Выдержка из текста работы
Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банкана жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов,первая строка соответствует первому кварталу первого года).
Требуется:
1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса сучетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания a1=0,3; a2=0,6; a3=0,3.
2) Оценить точность построенной модели с использованием среднейотносительной ошибки аппроксимации.
3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
— случайностиостаточной компоненты по критерию пиков;
— независимостиуровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первомукоэффициенту автокорреляции при критическом значении r1 = 0,32;
— нормальностираспределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическимизначениями от 3 до 4,21.
4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
Поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка нажилищное строительство (в условных единицах) за 4 года
Решение
Будем считать, что зависимость между компонентами тренд-сезонныйвременный ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса слинейным ростом имеет следующий вид:
/>, (1)
где k – период упреждения;
Yр(t) — расчетное значение экономического показателя для t-гo периода;
a(t), b(t) и F(t) — коэффициенты модели; ониадаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;
F(t+k—L) — значение коэффициентасезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;
L — период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных – L=12).
Таким образом, если по формуле 1 рассчитывается значениеэкономического показателя, например за второй квартал, то F(t+k—L) как раз будеткоэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.
Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов моделипроизводится с помощью формул:
/>; (2)
/>; (3)
/>. (4)
Параметры сглаживания a1, a2 и a3 подбирают путем переборас таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовалифактическим (т.е. чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точностьмодели).
Из формул 1 — 4 видно, что для расчета а(1) и b(1) необходимо оценитьзначения этих коэффициентов для предыдущего период времени (т.е. для t=1-1=0). Значения а(0)и b(0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого кварталагода, предшествующего первому году, для которого имеются данные в табл. 1.
Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модельк первым 8 значениям Y(t) из табл. 1. Линейная модель имеет вид:
/>. (5)
Метод наименьших квадратов дает возможность определитькоэффициенты линейного уравнения а(0) и b(0) по формулам 6 — 9:
/>; (6)
/>; (7)
/>; (8)
/>. (9)
Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1(т.е. к данным за первые 2 года), находим значения а(0) и b(0). Составимвспомогательную таблицу для определения параметров линейной модели:
t-tcp
Y-Ycp
(t-tcp)2
(Y-Ycp)(t-tcp)
/> />
/> />
Уравнение (5) с учетом полученных коэффициентов имеет вид: Yp(t)=31,714+0,869·t. Из этого уравнения находимрасчетные значения Yр(t) и сопоставляем их с фактическими значениями(табл. 3). Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значениякоэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года,предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл. 1. Этизначения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметровмодели Хольта-Уинтерса по формулам 1 — 4.
Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных полинейной модели значений Yp(t)
Y(t)
Yp(t)
Коэффициент сезонности есть отношение фактического значенияэкономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтомув качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношениефактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года,равное Y(1)/Yр(1), и такое же отношение для I квартала второго года(т.е. за Vквартал t=5) Y(5)/Yр(5). Для окончательной, более точной, оценки этогокоэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этихдвух величин.
F(-3) = [ Y(1) / Yp(1) + Y(5) / Yp(5) ] / 2=[ 28 / 32,583 +31 / 36,060 ] / 2 = 0,8595.
Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:
F(-2) = [Y(2) / Yp(2) + Y(6)/ Yp(6) ] / 2 = 1,0797;
F(-1) = [Y(3) / Yp(3) + Y(7)/ Yp(7) ] / 2 = 1,2746;
F(0) = [Y(4) / Yp(4) + Y(8) / Yp(8) ] / 2 = 0,7858.
Оценив значения а(0), b(0), а также F(-3),F(-2),F(-1) и F(0), можно перейти кпостроению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул1 — 4.
Из условия задачи имеем параметры сглаживания a1=0,3; a2=0,6; a3=0,3. Рассчитаем значенияYp(t), a(t),b(t) и F(t) для t=l.
Из уравнения 1, полагая что t=0, k=1, находим Yр(1):
/>Из уравнений 2 — 4, полагая что t=1, находим:
/>;
/>;
/>.
Аналогично рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=2:
/>
/>;
/>;
/>;
для t=3:
/>
/>;
/>;
/>;
для t=4:
/>
/>;
/>;
/>;
для t=5:
/>
Обратимвнимание на то, что здесь и в дальнейшем используются коэффициенты сезонности F(t—L), уточненные в предыдущем году (L=4):
/>;
/>;
/>;
Продолжая аналогично для, t = 6,7,8,…,16 строятмодель Хольта-Уинтерса (табл. 4). Максимальное значение t, для которого можнонаходить коэффициенты модели, равно количеству имеющихся данных поэкономическому показателю Y(t). В нашем примере данные приведены за 4 года, тоесть за 16 кваралов. Максимальное значение t равно 16.
Y(t)
a(t)
b(t)
F(t)
Yp(t)
Абс.погр.,
E(t)
Отн.погр.,
Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E(t) (разности Y(t)-Yp(t) между фактическими ирасчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворятьопределенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этихусловий составим таблицу 5.
Будем считать, что условие точности выполнено, если относительнаяпогрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на фактическоезначение Y(t) и выраженное в процентах 100%·abs{E(t)}/Y(t)) в среднем не превышает5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см. гр. 8 табл. 4) составляет21,25, что дает среднюю величину 21,25/16 = 1,33%.
Следовательно, условие точности выполнено.
Квартал, t
Отклонение, E(t)
E(t)2
[E(t)-E(t-1)]2
E(t)∙E(t-1)
Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, рядостатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимостипоследовательных уровней, нормальности распределения.
Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты(гр. 2 табл. 5) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждыйуровень ряда E(t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседнихуровней, то точка считается поворотной и в гр. 3 табл. 5 для этой строкиставится 1, в противном случае в гр. 3 ставится 0. В первой и последней строкегр. 3 табл. 5 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двухсоседних уровней.
Общее число поворотных точек в нашем примере равно р = 10.
Рассчитаем значение q:
/>.
Функция int означает, что от полученного значения беретсятолько целая часть. При N = 16
/>.
Если количество поворотных точек р больше q, то условие случайностиуровней выполнено. В нашем случае р = 10, q = 6, значит условиеслучайности уровней ряда остатков выполнено.
Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствияавтокорреляции). Проверку проводим двумя методами:
1) по d-критериюДарбина-Уотсона;
2) по первому коэффициентуавтокорреляции r(1).
1) />.
Примечание. В случае если полученное значение больше 2, значит, имеет местоотрицательная автокорреляция. В таком случае величину d уточняют, вычитаяполученное значение из 4. Находим уточненное значение d`=4-2,47=1,53
Полученное (или уточненное) значение d сравнивают с табличнымизначениями d1и d2. Для нашего случая d1=1,08, а d2=1,36.
Если 0<d<d1, то уровниавтокоррелированы, то есть, зависимы, модель неадекватна.
Если d1<d<d2, то критерийДарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков.В таком случае необходимо воспользоваться другими критериями (например,проверить независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции).
Если d2<d<2, то уровни ряда остатков являются независимыми.
В нашем случаеd2<d`<2, следовательно уровни ряда остатков являютсянезависимыми.
2) />
Если модуль рассчитанного значения первого коэффициентаавтокорреляции меньше критического значения | r(1) | < rта6, то уровни ряда остатковнезависимы. Для нашей задачи критический уровень rта6 = 0,32. Имеем: | r(1) | = 0,26 < rтаб = 0,32 — значит уровни независимы.
Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределениюопределяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:
/>,
где Еmax — максимальное значение уровней ряда остатков E(t);
Emin — минимальное значение уровней ряда остатков E(t) (гр. 2 табл. 5):
S — среднее квадратическое отклонение.
Еmax=2,12, Emin=-0,97, Еmax—Emin= 2,12 — (-0,97) = 3,09;
/>
/>
Полученное значение RS сравнивают с табличнымизначениями, которые зависят от количества точек N и уровня значимости.Для N=16 и 5%-го уровня значимости значение RS для нормальногораспределения должно находиться в интервале от 3,00 до 4,21.
Так как 3,00 < 4,02 < 4,21, полученное значение RS попало в заданныйинтервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.
Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальноезначение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t) определяется количествомисходных данных и равно 16. Рассчитав значения а(16) и b(16) (см. табл. 4), поформуле 1 можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp(t). Для t=17 имеем:
/>
Аналогично находим Yp(18), Yp(19), Yp(20):
/>
/>
/>
Ha нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических ирасчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения цены акции на 1 годвперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются сфактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.
/>
Рис. Сопоставление расчетных и фактических данных
Даныцены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервалсглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:
— экспоненциальнуюскользящую среднюю;
— момент;
— скоростьизменения цен;
— индексотносительной силы;
— %R, %К и %D.
Расчетыпроводить для дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основанииимеющихся данных.
Решение.
Экспоненциальнаяскользящая средняя (ЕМА). При расчете ЕМА учитываются все цены предшествующегопериода, а не только того отрезка, который соответствует интервалу сглаживания.Однако последним значениям цены придается большее значение, чем предшествующим.Расчеты проводятся по формуле:
/>,
где k=2/(n+1), n– интервал сглаживания;
Ct– цена закрытия t-го дня;
ЕМАt – значения ЕМА текущего дня t.
Составимтаблицу рассчитанных значений ЕМА:
Цена закрытия,
EMAt
/>
/>
/>
Приведем алгоритмрасчета.
1. Выбрать интервалсглаживания n (в нашемслучае n = 5).
2. Вычислитькоэффициент k (k= 2/(n+ 1) = 2/(5 + 1) = 1/3).
3. Вычислить МА дляпервых 5 дней. Для этого сложим цены закрытия за первые 5 дней. Сумму разделимна 5 и запишем в графу ЕМАtза 5-ый день.
4. Перейти на однустроку вниз по графе ЕМАt.Умножить на k данные поконечной цене текущей строки.
5. Данные по ЕМАt за предыдущий день взять изпредыдущей строки и умножить на (1-k).
6. Сложитьрезультаты, полученные на предыдущих двух шагах. Полученное значение ЕМАt записать в графу текущей строки.
7. Повторить шаги 4,5 и 6 до конца таблицы.
Построим график ЕМАt.
/>
Момент (МОМ). Момент рассчитывается как разницаконечной цены текущего дня Ct и цены nдней тому назад Ct—n.
/>,
где Ct – цена закрытия t-го дня;
МОМt – значения МОМ текущего дня t.
Составим таблицурассчитанных значений МОМ:
Цена закрытия,
МОМt
Построим график МОМt.
/>
Положительные значенияМОМ свидетельствуют об относительном росте цен, отрицательные – о снижении.Движение графика момента вверх из зоны отрицательных значений является слабымсигналом покупки до пересечения с нулевой линией. График момента пересекаетнулевую линию в районе 7-8-го дня, а затем снова снижатся.
Скорость измененияцен. Похожийиндикатор, показывающий скорость изменения цен (ROC), рассчитывается как отношение конечной цены текущегодня к цене n дней тому назад, выраженное впроцентах.
/>,
где Ct – цена закрытия t-го дня;
RОCt – значения RОC текущего дня t.
Составим таблицурассчитанных значений RОC:
Цена закрытия,
RОCt,
Построим график RОCt.
/>
ROC является отражением скоростиизменения цены, а также указывает направление этого изменения. Графическоеотображение и правила работы ничем не отличаются от момента. В качестве нулевойлинии используется уровень 100%. Этот индикатор также показал сигнал к покупкев районе 7-8-го дня.
Индексотносительной силы (RSI). Наиболее значимым осциллятором, расчет которого предусмотрен во всехкомпьютерных программах технического анализа, является индекс относительнойсилы.
Для расчета применяютформулу:
/>,
где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;
AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.
Рассчитывается RSI следующим образом (таблица 10).
1. Выбираем интервалn (в нашем случае n=5).
2. Начиная со 2-годня до конца таблицы, выполняем следующую процедуру. Вычитаем из конечной ценытекущего дня конечную цену предыдущего дня. Если разность больше нуля, то еезаписываем в графу «Повышение цены». Иначе абсолютное значение разностизаписываем в графу «Понижение цены».
3. С 6-го дня и доконца таблицы заполняем графы «Суммы повышений» и «Суммы понижений». Для этогоскладывают значения из графы «Повышение цены» за последние 5 дней (включаятекущий) и полученную сумму записываем в графу «Суммы повышений» (величина AU в формуле). Аналогично находят суммуубыли конечных цен по данным графы «Понижение цены» и записываем в графу «Суммыпонижений» (величина AD вформуле).
4. Зная AU и AD, по формулерассчитываем значение RSI изаписываем в графу RSI.
Цена закрытия,
Построим график RSI.
/>
Зоны перепроданностирасполагаются обычно ниже 25-20, а перекупленности – выше 75-80%. Как видно изрисунка, индекс относительной силы вышел из зоны, ограниченной линией 25%, на 7-8день (сигнал к покупке).
Стохастическиелинии. Если МОМ,ROC и RSI используют только цены закрытия, то стохастическиелинии строятся с использованием более полной информации. При их расчетеиспользуются также максимальные и минимальные цены. Как правило, применяютсяследующие стохастические линии: %R, %К и %D.
/>,
где %Кt– значение индекса текущего дня t;
Ct – цена закрытия t-го дня;
L5 и H5 – минимальная и максимальная цены за5 предшествующих дней, включая текущий (в качестве интервала может быть выбранои другое число дней).
Похожаяформула используется для расчета %R:
/>,
где %Rt– значение индекса текущего дня t;
Ct – цена закрытия t-го дня;
L5 и H5 – минимальная и максимальная цены за5 предшествующих дней, включая текущий.
Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К,с той лишь разницей, что при его построении величины (Ct — L5) и (H5 — L5) сглаживают, беря их трехдневнуюсумму.
/>
Ввиду того что %D имеет большой статистическийразброс, строят еще ее трехдневную скользящую среднюю – медленное %D.
Составим таблицу 11 для нахождениявсех стохастических линий.
1. В графах 1-4приведены дни по порядку и соответствующие им цены (максимальная, минимальная иконечная).
2. Начиная с 5-годня в графах 5 и 6 записываем максимальную и минимальную цены за предшествующие5 дней, включая текущий.
3. В графе 7записываем (Ct — L5) – разность между данными графы 4 играфы 6.
4. Графу 8составляют значения разности между данными графы 5 и графы 4, т.е. результатразности (H5 — Ct).
5. Размах цен за 5дней (H5 — L5) – разность между данными графы 5 играфы 6 записываем в графу 9.
6. Рассчитанные по формулезначения %K заносим в графу 10.
7. В графу 11заносим значения %R, рассчитанные поформуле.
8. Шаги 2-7повторяем для 6-й, 7-й строки и т.д. до конца таблицы.
9. Для расчета %D, начиная с 7-й строки, складываемзначения Ct — L5 из графы 7 за 3 предыдущих дня,включая текущий (t=5, 6 и 7), изаписываем в графе 12. Аналогично значения размаха (H5 — L5) из графы 9 складываем за 3предшествующих дня и заносим в графу 13.
10. По формуле, используя данные граф 12и 13, рассчитываем %D и записываем вграфу 14.
11. Шаги 9 и 10 повторяем для 8-й, 9-й и10-й строк.
12. Медленное %D находим как скользящую среднюю от %D (данные берем из графы 14) с интервалом сглаживания, равнымтрем. Результат записываем в графу 15.
Таблица 11
макс.
мин.
закр.
мак. за 5 дн.
мин. за 5 дн.
Ct — L5
H5 — Ct
H5 — L5
сумма за 3 дн.Ct — L5
сумма за 3 дн.H5 – L5
медленное%Dt
Построим стохастическиелинии:
/>
Смысл индексов %Ки %R состоит в том, что при росте ценцена закрытия бывает ближе к максимальной, а при падении цен наоборот – ближе кминимальной. Индексы %Rи %К проверяют, куда больше тяготеет цена закрытия.
3.1. Банк выдал ссуду, размером 500 000руб. Дата выдачи ссуды – 21.01.02, возврата – 11.03.02. Дата выдачи и деньвозврата считать за один день. Проценты рассчитываются по простой процентнойставке 10% годовых. Найти:
3.1.1) точные проценты сточным числом дней ссуды;
3.1.2) обыкновенныепроценты с точным числом дней ссуды;
3.1.3) обыкновенныепроценты с приближенным числом дней ссуды.
Решение
Используем формулы />; />:
3.1.1) />, />, /> руб.
3.1.2) />, />, /> руб.
3.1.3) />, />, /> руб.
3.2. Через 180 дней после подписаниядоговора должник уплатит 500 000 руб.Кредит выдан под 10% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальнаясумма и дисконт?
Решение
Используем формулу:
/> руб.
Дробь в правой частиравенства при величине Sназывается дисконтным множителем. Этот множитель показывает, какую долюсоставляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга. Дисконтсуммы S равен /> руб.
3.3. Через 180 дней предприятие должнополучить по векселю 500 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом.Банк учел вексель по учетной ставке 10% годовых (год равен 360 дням).Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
Решение
Используем формулы />, />/>.
/> руб.
/> руб.
3.4. В кредитном договоре на сумму 500 000руб. и сроком на 4 года зафиксирована ставка сложных процентов, равная 10%годовых. Определите наращенную сумму.
Решение
Воспользуемся формулойнаращения для сложных процентов:
/> руб.
3.5. Ссуда, размером 500 000 руб.предоставлена на 4 года. Проценты сложные, ставка – 10% годовых. Процентыначисляются 2 раза в год. Вычислить наращенную сумму.
Решение
Начисление процентов двараза в год, т.е. m=2. Всего имеетсяN = 4·2 =8 периодов начислений. Поформуле начислений процентов по номинальной ставке:/> находим:
/> руб.
3.6. Вычислить эффективную ставкупроцента, если банк начисляет проценты 2 раза в год, исходя из номинальнойставки 10% годовых.
Решение
По формуле /> находим:
/>, т.е. 10,25%.
3.7. Определить какой должна бытьноминальная ставка при начислении процентов 2 раза в год, чтобы обеспечитьэффективную ставку 10% годовых.
Решение
По формуле /> находим:
/>, т.е. 9,76%
3.8. Через 4 года предприятию будетвыплачена сумма 500 000 руб. Определить ее современную стоимость приусловии, что применяется сложная процентная ставка 10% годовых.
Решение
По формуле /> находим:
/> руб.
3.9. Через 4 года по векселю должна бытьвыплачена сумма 500 000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 10%годовых. Определить дисконт.
Решение
Дисконтирование посложной учетной ставке осуществляется по формуле:
/> руб.
Дисконт суммы S равен:
/> руб.
3.10. В течение 4 лет на расчетный счет вконце каждого года поступает по 500 000 руб., на которые 2 раза в годначисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Определить сумму нарасчетном счете к концу указанного срока.
Решение
По формуле /> находим:
/> руб.
