Выдержка из текста работы
Определим величины касательного и нормального ускорений точки. При естественном способе задания движения величина касательного ускорения определяется по формуле
aт=dVt/dt = d[v(x’2 + y’2)] = (Vxax + Vyay)/V = 64t/[2v(1+16t2)]=32t/v(1+16t2)
При t=1 c aт=7,76 м/с2
Так как знаки скорости и касательного ускорения совпадают, точка движется ускоренно.
Нормальное ускорение:
an=v(a2 — a2т)
an = v(64-60,2176) = v3,7284 = 1,345 м/с2
Задача Д 8
Применение теоремы об изменении количества движения к исследованию движения механической системы.
Дано:
Найти: Скорость .
Решение:
На механическую систему действуют внешние силы: — сила сухого трения в опоре А; — силы тяжести тел 1, 2 и 3; -сила нормальной реакции в точке А; -реактивный момент в опоре В.
Применим теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме. В проекциях на оси координат
, (1)
где — проекции вектора количества движения системы на оси координат; — суммы проекций внешних сил на соответствующие оси.
Количество движения системы тел 1, 2 и 3
. (3)
Здесь — скорости центров масс тел 1, 2, 3; — соответственно переносные и относительные скорости центров масс.
Очевидно, что
Проецируя обе части векторного равенства (2) на координатные оси, получаем с учетом (3) и (4)
где — проекция вектора на ось ;
Проекция главного вектора внешних сил на координатные оси
Знак « — » соответствует случаю, когда , а знак «+» — случаю, когда .
Подставляя (5) и (6) в (1), получим
Выразим из второго уравнения системы (7) величину нормальной реакции и подставим ее в первое уравнение. В результате получим
при ; (8)
при . (9)
Рассмотрим промежуток времени , в течении которого тело 1 движется вправо . Из (8) следует, что
где С- постоянная интегрирования, определяемая из начального условия: при
При скорость тела 1 обращается в ноль, поэтому .
Найдем значения и :
Т.е. , . Значит, тело при начинает двигаться в обратном направлении. Это движение описывается дифференциальным уравнением (9) при начальном условии: ; (10)
Интегрируя (9) с учетом (10), получим, при
(11)
При получим из (11) искомое значение скорости тела 1 в момент, когда
Точное решение задачи. Воспользовавшись методикой, изложенной выше, получим дифференциальное уравнение движения тела 1:
при (12)
; при , (13)
Из (12) и учитывая, что получаем, при
откуда или
Из (13) и учитывая, что получаем, при
При находим
Ответ: .
Задача Д 3
Исследование колебательного движения материальной точки.
Дано:
Найти: Уравнение движения
Решение:
Применим к решению задачи дифференциальное уравнение движения точки. Совместим начало координатной системы с положением покоя груза, соответствующим статической деформации пружины, при условии что точка В занимает свое среднее положение . Направим ось вниз вдоль наклонной плоскости. Движение груза определяется по следующему дифференциальному уравнению:
где -сумма проекций на ось сил, действующих на груз.
Таким образом
Здесь
где — статическая деформация пружины под действием груза;
Дифференциальное уравнение движения груза примет вид:
Введем обозначения:
Получаем, что
при ,
Откуда
Тогда уравнение движения груза примет вид:
Ответ:
