Выдержка из текста работы
1.09. В первой урне 6 шаров черного и 4 белого цвета, во второй 3 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны наудачу извлекается один шар. Какова вероятность того, что вынуты: а) 2 белых шара; б) хотя бы один шар черный; в) белый и черный в любой последовательности.
Решение.
Событие А – извлечены два белых шара, В – хотя бы один черный шар, С – белый и черный шар в любой последовательности.
По определению вероятности: , где m – число благоприятных исходов, n – общее число исходов.
Тогда: а)
б) Хотя бы один шар черный, означает: один или два, т.е. все исходы, кроме двух белых шаров.
в) Белый и черный шар в любой последовательности: белый из первой урны, черный из второй или наоборот
2.09. Из 5 винтовок, из которых 3 снайперские и 2 обычные, наудачу выбирается одна, и из нее производится выстрел. Найти вероятность попадания, если вероятность попадания из снайперской винтовки – 0,95, а из обычной 0,7.
Решение.
Событие: А- попадание в мишень.
Гипотезы: Н1- выстрел из снайперской винтовки, Н2- выстрел из обычной винтовки.
Формула полной вероятности:
По условию: ; ; ; .
Получим вероятность того, мишень поражена:
3.09. Всхожесть семян лимона составляет 80%. Найти вероятность того, что из девяти семян взойдет: 1) семь; 2) не более семи; 3) более семи.
Решение.
По условию ,
Формула Бернулли: .
(частный случай формулы Бернулли)
Тогда
4.09. Найти вероятность того, что при 400 испытаниях событие появится не менее 104 раз, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,5.
Решение.
По условию , .
Интегральная формула Лапласа: , где , .
Получим: ,
По свойству , по таблице , , тогда
5.09. Производится три независимых испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4. Составить закон распределения дискретной случайной величины X — числа появлений события А в указанных испытаниях. Найти числовые характеристики с.в. X. Построить функцию распределения.
Решение.
Случайная величина Х – число появления события А. Она может принимать значения: 0, 1, 2, 3.
По условию: , тогда
Используем формулу Бернулли:
(частный случай формулы Бернулли)
(частный случай формулы Бернулли)
Получим ряд распределения:
xi 0 1 2 3
pi 0,216 0,432 0,288 0,064
Проверка:
Математическое ожидание :
Дисперсию вычислим по формуле:
Среднее квадратическое отклонение:
Интегральная функция распределения:
Найдем значения функции F(x) на этих интервалах:
при х (-?;0) ? F(x)=P(X<x)=0
х [0;1) ? F(x)=0+0,216=0,216
х [1;2) ? F(x)=0,216+0,432=0,648
х [2;3) ? F(x)=0,648+0,288=0,936
х [3;+?) ? F(x) =0,936+0,064=1
Следовательно, интегральная функция распределения будет иметь вид:
6.09. Случайная величина X задана плотностью вероятностей:
Определить: а) параметр А; б) функцию распределения F(x); в) Mo, Me, MX, DX, ?(Х); г) вероятность того, что в двух независимых испытаниях с.в. X попадет не меньше одного раза в интервал
(-1/3;1/2). Построить графики функций f(x), F(x).
Решение.
а) По свойству: ?
Получим:
б) Найдем функцию распределения
Если , то , тогда .
Если , тогда
Если , то
В результате получим:
в) М0 – мода
— не принадлежит отрезку ? моды нет.
Ме – медиана. По определению:
— не принадлежит
— не принадлежит
Тогда медиана Ме =0,671
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение:
Т.к. , то
Используем формулу Бернулли:
Тогда
7.09. Построить кривую Гаусса для случайной величины X, подчиненной закону нормального распределения, если ее возможные значения с вероятностью 0,9973 за-ключены в интервале от 5 до 17.
Решение.
Кривая Гаусса задается функцией нормального распределения:
Т.к. случайная величина заключена в интервале (5,17), то математическое ожидание а=11, величина отклонения e=6.
Тогда
? , по таблице значений Ф(х) соответствует значению х=3, т.е.
Получим функцию: .
Точка максимума: (11;0,2)
Точки перегиба:
(9;0,12) и (13;0,12)
8.09. Имеются данные о продаже парфюмерии по кварталам за 5 лет в тыс. у.е. рассчитать гарантийный запас товара (в тыс. у.е.) на квартал с указанной надежностью 0,97 и проанализировать плановые товарные запасы на квартал (план 3,75 тыс. у.е.).
5 6 6 7 5,2 5 2,9 3,1 1,3 1,6 3,9 3,1 5,1 4,9 1,6 1,4 4,95 5,05 5,7 5,3
Решение.
Обозначим через a (тыс. у.е.) гарантийный запас.
Доверительный интервал:
— предельная ошибка выборки.
Т.к. , то , по таблице Лапласа соответствует t=2,17
1 5 0,795 0,632025
2 6 1,795 3,222025
3 6 1,795 3,222025
4 7 2,795 7,812025
5 5,2 0,995 0,990025
6 5 0,795 0,632025
7 2,9 -1,305 1,703025
8 3,1 -1,105 1,221025
9 1,3 -2,905 8,439025
10 1,6 -2,605 6,786025
11 3,9 -0,305 0,093025
12 3,1 -1,105 1,221025
13 5,1 0,895 0,801025
14 4,9 0,695 0,483025
15 1,6 -2,605 6,768025
16 1,4 -2,805 7,868025
17 4,95 0,745 0,555025
18 5,05 0,845 0,714025
19 5,7 1,495 2,235025
20 5,3 1,095 1,199025
Сумма 84,1 56,6145
Доверительный интервал: ?
План 3,75 (тыс. у.е.) попадает в интервал, следовательно, товарный запас со-ответствует спросу.
9.09. Валовая продукция сельского хозяйства совхозов Y (тыс. у.е.) в зависи-мости от мощности тракторов X (л. сил) дана в таблице:
X 4,15 5,5 6,07 7,45 7,85 8,11 9,87 11,3 12,4 13,2
Y 1,39 1,69 1,96 2,13 2,46 2,31 2,65 2,98 3,23 3,99
Определить тесноту связи между X и Y и составить уравнение регрессии
Решение.
Уравнение регрессии: .
Найдем параметры уравнения:
Составим расчетную таблицу
n x y xy x2 у2
1 4,15 1,39 5,7685 17,2225 1,9321
2 5,5 1,69 9,295 30,25 2,8561
3 6,07 1,96 11,8972 36,8449 3,8416
4 7,45 2,13 15,8685 55,5025 4,5369
5 7,85 2,46 19,311 61,6225 6,0516
6 8,11 2,31 18,7341 65,7721 5,3361
7 9,87 2,65 26,1555 97,4169 7,0225
8 11,3 2,98 33,674 127,69 8,8804
9 12,4 3,23 40,052 153,76 10,4329
10 13,2 3,99 52,668 174,24 15,9201
S 85,9 24,79 233,4238 820,3214 66,8103
Получим: ;
Уравнение регрессии имеет вид: .
Линейный коэффициент корреляции:
Следовательно:
Связь между факторами прямая и очень сильная
