Задача №1. Груз массой 5 кг свободно падает с некоторой высоты и достигает поверхности земли за 2,5 с. Найти работу силы тяжести., Физика

Выдержка из текста работы

.Отсюда немедленно следует, что если распределение масс центрально симметричного, то величина ускорения силы тяжести в данной точке определяется только массой шара, на поверхности которого находится эта точка. Применительно к бесконечной сферически однородной и изотропной Вселенной это приводит к так называемому гравитационному парадоксу: ускорение силы тяжести в данной точке зависит от выбора начала системы отсчета.

Первое дифференциальное уравнение для гравитационного поля получается из интегральной теоремы Гаусса-Остроградского

,где – плотность, – объем внутри . Отсюда

.Второе дифференциальное уравнение – это дифференциальное условие потенциальности гравитационного поля:

.Непосредственным вычислением (проще всего в сферических координатах) можно показать, что ротация любого центрального поля равна нулю.

Поскольку по вычислению, то можно ввести гравитационный (ньютоновский) потенциал, такой, что

.Для материальной точки массы M (а также для сферически симметричного тела)

.Для объемного тела

.Поскольку , то гравитационный потенциал в области, где , удовлетворяет уравнению Пуассона

,а в области, где , уравнению Лапласа

.Вне Земли и на ее поверхности гравитационный (ньтоновский) потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в сферических координатах имеет вид:

.Фундаментальным внешним решением этого уравнения является сферический гармонический ряд

где – сферические функции порядка степени ; – константы, определяемые из граничных условий; – присоединенные функции Лежандра.

Это система ортонормированных функций, т.е.

– нормировочный множитель.

На поверхности сферы сферические функции имеют знакочередующиеся минимумы и максимумы (см. рис.), области которых определяются пересечением широтных линий и меридиональных линий.

–

Функции с называются зональными гармониками ( примеры ), если , то это секториальные гармоники (пример ), и, наконец, если , то это тессеральные гармоники (пример ). На рисунках представлены полусферы.

Целесообразно в разложении потенциала выделить первый член ( ), вынести его за скобки и нормировать на экваториальный радиус Земли :

.Введем также новые постоянные

.В силу того, что для любых , то . Окончательно

.Элементы гравитационного потенциала Земли вычисляют из анализа изменений элементов орбит искусственных спутников. Если бы спутники летали в поле силы тяжести материальной точки, то их движение было бы чисто кеплеровым (стационарная эллиптическая орбита). Однако элементы их орбит (эксцентриситет, наклонение, положение узлов и т.д.) изменяются с течением времени, и по этим изменениям можно вычислить коэффициенты и . Вот их значения (в единицах ):

и т.д.Видно, что гравитационный потенциал Земли определяется в основном двумя членами: потенциалом материальной точки и зональной гармоникой 2-го порядка

,которая обусловлена полюсным сжатием Земли.

Формула (теорема) Мак-Кулло и ее следствия для Земли

тела массой , слабо отклоняющегося от сферической симметрии равен

,где – моменты инерции тела относительно главных осей, – момент инерции относительно оси, направленной из центра масс в точку наблюдения. Это утверждение и есть теорема Мак-Кулло.

Для однородного (и даже неоднородного, но сферически симметричного) шара все моменты инерции равны между собой и .

С достаточно хорошим приближением Земля представляет собой двухосный эллипсоид вращения с полярным моментом инерции и экваториальными моментами инерции .

Если – направляющие косинусы оси OP относительно выбранных осе координат, то с учетом того, что

, и ,формулу Мак-Кулло нетрудно преобразовать к виду

.Если обратиться снова к разложению гравитационного потенциала в ряд по сферическим функциям и принять осевую симметрию Земли, то в этом разложении останутся только зональные гармоники:

Сравнивая с тем, что получено по формуле Мак-Кулло, получаем

.Для , , имеем . Из спутниковых наблюдений (геодезический спутник Lageos)

Геопотенциал. Геоид

Помимо силы всемирного тяготения, действующей со стороны Земли, на все тела на ее поверхности действует также и центробежная сила, направленная перпендикулярно оси вращения. Радиальная составляющая центробежного ускорения равна

.По порядку величины на поверхности Земли

.Это не мало.

Целесообразно ввести центробежный потенциал

.Тогда.Геопотенциалом называют сумму ньютоновского и центробежного потенциалов:

.Ускорение силы тяжести на вращающейся Земле определяют как градиент геопотенциала:

.При осевой симметрии .

Второй член под корнем приблизительно в 300 раз меньше первого, поэтому в теории (но не на практике!) обычно принимают

.Геоид – это поверхность равного геопотенциала, отнесенная к уровню Мирового океана. Уравнение поверхности геоида в первом приближении имеет вид:

,Где – экваториальный радиус Земли, – географическая широта ( ), – геодезическое сжатие, . Средний радиус Земли определяют как среднее геометрическое полярного и экваториального радиусов: .

Физическая поверхность Земли заметно не совпадает с геоидом. Достаточно заметить, что горы вздымаются над уровнем моря на высоту до 9 км, а экваториальное вздутие Земли всего 21,385 км. Планетарные особенности земной поверхности хорошо видны из приведенной ниже гипсометрической диаграммы.

% поверхности Земли

– 2

– 4

– 6

глубина, км

высота, км

Средние уровни суши – 840 м, дна океана – 3800 м. Абиссаль, абиссальное ложе, шельф.

И вот такие особенности рельефа спутники не «чувствуют» в своем полете!

Принцип изостатической компенсации масс был высказан в середине XIX века, когда геодезические измерения в Северной Индии показали, что Гималаи вызывают значительно меньшее отклонение отвеса, нежели можно было ожидать от такой массы, возвышающейся над поверхностью Земли. Согласно гипотезам Эри, Пратта и Венинг Мейнеса, различающимися деталями распределения плотностей в нижней части горных массивов, менее плотные возвышенные части земной коры «плавают» в более плотной нижней литосфере как пробка в воде. Работает закон Архимеда.

Понятие о гравиразведке

Гравиразведка – раздел прикладной геофизики, посвященный изучению строения земной коры и поиску месторождений полезных ископаемых на основе исследования гравитационных аномалий, обусловленных дифференциацией горных пород по плотности.

В гравиразведке термин «ускорение силы тяжести» заменяют термином «сила тяжести». Аномальное значение силы тяжести определяют как разность между измеренным значением и нормальным значением:

.Если геопотенциал рассматривать в приближении п.3.3, то для нормального значения силы тяжести можно получить известную формулу Клеро:

,где мГал – ускорение силы тяжести на экваторе, – отношение центробежного ускорения к ускорению свободного падения на экваторе Земли, – сжатие Земли и – географическая широта. В гравиразведке, да и в гравиметрии, формула Клеро считается недостаточно точной. На практике используют более точные формулы, в которых учитываются члены следующего порядка малости. Одна из таких формул – модифицированная формула Гельмерта:

(мГал).

Какого порядка гравитационные аномалии создают геологические объекты? Для примера рассмотрим рудное тело в форме однородного шара с избыточной (по отношению к вмещающим породам) плотностью . Радиус шара – R, его центр масс залегает на глубине . Гравитационное действие однородного шара эквивалентно действию точечной массы, сосредоточенной в его центре. Это следствие теоремы Мак-Кулло. Прямо над шаром аномалия силы тяжести будет равна:

.Пусть , тогда . Аналогичный порядок имеют аномалии и от других геологических объектов. В лучшем случае их порядок .

Легко убедиться в том, что гораздо большие изменения силы тяжести возникают за счет различия в высотах пунктов измерений. Если – высота пункта измерения над уровнем моря, то

.Вычисляемая величина

называется поправкой за свободный воздух или редукцией Фая.

Измерения проводятся не в свободном воздухе, а на физической поверхности, приподнятой на высоту над уровнем моря, которая дает добавку к силе тяжести. Поправку за промежуточный называют редукцией Буге. Вычислим ее, считая промежуточный слой горизонтальным и бесконечно протяженным.

S₀

Проще всего это сделать, используя теорему Гаусса о потоке гравитационного поля:

Выделим в слое цилиндрический столбик высотой h и площадью основания S₀ (см. рис.). Пусть – плотность слоя. Тогда

.Плотность пород в гравиразведке измеряют в г/см³. Следовательно, редукция Буге равна:

.Аномалией Буге называют величину

.Именно аномалия Буге чаще всего представляется в качестве конечного результата гравиметрической съемки.

Гравиметрические исследования являются обязательным этапом проведения региональных геолого-геофизических работ. В частности, по данным гравиразведки легко прослеживается рельеф кристаллического фундамента, более плотного, нежели покрывающие его породы осадочного чехла. Если глубина залегания контактной границы много меньше характерного линейного размера поднятий или опусканий фундамента, то амплитуду изменений силы тяжести можно оценить по той же формуле, которая определяет редукцию Буге. Например, если избыточная плотность пород фундамента , а высота поднятия, скажем, , то .

Платформенные области характеризуются сравнительно слабо дифференцированным полем, интенсивность которого изменяется в пределах нескольких десятков мГал, а в среднем колеблется около нуля. Региональные аномалии (размеры порядка 1000 км² и больше) имеют расплывчатые контуры и не имеют четкой ориентировки. Лишь в пределах наиболее крупных краевых впадин, заполненных мощными толщами осадков, гравитационное поле становится сложным, с многочисленными максимумами и минимумами. Типичный пример – Тунгусская синеклиза в пределах Сибирской платформы.

Существенно иной характер имеет поле геосинклинальных областей (Западная Сибирь). Оно характеризуется прежде всего большими отрицательными аномалиями (до –100 мГал и ниже) в силу того, что плотность пород осадочного чехла заметно меньше плотности фундамента.

Границы платформенных и геосинклинальных областей прослеживаются как узкие зоны больших градиентов поля (их называют гравитационными ступенями). Протяженность этих зон от десятков до сотен км, ширина – несколько км.

Современные высокоточные гравиметры позволяют решать и поисковые задачи. Крупномасштабная и детальная съемка используется при поиске и разведке самых различных полезных ископаемых, вплоть до углеводородов.

Прямая задача гравиразведки: вычисление аномального гравитационного поля по заданному геологическому объекту. Прямая задача имеет единственное решение.

Обратная задача: определение положения, размеров, формы и плотности геологического объекта по измеренному на дневной поверхности гравитационному полю. Обратная задача гравиразведки не имеет единственного решения.

Дома посчитать и ответить на следующие вопросы:

Чему равна разность ускорения силы тяжести на полюсе и на экваторе?
Какая часть этой разности обусловлена полюсным сжатием Земли, а какая часть связана с центробежным ускорением?
Чему равен градиент нормального гравитационного поля на широте 60⁰? Градиент посчитать в единицах мГал/км.
Где градиент больше: в низких широтах или в высоких широтах?