Выдержка из текста работы
1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.
Две матрицы считаю равными, если совпадают их размеры и равны соответствующие элементы.
Если mxn, то матрицу называют квадратной, если нет – прямоугольной.
Главной диагональю называют множество элементов, имеющих одинаковые индексы.
Квадратная матрица называется диагональной, если все её элементы, стоящие на главной диагонали, равны нулю.
Если все элементы, стоящие на главной диагонали, равны 1, то матрицу называют единичной и обозначают Е.
Матрицу называют треугольной, или верхнеугольной, если все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю.
Транспонированной по отношению к матрице Аназывают матрицу, столбцами которой являются строки матрицы А. Обозначают A’.
Суммой (разностью) двух матрицA={aij} и B={bij} называют матрицу С={cij}, состоящую из элементов
cij = aij + bij (cij = aij + bij)
Произведением числа l и матрицы A={aij}называют матрицу С={cij}, состоящую из элементов cij =l aij.
Произведением матрицы A={aij} размером mxn на матрицу B={bij} размером nxk,называют матрицу С={cij} размером mxk, элементами которой являются различные произведения строк матрицы А на столбцы матрицы В.
2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.
Определителем матрицы А размера 2×2 называют число, полученное из разности произведений элементов главной диагонали и элементов побочной диагонали.
Определителем матрицы А размером 3×3 называется число, вычисленное по правилу, изображённому на схеме.
В качестве определителя n-го порядка примем формулы из свойства 11
, i = 1, 2, …, n , j = 1, 2, …, n
Свойство 11 (теорема Лапласса). Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения равна определителю.
, i = 1, 2, 3 , j = 1, 2, 3
Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.
Невырожденные (неособенные) матрицы:
Вырожденные (особенные) матрицы:
Присоединенной матрицей матрицы называется матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы .
Пусть А – квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера. Матрица В называется обратной к матрице А, если АВ = Е и В ∙ А = Е.
Обратная матрица обозначается А-1.
АА-1 = А-1А = Е
Теорема 2. Квадратная матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда её определитель │А│ отличен от нуля.
Доказательство: если А имеет обратную, то Е = А ∙ А-1 , откуда по свойству 10 определителей имеем
1 = │Е│ = │ А ∙ А-1│= │А│ ∙ │А-1│, откуда видно, что │А│≠ 0.
Алгоритм построения обратной матрицы:
1)вычислить │А│. Если │А│= 0, то по доказательству А-1 не существует. На этом вычисления заканчиваются. переходим к следующему этапу.
2)выписать транспонированную матрицу А’.
3)составляем матрицу , составленную из алгебраических дополнений элементов матрицы А’. Матрица называется присоединённой к матрице А.
4)выписываем ответ по формуле А-1 = .
5)делаем проверку: проверяем равенства А ∙ А-1 = Е и А-1 ∙ А = Е.
4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример.
Рассмотрим матрицу А размером mxn. Выделим в матрице любые k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют определитель k-го порядка. Его называют минором матрицы А порядка k.
Рангом матрицы А называется наибольший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.
Иными словами, число r называется рангом ненулевой матрицы А, если:
1) у матрицы А есть ненулевой минор порядка r;
2) всякий минор порядка (r+1) и выше равен нулю.
Ранг матрицы А обозначается символом rangA.
Матрицу называют ступенчатой, если каждая её строка начинается со строго большего числа нулей, чем предыдущий.
Теорема 1. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк в ней.
Обратная матрица и её нахождение методом присоединённой матрицы
Пусть А – квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера. Матрица В называется обратной к матрице А, если АВ = Е и В ∙ А = Е.
Обратная матрица обозначается А-1.
АА-1 = А-1А = Е
Теорема 2. Квадратная матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда её определитель │А│ отличен от нуля.
Доказательство: если А имеет обратную, то Е = А ∙ А-1 , откуда по свойству 10 определителей имеем
1 = │Е│ = │ А ∙ А-1│= │А│ ∙ │А-1│, откуда видно, что │А│≠ 0.
Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы.
Система из столбцов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что
| (3.2) |
Здесь и далее символом о обозначается нулевой столбец соответствующих размеров.
Система из столбцов называется линейно независимой, если равенство (3.2) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части (3.2) тривиальная. Аналогичные определения формулируются и для строк (матриц-строк).
Теорема (О ранге матрицы).Строчный и столбцовый ранги матрицы совпадают. (Ранг матрицы — число линейно независимых строк (столбцов) матрицы )
Доказательство.Рассмотрим образ отображения . Образ состоит из всевозможных линейных комбинаций строк матрицы А, следовательно, размерность образа равна строчному рангу матрицы А.
Из представления , следует, что ядро имеет размерность равную (n – столбцовый ранг), значит, размерность образа равна n-(n-столбцовый ранг) = столбцовый ранг.
Таким образом строчный и столбцовый ранги матрицы совпадают.
Что и требовалось доказать.
6. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.
7. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.
Две системы называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.
Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называют:
1) перестановку двух уравнений местами;
2) умножение уравнения на ненулевое число или сокращение на общий множитель;
3) прибавление к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число;
4) отбрасывание нулевых уравнений.
Ясно, что элементарные преобразования переводят систему в эквивалентную.
Элементарные преобразования системы аналогичны элементарным преобразованиям матрицы, поэтому для сокращённой записи их обычно выполняют не с системой уравнений, а с её расширенной матрицей.
Метод Гаусса заключается в преобразовании расширенной матрицы D с помощью элементарных преобразований сначала к ступенчатому виду (прямой ход), а затем по возможности – к диагональному виду (обратный ход). Возникающая в процессе преобразования система уравнений легко решается. В промежутке между прямым и обратным ходом обсуждают вопрос о существовании и единственности решения.
Между прямым и обратным ходом применяются два правила:
1) если в последней строке до черты есть ненулевые числа, то система совместна, если наоборот – несовместна.
2) если все ступеньки короткие, то система является определённой, если наоборот – неопределённой.
Если система оказалась совместной, переходим к обратному ходу: использование элементарных преобразований делает нули над началами ступенек, по возможности превращаем в +1. В результате возникает система, решаемая тривиальным способом.
Если система несовместна – решений нет.
Теорема 6 (Кронекера — Капелли). Если rangD > rangA, то система несовместна. Если же rangD = rangA, то система совместна.
8. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера – Капелли. Условие определенности и неопределенности любой системы линейных уравнений.
Система из m линейных уравнений с n неизвестных имеет вид
aij называются коэффициентами, а bi – свободными членами или правыми частями.
Матрицу А = называют матрицей (коэффициентов) системы.
Матрицу D = называют расширенной матрицей системы.
Если bi = 0 при всех i = 1,2, … , m, то система называется однородной. Если хотя бы один bi ≠ 0, то система называется неоднородной.
Однородная система всегда имеет нулевое решение.
Если система имеет хотя бы одно решение, то её называют совместной. Если не имеет – несовместной.
Если система имеет единственное решение, то её называют определённой. Если решений 2 и более, то неопределённой.
9. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение.
Неизвестные, соответствующие столбцам, на которых расположены начала ступенек, называются базисными. Вернёмся от расширенной матрицы к системе уравнений. Свободные неизвестные обозначаются произвольными буквами. Это означает, что им позволено принимать любые значения. Получим систему относительно базисных неизвестных.
Решение, в котором все свободные неизвестные равны нулю, называют базисным.
Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие существования ненулевых решений такой системы.
Система линейных однородных уравнений
всегда имеет нулевое решение.
Теорема 7. Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда rangA < n, где n-число неизвестных.
Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на число). Коллинеарные и компланарные векторы.
Вектором называется направленный отрезок АВ с началом в точке А, называемой хвостом, и концом в точке В, называемой головой. Вектор принято так же обозначать строчной латинской буквой .
Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами.
Основные свойства скалярного произведения:
< , > = < , >;
< , + > = < , > + < , >;
< , l > = <l , > = l< , >;
если векторы и ненулевые, то < , > = 0 тогда и только тогда, когда векторы и ортогональны.
Выражение скалярного произведения через координаты
Лемма 12. Для всевозможных скалярных произведений базисных векторов , и имеем
= = = 1 и = = .
теорема 13. Скалярное произведение двух векторов =(а1;а2;а3) и =(b1;b2;b3) может быть вычислено по формуле
< , > = а1 b1 + а2 b2 + а3 b3
Угол между двумя векторами
Теорема 16. Косинус w между векторами а = (аx;аy;аz) и b = (bx;by;bz) может быть вычислен по формуле
Замечание 4. Если ∙ = 0, то из предыдущей формулы видно, что cosw = 0. Поэтому равенство
= 0называется условием ортогональности векторов.
13. n-мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов.
Векторное (линейное) пространство. Его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса.
15. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора.
Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.
Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.
18. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы.
19. Собственные векторы и собственные значения оператора (матрицы А). Характеристический многочлен оператора и его характеристическое уравнение.
Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных значений. Пример.
Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Пример.
Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции квадратичных форм.
Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная квадратичные формы. Критерии знакоопределенности квадратичной формы (через собственные значения ее матрицы и по критерию Сильвестра).
Положительно-определенные и отрицательно-определенные квадратичные формы называются знакоопределенными квадратичными формами.
Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).
Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл параметров окружности и эллипса.
Линию, задаваемую уравнением второго порядка, называют кривой второго порядка.
Общее уравнение кривой второго порядка:
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
Нормальное уравнение окружности:
(x — x0)2 + (y — y0)2 = R2
Каноническое уравнение эллипса:
a и b – полуоси, точки пересечения с осями – вершины.
Канонические уравнения гиперболы и параболы. Геометрический смысл их параметров. Уравнение асимптот гиперболы. График обратно-пропорциональной зависимости и квадратного трехчлена.
Каноническое уравнение гиперболы:
a и b – полуоси, точки пересечения с осями – вершины.
Прямая — асимптоты гипрболы.
Точка с координатами (с;0) и (-с;0), где с= называется фокусами.
Каноническое уравнение параболы: y2 = 2px.
Число р – параметр параболы, точка (0;0) – вершина. Точка с координатами называется фокусом, а прямая — директрисой. Все точки параболы находятся на равном расстоянии от фокуса и директрисы.
Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
Общее уравнение плоскости:
Ax + By + Cz + В = 0 в предположении, что хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.
Если хотя бы один из коэффициентов равен 0, то уравнение плоскости называет неполным
29. Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересечения двух плоскостей. Канонические уравнения прямой. Направляющий вектор прямой. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.
