Выдержка из текста работы
Решение типового варианта индивидуально домашнего задания по теме «Математическая статистика»./ М.А. Алексеева, Н.И. Чабанова, К.К. Гладун. – ВИТИ НИЯУ МИФИ. – Волгодонск, 2013. – 20 с.
Предназначено для студентов 2-го курса всех направлений.
© ВИТИ НИЯУ МИФИ, 2013
Предисловие.
В целях лучшего усвоения курса и интенсификации самостоятельной работы студентов в соответствии с учебными планами Волгодонского инженерно-технического института (филиала) НИЯУ МИФИ предусмотрено выполнение индивидуальных домашних заданий (ИДЗ).
Данный дидактический материал предназначен для организации самостоятельной работы студентов, выполняющих индивидуальные домашние задания по теме «Математическая статистика».
Задание 1. В результате эксперимента получены данные в виде статистического ряда.
а) записать значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда;
б) найти размах варьирования и разбить его на 5 интервалов;
в) построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения;
г) найти числовые характеристики выборки
д) приняв в качестве гипотезы: генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверить ее, пользуясь критерием Пирсона при уровне значимости
е) найти доверительный интервал для математического ожидания и среднего квадратического отклонения при надежности
Решение.Пусть для изучения количественного признака Х (например, размер детали) из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=50.
Наблюдавшиеся значения х1 ; х2 ;…; хn называются вариантами.
Значения вариант хi приведены в табл. 1:
Таблица 1
| Варианты хi | |||||||||
| 19.8 | 16.3 | 12.0 | 10.0 | 11.2 | 13.4 | 17.6 | 18.0 | 20.0 | 10.9 |
| 14.7 | 15.3 | 12.7 | 18.1 | 19.4 | 12.1 | 13.6 | 15.4 | 19.6 | 18.0 |
| 16.3 | 12.7 | 15.4 | 13.0 | 11.7 | 14.6 | 17.5 | 16.7 | 15.0 | 18.7 |
| 11.1 | 13.4 | 17.5 | 18.9 | 20.0 | 10.0 | 17.7 | 18.1 | 12.7 | 13.4 |
| 14.6 | 12.4 | 18.3 | 16.2 | 17.0 | 14.2 | 15.3 | 11.8 | 15.7 | 19.9 |
а) Расположим все варианты от 10.0 до 20.0 в порядке возрастания и получим вариационный ряд (табл. 2).
Таблица 2
| Вариационный ряд | |||||||||
| 10.0 | 10.0 | 10.9 | 11.1 | 11.2 | 11.7 | 11.8 | 12.0 | 12.1 | 12.4 |
| 12.7 | 12.7 | 13.0 | 13.4 | 13.4 | 13.4 | 13.6 | 14.2 | 14.6 | 14.6 |
| 14.7 | 15.0 | 15.3 | 15.3 | 15.4 | 15.4 | 15.7 | 16.2 | 16.3 | 16.3 |
| 16.7 | 17.0 | 17.5 | 17.5 | 17.6 | 17.7 | 18.0 | 18.0 | 18.0 | 18.1 |
| 18.1 | 18.3 | 18.7 | 18.9 | 19.4 | 19.6 | 19.8 | 19.9 | 20.0 | 20.0 |
б) Частичных интервалов
Разобьем все значения от 10.0 до 20.0 на 5 интервалов:
[10.0 – 12.0), [12.0 – 14.0), [14.0 – 16.0), [16.0 – 18.0), [18.0 – 20.0].
Зададим статистическое распределение выборки в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот. В качестве частоты интервала принимают количество вариант, попавших в интервал.
Размах
Сумма частот вариант должна быть равна объему выборки ; длина частичного интервала (шаг)
Полученная табл. 3 является статистическим распределением выборки.
Таблица 3
| № интервала i | Частичные интервалы xi – xi+1 | Сумма частот вариант интервала ni |
| 10.0 – 12.0 | ||
| 12.0 – 14.0 | ||
| 14.0 – 16.0 | ||
| 16.0 – 18.0 | ||
| 18.0 – 20.0 |
Найдем относительные частоты и плотность относительной частоты (табл. 4). Контроль: .
Таблица 4
| Частоты | Относительные частоты | Плотность относит. частоты |
| ni | ||
| =0.14 | 0.07 | |
| =0.2 | 0.1 | |
| =0.2 | 0.1 | |
| =0.18 | 0.09 | |
| =0.28 | 0.14 |
в) Построим гистограмму частот и относительных частот по данному распределению выборки объема n=50 (рис. 1).
На оси абсцисс отложим частичные интервалы длиной h=2.
На оси ординат отложим плотность относительной частоты . Проведем над частичными интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс, на расстоянии, соответствующем плотности относительной частоты .
Рис. 1
Построим полигон частот. Примем середины интервалов в качестве новых вариант и составим статистическое распределение выборки (табл.5).
Таблица 5
На оси абсцисс отложен вариант , на оси ординат частоты . Соединим точки отрезками. Полученная ломаная и есть полигон частот (рис.2).
Рис. 2
Эмпирическая функция распределения:
График функции изображен на рисунке 3.
Рис. 3
г) Вычислим выборочную среднюю где — варианта, — частота, — объем выборки. Данные возьмем в табл.5.
Вычислим выборочную дисперсию:
Для уменьшения ошибки, вызванной малым числом интервалов, сделаем поправку Шеппарда, тогда выборочная дисперсия
Вычислим выборочное среднее квадратическое отклонение:
Найдем несмещенную оценку генеральной дисперсии:
«исправленная» выборочная дисперсия
«исправленное» среднее квадратическое отклонение
д) По критерию согласия Пирсона проверим, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Х с эмпирическим распределением выборки объема n=50, где выборочное среднее , выборочное среднее квадратическое отклонение Уровень значимости – это вероятность отвергнуть правильную гипотезу.
Найдем интервалы . Для этого составим расчетную таблицу 6. Левый конец первого интервала примем за
–∞, правый конец последнего интервала примем за +∞.
Таблица 6
| Границы | Границы | |||||
| 10.0 | 12.0 | — | -3.52 | –∞ | -1.2738 | |
| 12.0 | 14.0 | -3.52 | -1.52 | -1.2738 | -0.5500 | |
| 14.0 | 16.0 | -1.52 | 0.48 | -0.5500 | 0.1737 | |
| 16.0 | 18.0 | 0.48 | 2.48 | 0.1737 | 0.8974 | |
| 18.0 | 20.0 | 2.48 | — | 0.8974 | +∞ |
Найдем теоретические вероятности Pi и теоретические частоты ni´= n· Pi =50· Pi. Для этого составим расчетную таблицу 7. Значения функции Ф(х) находятся в таблицах, причем Ф(–∞) =-1/2, Ф(+∞)-1/2, Ф(–х) = –Ф(х).
Таблица 7
| Границы | Значения | Теор.вероят. | Частоты | |||
| i | zi | zi+1 | Ф(zi) | Ф (zi+1) | Pi= Ф (zi+1)– Ф (zi) | ni´=50 Pi |
| –∞ | -1.2738 | -0.5 | -0.3980 | 0.1021 | 5.1 | |
| -1.2738 | -0.5500 | -0.3980 | -0.2080 | 0.1892 | 9.46 | |
| -0.5500 | 0.1737 | -0.2080 | 0.0675 | 0.2763 | 13.815 | |
| 0.1737 | 0.8974 | 0.0675 | 0.3133 | 0.2458 | 12.42 | |
| 0.8974 | +∞ | 0.3133 | 0.5 | 0.1867 | 9.205 |
Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу 8. Столбцы 7 и 8 служат для контроля.
Таблица 8
| Номер столбца | |||||||
| 5.1 | 1.9 | 3.61 | 0.7078 | 9.6078 | |||
| 9.46 | 0.54 | 0.2916 | 0.0308 | 10.5708 | |||
| 13.815 | -3.815 | 14.5542 | 1.0535 | 7.2385 | |||
| 12.42 | -3.42 | 11.6964 | 0.9417 | 6.5217 | |||
| 9.205 | 4.795 | 22.9920 | 2.4978 | 21.2928 | |||
| Σ | χ2набл=5.2316 | 55.2316 |
Наблюдаемое значение критерия:
Контроль: – верно.
По таблице критических точек , по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = S – 3 = 5– 3 = 2, где S – число интервалов, находим критическую точку правосторонней критической области: χ2кр(0.05;2) = 6.
Так как χ2набл =5.2316< χ2кр = 6, то нет основания отвергать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, то есть эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо.
е) Найдем интервальные оценки.
Доверительный интервал с надежностью γ = 0,95 для неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака генеральной совокупности, если известно генеральное среднее квадратическое отклонение σ = 3, выборочное среднее xв = 15.52, объем выборки n=50:
Найдем t из соотношения . Из таблиц функции Ф(x) находим аргумент t=1,96, тогда доверительный интервал для математического ожидания:
;
Доверительный интервал с надежностью γ = 0,95 для среднего квадратического отклонения σ нормально распределенного признака генеральной совокупности по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению S= 2,7914.
При q < 1 – это доверительный интервал S(1– q) < σ < S(1+ q).
При q > – 1 доверительный интервал 0 < σ < S(1+ q), где q находят по таблице: q(γ;n)= q(0,95;50)=0.21<1.
Итак, доверительный интервал для среднего квадратического отклонения:
2.7914·(1–0.21) < σ < 2.7914·(1+0.21),
2.2052 < σ < 3.3776.
Задание 2.Проведены 20 независимых опытов по изучению зависимости случайных величин X и Y (таблица 9).
а) построить график зависимости (поле корреляции) между переменными X и Y, по которому найти модель уравнения регрессии;
б) рассчитать параметры уравнения регрессии методом наименьших квадратов (МНК);
в) оценить тесноту связи между переменными с помощью показателей корреляции и детерминации:
г) оценить значимость коэффициентов корреляции и регрессии по критерию Стьюдента при уровне значимости
Таблица 9
| X | -10 | -8 | -6 | -4 | -2 | |||||
| Y | -2,6 | -3,2 | -2,3 | -2,0 | 2,3 | -0,5 | 4,0 | 5,9 | 5,3 | 6,7 |
| X | ||||||||||
| Y | 5,4 | 9,6 | 10,3 | 11,7 | 12,2 | 13,4 | 10,5 | 11,4 | 14,5 | 17,8 |
Решение.
а) В прямоугольной системе координат строим график зависимости переменных X и Y (рис.4). Для удобства выделим по пять интервалов изменения этих переменных, используя формулы:
иДля переменной Х получим:
Длину интервала округлим в сторону увеличения, т.е. положим В результате получим следующие границы интервалов:
-10; -2; 6; 14; 22; 30.
Аналогичные расчеты производим для переменной Y:
Границы интервалов составят:
-4; 1; 6; 11; 16; 21.
На график наносим точки координаты которых соответствуют значениям переменных X и Y.
Рис.4
Визуально анализируя характер расположения точек на графике (рис.4), приходим к выводу, что связь между переменными X и Y может быть выражена линейным уравнением регрессии
б) Параметры уравнения регрессии находим методом наименьших квадратов, путем составления и решения системы нормальных уравнений:
Составим расчетную таблицу 10.
Таблица 10
| -10 | -2,6 | 6,76 | 26,0 | ||
| -8 | -3,2 | 10,24 | 25,6 | ||
| -6 | -2,3 | 5,29 | 13,8 | ||
| -4 | -2,0 | 4,00 | 8,0 | ||
| -2 | 2,3 | 5,29 | -4,6 | ||
| -0,5 | 0,25 | 0,0 | |||
| 4,0 | 16,00 | 8,0 | |||
| 5,9 | 34,81 | 23,6 | |||
| 5,3 | 28,09 | 31,8 | |||
| 6,7 | 44,89 | 53,6 | |||
| 5,4 | 29,16 | 54,0 | |||
| 9,6 | 92,16 | 115,2 | |||
| 10,3 | 106,09 | 144,2 | |||
| 11,7 | 136,89 | 187,2 | |||
| 12,8 | 163,84 | 230,4 | |||
| 13,4 | 179,56 | 268,0 | |||
| 10,5 | 110,25 | 231,0 | |||
| 11,4 | 129,96 | 273,6 | |||
| 14,5 | 210,25 | 377,0 | |||
| 17,8 | 316,84 | 498,4 | |||
| 1630,62 | 2564,8 |
Тогда система примет вид:
Решим систему по формулам Камера:
Следовательно,
Таким образом, уравнение регрессии Y на X имеет вид:
Построим линию регрессии Y на X по таблице:
| X | -3,57 | |
| 1,86 |
Линия регрессии изображена на рисунке 4.
в) При линейной зависимости степень тесноты связи между X и Y определяется с помощью коэффициента корреляции:
где средние арифметические значения:
Найдем:
Вычислим средние квадратические отклонения и :
Отсюда,
Т.к. то между признаками связь очень тесная, близкая к линейной функциональной.
Коэффициент детерминации равен
г) Оценить значимость коэффициента корреляции.
Нулевая гипотеза — переменная X не оказывает существенного влияния на Y.
Конкурирующая гипотеза
Для проверки нулевой гипотезы применим критерий Стьюдента. Уровень значимости Коэффициент корреляции Найдем наблюдаемое значение критерия:
По таблице критических точек распределения Стьюдента по уровню значимости и числу степеней свободы найдем критическую точку:
двусторонней критической области.
Т.к. то нулевую гипотезу отвергаем.
Вывод: выборочный коэффициент корреляции значим, случайные величины X и Y коррелированы.
Задача 3.Известно, что между X и Y существует линейная корреляционная зависимость (табл.11).
а) найти уравнение прямой регрессии;
б) построить уравнение эмпирической линии регрессии и случайные точки выборки.
Таблица 11
| XY | 2,3, | 3,8 | 5,3 | 6,8 | 8,3 | 9,8 | 11,3 | 12,8 | |
| — | — | — | — | — | |||||
| — | — | — | — | — | — | ||||
| — | — | — | — | — | |||||
| — | — | — | — | — | |||||
| — | — | — | — | — | |||||
| — | — | — | — | — | — | ||||
а) Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид:
где — условная средняя;
и — выборочные средние признаков X и Y;
и — выборочные средние квадратичные отклонения;
— выборочный коэффициент корреляции.
Найдем выборочные средние и . (Целые числа внутри таблицы являются кратностями значений соответствующих случайных точек):
Определим средние арифметические значения , и :
Определим дисперсию и ковариацию.
Дисперсии:
Ковариация: Находим и
Определим коэффициент корреляции:
Вычислим значение произведения:
Т.к. то связь достаточно вероятна.
Уравнение прямой регрессии Y на X:
б) Построим линию регрессии по двум точкам:
| X | -9,79 | |
| 1,097 |
и случайные точки выборки (рис. 5).
Рис.5
