Выдержка из текста работы
В данной курсовой работе, передо мной поставлены следующие задачи: вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций, ограниченных линиями, заданными уравнениями, также ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах, вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат, заданных параметрическими уравнениями, заданных уравнениями в полярных координатах, а также вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями, ограниченных графиками функций, и образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций вокруг полярной оси. Мною была выбрана курсовая работа по теме «Определенный интеграл. В связи с этим, я решила узнать, как легко и быстро можно использовать интегральные вычисления, и насколько точно можно вычислить поставленные передо мной задачи.
ИНТЕГРАЛ одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой — измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.
Раскрытие темы курсовой работы я провела по следующему плану: определение определенного интеграла и его свойства; длина дуги кривой; площадь криволинейной трапеции; площадь поверхности вращения.
1. ТЕОРИЯ
Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.
Если функция F(x) — какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то это выражение известно под названием формулы Ньютона-Лейбница:
Основные свойства определенного интеграла:
Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:
Если f(x)=1, то:
При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
Если функции интегрируемы на , тогда интегрируема на их сумма и интеграл от суммы равен сумме интегралов:
Существуют также основные методы интегрирования, например замена переменной,:
Исправление дифференциала:
Формула интегрирования по частям дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться более простым:
= (9)
Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что для непрерывной и неотрицательной функции представляет собой в геометрическом смысле площадь соответствующей криволинейной трапеции.
(10)
Кроме того, с помощью определенного интеграла можно найти площадь области, ограниченной кривыми , прямыми и , где
(11)
Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически прямыми x = a и x = b и осью Ox, то площадь ее находится по формуле, где определяются из равенства :
. (12)
Основная область, площадь которой находят с помощью определенного интеграла- криволинейный сектор. Это область, ограниченная двумя лучами и кривой, где r и — полярные координаты:
(13)
Если кривая является графиком функции где , а функция ее производная непрерывны на этом отрезке, то площадь поверхности фигуры, образованной вращением кривой вокруг оси Ox, можно вычислить по формуле:
. (14)
Если функция и ее производная непрерывны на отрезке то кривая имеет длину, равную:
(15)
Если уравнение кривой задано в параметрической форме
где x(t) и y(t) — непрерывные функции с непрерывными производными и то длина кривой находится по формуле:
. (16)
Если кривая задана уравнением в полярных координатах , где и непрерывны на отрезке , тогда длину дуги можно посчитать следующим образом:
(17)
Если вокруг оси Ox вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией отрезком и прямыми x = a и x = b, то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Ox, будет равен:
(18)
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми x = 0, y = c, y = d (c < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:
(19)
Если фигура ограничена кривыми и (находится «выше», чем и прямыми x = a, x = b, то объем тела вращения вокруг оси Ox будет равен:
, (20)
а вокруг оси Oy (:
. (21)
Если криволинейный сектор вращать вокруг полярной оси, то площадь полученного тела можно найти по формуле:
(22)
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Задача 14: Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций:
1) Решение:
Рисунок 1 — График функций
2) Найдем пределы интегрирования.
X меняется от 0 до
x1 = -1 и x2 = 2 — пределы интегрирования (это видно на Рисунке 1).
3) Посчитаем площадь фигуры, использую формулу (10).
Ответ: S = .
Задача 15: Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями:
1) Решение:
Рисунок 2 — График функций
Рассмотрим функцию на интервале [0,12р].
|
t |
0 |
р/6 |
р/4 |
р/3 |
р/2 |
р |
2р |
||
|
x |
0 |
р-3 |
2р-3 |
3р-6 |
6р |
9р+6 |
12р |
||
|
y |
0 |
6-3 |
6- |
3 |
6 |
12 |
6 |
0 |
Рисунок 3 — Таблица переменных для функции
Так как , то на этом периоде поместиться 1 дуга. Эта дуга состоит из центральной части (S1) и боковых частей. Центральная чаcть состоит из искомой части и из прямоугольника (Sпр):. Посчитаем площадь одной центральной части дуги.
2) Найдем пределы интегрирования.
и y = 6, следовательно
Для интервала [0,12р] — пределы интегрирования.
3) Найдем площадь фигуры, используя формулу (12).
интеграл криволинейный трапеция
Ответ: S =
Задача 16: Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:
1) Решение:
Рисунок 4 — График функций ,
|
ц |
0 |
р/6 |
р/4 |
-р/6 |
-р/4 |
-р/3 |
-р/2 |
|
|
r1 |
1 |
(0 |
||||||
|
r2 |
2 |
1 |
0 |
Рисунок 5 — Таблица переменных функций ,
2) Найдем пределы интегрирования.
следовательно —
3) Найдем площадь фигуры, используя формулу (13).
Ответ: S =.
Задание 17: Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат:
1) Решение:
Рисунок 6- График функции
|
x |
0 |
1 |
ln |
ln |
ln |
ln |
2 |
-1 |
-2 |
-3 |
1,5 |
|
|
y |
1 |
2-e |
2- |
2- |
2-2 |
2-e2 |
2-1/e |
2-1/e2 |
2-1/e3 |
2-e2 |
Рисунок 7 -Таблица переменных функции
2) Найдем пределы интегрирования.
меняется от ln до ln, это очевидно из условия.
3) Найдем длину дуги, используя формулу (15).
Ответ: l =
Задание 18: Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями: 1)
1) Решение:
Рисунок 8- График функции
|
t |
0 |
р/6 |
р/4 |
р/3 |
р/2 |
2р/3 |
3р/4 |
5р/6 |
р |
|
|
x |
6 |
3 |
3р |
2р-3 |
-6 |
|||||
|
y |
0 |
6 |
6р |
Рисунок 9- Таблица переменных функций
2) Найдем пределы интегрирования.
t меняется от 0 до р, это очевидно из условия.
3) Найдем длину дуги, используя формулу (16).
Ответ:
Задание 19: Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах: 1)
1) Решение:
Рисунок 10- График функции
|
ц |
-р/3 |
-р/4 |
-р/6 |
0 |
|
|
с |
2,5 |
1,5 |
0,75 |
0 |
Рисунок 11- Таблица переменных функции
2) Найдем пределы интегрирования.
ц меняется от , это очевидно из условия.
Найдем длину дуги, используя формулу (17).
Ответ:
Задание 20: Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
1) Решение:
Рисунок 12 — График функций :
2) Найдем пределы интегрирования.
Z меняется от 0 до 3.
3) Найдем объем фигуры, используя формулу (18)
Ответ:
Задание 21: Вычислить объемы тел, ограниченных графиками функций, ось вращения Ох: 1)
1) Решение:
Рисунок 13 — График функций
|
x |
0 |
1 |
2 |
-1 |
-2 |
|
|
y |
0 |
1 |
8 |
-1 |
-8 |
Рисунок 14- Таблица графика функции
|
x |
0 |
1 |
4 |
|
|
y |
0 |
1 |
2 |
Рисунок 15- Таблица графика функции
2) Найдем пределы интегрирования.
Точки (0;0) и (1;1) являются общими для обоих графиков, следовательно это и есть пределы интегрирования, что очевидно на рисунке.
3) Найдем объем фигуры, используя формулу (20).
Ответ:
Задание 22: Вычислить площадь тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций, вокруг полярной оси:
1) Решение:
Рисунок 16 — График функции
|
ц |
0 |
р/4 |
р/6 |
-р/4 |
-р/4 |
|
|
с |
1 |
0 |
0 |
Рисунок 17- Таблица переменных для графика функции
2) Найдем пределы интегрирования.
ц меняется от
3) Найдем площадь фигуры, используя формулу (22).
Ответ: 3,68
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В процессе выполнения курсовой работы на тему «Определенный интеграл», я научилась вычислять площади разных тел, находить длины различных дуг кривых, а также вычислять объемы. Данное представление о работе с интегралами, поможет мне в будущей профессиональной деятельности, как быстро и оперативно выполнять различные действия. Ведь сам интеграл — одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой — измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Ч.1 — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2008. — 288 с.
2. Бугров, Я.С., Никольский, С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление: Т.2 — М.: Дрофа, 2004. — 512 с.
3. Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. — Изд. 4-е — М.: МЦНМО, 2002. —664 с.
4. Кузнецов Д.А. «Сборник задач по высшей математики» Москва, 1983 г.
5. Никольский С. Н. «Элементы математического анализа». — М.: Наука, 1981г.
Размещено на
