Содержание
Задание №1
Даны матрицы
.
Необходимо определить:
а) значение матричного многочлена ;
б) обратную матрицу С-1.
Задание №2
В декартовой прямоугольной системе координат даны три точки:
А = (3;4), В = (6;0), С = (14;6).
Необходимо определить:
а) координаты точки пересечения медиан треугольника АВС;
б) площадь треугольника АВС;
в) координаты вершины D параллелограмма ABDC;
г) уравнение высоты треугольника АВС, проведенной из вершины В;
д) величину угла АСВ.
Задание № 3
Условие:
Найти решение системы линейных уравнений
.
Задание № 4
Условие:
Функции спроса и предложения некоторого товара соответственно имеют вид (р цена)
.
Необходимо определить: а) равновесную цену, б) эластичность спроса и предложения для равновесия.
Задание № 5
Условие:
Производственная функция фирмы имеет вид (x, y затраты ресурсов):
. Необходимо определить максимальный выпуск и обеспечивающие этот выпуск затраты ресурсов.
Задание № 6
Условие:
а) Необходимо определить площадь фигуры, ограниченной прямой х = 7, параболой и касательной к этой параболе, проведенной в точке х0 = 10.
б) Задан непрерывный денежный поток со скоростью в течение 10 лет. Необходимо найти дисконтированную стоимость этого потока по ставке 10 % годовых.
Задание № 7
Условие:
Для проверки в отдел технического контроля поступило три ящика с предохранителями. В первом ящике находятся 860 исправных предохранителей и 60 с дефектом, во втором ящике 800 исправных предохранителей и 200 с дефектом, в третьем ящике 710 исправных предохранителей и 290 с дефектом. Какова вероятность того, что:
а) при выборе наугад из каждого ящика по одному предохранителю все выбранные предохранители окажутся исправными;
б) при выборе наугад из каждого ящика по одному предохранителю хотя бы один из них окажется исправным;
в) при выборе наугад из первого ящика сразу четырех предохранителей, три из них окажутся исправными;
г) при последовательном выборе наугад из второго ящика шести предохранителей (каждый взятый возвращается обратно в ящик) 2 предохранителя окажутся исправными;
д) наугад выбранный предохранитель находился в третьем ящике, если известно, что он с дефектом;
е) среди 400 наугад выбранных из второго ящика предохранителей окажется 329 исправных предохранителей;
ж) среди 400 наугад выбранных из второго ящика предохранителей окажется от 57 до 93 предохранителей с дефектом?
Задание № 8
Условие:
В таблице приведены полученные группировки доходов одного из акционерных обществ за 2007 г. Необходимо определить частоты, частости, накопленные частоты и накопленные частости для статистических данных. Изобразить их в виде гистограммы, полигона и кумулятивной кривой. Вычислить среднюю арифметическую, медиану, моду, вариационный размах, эмпирическую дисперсию, эмпирическое среднее квадратичное, эмпирические начальные и центральные моменты до третьего порядка включительно, эмпирический коэффициент асимметрии и эксцесса.
Таблица 1
Исходные данные
№ Группы доходов, руб. Количество работников
1 От 15000 до 25000 3
2 От 25000 до 35000 1
3 От 35000 до 45000 19
4 От 45000 до 55000 32
5 От 55000 до 65000 20
6 От 65000 до 75000 7
7 От 75000 до 85000 14
8 От 85000 до 95000 4
Задание №9
Условие:
Распределение 200 фирм по себестоимости продукции Х (млн. руб.) и объему выпускаемой продукции Y (т) представлено в следующей таблице:
Таблица 5
Исходные данные
Y
X 5-9 9-13 13-17 17-21 21-25
1-5 16
5-9 18 15 10
9-13 12 10 18 14 9
13-17 9 8 20 10
17-21 8 11 12
Предполагая, что между переменными существует линейная зависимость найти уравнения парных регрессий и построить их графики.
Задание № 10
Условие:
Решить графически задачу линейного программирования. Найти максимум и минимум функции при ограничениях:
.
Выдержка из текста работы
2. При растворении в соляной кислоте 5,4 г сплава алюминия с цинком объём выделившегося водорода, приведённый к н. у. составил 3,8 л. Какой процентный состав сплава?
Решение:
Пусть х — масса алюминия в сплаве, тогда:
Находим V(H2), выделившийся при реакции Al с HCl:
x, г(Al) — y, л(H2)
54 г(Al) — 67,2 л(H2)
y = (67,2*x)/5,4 л.
Находим V(H2), выделившийся при реакции Zn с HCl:
z = ((5,4 г — x)*22,4)/65
Общий V(H2) при реакции сплава с HCl = 3,8 л, следовательно:
z + y = 3,8 (л), тогда находим массу Al:
(67,2 * x)/54+((5,4-x)*22,4)/64=3,8 (л).
22,4*(3x/54+(5,4-x)/64)=3,8
(22,4*46x+97,2)/1152=3,8
46x+97,2=3,8*1152/22,4
46x+97,2=195,4
46x=98,2
x = 2,14 (г) — масса алюминия.
Находим m (Zn):
5,4 — 2,14 = 3,26 (г)
W(Al) = (2,14/5,4)*100% = 39,6%
W(Zn) = (3,26/5,4)*100% = 60,4%
Ответ: состав сплава: 39,6% Al и 60,4% Zn.
3. Вычислить изменение энергии Гиббса для химической реакции:
4CO(Г)+2SO2(Г)=S2(T)+4CO2(Г),
при 25оС по стандартным значениям энтальпий образования и абсолютных энтропий. Реакция проводится между чистыми веществами:
На основании вычисленной энергии Гиббса сделать вывод о возможности реакции? Измениться ли направление процесса при повышении температуры до 100о Какую роль при всём этом играют энтальпийный и энтропийный факторы?
Решение:
4СO(r)+2SO2(r)=S2(T)+4CO2(r)
Найдём изменения энтальпии:
Найдём изменение энтропии:
Зависимость энергии Гиббса реакции описывается уравнением
при стандартной температуре t=250C (T=298 K):
1) При t=1000C (T=373 K):
При стандартной температуре значение () свидетельствует о том что реакция смещается вправо, в сторону продуктов реакции, при () но т. к. менее электроотрицательнее, то процесс смещения идет в право в меньшей степени. А если было бы >0 то реакция изменила бы направление в обратную сторону.
Энтропийный и энтальпийный факторы определяют направление реакций, если энтропия не меняется , то фактором, определяющим направление реакции, служит энтальпия, если то ито это идет процесс с выделением тепла. Если же , то система может перейти только в состоянии с большей энтропией , из-за знака минус изменение энергии Гиббса .
4. Исходя из теплот реакций окисления As2O3 кислородом и озоном
As2O3+O2= As2O5
3As2O3+2O3= 3As2O5
Вычислить теплоту образования озона из молекулярного кислорода
3/2O2>O3.
Решение:
Первое уравнение умножим на 3:
3As2O3+3O2=3As2O5
3As2O3+2O3=3As2O5
Вычтем из первого уравнения второе:
3O2=2O3 или 3/2О2=О3.
— процесс самопроизвольно протекать не может.
5. Константа равновесия реакции FeO(T)+COFe(T)+CO2 при некоторой температуре равна 0,5. Найти равновесные концентрации CO и CO2, если начальные концентрации этих веществ составляли: [CO]=0,05 моль/л, [CO2]=0,01 моль/л.
Решение:
FeO(T)+CO Fe(T)+CO2
К=0,5.
Начальные концентрации [CO]=0,05моль/л; [CO2]=0,01моль/л.
По мере течения реакции концентрация исходных веществ уменьшается, а концентрация продуктов реакции увеличивается. Изменение концентрации идет в строгом соответствии со стехиометрическими соотношениями, которые берутся из уравнения реакции, примем изменение концентрации [СО] до равновесия равному Х моль/л тогда в момент равновесия его концентрация станет 0,05-Х, а у СО2 увеличится на Х, т.е. будет 0,01+Х. Коэффициенты в уравнении одинаковы n(CO)=n(CO2). Для момента равновесия концентрации взяты равновесны.
0,025-0,5Х=0,01+Х или 1,5Х=0,015
т. е. Х=n=0,01моль/л отсюда в момент равновесия:
[CO2]1=0,01+0,01=0,02моль/л
[CO]1=0,05-0,01=0,04моль/л
Ответ: [CO2]=0,02моль/л; [CO]=0,04моль/л.
6. В состоянии равновесия системы CO2+H2=CO+H2O(Г) реакционная смесь имела объёмный состав: 22% CO2, 42% H2, 17% CO, 20% H2O. Вычислить Kp и Kc для этой реакции при 1900 К и давлении 98501 Па.
Решение:
Для вычисления константы равновесия Kp воспользуемся парциальными давлениями реагирующих веществ:
Определим парциальные давления реагирующих веществ:
Определяем Kp:
Между Kp и Kc существует следующая взаимосвязь:
где — разность между числом молей газообразных веществ продуктов реакции и исходных веществ:
=2-2=0, следовательно: .
Ответ: Kp = Kc = 0,37.
7. Постройте диаграмму состояния систем висмут-теллур по следующим данным:
|
Bi, вес % |
100 |
93 |
80 |
60 |
52 |
30 |
15 |
0 |
|
|
Температура появления кристаллов, оС |
271 |
250 |
400 |
540 |
570 |
480 |
398 |
430 |
По построенной диаграмме:
а) Определите тип диаграммы и её особенности;
б) Примените правило фаз Гиббса для всех полей, линий и характерных точек на этой диаграмме;
в) Постройте кривые охлаждения для сплавов, содержащих 0, 20, 15, 52, 80 и 100% висмута.
Сформулируйте правило фаз Гиббса, что называется фазой, компонентом, эвтектикой?
Решение:
Данная диаграмма представляет собой диаграмму плавкости. В точках А и Е системы инвариантны. Правило фаз для них выглядит как: С = 1 — 2 + 1 = 0. При температурах выше t(A) и t(E) чистые компоненты находятся в расплаве (С = 1 — 1 + 1 = При температурах ниже t(A) и t(E) в твёрдом состоянии (С = 1 — 1 + 1 = 1).
Точка А характеризует температуру плавления Te, точка E характеризует температуру плавления Bi.
Линия ABCDE — линия ликвидуса.
Линия FCG — линия эвтектики, линия солидуса.
Линия AH — линия солидуса Te.
Линия EJ — линия солидуса Bi.
Линия ABC — расплав, насыщенный Te.
Линия CDE — расплав, насыщенный Bi.
Точка С — расплав, насыщенный Te и Bi.
Линии ликвидуса и солидуса делят диаграмму на несколько полей: 1- ненасыщенный расплав Bi и Te (С = 2 — 1 + 1 = 2); 2 — расплав компонентов Bi и Te и кристаллы Te (С = 2 — 2 + 1 = 1); 3 — расплав компонентов Bi и Te и кристаллы Bi (С = 2 — 2 + 1 = 1); 4 и 5 — кристаллы Bi и Te (С = 2 — 2 + 1 = 1).
Кривые охлаждения построены на рисунке 2. Все пробы, одинаковые по массе, но разные по концентрации, характеризуются точкой 3. Температурные остановки 5-6 на кривых охлаждения при 0 и 100% Bi указывают на то, что чистые компоненты кристаллизуются при постоянной температуре t(A) и t(E) (С = 1 — 2 + 1 = 0). Участки 3-5 и 6-7 соответствуют охлаждению чистых компонентов в жидком и твёрдом состояниях соответственно (С = 1 — 1 + 1 = 1). Кривые охлаждения 15, 20 и 80%: участок 3-4 отвечает охлаждению состава (С = 2 — 1 + 1 = 2). Точке 4 соответствует температура начала кристаллизации одного из компонентов (15, 20% — Te, 80% — Bi). За счёт выделяющейся теплоты кристаллизации в точке 4 наблюдается излом, но температура кристаллизации расплава не сохраняется постоянной, так как его состав непрерывно меняется, а число степеней свободы равно 1 (С = 2 — 2 + 1 = 1). На участке 4-5 в системе продолжается кристаллизация Te (15 и 20%) и Bi (80%) и каждой температуре соответствует определённый состав насыщенного расплава, который постепенно меняется до эвтектического. Расплав, соответствующий точке 5 становится насыщенным относительно обоих компонентов (точка C на диаграмме), начинается кристаллизация эвтектики, состоящей из кристаллов Te и Bi. Число степеней свободы уменьшается до нуля (С = 2 — 3 + 1 = 0) и температура остаётся постоянной до полного затвердевания смеси (участок 5-6). Продолжительность температурной остановки тем больше, чем ближе состав исходного расплава к составу эвтектики. Участок 6-7 соответствует охлаждению двухфазной системы в твёрдом состоянии (С = 2 — 2 + 1 = 1).
Правило фаз Гиббса — в равновесной системе, на которую из внешних факторов оказывают влияние только температура и давления, число степеней свободы равно числу компонентов минус число фаз плюс два.
Фаза — часть гетерогенной системы, ограниченная поверхностью раздела и характеризующаяся в отсутствие внешнего поля сил одинаковыми химическими, физическими и термодинамическими свойствами во всех своих точках.
Компонентом называют индивидуальное химическое вещество, которое является составной частью системы, может быть выделено из неё и существовать самостоятельно.
Эвтектика — есть смесь из нескольких (двух или более) компонентов, имеющая определённую характерную структуру, и дающая при температуре своего плавления расплав — раствор, насыщенный относительно всех компонентов, входящих в состав.
8. Возможно ли существование однокомпонентной системы, состоящей из четырёх фаз? Как доказать?
Решение:
Для однокомпонентной системы правило фаз Гиббса принимает вид:
C = 1 — Ф + 2 = 3 — Ф.
Если минимальное число степеней свободы равно нулю (система инвариантна), то Ф = 3. Значит, в равновесной однокомпонентной системе могут существовать максимально три фазы (т, ж, г).
