Выдержка из текста работы
Любое наблюдаемое нами движение обычно происходит в ограниченной области пространства и зачастую носит колебательный характер. Более того, колебательные процессы встречаются не только при исследовании механического движения, но также в химических, биологически и даже в общественных явлениях.
2. Общность и широкая применимость математических методов теории колебаний.
Многие явления, исследуемые, казалось бы, абсолютно различными дисциплинами находят весьма общее описание в рамках теории колебаний.
В данной работе проводится исследование колебательных процессов, гармонических колебаний, а также колебаний, возникающих в электрических цепях, и описываются основные принципы работы трансформатора.
Целью работы является изучение трех видов колебаний в электрической цепи: свободных незатухающих колебаний, свободных затухающих колебаний и вынужденных колебаний. Изложение теории именно в такой последовательности помогает лучше уяснить суть базовых математических методов, используемых теорией колебаний.
1. ОПИСАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
1.1 КОЛЕБАНИЯ И КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющиеся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени, называемые периодом.
Колебательными процессами (колебаниями) называются движения или изменения состояния, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.
Математически это записывается так:
, n?Z (1)
где f — изменяемая функция, t — частота колебательного процесса, T — начальная фаза.
В зависимости от физической природы и механизма возбуждения колебаний различают:
· механические колебания (колебания маятников, струн, балок, частей машин и механизмов, качка кораблей, волнение моря, колебания давления при распространении звука в газе, жидкости, твердом теле и т.д.);
· электромеханические колебания (колебания мембран телефонов, диффузоров электродинамических громкоговорителей и т.д.);
· электромагнитные колебания (переменный ток, колебания тока, заряда, векторов [] и [] в колебательных контурах и т.д.), которые будут рассматриваться в этой работе.
Колебательные движения отличаются от других видов движений. Они характеризуются некоторыми общими признаками. На языке теории колебаний различия между колебательным движением тела и процессами в колебательных электромагнитных контурах исчезают, если подходить к ним с точки зрения общих принципов. Такой подход называется электромеханическими аналогиями.
Система, совершающая колебания, называется колебательной системой.
Колебания, которые возникают вследствие какого-либо начального отклонения системы от ее устойчивого равновесия, называются собственными колебаниями.
Колебания, возникающие в системе под влиянием переменного внешнего воздействия, например, внешней ЭДС, называются вынужденными колебаниями.
Общие признаки и понятия, единые для различных колебательных систем:
· дифференциальное уравнение (его вид одинаков для любых колеблющихся систем);
· уравнение колебаний;
· амплитуда;
· частота или период колебаний;
· фаза;
· начальная фаза.
Рассмотрим гармонические колебания в электромагнитной системах, выделяя именно перечисленные выше признаки.
1.2 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Гармоническое колебание это какое движение материальной точки , которое изменяется по закону синуса и косинуса.
x(t) = A cos(щ0t + б), x(t) = A sin(щ0t + б1), (2)
где А — амплитуда [м] , щ0-собственная частота [], б и б1 — начальные фазы [рад].
Рисунок 1.1. Простое гармоническое колебание, где А — амплитуда [м],
Т — период колебаний [с]
Поскольку простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции синус и косинус (их период равен 2р), то простейшим одномерным периодическим движением будет такое движение материальной точки, при котором ее координата х изменяется по закону (2).
Колебательное (ограниченное) движение это изменения положения материальной точки, происходящее около среднего значения величины, которое в частых случаях может находиться в положении устойчивого равновесия.
x(t) = A cos(щt +ц0) (3)
где А — амплитуда [м], щ — циклическая частота [], ц0 — начальная фаза [рад].
Если происходит колебание физических величин, тогда гармонические колебания этой величины описывается законом (3) и будет называться простым гармоническим колебанием. Среднее значение величины равно нулю.
Если среднее значение величины не равно нулю, то такие колебания называются около смещенного положения равновесия (смещенной гармоникой) и описывается выражением (4):
x(t) = x0+ Acos(щt +ц0), (4)
где А — амплитуда [м], щ — циклическая частота [], ц0 — начальная фаза [рад], x0 — начальное смещение [м].
В технике гармоника определяется, только циклической частотой. Выражение, стоящее перед знаком синуса и косинуса и взятое по модулю называется амплитудой. Размерность амплитуды и физическая величина одинаково
[x] = [ A]= (м) (5)
Под знаком синуса и косинуса, как и под знаком любой другой функции всегда стоит безразмерная величина. В данном случае эту величину называют радианом.
Значение стоящее после синуса и косинуса называется фазой ц0. Значение фазы в момент времени t=0 в данном случае называется начальной фазой.
Значение щ — круговая или циклическая частота с размерностью
[щ]= (6)
Иногда в экспериментах вводят период колебаний
[Т]= [с] (7)
Значения простых гармонических колебаний, прежде всего, заключаются в том, что допускают простые обобщения, а именно когда амплитуда и фаза меняется со временем медленно, то колебания можно приблизительно считать гармоническим.
1.3 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Энергетические соотношения. Полная механическая энергия системы состоит из кинетической энергии колеблющейся материальной точки ЕК и потенциальной энергии деформированной пружины ЕП.
Е = ЕК + ЕП = 0,5 (kx2 + mv2).
Пусть
x(t) = A0e—вtcos(щt + 0),
где A0 — начальная амплитуда [м], щ — частота [], 0 — начальная фаза [рад], в — коэффициент затухания [с-1], который будет далее изучен поподробнее.
Введем обозначения:
, , , щ 2 = щ02 + в2.
Тогда
v(t) = — A0щ0 e—вtcos(щt + 0 — б).
E (t) = 0,5 ( k A02 e-2вtcos2(щt + 0) + m A02 щ02e-2вt cos2(щt +0 — б)) =
=0.5k A02 e-2вt(0.5(1 + cos2(щt + 0 )+1+ cos2(щt +0 — б))=
=0.5k A02 e-2вt(1+cos((2 щt+20+2 щt+20-2б)/2)cos((2 щt+20 -2 щt-20 +2 б)/2)= =0.5k A02 e-2вt(1+cosбcos(2щt+20 -б))=
=0.5k A02 e-2вt(1+( в/щ0)cos(2щt+20 -б)),
где A0— начальная амплитуда [м], щ — частота (), 0 — начальная фаза (рад),
в — коэффициент затухания (с-1), m — масса тела (кг), k — коэффициент жесткости [], б- начальная фаза [рад]. Зависимость E(t) представляет собой сумму экспоненты и затухающей гармоники.
Так как собственные колебания в идеальной системе происходят без внешних воздействий, то колебательная система является замкнутой и для нее выполняется закон сохранения механической энергии.
Полная механическая энергия пружинного маятника равна:
Потенциальная энергия материальной точки, гармонически колеблющейся под действием упругой силы, равна:
где A — амплитуда [м], щ0 — собственная частота [], б- начальная фаза [рад], t — период колебания [с].
Кинетическая энергия пружинного маятника равна:
где A — амплитуда [м], щ0 — собственная частота [], б — фаза [рад], t — время колебания [с], m — масса [кг], k — коэффициент жесткости [], н — скорость [м/с].
Полная энергия колебаний пружинного маятника равна:
Частота изменений кинетической и потенциальной энергии в два раза больше частоты изменения смещения, скорости и ускорения. Соответственно,
период изменения этих видов энергии.
Графики физических величин в зависимости от времени представлены на Рисунках 3,4 и 5 в пределах двух периодов колебаний (начальная фаза взята равной нулю б = 0).
Рисунок 3. График смещения амплитуды х[м] в зависимости от времени t [с], при ц0=0 [рад]
Рисунок 4. График скорости v [] в зависимости от времени t [с] при ц0=0 [рад]
Рисунок 5. График ускорения а [ в зависимости от времени t [с], при ц0=0 [рад]
2. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Колебательным контуром называется система, состоящая из последовательно соединенных конденсатора С [Ф], катушки самоиндукции L [Гн] и проводника с омическим сопротивление R [Ом] (рис. 2.1). Введение такого сопротивления позволяет пренебрегать сопротивлением подводящих проводников, а также сопротивлением катушки индуктивности, что является некоторой идеализацией. Фактически, заменяя сопротивление входящих в контур элементов одним сопротивлением R, мы переходим от цепи с распределенными параметрами к цепи с сосредоточенными параметрами. Такой переход правомерен лишь в тех случаях, когда токи в цепи можно считать квазистационарными (мгновенное значение тока почти одинаково во всех участках цепи). Если размеры цепи достаточно малы, то электромагнитные колебания можно считать мгновенно распространяющимися и условие квазистационарности выполняется.
Рисунок 2.1. Схема колебательного контура, где L — индуктивность катушки, [Гн]; q, -q — заряды на обкладках конденсатора [Кл]; R — сопротивление резистора [Ом]; E — внешняя ЭДС [В]
Внешняя электродвижущая сила создает между полюсами 1 и 2 определенное напряжение Е [B], вообще говоря, меняющееся с течением времени.
Выведем уравнение процессов, происходящих в контуре. Одно из направлений при обходе контура тока примем за положительное. Оно обозначено на рис. 2.1 стрелками. Ток считается положительным, если он течет по контуру в положительном направлении, и отрицательным в противоположном случае. Обозначим через q заряд той обкладки конденсатора, направление от которой к другой обкладке совпадает с положительным направлением контура 13421. Применим к этому контуру уравнение Максвелла в интегральном виде:
где Ei — напряженность электрического поля [], dl — элемент проводника [м], Ф — магнитный поток [Вб], — изменение магнитного потока [B].
Пусть выполнено условие квазистационарности. Тогда применяя к участку 13 закон Ома, найдем
где R — омическое сопротивление этого участка [Ом], J — плотность тока в цепи [], л — проводимость [См]. Если сопротивление участка 42 пренебрежимо мало, то интеграл по пути 32 равен напряжению U между обкладками конденсатора.
Для квазистационарных процессов
Наконец, интеграл есть подводимое напряжение между полюсами 1 и 2, взятое с противоположным знаком:
В результате уравнение (8) примет вид
где J []
Для квазистационарных токов Ф = LI. Кроме того,
(10)
так что
(11)
Это и есть уравнение контура. Если катушка самоиндукции не деформируется (L = const), оно переходит в
(12)
Уравнение (12) является дифференциальным уравнением второго порядка. Если источник внешней ЭДС отсутствует, то данное уравнение является линейным однородным уравнением. Такие уравнения описывают так называемые свободные колебания. Колебательные системы, свободные колебания которых описываются линейными уравнениями, называются линейными колебательными системами. Введем обозначения:
— собственная частота колебательной системы [рад/с] (13)
— коэффициентом затухания [с-1] (14)
Тогда уравнение контура принимает вид:
Электрическая цепь составлена из катушки индуктивностью L [Гн] и двух конденсаторов емкостью С1 [Гн] и С2 [Гн] (рис. 2.2.). Один из конденсаторов подключен к половине катушки. В начальный момент времени ток через катушку отсутствует, напряжение на конденсаторе С1 равно U0 [В]. Конденсатор С2 не заряжен. Найти зависимость напряжения на конденсаторе С2 от времени после замыкания ключа К. Принять С1 = С2 = С.
Рисунок 2.2. Схема соединений до замыкания ключа и после, где С1 и С2 — емкости конденсаторов [Ф], L — индуктивность катушки [Гн], К — ключ.
Будем считать, что магнитный поток через любой виток катушки один и тот же (рассеяния магнитного потока нет). По этой причине напряжение U2 на конденсаторе С2 в любой момент времени в два раза больше напряжения U1 на конденсаторе С1 — U2=2U1. В начальный момент, сразу после замыкания ключа, заряды на конденсаторах перераспределяются так, чтобы удовлетворить закону сохранения заряда и отмеченному соотношению между напряжениями. Пусть U21 и U11 — новые напряжения на втором и первом конденсаторах соответственно. Тогда
CU0 = CU11+ CU21 = CU11+ 2CU11 = 3CU11
Отсюда U11= U0, U21 = U0.
Поскольку ток через конденсатор С2 равен Ic2== , а ток через конденсатор С1 равен
Ic1 = = , то
Ic2 = I = 2 Ic1 = 2 Ic.
Суммарный магнитный поток Ф через все витки равен сумме потоков Ф1 и Ф2 через витки левой и правой частей катушки соответственно:
Ф = Ф1 + Ф2 = I + (I + Ic) = (2I + Ic ) = LI.
Учитывая, что
Получаем
Это дифференциальное уравнение описывает гармонические колебания с частотой . В начальный момент времен t = 0 U2 = U0. Поэтому окончательно напряжение на конденсаторе С2 изменяется со временем по закону
U2 = U0 cos щ0t.
Таким образом, рассматриваемая система эквивалентна стандартному колебательному контуру с той же индуктивностью L, но с емкостью, равной . Напряжение на катушке эквивалентного контура в начальный момент равно U0.
2.1 СВОБОДНЫЕ НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Если нет омического сопротивления и отсутствует внешняя ЭДС, то свободные колебания в колебательном контуре описываются уравнением
(15)
Общее решение уравнения (15) имеет вид:
(16)
где q0 — амплитуда колебаний [Кл], ц0 — начальная фаза, [рад]
Из решения (16) видно, что при отсутствии сопротивления в контуре и внешней ЭДС, заряд на обкладках конденсатора совершает колебания с периодом:
(17)
Такие колебаний называются собственными. Отсюда исходит название «собственная частота колебаний».
Графическое изображение зависимости (16) показано на рис. 2.3. Там же разъяснен смысл основных характеристик свободных незатухающих колебаний.
Рисунок 2.3. Графическое изображение свободных незатухающих колебаний, где q — заряд [Кл], q0 — амплитуда заряда [Кл], Т0 — период колебаний [c]
Формула (17) для периода незатухающих колебаний была открыта Вильямом Томсоном и называется формулой Томсона.
Для нахождения зависимости тока от времени продифференцируем выражение (11):
Отсюда видно, что колебания тока опережают по фазе колебаний заряда на .
2.2 ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
Рассмотрим теперь случай свободных колебаний, когда сопротивление в цепи не равно нулю. Уравнение колебаний в данном случае будет иметь вид:
(18)
Уравнения (13) можно записать в виде затухающего колебания:
(19)
где — частота затухания колебания заряда, [рад/с]
Кривая, задаваемая уравнением (19) представлена на рис. 2.4. Она не является периодической, однако, величина q — заряд [Кл] периодически проходит через нуль и бесконечное число раз достигает максимума и минимума. В этом смысле процессы, описываемые формулой (19) являются колебательными. Они называются затухающими колебаниями.
График этой функции (19) дан на рисунке 2.4. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся заряда q [Кл].
Рисунок 2.4. График затухающих колебаний при q0= 5Кл, в=0,05 с-1, щ0=1рад/с, щ=5,5 рад
Таблица 2.1. Данные для построения рисунка 6 графика затухающих колебаний при q0= 5Кл, в=0,05 с-1, щ0=1 рад/с, q=5,5 Кл
|
q0,[Кл] |
в,[с-1] |
t,[с] |
щ0,[рад/с] |
q,[Кл] |
щ,[рад/с] |
|
|
5 |
0,05 |
0 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
1 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
2 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
3 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
4 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
5 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
6 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
7 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
8 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
9 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
10 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
11 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
12 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
13 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
14 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
15 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
16 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
17 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
18 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
19 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
20 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
21 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
22 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
23 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
24 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
25 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
26 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
27 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
|
|
5 |
0,05 |
28 |
1 |
5,5 |
0,998749 |
Промежуток времени между двумя последовательными прохождениями величины q через нуль равен . Удвоенное его значение
(20)
где Т — период колебаний, [с].
При незначительном сопротивлении среды (в2) период колебаний практически равен T0=2р/щ0. Из формулы (20) видно, что Т>Т0, т.е. тормозящие силы понижают частоту колебаний и удлиняют их период. Множитель
A =q0 e—вt (21)
стоящий перед периодической функцией в формуле (21) называется амплитудой затухающих колебаний. Она экспоненциально убывает во времени. Время
(22)
по истечении которого амплитуда А убывает в е раз, называется временем затухания, [с].
Число полных колебаний, совершаемое за время ф, равно
(23)
Отношение амплитуд в моменты последовательных прохождений колеблющейся величины через максимумы или минимумы равно . Логарифм этого отношения
, (24)
где А1 и A2 — амплитуды [Кл], в — коэффициент затухания [c-1], Т — период колебаний [c], называется логарифмическим декрементом затухания [безразмерная величина]. Он связан с числом колебаний N соотношением
(25)
Величина
(26)
называется добротностью колебательного контура [безразмерная величина].
2.3 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В КОНТУРЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЭДС
Рассмотрим уравнение (18), в котором положим Х=Х0 cos щt:
(27)
Уравнение (27) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением со специальной правой частью. Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (27) можно представить в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения, которое исследовалось в предыдущих разделах, и частного решения уравнения (21). Последнее имеет вполне определенный вид, который зависит от того, является ли число iщ корнем характеристического уравнения или нет.
Положим, что . Тогда частное решение уравнения (27) нужно искать в виде:
(28)
Подставляем (22) в (21). Предварительно вычислим все производные:
В последнем выражении раскрываем все тригонометрические функции:
Приводим подобные слагаемые:
Отсюда получаем систему уравнений для нахождения А и д:
Таким образом, получили следующие выражения:
(29)
(30)
Тогда решение уравнения (28) имеет вид
(31)
Проанализируем последнее выражение. Первый член в формуле (31) является решением уравнения свободных затухающих колебаний. Из-за наличия экспоненты с отрицательным показателем этот член быстро затухает (за времена порядка ф). Тогда, по прошествии достаточно большого промежутка времени решение (31) принимает вид:
(32)
Таким образом, при наложении внешней ЭДС колебания заряда на обкладках конденсатора происходят с частотой вынуждающей силы, причем амплитуда этих колебаний также зависит от частоты вынуждающей силы.
Нашей дальнейшей задачей будет исследование амплитуды вынужденных колебаний как функции частоты вынуждающей силы. Определим сначала, при какой частоте вынуждающей силы эта амплитуда достигает максимум. Для этого находим производную:
(33)
Максимумы амплитуды тока и напряжения достигаются соответственно в точках:
(34)
В наиболее важном случае, когда затухание невелико, положения всех максимумов почти не отличаются друг от друга. Поэтому за максимум амплитуды смещения можно принять ее значение при щ=щ0, т.е.
(35)
Кривая, изображающая зависимость амплитуды колебаний q [Кл] от частоты внешней возбуждающей силы щ, называется резонансной кривой (рис. 2.6). Одной из характеристик резонансной кривой может служить значение амплитуды в максимуме.
Другой важной характеристикой является ширина резонансной кривой. Так называется разность частот на высоте . Ширина резонансной кривой определяется по формуле:
(36)
где Q — добротность контура (безразмерная величина)
Чем больше добротность контура, тем ?же резонансная кривая
Рисунок 2.6. Резонансная кривая,
где qmax — амплитуда колебаний, q0 — начальное значение заряда
Итак, наиболее интенсивные колебания будут наблюдаться при частоте щ=щ0. Явление возбуждения сильных колебаний при частоте внешней возбуждающей силы, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом. Катушка индуктивности L соединяет верхние концы двух вертикальных медных шин, отстоящих друг от друга на расстояние a. Вдоль шин падает без начальной скорости горизонтальный проводник-перемычка массой m (без нарушения контакта с шинами). Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярным к плоскости шин. Найти закон движения проводника х(t). Сопротивление всех проводников пренебрежимо мало.
Рисунок 2.7. Электрическая цепь с перемычкой в однородном магнитном поле, где B — магнитная индукция (заданная величина) и a — постоянная величина, а = v — скорость перемычки [м/с], mg — сила тяжести [Н].
Поскольку сопротивление отсутствует, то точно такое же напряжение возникает на катушке индуктивности:
L = — L = — Ba.
После интегрирования получаем i = (Ba/L) (x0 —x),
x0 — начальная координата перемычки.
Сила Ампера, действующая на перемычку
FA = iaB = (x0 —x).
Уравнение движения перемычки
mx« = mg + FA.
После приведения к стандартному виду имеем
x« = g +(x0 —x).
Введем обозначение щ02 =. Тогда
x« + щ02 х = g + щ02 x0
Это уравнение колебаний осциллятора находящегося под воздействием внешней постоянной силы. Его решение запишется в виде гармонических колебаний около смещенного положения равновесия
x(t) = (x0 + ) + A cos щ0t
в чем убеждаемся простой подстановкой. Функция косинус выбрана в соответствии с тем, чтобы удовлетворить начальному условию для скорости перемычки v(0)=0. В начальный момент положение перемычки определяется координатой х0. Подставим это условие в решение х(t) и получим уравнение для определения амплитуды А:
А = — .
Поскольку в начальный момент при t = 0 сила тока в цепи равна нулю, то следует положить x0 = 0. Окончательно имеем
x(t) = — cos щ0t.
3. ТРАНСФОРМАТОР
Трансформатор — это статический электромагнитный аппарат, в котором переменный ток одного напряжения преобразуется в переменный ток той же частоты, но другого напряжения.
Трансформатор состоит из двух обмоток — первичной и вторичной, навитых на общий железный сердечник (рис. 3.1.). Уравнения колебаний в такой системе записываются в виде:
(37)
где индексом 1 обозначены величины, относящиеся к первичной, а индексом 2 — к вторичной обмоткам.
Рисунок 3.1. Трансформатор,
где I1, I2 — ток в первой и во второй катушке соответственно, L1, L2 — индуктивности катушек, R1, R2 — сопротивления первого и второго контура соответственно
Для простоты пренебрежем рассеянием магнитного потока, проходящего через железный сердечник трансформатора. В этом предположении
(38)
где n1 и n2 — числа витков в первичной и вторичной обмотках.
Записав это соотношение в виде n1Ф2=n2Ф1 и продифференцировав по времени, убеждаемся, что для производных магнитного потока справедливо такое же соотношение:
(39)
Оно позволяет исключить из уравнений (38) магнитные потоки. Таким путем получаем:
(40)
Наличие вторичной обмотки меняет ток в первичной цепи. Однако, уравнения (40) недостаточно для определения двух неизвестных J1 и J2 Для получения недостающего уравнения введем упрощающее предположение, что трансформатор идеальный, т.е. не обладает ферромагнетизмом. Тогда связь между магнитными потоками и токами будет линейной:
где L1 — индуктивность первичной обмотки, L2 — вторичной, а L12=L21 — коэффициент взаимной индукции этих обмоток. Ввиду (40) при любых токах J1 и J2 соблюдается соотношение:
Приравнивая коэффициент при J1 и J2, из него находим:
(41)
а потому
(42)
Если воспользоваться еще теоремой взаимности (L12=L21), то получится:
(43)
Теперь система уравнений (43) принимает вид:
(44)
Предположим, далее, что электродвижущая сила E меняется во времени синусоидально: Е ~ eiщt. Тогда для установившихся колебаний получится:
(45)
Отсюда
(46)
Эти формулы и решают задачу о трансформаторе. В практически важном случае омическое сопротивление первичной цепи R1 мало по сравнению с индуктивным щL1. Пренебрегая им, получим
(47)
При выводе последнего соотношения было учтено, что индуктивность обмотки пропорциональна квадрату числа витков. Формула делает понятной основную идею трансформатора. Если бы сопротивление R2 было непосредственно присоединено к источнику электродвижущей силы E, то получился бы ток .Трансформатор увеличивает этот ток в раз или уменьшает в раз. Этот факт обычно выражают несколько иначе. Величина U2=R2J2 дает падение напряжения на сопротивлении R2. Ее называют напряжение во вторичной цепи. Из второй формулы (45) получаем:
(48)
Трансформатор повышает напряжение в в раз или понижает в раз. С этим и связано соответствующее увеличение (или уменьшение) тока в сопротивлении R2.
Что касается тока J1, то при его рассмотрении удобнее обратиться к векторной диаграмме. Ограничимся случаем R1=0. Тогда первое уравнение (45) запишется в виде
Если R2=?, то J2=0. В этом случае ток в первичной цепи называется током холостого хода трансформатора. Обозначим его через J0. В нашем случае (R1=0) и, следовательно, , или
(49)
Ток холостого хода отстает по фазе от напряжения на . Если на векторной диаграмме напряжение изобразить горизонтальным отрезком, направленным вправо, то ток холостого хода J0 изобразится отрезком, направленным вниз (рис. 3.1.). Ток J2, как видно из (47), изобразится горизонтальным отрезком, направленным влево. Вместо самого тока удобнее откладывать ток, умноженный на соответствующее число витков (так называемые ампер-витки). Согласно (49) величина n1J1 изобразится вектором, равным геометрической разности векторов n1J0 и n2J2. При увеличении нагрузки (т.е. уменьшении сопротивления R2) ток J2, как показывают формулы (47), растет. Вместе с ним растет и ток J1. А так как ток холостого хода остается неизменным, то из рис. 3.1. следует, что должен уменьшаться сдвиг фаз ц между током J1 и напряжением E. Оба эти обстоятельства ведут к увеличению потребляемой мощности.
Рисунок 3.2. Векторная диаграмма трансформатора,
где E — ЭДС взаимоиндукции [В], n1 и n2 — количество витков в первичной и вторичной обмотке соответственно, I1 и I2 — токи в первичной и вторичной обмотке соответственно [А], ц — сдвиг фазы, I0 — ток холостого хода [А].
ВЫВОДЫ
Для достижения поставленных в начале работы целей использовался математический аппарат, разработанный при решении линейных неоднородных дифференциальных уравнения с постоянными коэффициентами. Однако, те же результаты можно было получить и иным, более наглядным, путем с помощью так называемых векторных диаграмм. Не смотря на большое разнообразие методов, все они приводят к одинаковым результатам, которые и были получены в данной работе.
Так были последовательно рассмотрены различные случаи колебаний в электрических цепях, начиная от простейших свободных незатухающих колебаний и заканчивая колебаниями под действием внешней периодической ЭДС. Случаи непериодической ЭДС, а также ЭДС несинусоидальной формы в работе не рассматривались, однако, весьма широкий класс различных видов ЭДС может быть сведен к рассмотренному в работе с помощью разложения Фурье.
При написании работы было достаточно подробно исследовано явление резонанса в контуре. Следует отметить, что исследование колебательных процессов в электрических цепях представляет не только теоретический, но также и практический интерес, т.к. такие цепи широко применяются в технике. Примером такого применения может служить трансформатор, основы теории которого были также рассмотрены в данной работе.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. А. А. Адронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин/Теория колебаний,
2. А.Д. Полянин и др./ Краткий справочник для инженеров и студентов/ М., 1996,
3. И. Е. Иродов /Основные законы электромагнетизма/М.: Высшая школа, 1991 г.
4. Савельев И.В. Курс общей физики. — М.: Наука, 1982. Т. 2. Электричество. — 432 с,
5. Сивухин Д. В. /Курс общей физики т. 3,
Размещено на
