Выдержка из текста работы
|
Fi |
Vi |
Fi |
Vi |
Fi |
Vi |
Fi |
Vi |
Fi |
Vi |
|
|
0,51 |
170 |
0,79 |
221 |
1,09 |
265 |
1,39 |
284 |
1,65 |
267 |
|
|
0,56 |
179 |
0,85 |
231 |
1,15 |
271 |
1,45 |
285 |
1,72 |
256 |
|
|
0,62 |
191 |
0,91 |
239 |
1,21 |
275 |
1,49 |
284 |
1,79 |
246 |
|
|
0,68 |
201 |
0,97 |
247 |
1,27 |
279 |
1,54 |
281 |
1,86 |
233 |
|
|
0,74 |
212 |
1,03 |
256 |
1,33 |
281 |
1,59 |
275 |
1,91 |
223 |
|
Технические характеристики ПП-54 |
|||
| Реверс Энергия удара Частота ударов Диаметр бурения Глубина бурения Коэффициент твердости горных пород по шкале Протодьянова Тип хвостовика Размер хвостовика рабочего инструмента Крутящий момент Рабочее давление Расход воздуха Длина инструмента Масса инструмента Внутренний диаметр рукава, подводящего воздух Внутренний диаметр рукава, подводящего воду
Уровень шума |
Есть 54 2300 40-46 4 14 шестигранник 25×108 29,43 0,5 174/кВт 775 31,5 25 12,5
112 |
Дж Мин-1 мм м мм Нм МПа м3/мин мм кг мм мм
дБ |
Часто при анализе фактических результатов измерений или экспериментов возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между этими фактическими величинами. Поскольку табличные результаты получаются как итог каких-либо экспериментов, эти значения называются эмпирическими или опытными значениями. Таким образом, исходными данными являются два одномерных массива одинаковой длины, содержащие эмпирические данные.
Если между величинами F и V существует некоторая функциональная зависимость (в частности, в данной курсовой работе), но ее аналитический вид неизвестен, то возникает практическая задача — найти эмпирическую формулу
V Т =F (F,a1,a2,..am), (1)
где a1,a2,..am — коэффициенты.
Вид функции и значения коэффициентов a1,..am подбираются таким образом, чтобы значения VТi, вычисление по эмпирической формуле при различных значениях Fi, возможно мало отличаться бы от опытных значений Vi. Нахождение аналитической зависимости между эмпирическими величинами называется аппроксимацией функции заданной таблично (от латинского «approximare» -«приближаться»). В научных исследованиях аппроксимация применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирических результатов. Чаще всего, чем проще уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости. Главное при вычислении аппроксимации не стремление с максимальной точностью передать случайные отклонения величин в конкретных рядах эмпирических данных, а гораздо важнее уловить основную тенденцию зависимости (или ее «тренд»).
При аппроксимации указывают класс функции, из которой выбирается теоретическая функция (например: линейная или кубическая и т.п.) и далее определяются наилучшие значения коэффициентов методом наименьших квадратов.
Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами а1,а2,….аm считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной теоретической функции от заданных эмпирических значений будет минимальной. Следовательно, задача состоит в определении коэффициентов а1,а2,….аm, таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей.
Для того чтобы найти набор коэффициентов а1,а2,….аm, при которых достигается минимум функции S, определяемой формулой (2), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных — равенство нулю частных производных.
Таким образом, нахождение коэффициентов сводится к решению системы (3).
Конкретный вид системы (3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (1).
По эмпирическим данным мы с помощью мастера диаграмм строим график исходных данных (рис 2), данные берем из таблицы 1.
Рис. 2
Для аппроксимации данной зависимости мы выбираем квадратичную и кубическую функции. Выбор именно этого класса функций объясняется тем, что графики линейной, степенной, логарифмической и экспоненциальной функций не отображают с необходимой точность зависимость скорости бурения от усилия подачи, поэтому в дальнейшем мы не будем рассматривать их в курсовом проекте.
В случае квадратичной зависимости система (3) примет вид:
В случае кубической зависимости система (3) примет вид:
где а1, а2, а3, а4 — неизвестные, а суммы: ; и т.д. дают конкретные значения коэффициентов и свободных членов в системах линейных уравнений (4) и(5).
При проведении расчетов необходимых для вычисления функции аппроксимации, данные располагаем в табличном виде, как это представлено в приложении (таблица 2). Расчеты для разных функций в целях удобства производим на разных листах.
1.1 Вычисление коэффициентов для квадратичной аппроксимации
Составляем матрицу А. Коэффициенты a1, a2 и a3 вычисляем по формуле =[А-1]*. Три составляющие вектора будут искомыми коэффициентами a1, a2 и a3. Для нахождения чисел, составляющих матрицу А (рис 3.), выполняются расчеты приведенные в приложении на рис 1.
1. В ячейки A2:A26 и B2:B26 заносим значения Fi и Vi соответственно
2. В ячейку С2 вводим формулу =A2^2.(копируем ее в остальные клетки)
3. В ячейку D2 вводим формулу = A2^3. (копируем ее в остальные клетки)
4. В ячейку E2 вводим формулу = A2^4. (копируем ее в остальные клетки)
5. В ячейки A28:D28 вводим формулу =СУММ(AX:AY). Суммируем значения вышестоящих величин.
6. Вычисляем так же по формуле =A2*B2.(копируем ее в нижние клетки и суммируем их (=СУММ(F2:F26)). Вычисляем по формуле =(C2*B2), копируем ее в нижние клетки и суммируем их =СУММ(G2:G26).
Определение коэффициентов квадратичного уравнения сводится к решению матрицы (4). Исходными данными для которой будут служить числа найденные выше (В нашем случае матрица решается матричным методом). Поясним более подробно ход решения.
1. В ячейки I3:K5 вводятся коэффициенты стоящие при а1, а2,….аn. (рис 3)
2. В ячейках I10:K12 находим матрицу обратную матрице в ячейках I3:K5 (=МОБР(I3:K5) (рис 3)
3. В ячейках F13:F14 находим по формуле (=МУМНОЖ(L9:O12;Q3:Q6)) коэффициенты квадратичной аппроксимации.(рис 3)
Рис. 3. Вычисления в EXCEL (получение искомых коэффициентов квадратичного уравнения)
Далее вычисляем коэффициент детерминированности (6), который показывает, насколько хорошо полученная теоретическая функция описывает взаимосвязь между эмпирическими данными.
Где Sост. сумма квадратов отклонений теоретических значений функции от эмпирических данных, вычисляемая по формуле:
Sполн. же в свою очередь суммируется из двух величин (8)
Где Sрегр. величина, характеризующая разброс теоретических данных относительно среднего значения.
Итак, если коэффициент детерминированности равен 1, то имеет место корреляция фактических данных с выбранной теоретической моделью. Следовательно, чем ближе r2 к 1 тем удачнее подобрана функция.
Поясним более подробно вычисления коэффициента детерминированности (образец расчетов находится в приложении табл. 2.)
Для этого в ячейки O2:P26 перенесем значения исходных эмпирических данных. После этого в ячейке I28 найдем среднее значение VИСХ(=СУММ(P2:P26)/25).
В ячейку Q2 введем значение , которое соответствует значению полученной нами функции от первого аргумента из эмпирических данных (=$K$18+$K$19*O2+$K$20*O2^2). Скопируем эту формулу на ячейки вниз до 26 строки получив тем самым теоретические значения функции для всех аргументов.
В ячейку R2 введем формулу =(P2-$P$28)^2, чтобы получить квадрат отклонения первого значения (чтобы найти для всех значений скопируем формулу до 26 строки). Найдем в 28 строке сумму этих значений получив тем самым полную сумму квадратов отклонений.
Чтобы найти остаточную сумму отклонений надо произвести похожую операцию: в ячейке S2 формула =(Q2-P2)^2 копируем до 26 строки в 28 строке сумма этих значений.
Коэффициент детерминации рассчитывается по формуле =1-S28/R28, которую мы введем в ячейку T28. Получаем коэффициент детерминации равный 0,9789. В результате квадратичной аппроксимации мы получили полиномиальное уравнение второй степени:
Коэффициент детерминированности этого уравнения равный 0,9789 показывает, что эмпирические данные имеют достаточно высокую точность совпадения с теоретическими. Представим графически, насколько выбранная функция отображает нашу зависимость (Рис. 4).
Рис. 4. График эмпирических данных и полученной теоретической зависимости
1.2 Вычисление коэффициентов для кубической аппроксимации
Кубическая функция так же, как и квадратичная является полиномиальной поэтому вычисления для этой функции носят аналогичный характер.
Находим числа для матрицы А (рис 5.), для этого выполняются расчеты приведенные в приложении на рис 3.
Рис. 5. Вычисления в EXCEL (вычисление коэффициентов логарифмической аппроксимации)
Определение коэффициентов кубического уравнения (см. приложение табл. 4). Производится с помощью системы линейных уравнений (5)
Далее вычисляем коэффициент детерминированности (см. приложение табл. 4).
В результате описанных выше вычислений мы получили уравнение характеризующее кубическую зависимость:
(10)
Представим графически, насколько выбранная функция отображает нашу зависимость (рис 6).
На основе первичных данных (из рис. 4 и рис. 6) можно сделать вывод, что для описания нашей зависимости наиболее подходит кубическая функция. Для подтверждения правильности первичных данных рассчитаем коэффициент детерминированности.
Рис. 6. График эмпирических данных и полученной теоретической зависимости
Коэффициент детерминированности данного кубического уравнения равен 0,9979.(больше чем у квадратичной функции) Так как полученное число очень близко к единице, то можно сделать вывод о почти полном совпадении исходной и теоретической функции. Следовательно о практическом применении полученной функции при расчетах зависимости скорости бурения по граниту перфоратором ПП-54 от усилия подачи. Функции более высокого порядка (например, полиномиальная шестой степени) коэффициент детерминированности которых больше полученного при квадратичной и кубической аппроксимациях, рассматривать не будем, т. к. возникают сложности связанные с расчетами этих функций, что делает их менее используемыми при практических расчетах.
1.3 Построение линий тренда с использованием программных средств Excel
Теоретические зависимости, полученные решением линейных уравнений матричным способом можно проверить, используя стандартные средства Microsoft Excel, т. е. проведя линии тренда. Используя его можно минуя расчеты получить готовый результат.
Построим график, запустив “Мастера диаграмм” и выбрав тип “точечная”, не забудем подписать оси и назвать диаграмму.
Для построения линии тренда щелкнул правой кнопкой мыши по одной из точек графика. В появившемся окне выбрал “Добавить линию тренда…”, затем в появившемся диалоговом окне выберем соответствующий тип тренда (например, для степенной аппроксимации — тип “степенная”).
В этом же окне перейдем к вкладке «Параметры», указав уравнение тренда на диаграмме и показав значение R2.
Для построения тренда квадратичной аппроксимации в типе тренда выбираем «полиномиальная«, степень 2.
Рис. 7. Вычисления в EXCEL (построение готового результата с помощью мастера диаграмм для полиномиальной аппроксимации)
Аналогично для кубической, только степень три.
Рис. 8. Вычисления в EXCEL (построение готового результата с помощью мастера диаграмм для полиномиальной аппроксимации)
Результаты вычислений полученные с помощью встроенного в Excel пакета функций совпали с результатами вычислений, полученных опытным путем. Значит, вычисления выполнены верно.
Коэффициенты детерминированности:
Rкв = 0,9789 — коэффициент детерминированности квадратичной аппроксимации;
Rкуб = 0,9979 — коэффициент детерминированности кубической аппроксимации;
Сравнив линии тренда, графики теоретических и фактических данных и значения коэффициентов детерминированности, вычисленных в EXCEL, видно, что кубическая зависимость близка к фактически данным и для практических целей можно использовать кубическую аппроксимацию.
Таблица 5
Таблица 6
Программа для вычисления в Qbasic.
Квадратичная аппроксимация.
DECLARE SUB GAUS (aa!(), b!(), e!(), r!)
n = 25
DIM x(n), y(n)
DATA 0.51,0.56,0.62,0.68,0.74,0.79,0.85,0.91,0.97,1.03,1.09,1.15,1.21, 1.27
DATA 1.33,1.39,1.45,1.49,1.54,1.59,1.65,1.72,1.79,1.86,1.91
FOR i = 1 TO n: READ x(i)
NEXT i
DATA 170,179,191,201,212,221,231,239,247,256,265,271,275,279,281
DATA 284,285,284,281,275,267,256,246,233,223
FOR i = 1 TO n: READ y(i):
NEXT i
FOR i = 1 TO n
sx = sx + x(i): sy = sy + y(i)
sx2 = sx2 + x(i) ^ 2: sxy = sxy + x(i) * y(i)
sx3 = sx3 + x(i) ^ 3: sx4 = sx4 + x(i) ^ 4: sx2y = sx2y + (x(i) ^ 2) * y(i)
NEXT i
xcp = sx / n: ycp = sy / n
PRINT «xcp=»; xcp: PRINT «ycp=»; ycp
FOR i = 1 TO n
s1 = s1 + (x(i) — xcp) * (y(i) — ycp)
s2 = s2 + (x(i) — xcp) ^ 2: s3 = s3 + (y(i) — ycp) ^ 2
NEXT i
r = s1 / (s2 ^ (1 / 2) * s3 ^ (1 / 2))
PRINT «Sx=»; sx: PRINT «Sy=»; sy
PRINT «Сумма (Xi-Xср)(Yi-Yср)=»; s1
PRINT «Сумма (Xi-Xср)^2=»; s2
PRINT «Сумма (Yi — Yср)^2 = «; s3
PRINT «r=»; r
SLEEP: CLS
COLOR 10: PRINT «Квадратичная Аппроксимация»: COLOR 7
r = 3
DIM aa(r, r), e(r), b(r)
aa(1, 1) = n: aa(1, 2) = sx: aa(1, 3) = sx2: b(1) = sy
aa(2, 1) = sx: aa(2, 2) = sx2: aa(2, 3) = sx3: b(2) = sxy
aa(3, 1) = sx2: aa(3, 2) = sx3: aa(3, 3) = sx4: b(3) = sx2y
CALL GAUS(aa(), b(), e(), r)
PRINT USING «a1=###.##»; e(1): PRINT USING «a2=###.##»; e(2)
PRINT USING «a3=####.##»; e(3)
FOR i = 1 TO n
yte = (e(1) + e(2) * x(i) + e(3) * x(i) ^ 2)
yteor = yteor + yte
Spol = Spol + (y(i) — ycp) ^ 2
Soct = Soct + (yte — y(i)) ^ 2
Kdet1 = 1 — Soct / Spol
NEXT i
PRINT USING «Kdet=#.####»; Kdet1
SLEEP: CLS
‘ ГРАФИК КВАДРАТИЧНОЙ ЗАВИСИМОСТИ
SCREEN 12
PAINT (1, 1)
‘оси
LINE (40, 440)-(440, 440), 0
LINE (40, 40)-(40, 440), 0
‘черточки на осях и подписи данных
FOR i = 1 TO 7
LINE (35, 40 + i * 50)-(45, 40 + i * 50), 0
LOCATE 28 — (i * 3) -.098 * i, 7: PRINT i * 50
NEXT i
FOR i =.5 TO 2 STEP.5
LINE (40 + i * 200, 435)-(40 + i * 200, 445), 0
LOCATE 27, 6 + (i * 24): PRINT i
NEXT i
LOCATE 3, 3: PRINT «V(мм/мин)»: LOCATE 28, 58: PRINT «F(kH)»
‘график эмпирических данных
FOR i = 1 TO 25
x(0) =.51
y(0) = 170
LINE (40 + 200 * x(i — 1), 440 — y(i — 1))-(40 + 200 * x(i), 440 — y(i)), 1
NEXT i
‘график теоретической зависимости
FOR i =.51 TO 1.91 STEP.005
y = (e(1) + e(2) * i + e(3) * i ^ 2)
PSET (40 + i * 200, 440 — y), 13
NEXT i
‘легенда
LOCATE 23, 20: PRINT «Эмпирические данные»
LINE (120, 360)-(145, 359), 1, BF
LOCATE 24, 20: PRINT «Теоретическая зависимость»
LINE (120, 376)-(145, 375), 13, BF
Кубическая аппроксимация
DECLARE SUB GAUS (aa!(), b!(), e!(), r!)
n = 25
DIM x(n), y(n)
DATA 0.51,0.56,0.62,0.68,0.74,0.79,0.85,0.91,0.97,1.03,1.09,1.15,1.21, 1.27
DATA 1.33,1.39,1.45,1.49,1.54,1.59,1.65,1.72,1.79,1.86,1.91
FOR i = 1 TO n: READ x(i)
NEXT i
DATA 170,179,191,201,212,221,231,239,247,256,265,271,275,279,281
DATA 284,285,284,281,275,267,256,246,233,223
FOR i = 1 TO n: READ y(i):
NEXT i
FOR i = 1 TO n
sx = sx + x(i)
sx2 = sx2 + x(i) ^ 2
sx3 = sx3 + x(i) ^ 3
sx4 = sx4 + x(i) ^ 4
sx5 = sx5 + x(i) ^ 5
sx6 = sx6 + x(i) ^ 6
sy = sy + y(i)
sxy = sxy + x(i) * y(i)
sx2y = sx2y + (x(i) ^ 2) * y(i)
sx3y = sx3y + (x(i) ^ 3) * y(i)
NEXT i
xcp = sx / n: ycp = sy / n
COLOR 10: PRINT «Кубическая аппроксимация»: COLOR 7
r = 4
DIM aa(r, r), e(r), b(r)
aa(1, 1) = n: aa(1, 2) = sx: aa(1, 3) = sx2: aa(1, 4) = sx3: b(1) = sy
aa(2, 1) = sx: aa(2, 2) = sx2: aa(2, 3) = sx3: aa(2, 4) = sx4: b(2) = sxy
aa(3, 1) = sx2: aa(3, 2) = sx3: aa(3, 3) = sx4: aa(3, 4) = sx5: b(3) = sx2y
aa(4, 1) = sx3: aa(4, 2) = sx4: aa(4, 3) = sx5: aa(4, 4) = sx6: b(4) = sx3y
CALL GAUS(aa(), b(), e(), r)
PRINT USING «a1=###.##»; e(1): PRINT USING «a2=###.##»; e(2)
PRINT USING «a3=####.##»; e(3): PRINT USING «a4=###.##»; e(4)
FOR i = 1 TO n
yte = (e(1) + e(2) * x(i) + e(3) * x(i) ^ 2 + e(4) * x(i) ^ 3)
yteor = yteor + yte
Spol = Spol + (y(i) — ycp) ^ 2
Soct = Soct + (yte — y(i)) ^ 2
Kdet1 = 1 — Soct / Spol
NEXT i
PRINT USING «Kdet=##.####»; Kdet1
SLEEP: CLS
‘ ГРАФИК КУБИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ
SCREEN 12
PAINT (1, 1)
‘оси
LINE (40, 440)-(440, 440), 0
LINE (40, 40)-(40, 440), 0
‘черточки на осях и подписи данных
FOR i = 1 TO 7
LINE (35, 40 + i * 50)-(45, 40 + i * 50), 0
LOCATE 28 — (i * 3) -.098 * i, 7: PRINT i * 50
NEXT i
FOR i =.5 TO 2 STEP.5
LINE (40 + i * 200, 435)-(40 + i * 200, 445), 0
LOCATE 27, 6 + (i * 24): PRINT i
NEXT i
LOCATE 3, 3: PRINT «V(мм/мин)»: LOCATE 28, 58: PRINT «F(kH)»
‘график эмпирических данных
FOR i = 1 TO 25
x(0) =.51
y(0) = 170
LINE (40 + 200 * x(i — 1), 440 — y(i — 1))-(40 + 200 * x(i), 440 — y(i)), 1
NEXT i
‘график теоретической зависимости
FOR i =.51 TO 1.91 STEP.005
y = (e(1) + e(2) * i + e(3) * i ^ 2 + e(4) * i ^ 3)
PSET (40 + i * 200, 440 — y), 13
NEXT i
‘легенда
LOCATE 23, 20: PRINT «Эмпирические данные»
LINE (120, 360)-(145, 359), 1, BF
LOCATE 24, 20: PRINT «Теоретическая зависимость»
LINE (120, 376)-(145, 375), 13, BF
Подпрограмма
SUB gaus (aa(), b(), e(), r)
l = r + 1
DIM a(r, l)
FOR i = 1 TO r
a(i, l) = b(i)
FOR j = 1 TO r
a(i, j) = aa(i, j): NEXT j, i
PRINT «CИCTEMA УPABHEHИЙ»
FOR i = 1 TO r
FOR j = 1 TO l
PRINT a(i, j); : NEXT j
PRINT : NEXT i
FOR i = 1 TO r
D = a(i, i): t = i
FOR j = i TO r
IF ABS(a(j, i)) > ABS(D) THEN D = a(j, i): t = j
NEXT j
IF i <> t THEN
FOR j = i TO l
D = a(i, j): a(i, j) = a(t, j): a(t, j) = D: NEXT j
END IF
FOR j = l TO i STEP -1
a(i, j) = a(i, j) / a(i, i)
NEXT j
FOR k = i + 1 TO r
FOR j = l TO i STEP -1
a(k, j) = a(k, j) — a(i, j) * a(k, i)
NEXT j, k, i
e(r) = a(r, l)
FOR i = r — 1 TO 1 STEP -1
D = 0: FOR j = r TO i + 1 STEP -1
D = D + a(i, j) * e(j): NEXT j
e(i) = a(i, l) — D
NEXT i
PRINT » VEKTOR X: «;
FOR i = 1 TO r
PRINT USING «####.##»; e(i);
NEXT i
END SUB
Размещено на
