Выдержка из текста работы
X=A^(-1)*B=(¦(2/3&-5/12&-1/12@-1/3&7/12&-1/12@-1/3&1/12&5/12))*(¦(12@7@13))=(¦(2/3*12+(-5/12)*7+(-1/12)*13@(-1/3)*12+7/12*7+(-1/12)*13@(-1/3)*12+1/12*7+5/12*13))=(¦(8-35/12-13/12@-4+49/12-13/12@-4+7/12+65/12))=(¦(4@-1@2))
Ответ:
{-(x_1=4@x_2=-1@x_3=2)+
№ 2.
Найдите пределы функций.
а) при х0 = 3; -3; ; б) ;
в) ; г) .
Решение:
а) limT(x>3)??(2x^2+5x-3)/(x^2+5x+6)?=(2*3^2+5*3-3)/(3^2+5*3+6)=(18+15-3)/(9+15+6)=30/30=1
limT(x>-3)??(2x^2+5x-3)/(x^2+5x+6)?=[0/0]=limT(x>-3)??(x+3)(2x-1)/(x+2)(x+3) ?=limT(x>-3)??((2x-1))/((x+2) )?=((2*(-3)-1))/((-3+2) )=(-7)/(-1)=7
limT(x>?)??(2x^2+5x-3)/(x^2+5x+6)?=[?/?]=limT(x>?)??((2x^2)/x^2 +5x/x^2 -3/x^2 )/(x^2/x^2 +5x/x^2 +6/x^2 )?=limT(x>?)??(2+5/x-3/x^2 )/(1+5/x+6/x^2 )?=2/1
б) limT(x>0)??(v(1+3x)-v(1-2x))/(x+x^2 )?=[0/0]=limT(x>0)??(v(1+3x)-v(1-2x))(v(1+3x)+v(1-2x))/(x+x^2 )(v(1+3x)+v(1-2x)) ?=limT(x>0)??(3x+1-1+2x)/(x+x^2 )(v(1+3x)+v(1-2x)) ?=limT(x>0)??5x/(x+x^2 )(v(1+3x)+v(1-2x)) ?=limT(x>0)??5/(1+x)(v(1+3x)+v(1-2x)) ?=5/(1+0)(v(1+3*0)+v(1-2*0)) =5/((v1+v1) )=5/(1+1)=5/2
в) limT(x>0)??(x^2 ctg 2x)/sin?3x ?=limT(x>0)??(x^2/sin?3x)/(tg 2x)?=[0/0]=limT(x>0)??(d/dx (x^2/sin?3x ))/(d/dx (tg 2x) )?=limT(x>0)??(-3x^2*cos?3x/?sin?3x?^2 +2*x/sin?3x )/(2*tg 2x^2+2)?=(1/3)/2=1/6
г) limT(x>+?)?(2x+1)[ln??(x+3)-ln?x ? ]=limT(x>+?)??ln??(x+3)-ln?x ?/(1/(2x+1))?=[0/0]=limT(x>+?)??(d/dx (ln??(x+3)-ln?x ? ))/(d/dx (1/(2x+1)) )?=limT(x>+?)??(1/(x+3)-1/x)/(-2/(2x+1)^2 )?=[?/?]=limT(x>+?)??(3(2x+1)^2)/(2x(x+3))?=limT(x>+?)??(d/dx (3(2x+1)^2 ))/(d/dx (2x(x+3)) )?=limT(x>+?)??(24x+12)/(4x+6)?=[?/?]=limT(x>+?)??(12x+6)/(2x+3)?=limT(x>+?)??(d/dx (12x+6))/(d/dx (2x+3) )?=limT(x>+?)??12/2?=12/2=6
№ 3.
Функция y = f (x) задана различными аналитическими выражениями в различных областях изменения независимой переменной. Найдите точки разрыва функции, если они существуют, и постройте график функции.
Решение:
Функция непрерывна на каждом из интервалов (-?;0),(0;2),(2;+?). Исследуем на непрерывность точки x=0,x=2.
Пусть x=0. Найдем пределы слева и справа:
limT(0-0)??f(x)?=limT(0-0)??x^2 ?=0
limT(0+0)??f(x)?=limT(0+0)?x=0
Пределы слева и справа конечны и равны, поэтому функция непрерывна в x=0.
Пусть x=2. Найдем пределы слева и справа:
limT(2-0)??f(x)?=limT(0-0)?x=2
limT(2+0)??f(x)?=limT(0+0)?1=1
Пределы слева и справа конечны, но не равны, поэтому в точке x=2 функция терпит разрыв первого рода.
Построим график функции:
№ 4.
Исследуйте методами дифференциального исчисления функцию y = f (x) и, используя результаты исследования, постройте ее график.
у = .
Решение:
Область определения функции:
x?(-?,-1)?(-1,+?)
Пересечение с осью абсцисс (OX):
e^x/(x+1)=0? действительных решений не найдено.
Пересечение с осью ординат (OY):
x=0,f(x)=1
Поведение функции в граничных точках области определения:
x=-1, limT(x>-1)??e^x/(x+1)? не существует.
x=-1, limT(x^-1)??e^x/(x+1)?=-?
x=-1, limT(xv-1)??e^x/(x+1)?=+?
Поведение функции на бесконечности:
limT(x>+?)??e^x/(x+1)?=+?
limT(x>-?)??e^x/(x+1)?=0
Исследование функции на чётность/нечётность:
f(x)=e^x/(x+1)
f(-x)=-e^x/(x+1)
Функция является ни четной, ни нечетной.
Производная функции равна:
e^x/(x+1)-e^x/((x+1)^2 )
Нули производной:
Функция возрастает на:
x?[0,+ +?)+
Функция убывает на:
x?(-?,-1)?(-1,+ 0]+
Минимальное значение функции: -?
Максимальное значение функции: +?
№ 5.
Найти значение определенного интеграла:
1. 2. 3.
4. 5.
Решение:
?_(-12)^(-1)-?v(4-5x) dx?=-2/15 (-5x+4)^(3/2) |¦(-1@-12)+=-2/15 (-5*(-1)+4)^(3/2)-(-2/15 (-5*(-12)+4)^(3/2) )=-2/15*v(9^3 )+2/15 v(?64?^3 )=-54/15+1024/15=970/15=194/3
?-?v(4-5x) dx?=[-(u=4-5x@du=-5dx)]=-1/5 ?-?vu du?=-(2u^(3/2))/15=-2/15 (-5x+4)^(3/2)+C
?_0^(?/4)-?sin?2x dx?=-1/2 cos?2x |¦(?/4@0)+=-1/2 cos??2*?/4?-(-1/2 cos??2*0? )=-1/2 cos???/2?-(-1/2 cos?0 )=-1/2*0+1/2*1=1/2
?-?sin?2x dx?=[-(u=2x@du=2dx)]=1/2 ?-?sin?u du?=-1/2 cos?u=-1/2 cos?2x+C
?_0^4-?xv((16-x^2 ) ) dx?=-1/3 v((16-x^2 )^3 ) |¦(4@0)+=-1/3 v((16-4^2 )^3 )-(-1/3 v((16-0^2 )^3 ))=1/3 v((16)^3 )=64/3
?-?xv((16-x^2 ) )? dx=[-(u=16-x^2@du=-2xdx)]=-1/2 ?-vu du=-u^(3/2)/3=-1/3 v((16-x^2 )^3 )+C
?_1^5-dx/(x+v(2x-1))=(2vx)/(vx+1)*ln?(vx+1)+2/(vx+1)*ln??(vx+1)+2/(vx+1)? |¦(5@1)+=(2v5)/(v5+1)*ln?(v5+1)+2/(v5+1)*ln??(v5+1)+2/(v5+1)?-((2v1)/(v1+1)*ln?(v1+1)+2/(v1+1)*ln??(v1+1)+2/(v1+1)? )=(2v5)/(v5+1)*ln?(v5+1)+2/(v5+1)*ln??(v5+1)+2/(v5+1)?-ln??4-1?=ln?(v5+1) ((2v5)/(v5+1)+2/(v5+1))+2/(v5+1)-ln??4-1??0,58
?-dx/(x+v(2x-1))=[-(u=2x-1@du=2dx)]=?-dt/((t+1)+2vt)=?-dt/(vt+1)^2 =(2vx)/(vx+1)*ln?(vx+1)+2/(vx+1)*ln??(vx+1)+2/(vx+1)?+C
2/3 ?_1^8-vx/v(6&x^5 ) dx=(3x^(2/3))/2 |¦(8@1)+=(3*8^(2/3))/2-(3*1^(2/3))/2=(3*4)/2-(3*1)/2=9/2
?-?vx/v(6&x^5 ) dx?=(3x^(2/3))/2+C
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
у = , у = х, x = 2
Решение:
S_ACE=?_0^2-xdx=1/2 x^2 |¦(2@0)+=1/2*4-1/2*0=2
x=1/x;x^2=1;x=±1
S_BCD=?_0^1-xdx+?_1^2-?1/x dx?=1/2 x^2 |¦(1@0)++ln?|x| |¦(2@1)+=1/2*1-1/2*0+ln?|2|-ln?|1|=1/2+ln?|2|-ln?|1|?1,19
S_ABDE=S_ACE-S_BCD=2-1,19=0,8
Ответ:
S_ABDE=0,8
Определите объемы тел, образованных вращением вокруг осей Ох и Оу фигур, ограниченных линиями:
у2 = 2х, х = 1.
Решение:
V=??_0^1-2x dx=?x^2 |¦(1@0)+=??3,14
Ответ: ****
