Выдержка из текста работы
2. изучение законов сохранения импульса и механической энергии на примере ударного взаимодействия двух шаров; определение средней силы удара, коэффициента восстановления скорости и энергии деформации шаров.
Приборы и принадлежности: миллисекундомер, кронциркуль, измерительная линейка, установка для изучения упругого и неупругого ударов шаров ФПМ-08.
Основной закон динамики вращательного движения аналогично 2-му закону Ньютона связывает силовую характеристику и инерционные свойства тела с кинематическими характеристиками и утверждает, что угловое ускорение тела при вращательном движении прямо пропорционально результирующему моменту M всех сил, действующих на данное тело, и обратно пропорционально моменту инерции I данного тела:
Проверка данного закона осуществляется с помощью прибора Обербека. В данном приборе маховик приводится во вращение силой натяжения нити, которая момент относительно оси вращения:
где d — диаметр шкива прочно соединённого с маховиком.
По 3-ему закону Ньютона на, подвешенный на нити, груз m0 будет действовать равная по величине сила. Движение данного груза будет определяться результирующей сил тяжести и натяжения нити. Тогда 2-ой закон Ньютона для данной системы тел можно записать так:
m0a = m0g — T.
Выражая из (3) силу натяжения нити имеем выражение:
T = m0(g — a).
Подставляя данное выражение в (2) получаем:
Из (5) видно, что для нахождения момента инерции M необходимо знать ускорение поступательного движения a груза m0, которое можно найти, выразив из
где h — высота падения груза; t — время падения груза.
Учитывая (6), выражение (5) можно переписать следующим образом:
Ускорение движения груза a пропорционально угловому ускорению маховика :
Выразив из (8) угловое ускорение и учитывая выражение (6) получим:
Таким образом, зная значения t, h, d и m0, можно найти отношение момента силы натяжения нити M к угловому ускорению :
Моховик Обербека позволяет, во-первых, убедиться, что для данного распределения масс (постоянного момента инерции) с изменением момента силы трения меняется угловое ускорение, но их отношение остаётся постоянным:
и, во-вторых, определяя величину момента инерции маховика с грузами:
I = I0 + 4mR2
по известным значениям момента инерции маховика без грузов I0, массы дополнительных грузов m и их расстояний от оси вращения, проверить справедливость закона:
для расчётных расположений дополнительных грузов, т.е. проверить линейную зависимость между, независимо определённым, моментом инерции системы I и отношением M/.
Удар (соударение) — это столкновение двух или нескольких тел, при котором взаимодействие длиться очень короткое время. При этом часть энергии данных тел полностью или частично переходит в потенциальную энергию упругой деформации или во внутреннюю энергию тел.
В качестве меры механического взаимодействия тел при ударе вместо ударной силы служит её импульс за время удара.
где <> — средняя сила удара; t — время ударного взаимодействия.
Если импульс изменяется на конечную величину (m) за время t, то из второго закона динамики следует, что
Тогда <F> можно выразить так
где m1 и m2 — массы взаимодействующих тел; V1 и V2 изменение скоростей данных тел при ударе.
Абсолютно упругий удар — это удар при котором механическая энергия тел не переходит в другие механические виды энергии, и кинетическая энергия переходит полностью в потенциальную энергию упругой деформации (затем обратно).
Абсолютно неупругий удар — это удар при котором потенциальной энергии не возникает, кинетическая энергия полностью или частично переходит во внутреннюю энергию. Суммарный импульс данной системы сохраняется, а большая часть кинетической энергии переходит в тепло.
Линяя удара — это линия перпендикулярная поверхностям соударения обоих тел и проходящая через точку касания данных тел при ударе.
Прямой удар — есть удар, при котором вектора скоростей движения центров масс данных тел параллельны линии удара (перед непосредственным взаимодействием).
Центральный удар — это прямой удар, при котором центры масс соударяющихся тел лежат на линии удара.
Косой удар — это удар не являющийся прямым.
В данном случае будем считать, что система шаров на экспериментальной установке является изолированной. Тогда на основании законов сохранения импульса и энергии будет справедлива следующая формула
где m1 и m2 — массы шаров; , и , — их
скорости до и после взаимодействия.
Из (4) и (5) выражаем скорости шаров после столкновения и .
В данном случае рассматривался — абсолютно упругий удар. Но в действительности кинетическая энергия тел после соударения становиться меньше их первоначальной энергии на величину, которую можно найти так:
8) ,
где Kс — коэффициент восстановления скорости. Эта часть кинетической энергии тел при ударе преобразуется в их внутреннюю энергию.
Коэффициент восстановления скорости можно найти по следующей формуле:
9) .
Если при соударении потеря кинетической энергии отсутствует (Kс = 1), то удар называется абсолютно упругим, а при Kс = 0 абсолютно неупругим. Если же 0 < Kс < 1, то удар является не вполне упругим.
Применительно к соударяющимся шарам, один из которых покоится, формулу (4) можно записать так:
10) ,
а для абсолютно неупругого удара .
Скорости шаров до и после удара можно определить по формулам:
11) ; 12) ; 13)
где l — расстояние от точки подвеса до центра тяжести шаров (l = 470 10 мм.), 0 — угол бросания правого шара, 1 и 2 — углы отскока соответствующих шаров.
Расчет вращательного движения на приборе Обербека
|
Ri |
R1 = 0,1 м |
R2 = 0,15 м |
R3 = 0,2 м |
||||
|
di10-3 м
|
d1 = 42 |
d2 = 84 |
d1 = 42 |
d2 = 84 |
d1 = 42 |
d2 = 84 |
|
|
ti |
t11, с |
t12, с |
t21, с |
t22, с |
t31, с |
t32, с |
|
|
1 |
4,30 |
2,16 |
5,58 |
2,79 |
6,53 |
3,41 |
|
|
2 |
4,18 |
2,1 |
5,53 |
2,80 |
6,58 |
3,43 |
|
|
3 |
4,57 |
2,16 |
5,57 |
2,81 |
6,62 |
3,42 |
|
|
4 |
4,29 |
2,16 |
5,57 |
2,77 |
6,59 |
3,42 |
|
|
5 |
4,68 |
2,15 |
5,54 |
2,76 |
6,60 |
3,41 |
|
|
tср, с
|
4,40 |
2,15 |
5,56 |
2,77 |
6,58 |
3,42 |
|
|
(M/)10-2, кгм2
|
2,4 |
2,2 |
3,8 |
3,7 |
5,3 |
5,7 |
|
|
I10-2, кгм2 |
3,1 |
4 |
5,4 |
После снятия показаний с установки имеем значения следующих величин:
mпл = 58,810-3 кг. (масса платформы);
m1 = 55,710-3 кг. m2 = 56,510-3 кг. m3 = 55,810-3 кг. (массы 3-х дополнительных грузов закреплённых на платформе);
4m = 74510-3 кг. (масса 4-х одинаковых грузов закреплённых на крестовине установки);
I0 = 2,3710-2 кгм2. (момент инерции ненагруженной крестовины);
l = 2710-2 м. (длина стержней крестовины);
h = 0,4 м. (путь пройденный грузом);
При дальнейших расчётах следует учесть, что масса груза (m0) складывается из массы платформы (mпл) и массы всех дополнительных грузов установленных на платформе:
m0 = mпл + m1 + m2 + m3; m0 = 226,810-3 кг.
Рассматривая все случаи снятия измерений, по формуле (10) подсчитаем отношение M/ (момент инерции маховика) для каждого из них.
Измерения при R1 и d1: Измерения при R1 и d2:
кгм2.
кгм2.
Измерения при R2 и d1: Измерения при R2 и d2:
кгм2.
кгм2.
Измерения при R3 и d1: Измерения при R3 и d2:
кгм2.
кгм2.
По формуле (12) определим величину момента инерции маховика Обербека.
Теперь определим величину момента инерции данного маховика по формуле (12). По данной формуле искомая величина вычисляется только через I0, 4m и R, а следовательно не зависит от di (диаметра шкива, жестко связанного с маховиком). Определяя величину момента инерции данной системы тел рассматриваем только 3 случая измерений, каждый случай для своего Ri
Измерения при R1:
I = 2,3710-2 + 74510-30,12 = 0,031 кгм2.
Измерения при R2:
I = 2,3710-2 + 74510-30,152 = 0,04 кгм2.
Измерения при R3 и d1:
I = 2,3710-2 + 74510-30,22 = 0,054 кгм2.
Далее найдём погрешность вычисления величины момента инерции маховика Обербека, как M/. Найдём погрешности величины отношения M/ для каждого значения Ri. Погрешность данной косвенной величины вычислим по формуле расчёта погрешности косвенной величины через дифференциал.
; при , .
Для применения данной формулы необходимо найти среднеквадратичные погрешности величин найденных прямыми измерениями (t и h), t и h соответственно.
Воспользуемся следующими формулами нахождения среднеквадратичной погрешности:
Для измерения проведённого c R1 и d1, вычислим величину t11, при k = 1,1 (P = 0,95), c = 10-3, n = 5. И t12 для измерений с R1 и d2.
Значение t1 (для R1) найдём, как среднее арифметическое от t11 и t12:
; с.
Аналогично вычисляются значения t21, t22 (для R2 с d1 и d2):
Значение t2 (для R2) найдём, как среднее арифметическое от t21 и t22:
; с.
Найдём t31, t32 (для R3 с d1 и d2):
Значение t3 (для R3) найдём, как среднее арифметическое от t31 и t32:
; с.
Подсчитаем значение величины
h: ,
т.к. величина h измерена однократно, то имеет смысл случайную составляющую среднеквадратичной погрешности сл приравнять к нулю.
; ,
при c = 10-3 м; k = 1,1. c.
Возвращаясь к формуле вычисления и учитывая, что (при tс = 2,78) найдём соответствующие значения для каждого значения Ri. В данном случае d = (d1 + d2)/2 и t = (ti1 + ti2)/2.
R1: кгм2.
Для R2: кгм2.
Для R3: кгм2.
Расчет упругого и неупругого ударов шаров
|
№ |
ti10-6 |
ti10-6
|
(ti10-6)2 |
1i
|
1i
|
2i
|
2i
|
|||
|
1 |
76 |
-14 |
196 |
2 |
-0,5 |
0,25 |
12 |
-0,2 |
0,04 |
|
|
2 |
103 |
13 |
169 |
2 |
-0,5 |
0,25 |
13 |
0,8 |
0,64 |
|
|
3 |
96 |
6 |
36 |
3 |
0,5 |
0,25 |
11 |
-1,2 |
1,44 |
|
|
4 |
93 |
3 |
9 |
2,5 |
0 |
0 |
13 |
0,8 |
0,64 |
|
|
5 |
82 |
-8 |
64 |
3 |
0,5 |
0,25 |
12 |
-0,2 |
0,04 |
|
|
90 |
2,5 |
12,2 |
После работы с установкой имеем значение следующих величин: (угол бросания правого шара) 0 = 15; (массы правого и левого шаров соответственно) m1 = 112,2 10-3 кг, m2 = 112,1 10-3 кг; (длина бифилярных подвесов обоих шаров) l = 470 10-3 м; (погрешность значения длин бифилярных подвесов) l = 0,01 м; (цена деления микросекундометра) ct = 10-6; (цена деления градусных шкал) c = 0,25.
При известном среднем арифметическом значении времени найдём погрешность измерения данной величины:
При известных значениях и найдём погрешность их измерения (в радианах, при = 3,14):
рад.
рад.
рад.
рад.
при сл
0;рад.
при сл 0; 0 = с; ;
рад.
Теперь найдём скорости данных шаров до соударения (V1, V2) и их скорости после взаимодействия (U1, U2). При этом (скорость левого шара) V2 = 0 т. к. он покоиться до удара. Значения остальных скоростей находят из следующих формул (через l, и g):
м/с2; м/с2;
м/с2;
Найдём погрешности вычисления данных скоростей.
м/с.
м/с.
м/с.
По формуле (3) найдём (силу кратковременного взаимодействия шаров) < F >. Учитывая, что V1 = |U1 — V1| и V2 = |U2 — V2|.
Значение силы удара шаров найдём, как действительное значение от < F1 > и < F2 >:
Найдём погрешность величины < F > по формуле
(погрешность вычисления массы пренебрежимо мала).
Далее по формуле (9) найдём коэффициент восстановления скорости Kс:
; при V2 = 0,
Пользуясь формулой для вычисления погрешности косвенных величин
найдём Kс. Для получения более точного значения погрешности, используя формулы (11, 12, 13), сведём исходную формулу для вычисления Kс (9) к формуле с аргументом состоящим только из значений прямых измерений (t,1,2).
= 4,6 10-2
Теперь по формуле (8) вычислим значение энергии деформации шаров Ek:
Осталось найти погрешность (EK). При использовании следующей формулы предполагается, что V1 и Kс являются прямыми измерениями.
EK = 0,17 Дж.
