Пример контрольной работы по эконометрике: Типы шкал по которым производятся измерения в эконометрике. Пример динамической модели экономики .

1. За счет чего получен дополнительный выигрыш?

2. Какие потери здесь имеют место?

3. Как изменилась эффективность использования ресурсов в сравнении с начальным планом ? Посчитайте коэффициенты K_i и дайте их сравнительный анализ с полученными в п. 1.2.

Задание 3. Исследование эффективности вовлечения дополнительных ресурсов.

Исследование на модели возможности наращивания стоимостного выпуска показало, что он может быть увеличен на 20 тыс. руб. за счет изменения ассортимента при дополнительном вовлечении ресурса сырья (8 т) и положительном сальдо от перепродажи. Для данной производственной системы новый вариант плана выгоднее. В условиях рыночной экономики этого достаточно для принятия управленческого решения. В новом хозяйственном механизме индикатором такой оценки будут являться экономические нормативы, в частности, для ресурсов, которые общество считает дефицитными.

3.1. Оценим с указанных позиций, как изменяется эффективность использования ресурса (сырья) по мере его вовлечения в систему, причем для наглядности во всем диапазоне его изменения (от 0 и выше). При любом объеме ресурса предприятие каждый раз выбирает оптимальную стратегию выпуска, соответствующую максимальному его стоимостному объему. При исходных объемах ресурсов времени и материалов получим модель:

С 20 х₁ + 20 х₂max

Т 2 х₁ + 3 х₂ 12

S 4 х₁ + 2 х₂ S

М 1 х₁ + 3 х₂ 9

х₁ , х₂ 0

Это параметрическая задача, в которой параметр S . Решим ее графически и определим зависимость максимального стоимостного выпуска от объема ресурса S в системе, то есть

3.2. Для графического решения задачи построим множество допустимых решений, определяемое только постоянными ограничениями Т и М (см. рис. 3). Это многоугольник ОАBD. Теперь будем изменять величину объема сырья S и для каждого его значения отыскивать оптимальный план и значения целевой функции. Результаты будем заносить в таблицу 2.

Таблица 2.

3.3. Пусть S = 0. В этом случае в нашей задаче выпуск продукции невозможен, так как сырье необходимо для производства обеих ее видов. Оптимальный план х₀ = (0,0). Зададим небольшую величину объема сырья, например, S = 4. Ограничение по сырью примет вид:

,и может быть построено на графике (рис.3).

Множество допустимых планов OKL определяется лишь данным ограничением, остальные ресурсы M и Т при S = 4 избыточны.

Перемещая линию стоимости С параллельно себе, находим точку, в которой С принимает максимальное значение. Это точка К. Оптимальный план = (0 , 2). Подставляя значения х₁ = 0 и х₂ = 2 в соответствующие ограничения, находим потребные объемы ресурсов и значение целевой функции С_К = 40 (тыс. руб.). Результаты заносим в таблицу 2.

Заметим, что при изменении S от 0 и до 4 (т), точка оптимума перемещается по оси х₂ вверх (на рис.3 изображено стрелкой). Это движение продолжается до точки А, в которой начинает действовать ограничение по материалам М. То есть с увеличением S точка оптимума обязательно совпадет с точкой А. Запишем в таблицу 2 значение оптимального плана = (0 , 2). Теперь подстановкой находим значение S_А = 6 , значение целевой функции C_n = 60 и потребные объемы ресурсов. Результаты заносим в таблицу 2.

Таким образом, при графическом решении параметрической задачи необходимо проследить траекторию движения оптимальной точки по границам области допустимых решений OABD . Так, при S > 6 (см. рис. 3, линия HN), область допустимых планов OAHN, оптимальный план .

То есть точка оптимума движется по ограничению М из точки А в точку В и обязательно попадает в точку В. Как и ранее, заносим оптимальный план в таблицу 2 и пересчитываем значение ресурса S, целевой функции и потребные значения прочих ресурсов М и Т.

При достижении каждой вершины многоугольника OABD необходимо проверить, сдвинется ли точка оптимума при дальнейшем увеличении ресурса S. Так точка В , S = 16, соответствует исходной задаче (см. задание 1). При дальнейшем увеличении ресурса S > 16 в конечном счете точка оптимума попадет в точку D, что соответствует условиям задания 2 и S = 24. Если S > 24, например, S = 36, то ресурс сырья является избыточным и оптимальная точка все равно остается в точке D.

3.4. На основании таблицы 2 и рис.3 построим график зависимости оптимального значения стоимости выпуска от величины ресурса сырья S (см. рис. 4).

Поскольку для каждого значения ресурса сырья мы искали максимальное (а не произвольное) значение стоимости выпуска, полученный график отражает закономерность соотношения результатов и затрат в заданных условиях. Полученная на рис.4 зависимость называется линией не возрастающей эффективности и в упрощенном виде отображает закон, сформулированный известным экономистом В.В. Новожиловым (1) для условий нейтрального научно-технического прогресса (неизменная производительность труда, материало- и фондоемкость продукции). Суть этого закона состоит в следующем. Число эффективных способов использования дефицитного ресурса всегда ограничено. Поэтому при вовлечении ресурса в производственную систему каждая его дополнительная единица будет использоваться с невозрастающей эффективностью (прежней или меньшей). Следствием этого закона является то, что экстенсивное развитие, в конечном счете, приведет к снижению темпов экономического роста, дефицитной экономике.

В нашем примере для роста стоимости выпуска от 0 до 60 тыс. руб. требуется вовлечение в производство 6 тонн сырья (точка А), а для прироста стоимости еще на 60 тыс. руб., то есть до 120 тыс. руб., необходимо вовлечь еще дополнительно 18 тонн сырья, доведя общий его объем до 24 тонн. Дальнейшее увеличение выпуска при постоянных прочих ограничениях невозможно.

3.5. Рассчитаем количественные характеристики эффективности. Это можно сделать двумя способами.

Абсолютные коэффициенты эффективности считаются как отношение абсолютных величин результата и затрат:

и показывает среднее значение результата на единицу затрат. Они малочувствительны к пролеживанию ресурсов. Так, при S = 24 E_D = 5 (см. рис.4), а при S = 36 E_G = 10/3. Вместе с тем из рисунка видно, что при S = 36 вообще не используется 36 – 24 = 12 (т) ресурса. Учитывая характер линии эффективности, видно, что абсолютные показатели не годятся для прогнозных расчетов дополнительного вовлечения ресурсов.

Рис.3. Графическое решение параметрической задачи.

Рис.4. Линия эффективности использования ресурса S.

Приростные коэффициенты эффективности рассчитываются как отношение приростов результата и затрат:

и показывают, как изменится результат при дополнительном вовлечении единицы ресурса. Они могут быть рассчитаны лишь в процессе моделирования объекта и соответствуют двойственным оценкам ресурсов при заданных их объемах.

В реальной экономике показатели эффективности строятся как абсолютные или приростные.

Задание.

1. Подумайте о примерах реальных показателей.

2. Рассчитайте значения тех и других коэффициентов для характерных точек и участков кривой в своем варианте.

3. Сравните значения абсолютных коэффициентов с показателями эффективности отдельных видов продукции, рассчитанными в задании 1.

4. Используя показатели эффективности продукции, письменно поясните, почему та или иная продукция включается или выводится из оптимального плана по мере увеличения дефицитного ресурса.

Итак, в нашем примере при малых объемах S < 6 сырье – единственный дефицитный ресурс и в оптимальный план входит продукция 2, самая эффективная с точки зрения его использования. и не входит продукция 1 . В точке А в силу вступает ограничение по материалам М. Для дальнейшего увеличения выпуска при дополнительном вовлечении сырья S > 6 в план включается первый вид продукции, более выгодный с точки зрения использования материалов

Продукция 2 постепенно выводится из оптимального плана, при S ≥ 16 становится лимитирующим ограничением по труду, а материалы избыточны. Но так как продукция 1 более выгодна и с точки зрения трудозатрат, , она продолжает вводиться в оптимальный план вплоть до точки D.

3.6. Используя график не возрастающей эффективности, можно оценить переход от исходного плана к новому , как предлагалось в задании 2.

При подобном переходе эффективность использования дополнительно вовлекаемых 8 т сырья составит , тогда как в исходном плане она составляла еще (см. рис. 4), то есть сырье будет использоваться менее эффективно, чем в исходном плане. Если данный ресурс является дефицитным с точки зрения народного хозяйства (отрасли), на него может быть установлен норматив эффективности. Так, если бы в нашем примере был установлен, например, норматив , предприятие не имело бы права дополнительно вовлекать ресурс и переходить к новому плану, потому что эффективность его использования была бы ниже нормативной .

При выполнении работы укажите, при каком значении норматива для рассматриваемого ресурса переход от исходного плана, полученного в задании 1, к новому (задание 2), неправомерен с точки зрения общества.

3.7. Аналогично проделанному ранее, исследуйте эффективность вовлечения в систему другого вида ресурса при исходных значениях ресурсов труда и рассмотренного ранее ресурса. Постройте параметрическую модель, решите ее графически, постройте линию эффективности, рассчитайте абсолютные и приростные коэффициенты. Укажите максимально возможный объем вовлечения ресурса при его полном использовании.

Задание к контрольной работе.

Постановка задачи аналогична приведенной в контрольном примере. Исходные данные выбираются из таблицы 3, номер варианта соответствует последней цифре номера Вашей зачетной книжки.

Содержание пояснительной записки.

В работе должна содержаться информация по выполнению всех пунктов заданий 1-3, включая исходные данные.

Каждый пункт задания помечается двойной нумерацией, соответствующей контрольному примеру, снабжается кратким заголовком, приводятся краткие пояснения.

Графики и рисунки выполняются на миллиметровой бумаге или на бумаге в клетку в удобном для наглядного изображения масштабе, одинаковом для всех заданий.

Методические указания по изучению темы.

В процессе изучения темы повторите материал дисциплины «Математика» раздела «Оптимальное программирование» в части графической интерпретации задач линейного программирования. Особое внимание обратите на постановку и экономический смысл двойственной задачи, ее переменных, ограничений и целевой функции. После такого повторения выполнение контрольной работы технической трудности не представит. Все выводы, полученные в ходе выполнения заданий, попытайтесь интерпретировать применительно к реальной производственной системе. Для глубокого изучения проблемы требуется основательная работа с книгой В.В. Новожилова (1).

Таблица 3

Исходные данные по вариантам

Выбранные данные по варианту занесите в таблицу 1.

Часть II. Декомпозиция моделей оптимального планирования.

Общие положения.

Целью выполнения этой части работы является изучение вопроса оптимальной декомпозиции экономической системы и приобретения практических навыков декомпозиции простейших задач для условий нейтрального научно-технического прогресса.

Разделение (декомпозиция) моделей производится таким образом, чтобы последовательность оптимизационных решений каждой подсистемы давала оптимальное решение для всей системы в целом.

При рассмотрении метода декомпозиции будем исследовать двухуровневую систему. Верхний уровень назовем центром, нижний – подсистемами. При этом предполагаем, что каждая подсистема является также как минимум двухуровневой системой. На рис. 5 представлен вид рассматриваемой системы.

Рис. 5

Для удобства и простоты представления модели можно горизонтальные связи между подсистемами перенести на уровень центра. Экономически это означает, что центр не только распределяет централизованные ресурсы (вертикальные связи), но и решает вопросы обо всех поставках между подсистемами (горизонтальные связи). Тогда структура экономической системы будет иметь только обобщенные вертикальные связи (рис. 6).

Рис. 6

Рассмотрим характеристики данной системы.

Каждая подсистема выпускает продукцию различной номенклатуры. В модели это характеризуется номенклатурным вектором х_К = ( х_К1, х_К2, … , х_Кm), где

к – индекс подсистемы;

j – индекс продукции подсистемы;

x_кj – кол-во j-й продукции к-й подсистемы.

Эти величины и нужно определить.

Нормативы затрат различных ресурсов на производство единицы продукции считаются известными. При этом ресурсы системы подразделяются на:

1) централизованно распределяемые;

2) собственные ресурсы подсистемы.

g^l_kj – норма расхода I – го ресурса, распределяемого централизованно, для производства j-ой продукции к-ой подсистемы.

— потребность в I – ом централизованном ресурсе для к-ой подсистемы, на производство продукции всей к-ой подсистемы.

— норма расхода к-ой подсистемы на единицу j-ой продукции к-ой подсистемы.

— потребность в p-ом собственном ресурсе для к-ой подсистемы.

Как централизованные, так и собственные ресурсы ограничены. Обозначим: b’ – количество I –го централизованного ресурса в системе;

b^p_k – количество p-го собственного ресурса у к-ой подсистемы.

Экономическая система должна функционировать в соответствии с некоторым критерием оптимальности, то есть в модели должна быть определена целевая функция (ЦФ).

Одним из распространенных критериев в экономических системах является целевая функция полезности (ЦФП). В этой ЦФ численно определяется полезность единицы каждой продукции, то есть известно: C_kj – полезность j-ой продукции к-ой подсистемы. Тогда ЦФП каждой подсистемы имеет следующий вид:

.Отсюда общая модель системы, максимизирующая суммарную полезность деятельности всей экономической системы при ограниченных ресурсах, имеет вид:

≤ b^p₁

≤ b^p₂

…

≤ ≤ b^p_т

В такой постановке модель имеет блочную структуру, но размерность такова, что решить ее невозможно. Поэтому поиск оптимального решения следует осуществить с помощью метода декомпозиции.

Лимитная схема декомпозиции по модели максимизации ЦФП.

По такой схеме центр выделяет лимиты централизованных ресурсов (ЦР) каждой подсистеме, а подсистемы в пределах выделенных централизованных и имеющихся собственных ресурсов решают свои задачи на максимум собственных ЦФП. При этом при известных ресурсах каждая подсистема определяет оптимальный номенклатурный вектор продукции. Центр таким образом распределяет централизованные ресурсы между подсистемами, что в результате решения каждой подсистемой своей оптимизационной задачи получается глобальный оптимум для всей системы.

Представим модель в векторной форме. Для этого введем обозначения:

— потребность в централизованном ресурсе к-ой подсистемы;

— количество централизованного ресурса;

— потребность в собственном ресурсе к-ой подсис- темы;

— количество собственного ресурса к-ой подсистемы;

Тогда модель в векторной форме будет иметь следующий вид:

.В соответствии с принципами лимитной схемы декомпозиции каждой подсистеме выделяется лимит централизованных ресурсов. Обозначим:

— количество централизованного ресурса, выделяемого каждой подсистеме.

Причем необходимо обязательное выполнение условия:

Тогда задача каждой подсистемы будет иметь следующий вид:

Общая модель распадается на модель центра и модели подсистем. Координирующая роль центра состоит в определении оптимальных векторов централизованно распределяемых ресурсов , при которых максимизируется глобальная ЦФ системы. Поскольку максимум ЦФ подсистемы зависит от выделяемых централизованных ресурсов, то в результате решения задачи каждой подсистемы в принципе можно построить следующую функцию:

Подсистемы сообщают эту функцию в центр. Тогда модель центра можно представить таким образом:

.А структурная схема общей модели будет иметь вид:

Последовательность расчетов такой декомпозиционной системы следующая:

1. Подсистемы решают свои задачи на максимум собственной ЦФ при различных значениях вектора централизованных ресурсов . В результате каждая подсистема определяет — функцию максимальной полезности деятельности каждой подсистемы в зависимости от набора ресурсов . Эта функция сообщается в центр.

2. Центр решает собственную задачу на максимум ГЦФП и определяет оптимальный объем ресурсов для каждой подсистемы (в пределах имеющегося в центре объема ресурса). Эти объемы спускаются подсистемам.

3. В соответствии с выделенным объемом централизованного ресурса подсистемы определяют собственные оптимальные номенклатурные планы , которые в совокупности соответствуют глобальному оптимальному плану всей системы.

Порядок выполнения контрольных заданий.

Последовательность выполнения работы поясним в ходе решения контрольного примера.

Задание 1. Построение и декомпозиция исходной модели.

1.1. Предположим, что в объединение входят два предприятия, условия функционирования которых представлены в табл. 4 и табл. 5 соответственно. Цены, нормы расходов и объемы ресурсов приведены в условных единицах.

Таблица 4.

Данные по первому предприятию

Таблица 5.

Данные по второму предприятию

Для каждого предприятия необходимо определить оптимальный объем выпуска продукции в стоимостном выражении, если известно, что объем централизованного ресурса, распределяемого между предприятиями, составляет 32 условные единицы. Обозначим:

х₁₁ , х₁₂ — количество изделий 1-го и 2-го типа 1-ой подсистемы[1];

х₂₁ , х₂₂ — количество изделий 1-го и 2-го типа 2-ой подсистемы¹.

Тогда общая модель системы будет иметь следующий вид:

3 х₁₁ + 2 х₁₂ + 2 х₂₁ + 3х₂₂ max

2 х₁₁ + 3 х₁₂ + 2 х₂₁ + 1х₂₂ 32

2 х₁₁ + 1 х₁₂ 10

1 х₁₁ 3

1 х₂₁ + 2 х₂₂ 10

х₂₂ 3

х₁₁, х₁₂, х₂₁, х₂₂ 0

Декомпозиция этой модели приводится на схеме:

Задание 2. Решение задач подсистем.

Подсистемы решают собственные параметрические задачи при раз-личных значениях параметров и и сообщают вид функций и

в центр. Рассмотрим процесс решения задач в каждой подсистеме.

2.1. Решение задачи первой подсистемы.

Модель первой подсистемы имеет вид:

3 х₁₁ + 2 х₁₂ max

2 х₁₁ + 3 х₁₂ 32 (1)

2 х₁₁ + 1 х₁₂ 10 (2)

1 х₁₁ 3 (3)

Решение параметрической задачи будем приводить графически. Для этого построим область допустимых решений (ОДР), состоящую из уравнений собственных ресурсов подсистемы, то есть неравенства (2) и (3) (см. рис. 7). На этой области исследуем поведение ЦФ от различных значений ЦР.

При значении U₁ = 0, f₁ (U₁) = 0, начнем увеличивать значение ЦР. Пусть U₁ = 6 (область ОАС¹). На этом множестве ЦФ достигает своего оптимального значения в точке А, то есть при увеличении ЦР от 0 до 6 оптимальный план скользит по ребру ОА. А при увеличении U₁ от от 6 до 18 оптимальный план скользит по ребру АВ. А при изменении U₁ от 18 до 30 оптимальный план скользит по ребру ВС. Таким образом, при изменении ресурса от 0 до 30 оптимальный план первой подсистемы движется по траектории ОАВС. При увеличении U₁ сверх 30 данный ресурс уже не является лимитирующим, и оптимальный план остается в точке С. При этом значение ЦФ в точке С f₁ (U₁) = 20.

Для выражения зависимости координат оптимального плана от величины U₁ необходимо решить систему уравнений. Первое уравнение является ограничением ЦР, а второе – гранью ОДР, по которой скользит оптимальный план. Последовательно рассмотрим поведение функции на отрезках [ОА], [АВ], [ВС].

1. Найдем вид функции на отрезке [ОА]. На этом отрезке ЦР изменяется от 0 до 6. Система ограничений, из которой находим координаты оптимального плана, имеет следующий вид:

Находим из этой системы координат оптимального плана:

Подставляя эти значения в уравнение ЦФ получаем вид функции на отрезке [ОА]:

2. Отрезок [АВ], .

3. Отрезок [ВС], .

4. При

Тогда зависимость ЦФ первой подсистемы от ЦР, то есть решение первой подсистемы, будет следующей:

График этой функции представлен на рис.8. Эта зависимость отражает то общее свойство любой производственной системы, что эффективность каждой дополнительной единицы уменьшается, то есть прирост максимально возможного объема выпуска на дополнительную единицу ресурса при неизменной технологии убывает (общий закон убывающей эффективности).

2.2. Решение второй подсистемы. Ее модель:

2 х₂₁ + 3 х₂₂ max

2 х₂₁ + 1 х₂₂ U₂

1 х₂₁ + 2 х₂₂ 10

1 х₂₂ 3

При увеличении ресурса U₂ от 0 до 20, оптимальный план, как видно на рис. 9, движется по траектории OKMN. Координаты оптимального плана на различных участках траектории будут следующими:

1. Отрезок [OK], 0 ≤ U₂ ≤ 3.

2. Отрезок [KМ], 3 ≤ U₂ ≤ 11.

3. Отрезок [МN], 11 ≤ U₂ ≤ 20.

4. при .

Решение второй подсистемы:

График этой функции представлен на рис. 10. Подсистемы сообщают эти функции в центр.

Задание 3. Решение задачи центра и определение номенклатурных планов подсистем.

Задача выглядит следующим образом:

Рис. 7. Решение задачи 1 п/с.

Рис. 8. Линия эффективности 1 п/с.

Рис. 9. Решение задачи 2 п/с.

Рис. 10. Линия эффективности 2 п/с.

3.1. Для решения этой задачи нужно построить результирующую функцию максимального объема выпуска всей системы в зависимости от объема ЦР. Практически такую функцию можно построить, включая отрезки функций подсистем в порядке убывания эффективности дополнительной единицы ресурса. Для наглядности отрезки первой подсистемы будем изображать тонкой линией, а второй подсистемы – толстой. График результирующей функции представлен на рис. 11. По этой функции определяется предельный норматив эффективности использования ЦР: на оси ресурсов U находится точка, соответствующая наличию ресурса в системе (32). Из этой точки восстанавливается перпендикуляр до пересечения с графиком функции f(U). Соответствующий коэффициент эффективности ε и будет являться предельным (нормативным) для всей системы ε_Н. Для нашего примера:

, [ед. ЦФ/ед. ЦР]

Этот норматив ε_Н спускается подсистемам, которые не имеют теперь права использовать ЦР с меньшей эффективностью.

3.2. Подсистемы запрашивают такой объем ресурсов U_K, эффективность использования которого не меньше, чем предельная. Эти объемы сообщаются в центр. Для нашего примера:

3.3. Центр определяет суммарный объем запрашиваемых ресурсов и их наличие. Если спрос превышает наличие, то заявка подсистемы, имеющей меньшую эффективность использования ресурса, уменьшается на величину сбалансирующего спроса и предложения. Для нашего примера

Значит, на 6 = ∆ U единиц корректируется заявка второй подсистемы. В результате подсистемам спускаются оптимальные нормы централизованного ресурса:

Рис. 11. Построение линии эффективности всей системы и определение e_н и .

3.4. В соответствии с выделенным объемом ресурсов подсистемы решают собственные задачи при известных ресурсах и определяют оптимальные номенклатурные планы.

В данном примере оптимальные планы такие:

.Оптимальный объем выпуска продукции в стоимостном выражении: Заметим, что суммарная полезность соответствует значению (35), уже найденному при определении нормативного коэффициента эффективности (см. рис. 11).

Задание к контрольной работе.

Постановка задачи аналогична приведенному примеру. Нормы расхода ресурсов и цены продукции берутся из таблиц 4 и 5. Объем ресурсов выбирается из таблицы 6 в соответствии с номером варианта. Номер варианта определяется последней цифрой номера зачетной книжки.

Исходные данные по вариантам

Таблица 6

Содержание контрольной работы

1. Постановка задачи (исходные данные, п.п. 1.1 – 1.2).

2. Графическое решение задач каждой подсистемы (на миллиметровке и в одинаковом масштабе).

3. Решение задачи центра (в том же масштабе).

4. Определение оптимального решения каждой подсистемы.

5. Выводы по работе.

Методические указания по изучению дисциплины.

При изучении дисциплины следует обратить внимание на иные способы декомпозиции (2. с. 113-139). Определите, какие проблемы, являющиеся ключевыми в согласовании деятельности центра и подсистем, остались вне рассмотрения. Важнейшей такой проблемой является определение оптимальных нормативов эффективности единовременных затрат (капитальных вложений). При самостоятельной работе особое внимание необходимо обратить на изучение взглядов В.В. Новожилова на данную проблему (1). Попробуйте ответить на вопрос об области применения предложенной схемы декомпозиции.

Список литературы.

1. Новожилов В.В. Проблемы измерения затрат и результатов при оптимальном планировании. М.: Наука, 1972.

2. Оптимизация функционирования социалистической экономики / Под ред. С.С. Шаталина. М.: Изд-во МГУ, 1980.

3. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учебное пособие для студентов эконом. специальностей. М.: Высшая школа, 1986.

4. Шимко П.Д., Поснов В.Г. Экономико-математическое моделирование производственных систем / ЛИЭИ. Л.:, 1987.

5. Исследование операций: Учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по спец. «Прик­ладная математика» и «Экономическая кибернетика». — М.:Высшая школа,1990.-383 с.

6. Громова Н.В. и др. Методы исследования операций в моделировании организационно-экономи­ческих задач: Учеб. пособие/Громова Н.Б., Минько Э.В., Прохоров В.И. -М.:Изд-во МАИ,1992.-240 с.:ил.

7. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов/Под ред. Н.Ш. Кремера. — М.:Банки и биржи, ЮНИТИ,1997. — 407 с.:ил., табл.

8. Паркинсон С. Н., Рустомджи М.К. Искусство управления/ Пер. с англ. К. Савельева. — М.: Издательско — торговый дом Гранд, Агентство Фаир,1997. — 271 с.:ил. — (Настольная книга бизнесмена).

9. Семененко А. И. Предпринимательская логистика. — СПб.: Политехника,1997. — 347 с.

Приложение 1

Пример оформления титульного листа контрольной работы

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный

инженерно-экономический университет»

(СПбГИЭУ, ИНЖЭКОН)

Кафедра исследования операций в экономике

имени профессора Юрия Алексеевича Львова

Контрольная работа по дисциплине

МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ

Выполнил:

студент___ курса _______ группа_________

N зачетной книжки _________ Дата: ____________________

____________________________ __________________________

(Подпись) (И.О. Фамилия)

Проверил:

Преподаватель: __________________________________________

(должность, уч. степень, уч. звание)

______________________________________________________

(Подпись) (И.О. Фамилия)

Оценка:___________ Дата:_______________

Санкт-Петербург
201_

[1] Количество изделий может быть дробным