года оказалось, что одно из трех предположений ложно. Какие подразделения получили прибыль по окончанию года?

129. Три подразделения A, B и C торговой фирмы стремились получить по итогам года прибыль. Экономисты высказали следующие предположения:
— получение прибыли подразделением В равносильно тому, что получит прибыль подразделение А или получит прибыль подразделение С;
— неверно, что подразделение В получит прибыль или получат прибыль подразделение А и подразделение С;
— неверно, что подразделение С получит прибыль, а также неверно, что получение прибыли подразделением А не будет достаточным основанием для получения прибыли подразделением B.
По завершению года оказалось, что одно из трех предположений ложно. Какие подразделения получили прибыль по окончанию года?

130. Три подразделения A, B и C торговой фирмы стремились получить по итогам года прибыль. Экономисты высказали следующие предположения:
— неверно, что подразделение В получит прибыль, а также, что получение прибыли подразделением А не будет достаточным основанием для получения прибыли подразделением С;
— неверно, что подразделение В получит прибыль только тогда, когда получение прибыли подразделением А не будет достаточным основанием для получения прибыли подразделением С;
— подразделение В получит прибыль, а также получит прибыль либо подразделение А, либо подразделение С.
По завершению года оказалось, что одно из трех предположений ложно. Какие подразделения получили прибыль по окончанию года?

131. Три студента Антонов, Волков и Сергеев стремятся сдать сессию на отлично. Были высказаны следующие предположения:

1) Сдача экзаменов на отлично студентом Волковым равносильна тому, что сдаст на отлично Антонов или Сергеев.

2) Неверно, что сдаст на отлично Волков или одинаково на отлично сдадут Антонов и Сергеев.

3) Студент Сергеев не сдаст экзамены на отлично и это при том, что если Антонов сдаст на одни пятерки, то и Волков сдаст также отлично.

После сессии оказалось, что только одно из трех предположений ложно. Кто сдал экзамены на отлично?

132. Для полярной экспедиции из восьми претендентов A, B, C, D, E, F, G, H надо отобрать шесть специалистов: биолога, гидролога, синоптика, радиста, механика и врача. Обязанности биолога могут выполнять E и G, гидролога – B и F, синоптика ‑ F и G, радиста – C и D, механика ‑ C и H, врача ‑ A и D. Хотя некоторые претенденты владеют двумя специальностями, в экспедиции сможет выполнять только одну. Кого и кем следует взять в экспедицию, если F не может ехать без B, D – без H и без C, C не может ехать одновременно с G, а A не может ехать вместе с B?

133. «Вернувшись домой, Мегрэ позвонил на набережную Орфевр.
— Говорит Мегрэ. Есть новости?
— Да, шеф. Поступили сообщения от инспекторов. Торранс установил, что если Франсуа был пьян, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет. Жуссье считает, что или Этьен убийца, или Франсуа не был пьян, и убийство произошло после полуночи. Инспектор Люка просил передать Вам, что если убийство произошло после полуночи, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет. Затем звонила…
— Все. Спасибо. Этого достаточно. – Комиссар положил трубку. Он знал все. Он знал, что трезвый Франсуа никогда не лжет. Теперь он знал все».

Что следует из показаний инспекторов? Какой вывод сделал комиссар Мегрэ?

Рыцари и лжецы

134. В этой задаче каждый из трех участников либо рыцарь, либо лжец. C говорит: «B – лжец». B говорит: «A и С – одного поля ягоды, т.е. либо оба рыцари, либо оба лжецы». Кто A?

135. В этой задаче каждый из трех участников либо рыцарь, либо лжец. А говорит: «В и С – одного поля ягоды». У С спрашивают: «А и В – одного поля ягоды?» Что ответит С?

136. На острове «Двоичном» живут Рыцари и Лжецы. Рыцари говорят только правду, Лжецы – только ложь. Прохожий незнакомец встретил трех жителей острова, разговаривающих между собой: A, B, C. Он спросил у A: «Вы Рыцарь или Лжец?» Тот ответил неразборчиво, ничего нельзя было понять. Тогда незнакомец спросил у B: «Что сказал A?» «A сказал, что он Лжец», — ответил B. «Не верьте B! Он лжет!», — вмешался в разговор C. Кто из островитян Рыцарь и кто Лжец?

137. В предыдущей задаче незнакомец задал A другой вопрос: «Сколько рыцарей среди вас?». Тот ответил неразборчиво, ничего нельзя было понять. Тогда незнакомец спросил у B: «Что сказал A?» «A сказал, что среди нас один Рыцарь», — ответил B. «Не верьте B! Он лжет!», — вмешался в разговор C. Кто из островитян Рыцарь и кто Лжец?

138. В одной стране жили рыцари, которые всегда говорили только правду, и лжецы, которые всегда лгали. Однажды в страну проник шпион по имени Мердок, который, как и всякий шпион, иногда говорил правду, иногда лгал, в зависимости оттого, что ему выгодно. Шпион поселился с двумя жителями страны – рыцарем и лжецом. Всех троих арестовали в один день и привели на допрос. Никто не знал, кто из них – то. Они сделали следующие заявления: A сказал: «Я – Мердок». B сказал: «A говорит правду». С сказал: «Я не Мердок». Кто же шпион?

139. В одной стране жили рыцари, которые всегда говорили только правду, и лжецы, которые всегда лгали. Однажды в страну проник шпион по имени Мердок, который, как и всякий шпион, иногда говорил правду, иногда лгал, в зависимости оттого, что ему выгодно. Шпион поселился с двумя жителями страны – рыцарем и лжецом. Всех троих арестовали в один день и привели на допрос. Никто не знал, кто из них – то. Они сделали следующие заявления: A сказал: «Я – Мердок». B сказал: «A говорит правду». С сказал: «Я – Мердок». Кто же шпион?

140. Разбирается дело Брауна, Джонса и Смита. Один из них совершил преступление. На следствии каждый из них сделал два заявления.
Браун: Я не делал этого. Смит сделал это.
Джонс: Смит не виноват. Браун сделал это.
Смит: Я не делал этого. Джонс не делал этого.
Суд установил, что один из них дважды солгал, другой – дважды сказал правду, третий – один раз солгал, один раз сказал правду. Кто совершил преступление?

141. Один из пяти братьев – Никита, Глеб, Игорь, Андрей или Дима – испек пирог маме. Когда она спросила, кто сделал ей такой подарок, братья ответили следующее:

1) Никита: «Пирог испек Глеб или Игорь».

2) Глеб: «Это сделал не я и не Дима».

3) Андрей: «Нет, один из них сказал правду, а другой обманул».

4) Дима: «Нет, Андрей, ту не прав».

Мама знает, что трое из сыновей всегда говорит правду. Кто же испек пирог?

Логические уравнения

142. Найдите наибольшее однобайтное двоичное решение уравнения
.

143. Найдите X, если .

144. Последовательность высказываний определена следующим рекуррентным соотношением: . Высказывания заданы, причем и истинны, ложно. Истинно или ложно высказывание ? Как выражается через ?

145. Сколько различных решений имеет логическое уравнение
?

146. Сколько различных решений имеет логическое уравнение
?

147. Сколько различных решений имеет логическое уравнение:
.

148. Сколько различных решений имеет логическое уравнение: .

149. Сколько различных решений имеет логическое уравнение: .

150. Сколько различных решений имеет логическое уравнение: .

151. Сколько различных решений имеет логическое уравнение:
.

152. Решить уравнение:

153. Найдите все различные решения уравнения: .

Найти корни логического уравнения:

154.155.

156.157.

158.159.

Найти корни систем логических уравнений:

160.161.

162.163.

164.Найдите количество решений следующих систем логических уравнений:

165.166.

167.168.

169.170.

171.172.

173.174.

175.176.

x₂

x₃

Контактные и логические схемы

177. Минимизируйте контактную схему, изображенную на рисунке:

178. Минимизируйте контактную схему, изображенную на рисунке:

179.

x₂

x₃

x₂

x₁

Минимизируйте логическую схему, изображенную на рисунке:

180. Минимизируйте логическую схему, изображенную на рисунке:

181.

Приёмная комиссия в составе трех членов комиссии и одного председателя решает судьбу абитуриента большинством голосов. В случае равного распределения голосов большинство определяется той группой, в которой оказался председатель приемной комиссии. Построить автомат, обеспечивающий определение большинства голосов.

182.

l₁

l₂

l₃

Электрическая цепь между точками M и N составлена по схеме, изображенной на рисунке. Рассмотрим следующие четыре высказывания:
A = {Элемент цепи k вышел из строя},
B_i = {Элемент цепи l_i вышел из строя}. Замкнута ли цепь, если:
а) высказывание истинно,
б) высказывание истинно?
Является ли одно из этих высказываний отрицанием другого?

183. (Экономная задача) Построить схему электрической цепи для подъезда трехэтажного здания, чтобы выключателем на любом этаже можно было бы включить и выключить свет во всем подъезде.

184. (Аварийный станок) На участке цеха стоят три станка – два рабочих, третий аварийный. Требуется соединить станки автоматической линией так, чтобы третий станок включался тогда, и только тогда, когда останавливается хотя бы один из первых двух станков.

185. Пусть в некотором конкурсе решается вопрос о допуске того или иного участника к следующему туру тремя членами жюри: A, B, C. Решение положительно тогда и только тогда, когда хотя бы двое членов жюри высказываются за допуск, причем среди них обязательно должен быть председатель жюри С. Необходимо разработать устройство для голосования, в котором каждый член жюри нажимает на одну из двух кнопок – «За» или «Против», а результат голосования всех трех членов жюри определяется по тому, загорится (решение принято) или нет (решение не принято) сигнальная лампочка.

186. Три преподавателя отбирают задачи для олимпиады. На выбор предлагается несколько задач. По каждой из задач каждый из преподавателей высказывает свое мнение: легкая задача (0) или трудная задача (1). Задача включается в олимпиадное задание, если не менее двух преподавателей отметили ее как трудную, но если все три преподавателя считают ее трудной, то такая задача не включается в олимпиадное задание как слишком сложная. Составьте функциональную схему устройства, которое будет выдавать на выходе 1, если задача включается в олимпиадное задание, и 0, если не включается.

187. Запишите структурную формулу для следующей логической схемы:

188. Определите, какой набор входных переменных невозможен на входе логической схемы, если на выходе .

189. Запишите структурную формулу для следующей логической схемы:

190. Определите, какой набор входных переменных невозможен на входе логической схемы, если на выходе .

191. Имеются только два конъюнктора и один инвертор. Можно ли из этих трех логических элементов (вентилей) составить логическую схему, эквивалентную схеме выражения . Какой вид имеет эта схема?

192. Имеется только 1 конъюнктор, 1 дизъюнктор и 1 инвертор. Можно ли составить из этих элементов логическую схему, эквивалентную схеме логического выражения ? Все три вентиля должны быть использованы. Какой вид имеет эта схема?