Содержание
ЗАДАНИЕ 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ ПО ЗАДАННЫМ УРАВНЕНИЯМ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ
По заданному уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени (сек) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке.
Выдержка из текста работы
Движение механических систем при наложенных связях. Голономные связи. Принцип виртуальных перемещений. Принцип Даламбера. Решение задачи динамики одномерной системы. Качественное исследование. Движение вблизи точек остановки. Период колебаний как функция энергии. Гармонический осциллятор. Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями (1-го рода). Законы сохранения для системы при наличии связей. Собственные и вынужденные одномерные колебания. Затухающие одномерные колебания. Апериодический режим движения. Фазовая плоскость.
Движение частиц в центрально-симметричном поле. Общее решение задачи в квадратурах. Качественное исследование. Точки поворота. Классификация траекторий. Формулы для периода радиального движения частицы и смешения перигея в центральном поле. Условие замкнутости траекторий. Задача Кеплера. Вектор-интеграл Лапласа.
Система материальных точек. Внутренние силы. Законы изменения и сохранения импульса, момента импульса и энергии системы точек. Механическое подобие. Теорема вириала. Задача двух тел. Общее решение задачи (в квадратурах) методом интегралов движения. Упругое рассеяние частиц. Эффективное поперечное сечение рассеяния. Формула Резерфорда. Падение частиц в центр поля и захват частиц. Полное сечение захвата частиц.
Уравнения Лагранжа в независимых координатах (вывод из общего уравнения механики) и их ковариантность при точечных преобразованиях. Обобщенный импульс и обобщенная энергия. Интегралы движения уравнений Лагранжа. Функция Лагранжа заряженных частиц во внешнем электромагнитном поле. Обобщенный потенциал. Обобщенная сила в уравнениях Лагранжа заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле.
Общее решение уравнений Лагранжа механической системы с s степенями свободы вблизи положений устойчивого равновесия. Свойства ортогональности. Векторы смещений. Малые колебания динамических систем с s степенями свободы. Устойчивость движения. Теорема Лагранжа. Собственные частоты. Нормальные координаты. Задача об обмене колебаниями в системе двух слабосвязанных математических маятников. Биения.
Неособенные лагранжианы. Представление уравнений Лагранжа в эквивалентной форме уравнений Гамильтона. Интегральные принципы механики. Принцип наименьшего действия. Модифицированный принцип Гамильтона. Гамильтоновы системы.
Канонические уравнения. Скобки Пуассона. Теорема Пуассона. Функция Гамильтона заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле. Интегралы движения гамильтоновой системы.
Канонические преобразования. Производящие функции и инварианты канонических преобразований.
Уравнение Гамильтона-Якоби. Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби.
Метод разделения переменных переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби.
и решения канонических уравнений. Консервативные гамильтоновы системы. Укороченное действие. Канонические переменные «действие-угол». Переменные «действие-угол» и общие свойства условно-периодических движении.
Понятие об интегрируемых механических системах. Теорема Лиувилля об интегрируемости. Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби как пример интегрируемой системы. Механические системы с медленно меняющимися параметрами. Адиабатические инварианты.
Число степеней свободы твердого тела. Углы Эйлера. Угловая скорость твердого тела. Кинематические уравнения Эйлера.
Импульс, момент импульса и кинетическая энергия твердого тела. Тензор инерции твердого тела и его свойства. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Динамические уравнения Эйлера. Функция Лагранжа тяжелого симметрического волчка. Интегралы движения.
Характерные свойства и способы описания сплошной среды. Поле перемещений. Тензоры и векторы полей поворотов и деформаций. Поле скоростей. Тензоры и векторы, характеризующие поля вихря и скорости деформаций.
Объемные и поверхностные силы. Тензор локальных напряжений. Изоэнтропическое движение сплошной среды. Уравнения Эйлера. Баротропное движение идеальной жидкости. Уравнения движения в векторной форме. Теоремы Бернулли и Коши. Уравнения неразрывности для массы, импульса и энергии идеальной жидкости. Потоки энергии и импульса сплошной среды. Сжимаемая сплошная среда. Звуковые волны. Эффект Доплера. Распространение возмущений в потоке сжимаемого газа. Число Маха. Поверхности разрыва в однородном потоке сжимаемого газа. Ударные волны. Ударная адиабата Гюгонио.
Касательные напряжения. Тензор напряжений «линейной» вязкой жидкости. Динамически-подобные течения. Число Рейнольдса.
