Содержание
Приведены 39 задач по комбинаторике, теории вероятностей и матем. статистике. Все решения задач сопровождаются подробными объяснениями.
Выдержка из текста работы
Актуальность темы исследования. Важнейшим периодом в развитии и формировании человека является обучение его в начальной школе. В это время закладываются основы умственного развития детей, создаются предпосылки для подготовки самостоятельно мыслящего, критично оценивающего свои действия человека, способного сопоставлять, сравнивать, выдвигать несколько способов решения проблемы, оценивать их и выбирать наиболее рациональный, выделять главное и делать обобщенные выводы, применять полученные знания на практике. Необходимым условием достижения таких результатов выступает развитие у ребенка логического мышления как важнейшего фактора, обеспечивающего эффективность его дальнейшего обучения в школе, успешность в профессиональной подготовке и жизни.
Наиболее доступным средством в развитии логического мышления будет введение в курс начальной математики нестандартных задач. Нестандартные задачи формируют у школьников высокую математическую активность, качества, присущие творческой личности: гибкость, оригинальность, глубину, целенаправленность, критичность мышления. Нестандартные задачи всегда подаются в увлекательной форме, они прогоняют интеллектуальную лень, вырабатывают привычку к умственному труду, воспитывают настойчивость в преодолении трудностей.
Именно при решении нестандартных задач оттачивается, шлифуется мысль ребенка, мысль связанная, последовательная, доказательная. С начала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснить различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения, позволяет устанавливать разнообразные числовые соотношения в наблюдаемых явлениях. Решая задачи, представленные в продуманной математической системе, учащиеся не только активно овладевают содержанием курса математики, но и приобретают умения мыслить творчески. Учащиеся должны уметь решать не только стандартные задачи, но требующие известной независимости мышления, оригинальности, изобретательности.
Все это подтверждает необходимость исследования методики обучения решению нестандартных задач на уроках математики и во внеурочное время, исследования их роли в развитии математического мышления младших школьников.
Психологические основы, сущность, факторы и способы развития логического мышления исследованы в работах П. П. Блонского, Д. Н. Богоявленского, А. В. Брушлинского, Л. И. Божович, Л. М. Веккера, Л. С. Выготского, К. Ф. Лебединской, Н. А. Менчинской, С. Л. Рубинштейна и других.
Педагогические аспекты развития логического мышления в учебном процессе школьников нашли отражение в трудах Ю. К. Бабанского, В. П. Беспалько, П. Я. Гальперина, В. В. Давыдова и многих других.
Особое место занимают методические работы по разработке и использованию в учебном процессе школьников логических задач и упражнений (Г. Г. Гороховская, Т. Г. Зайцев, А. З. Зак и др.). В данных работах даются не только методические рекомендации по развитию логического мышления, но и содержится большое количество логических задач, которые могут быть использованы при обучении младших школьников.
Вместе с тем, несмотря на большое количество исследований по различным аспектам развития логического мышления, в том числе и младших школьников, данную проблему нельзя считать решенной.
Отсюда вытекает проблема исследования: каковы педагогические условия развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике посредством решения нестандартных задач?
Таким образом, квалификационная работа на тему: «Развитие логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике посредством решения нестандартных задач» является актуальной.
Цель исследования — рассмотреть особенности использования нестандартных задач как средство развития логического мышления в процессе внеклассной работы по математике.
Объект исследования — обучение младших школьников в процессе внеклассной работы по математике.
Предмет исследования — особенности нестандартных задач как средство развития логического мышления в процессе внеклассной работы по математике.
В качестве гипотезы было выдвинуто предположение, согласно которому развитие логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике осуществляется эффективно, если реализуется следующий комплекс педагогических условий:
1) вызвать у учащихся интерес к решению нестандартной задачи;
2) задачи должны соответствовать возрастным особенностям младших школьников;
3) работу по обучению решению нестандартных задач следует вести систематически.
Задачи исследования:
1) изучить психолого-педагогическую, математическую, методическую литературу по проблеме исследования;
2) раскрыть современные подходы развития логического мышления в процессе внеклассной работы по математике;
3) разработать критерии оценки уровня развития логического мышления в процессе внеклассной работы по математике.
4) разработать и проверить экспериментально педагогические условия развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике посредством решения нестандартных задач.
Методы исследования: анализ, синтез, наблюдение, опрос, анкетирование, естественный эксперимент.
Теоретическая значимость исследования: раскрыть содержание понятия «логическое мышление», показать особенности развития логического мышления младшего школьника, раскрыть современные подходы развития логического мышления в процессе внеклассной работы по математике.
Практическая значимость заключается в подборе, описании и разработке нестандартных задач, которые будут способствовать развитию логического мышления в процессе внеклассной работы по математике.
Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка используемой и цитированной литературы и приложения.
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ МЛАДШЕГО ШКОЛЬНИКА В ПРОЦЕССЕ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ПОСРЕДСТВОМ РЕШЕНИЯ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ
Целью написания первой главы является рассмотрение понятия «логическое мышление», рассмотрение особенностей развития логического мышления младшего школьника, показаны современные подходы развития логического мышления посредством решения нестандартных задач.
1.1 Содержание понятия «логическое мышление»
В первом параграфе первой главы раскрывается содержание понятий «мышление», «логическое мышление» как психолого-педагогических явлений.
Предметы и явления действительности обладают такими свойствами и отношениями, которые можно познать непосредственно, при помощи ощущений и восприятий (цвета, звуки, формы, размещение и перемещение тел в видимом пространстве), и такими свойствами и отношениями, которые можно познать лишь опосредованно и благодаря обобщению, т.е. посредством мышления. Мышление — это опосредованное и обобщённое отражение действительности, вид умственной деятельности, заключающейся в познании сущности вещей и явлений, закономерных связей и отношений между ними [43, с. 121].
Первая особенность мышления — его опосредованный характер. То, что человек не может познать прямо, непосредственно, он познаёт косвенно, опосредованно: одни свойства через другие, неизвестное — через известное. Мышление всегда опирается на данные чувственного опыта — ощущения, восприятия, представления — и на ранее приобретённые теоретические знания. Косвенное познание и есть познание опосредованное.
Вторая особенность мышления — его обобщённость. Обобщение как познание общего и существенного в объектах действительности возможно потому, что все свойства этих объектов связаны друг с другом. Общее существует и проявляется лишь в отдельном, в конкретном [33, с. 86].
По мнению Е. Г. Ревиной, мышление — высшая ступень познания человеком действительности. Чувственной основой мышления являются ощущения, восприятия и представления. Через органы чувств — эти единственные каналы связи организма с окружающим миром — поступает в мозг информация. Содержание информации перерабатывается мозгом. Наиболее сложной (логической) формой переработки информации является деятельность мышления. Решая мыслительные задачи, которые перед человеком ставит жизнь, он размышляет, делает выводы и тем самым познаёт сущность вещей и явлений, открывает законы их связи, а затем на этой основе преобразует мир. Мышление не только теснейшим образом связано с ощущениями и восприятиями, но оно формируется на основе их. Переход от ощущения к мысли — сложный процесс, который состоит, прежде всего, в выделении и обособлении предмета или признака его, в отвлечении от конкретного, единичного и установлении существенного, общего для многих предметов [39, с. 238].
В работах В. В. Левитеса мышление выступает главным образом как решение задач, вопросов, проблем, которые постоянно выдвигаются перед людьми жизнью. Решение задач всегда должно дать человеку что-то новое, новые знания. Поиски решений иногда бывают очень трудными, поэтому мыслительная деятельность, как правило, — деятельность активная, требующая сосредоточённого внимания, терпения [18, с. 21].
Мышление — функция мозга, результат его аналитико-синтетической деятельности. Оно обеспечивается работой обеих сигнальных систем при ведущей роли второй сигнальной системы. При решении мыслительных задач в коре мозга происходит процесс преобразования систем временных нервных связей. Нахождение новой мысли физиологически означает замыкание нервных связей в новом сочетании [28, с. 189].
Ж. Пиаже считает, что мыслительная деятельность человека представляет собой решение разнообразных мыслительных задач, направленных на раскрытие сущности чего-либо. Мыслительная операция — это один из способов мыслительной деятельности, посредством которого человек решает мыслительные задачи [34, с. 152].
Мыслительные операции разнообразны. Это — анализ и синтез, сравнение, абстрагирование, конкретизация, обобщение, классификация. Какие из логических операций применит человек, это будет зависеть от задачи и от характера информации, которую он подвергает мыслительной переработке.
Вообще, что касается понятия «мышление», то следует отметить несколько взглядов.
Во-первых, как указывает толковый словарь С. И. Ожегова, мышление это «способность человека рассуждать, представляющая собою процесс отражения объективной действительности в представлениях, суждениях, понятиях» [30, с. 121]. Разберем это понятие.
Человек очень мало знал бы об окружающем мире, если бы его познание ограничивалось лишь показаниями его анализаторов. Возможность глубокого и широкого познания мира открывает человеческое мышление. То, что у фигуры четыре угла доказывать не надо, так как мы это видим с помощью анализатора (зрения). А вот, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, мы не можем ни увидеть, ни услышать, ни почувствовать. Такого рода понятие является опосредованным.
Активные психологические исследования мышления ведутся, начиная с 17 века. В это время и в течение следующего, довольно длительного периода истории психологии мышление фактически отождествлялась с логикой, а в качестве единственного вида, подлежащего изучению, рассматривалось понятийное теоретическое мышление, которое иногда не совсем правильного называют логическим. Р. С. Немов считает: «неправильно потому, что логика присутствует в любом другом виде мышления не в меньшей степени, чем в данном» [28, с. 53]. Сама способность к мышлению считалась врождённой, а мышление, как правило, рассматривалось вне развития. К числу интеллектуальных способностей в то время относили созерцание (некоторый аналог современного абстрактного мышления), логические рассуждения и рефлексию (самопознание). Созерцание, кроме того, понималось, как умение оперировать образами, логические рассуждения — как способность рассуждать и делать умозаключения, а рефлексия — как умение заниматься самоанализом. Операциями мышления в свою очередь считались обобщение, анализ, синтез, сравнение и классификация. Само же мышление в ассоциативной эмпирической психологии во всех его проявлениях сводилось к ассоциациям, связям следов прошлого и впечатлений, полученных от настоящего опыта. Активность мышления, его творческий характер были основной проблемой, которую (как и избирательность восприятия и памяти) не могла решить данная теория. Поэтому её сторонникам не оставалось ничего другого, как объявить творческие способности априорными, не зависящими от ассоциаций, врождёнными способностями разума.
В современной психологии — мышление понимается как «процесс познавательной деятельности человека, характеризующийся обобщённым и опосредованным отражением действительности; высшая форма творческой активности» [39, с. 119].
В психологии распространена следующая простейшая и несколько условная классификация видов мышления: 1) наглядно-действенное, 2) наглядно-образное и 3) отвлеченное (теоретическое) мышление.
Наглядно-действенное мышление — в процессе психического развития каждого ребенка исходной будет не чисто теоретическая, а практическая деятельность. Внутри этой последней и развивается вначале детское мышление. В предшкольном возрасте (до трех лет включительно) мышление в основном наглядно-действенное. Ребенок анализирует и синтезирует познаваемые объекты по мере того, как он руками, практически, разъединяет, расчленяет и вновь объединяет, соотносит, связывает друг с другом те или иные предметы, воспринимаемые в данный момент. Любознательные дети часто ломают свои игрушки именно с целью выяснить, «что там внутри».
Наглядно-образное мышление — в простейшей форме наглядно-образное мышление возникает преимущественно у дошкольников, т.е. в возрасте четырех — семи лет. Связь мышления с практическими действиями у них хотя и сохраняется, но не является такой тесной, прямой и непосредственной, как раньше. В ходе анализа и синтеза познаваемого объекта ребенок необязательно и далеко не всегда должен потрогать руками заинтересовавший его предмет. Но во всех случаях необходимо отчетливо воспринимать и наглядно представлять этот объект. Иначе говоря, дошкольники мыслят лишь наглядными образами и еще не владеют понятиями (в строгом смысле) [8, с. 89].
Отвлеченное мышление — на основе практического и наглядно-чувственного опыта у детей в школьном возрасте развивается — сначала в простейших формах — отвлеченное мышление, т.е. мышление в форме абстрактных понятий. Мышление выступает здесь не только в виде практических действий и не только в форме наглядных образов (восприятий и представлений), а, прежде всего в форме отвлеченных понятий и рассуждений. Овладение понятиями в ходе усвоения школьниками основ различных наук — математики, физики, истории — имеет огромное значение в умственном развитии детей. В конце школьного обучения у детей формируется — в той или иной степени — система понятий. Развитие отвлеченного мышления у школьников в ходе усвоения понятий вовсе не означает, что их наглядно-действенное и наглядно-образное мышление перестает теперь развиваться или вообще исчезает. Наоборот, эти первичные и исходные формы всякой мыслительной деятельности по-прежнему продолжают изменяться и совершенствоваться, развиваясь вместе с отвлеченным мышлением и под его обратным влиянием [33, с. 98].
Если задача решается с помощью логических рассуждений, то человек использует логическое мышление.
В словаре системы психологических понятий логическое мышление определяется как «вид мышления, сущность которого заключается в оперировании понятиями, суждениями и умозаключениями с использованием законов логики» [43, с. 123]. Здесь имеется в виду классическая двузначная формальная логика, хотя мышление людей вовсе не обязано быть основано исключительно на ней.
Логическое мышление, которое ещё иначе называют в широком смысле слова дискурсивным, предполагает логическим путём переход от одного определённого представления к другому [28].
Классическая формальная логика рассматривает понятие, суждение, умозаключение как основные формы мышления. Оперирование ими отражает сущность логического мышления. Механизм логического мышления заключается в операциях логического мышления, основывающихся на четырёх законах логики: тождества, непротиворечия, исключённого третьего, достаточного основания. Неклассические формальные логики предполагают иные формулировки основных логических законов, однако, и в рамках этих логических систем продолжают действовать основные логические операции. И, с точки зрения любой формальной логики «логическое мышление — это мышление, соответствующее определенным принципам (законам, правилам, предписаниям), выработка которых и составляет одну из главных задач логики» [329 с. 238].
С. Л. Рубинштейн пишет, что логическое мышление человека является важнейшим моментом в процессе познания. Все методы логического мышления неизбежно применяются человеческим индивидом в процессе познания окружающей действительности в повседневной жизни, с самого раннего возраста Ф. Энгельс считал, что «по типу все эти методы, — стало быть все, признаваемые обычной логикой средства научного исследования, совершенно одинаковы у человек и у высших животных. Только по степени, по развитию соответствующего метода они различны» [40, с. 87]. Способность логически мыслить позволяет человеку понимать происходящее вокруг, вскрывать существенные стороны, связи в предметах и явлениях окружающей действительности, делать умозаключения, делать умозаключения, решать различные задачи, проверять эти решения, доказывать, опровергать словом, всё то, что необходимо для жизни и успешной деятельности любого человека.
Логические законы действуют независимо от воли людей, не созданы по их желанию, они являются отражением связей и отношений вещей материального мира. С точки зрения содержания (информации) мышление может давать истинное или ложное отражение мира, а со стороны формы (логические действия и операции) оно может быть логически правильным или неправильным. Истинность — есть соответствие мысли действительности, а правильность мышления — соблюдение законов и правил логики. Кроме формально-логических законов правильное мышление подчиняется законам диалектической логики. Диалектическая логика и логика формальная — это два относительно самостоятельных направления в науке — логике, и в этом смысле они взаимно дополняют друг друга. Средства формальной логики необходимы, но недостаточны. Последняя может эффективно действовать только под руководством диалектической логики как всеобщей методологии [18].
«Фундаментальные логические формы» «операторных структур» мышления выступают объектом изучения К. Новиковой, который исследуя мыслительные операции, максимально не зависящие от содержания конкретных знаний, приходит к выводу о том, что подлинное усвоение ребёнком знаний невозможно без наличия у него форм логического мышления. Ж. Пиаже в своих исследованиях констатировал факт, что «феномены» детского мышления объясняются определённой стадией «логического развития» их мышления [34].
Умение логически мыслить, по мнению А. В. Петровского, включает в себя ряд компонентов: умение ориентироваться на существенные признаки объектов и явлений, умение подчиняться законам логики, строить свои действия в соответствии с ними, умение производить логические операции, осознанно их аргументируя, умение строить гипотезы и выводить следствия из данных посылок и т.д. Поэтому, для нее логическое мышление включает в себя ряд компонентов: умение определять состав, структуру и организацию элементов и частей целого и ориентироваться на существенные признаки объектов и явлений; умение определять взаимосвязь предмета и объектов, видеть их изменение во времени; умение подчиняться законам логики, обнаруживать на этой основе закономерности и тенденции развития, строить гипотезы и выводить следствия из данных посылок; умение производить логические операции, осознанно их аргументируя [33, с. 43].
Психолог Л. Ф. Тихомирова в своём исследовании, посвященном психолого-педагогическим основам обучения в школе, справедливо отмечает, что логика мышления не дана человеку от рождения. Ею он овладевает в процессе жизни, в обучении. Подчёркивая значение математики в воспитании логического мышления, учёный выделяет общие положения организации такого воспитания:
— длительность процесса воспитания культуры мышления, осуществление его повседневно;
— недопустимость погрешности в логике изложения и обосновании; -вовлечение детей в постоянную работу по совершенствованию своего мышления, которая рассматривалась бы ими как личностно значимая задача;
— включение в содержание обучения системы определённых теоретических знаний, во-первых, знаний о способах ориентировки в выполнении умственных действий [46, с. 18].
Развитие логического мышления ребёнка — это процесс перехода мышления с эмпирического уровня познания (наглядно-действенное мышление) на научно-теоретический уровень (логическое мышление), с последующим оформлением структуры взаимосвязных компонентов, где компонентами выступают приёмы логического мышления (логические умения), которые обеспечивают целостное функционирование логического мышления [21].
Таким, образом, логическое мышление — это вид мышления, сущность которого в оперировании понятиями, суждениями, умозаключениями на основе законов логики, их сопоставлении и соотнесении с действиями или же совокупность умственных логически достоверных действий или операций мышления, связанных причинно-следственными закономерностями, позволяющими согласовать наличные знания с целью описания и преобразования объективной действительности.
1.2 Особенности развития логического мышления младшего школьника
В данном параграфе будут рассмотрены особенности логического мышления младшего школьника.
Мышление детей младшего школьного возраста значительно отличается от мышления дошкольников. А. А. Люблинская отмечает, если для мышления дошкольников характерно такое качество, как непроизвольность, малая управляемость и в постановке мыслительной задачи и в ее решении, они чаще и легче задумываются и над тем, что им интересно, что их увлекает, то младшим школьникам, когда необходимо регулярно выполнять задания в обязательном порядке, учатся управлять своим мышлением, думать тогда, когда это нужно, а не только тогда, когда интересно, когда нравится то, о чем надо думать [22, с.183].
Когда психологи в начале XX века стали изучать особенности мышления ребенка, наиболее прогрессивные из них выделили в качестве одного из основных признаков связь мышления с речью. Действительно, с мышлением речь связана особенно тесно. Слово выражает обобщение, поскольку оно является формой существования мысли. Генетически речь возникла вместе с мышлением в процессе общественно-трудовой практики и складывалась в процессе общественно-исторического развития человечества в единстве с мышлением. Но это единство, а не тождество. Нельзя свести мышление к речи, потому что речь существует как речь лишь благодаря своему отношению к мышлению.
Но нельзя и отрывать мышление и речь друг от друга. Речь — не просто внешняя одежда мысли, которую она отбрасывает или одевает, не изменяя этим своего существа. В речи мы формулируем мысль, но, формулируя ее, мы сплошь и рядом ее формируем. Речь здесь нечто большее, чем внешнее орудие мысли; она включается в самый процесс мышления, как форма, связанная с его содержанием. Создавая речевую форму, мышление само формируется. Мышление и речь, не отожествляясь, включаются в единство одного процесса. Мышление в речи не только выражается, но по большей части оно в речи и совершается [40, с.522].
Вместе с тем выявилась непосредственная связь детского мышления с практическими действиями. Однако, стоя на неправильных методологических позициях Э. Мейман, В. Штерн, а позже Ж. Пиаже не смогли дать убедительную характеристику ранних форм детского мышления, его развития и условий, которые обеспечивают переход от низших ступеней к высшим. Ряд ложных мнений о возможностях мышления детей 5-10 лет, заимствованных из трудов этих ученых, отрицательно сказались на практике построения обучения младших школьников. Одним из ошибочных положений был вывод психологов о том, что поскольку ребенок только после 8-10 лет овладевает грамотной связной речью, он якобы только в этом возрасте становится способным к логическому мышлению. Значит, до 10 лет ребенок объявляется неспособным к логическому мышлению: он мыслит дологически, находясь на стадии сенсорномоторных операций (он может лишь выполнять отдельные практические действия с наглядно данными ему предметами).
Стремление связать ранние формы детского мышления с практическими действиями ребенка особенно усилилось в двадцатые годы нашего столетия после замечательных опытов немецкого психолога В. Келлера над обезьянами. Ряд авторов непосредственно переносили открытые В. Келлером особенности решения задач шимпанзе (задачи с палками, с устранением препятствий и т.д.) на умственную деятельность маленького ребенка. Не зная принципиальной разницы между практическими формами мышления ребенка, немецкий психолог К. Бюлер назвал весь период детства 5-6 лет «шимпанзе подобным возрастом». Однако исследования современных психологов показали, что уже шестилетний ребенок использует и наглядно-действенное, и наглядно-образное, словесно-логическое, или как его еще называют понятийное мышление [20].
Исследования детского мышления и его развития, в частности перехода от практического к логическому, были начаты Л. С. Выготским. Им же были намечены основные пути и условия этого перехода. Эти исследования, продолженные А. А. Люблинской, Г. И. Минской, Х. А. Ганьковой, показали, что практическое действие, даже на высшем уровне развития логического мышления остается как бы «в резерве». «Мышление руками» остается «в резерве» даже у подростков и взрослых, когда новую задачу они не могут решить сразу словесным путем — в уме [22, с.182-203].
На понимании роли практического действия как начальной ступени процесса развития всех высших форм мышления человека построена концепция «поэтапного формирования умственного действия», разработанная П. Я. Гальпериным. На первом этапе ребенок использует для решения задачи внешние материальные действия. На втором эти действия только представляются и проговариваются ребенком (сначала громко, затем про себя). Лишь на последнем, третьем этапе внешнее предметное действие «сворачивается» и уходит во внутренний план [6].
С переходом мышления ребенка на следующую, более высокую ступень развития начальных форм его, в частности практическое мышление, не исчезают, не «отменяются», но их функции в мыслительном процессе перестраиваются, изменяются.
Так, например, в работе многих специалистов — архитекторов, художников и т.д. решающую роль играет, конечно, высшее, словесно-логическое мышление. Однако такой специалист постоянно опирается на конкретные образы и практические действия.
Логическое мышление, по мнению А. А. Люблинской, обнаруживается, прежде всего, в протекании самого мыслительного процесса. В отличие от практического, логическое мышление осуществляется только словесным путем. Человек должен рассуждать, анализировать и устанавливать нужные связи мысленно, отбирать и применять к данной ему конкретной задаче известные ему подходящие правила, приемы, действия. Он должен сравнивать и устанавливать искомые связи, группировать разное и различать сходное, и все это выполняется лишь посредством умственных действий [21].
О. К. Тихомиров определяет логическое мышление как «рассуждающее, теоретическое мышление», «характеризующееся использованием понятий, логических конструкций, существующих функционирующих на базе языка, языковых средств». Его же он называет аналитическим мышлением, которое развернуто во времени, имеет четко выраженные этапы, в значительной степени представлено в сознании самого мыслящего человека [46].
Определив понятие, логическое мышление, и, опираясь на все сказанное выше, можно сделать следующие выводы:
1. Логическое мышление, являясь высшей ступенью в умственном развитии ребенка, проходит длительный путь развития.
2. На ранних ступенях развития ребенок накапливает чувственный опыт и научается решать практическим путем ряд конкретных, наглядных задач. Осваивая речь, он приобретает возможность формировать задачу, задавать вопросы, строить доказательства, рассуждать и делать выводы. Ребенок овладевает понятиями и рядом умственных действий.
Особенности логического мышления младших школьников отчетливо проявляются и в самом протекании мыслительного процесса, и в каждой его отдельной операции. Возьмем, например, такую, казалось бы, простую операцию, как сравнение. Это умственное действие, направленное на установление сходства в двух (и более) сопоставляемых предметах. Трудность сравнения для ребенка состоит в том, что, во-первых, сначала он вообще не знает, что такое «сравнить», а во-вторых, не умеет пользоваться этой операцией как приемом решения поставленной перед ним задачи [22, с.183], об этом говорят ответы детей. Например: «Можно ли сравнить яблоко и шар?» — «Нет, говорят они. — Яблоко можно кушать, а шарик — он катится, и еще другой летит, если отпустить нитку».
При другой постановке вопроса: «Рассмотри хорошенько апельсин и яблоко и скажи, чем они похожи?» — «Они круглые оба, оба можно кушать». «А теперь скажи: чем они не похожи друг на друга, что у них разное?» «У апельсина толстая кожа, а у яблока тоненькая. Апельсин рыжий, а яблоко зеленое, красное бывает и вкус не такой».
Значит можно подвести детей к правильному использованию сравнения. Без руководства ребенок, даже более старшего возраста, обычно выделяет любой, чаще всего какой-то яркий, броский признак.
Овладение операций сравнения имеет огромное значение в учебной деятельности младшего школьника. Ведь огромная часть усваемого материала именно в младших классах построена на сравнении. Эта операция лежит в основе классификации явлений и их систематизации. Для овладения операций сравнения человек должен научиться видеть сходное в разном и разное в сходном. Исследования А. И. Кагальняк, А. Л. Савченко, Е. Н. Шиловой, Т. В. Косма и многих других убедительно показали, что ошибки в выполнении операции сравнения — результат неумения учеников производить нужное умственное действие. Их просто не учили этому. Поэтому, сравнивая две картинки, две куклы, дети-дошкольники ставят их «рядом» и рассматривают каждый обособленно от другого. Такой способ сравнения сохраняется и у младших школьников (без специального внимания к нему учителя).
Исследования показали также, что для мышления младших школьников характерна еще одна особенность — однолинейное сравнение, т.е. они устанавливают либо только различие, не видя сходства (чаще всего), либо только сходное и общее, не устанавливая различного. К тому же выступает заметная разница между практическим установлением сходства и различия и умением доказывать, обосновать свое суждение, т.е. объяснить, что такое «сравнение» и что означает «сравнить» [10].
Если практически в начале года 38% учащихся I класса называли либо 1-2 признака сходства, либо столько же признаков различий, то только 3-9% из числа учащихся могли объяснить, что они делают, когда находят сходные или различительные признаки [22, с.200].
Это была операция сравнения. Однако очень ярко выступают особенности мышления и в детских рассуждениях, выводах, доказательствах.
В. А. Филь изучал умение учащихся I-III классов доказать, почему тот или иной данный ребенку предмет, опущенный в воду, либо тонет, либо поплывет. При этом учеников экспериментальных классов он знакомил со схемой логического построения умозаключений [11]. Анализ результатов позволил исследователю выделить 8 ступеней (уровней) доказательств. Они характеризуют процесс овладения детьми логическими рассуждениями. Наиболее низким является нулевой уровень, когда ребенок вообще не приводит каких либо доказательств. На I ступени ученик называет лишь случайные, непосредственно воспринимаемые признаки, чаще всего внешние (Гвоздик поплывет, потому что он маленький). Такие ответы сходны с аналогичными ответами дошкольников (по исследованиям А. В. Запорожца и У.В. Ульенковой). На II ступени дети перечисляют ряд признаков совершенно независимых от их значения для решения поставленной задачи; на III ступени ученик использует правильно только те существенные признаки для объяснения своего решения, однако он еще не поднимается при этом на уровень обобщенных суждений; на IV ступени ученик решает конкретную задачу уже на основе применения известных ему общих законов (Бревно деревянное и легкое, а все деревянные предметы плавают и т.д.) [48].
Подобная схема совершенствования логических умозаключений сохраняется и в других мыслительных процессах: в установлении причинно-следственных связей, в классификации и ответах на поставленные взрослыми вопросы, требующие планирования, догадки, поиска решения.
Любая задача, которую человек решает, воспринимается им сначала как заданное целое — первый синтез (С1), затем следует анализ (А), т.е. выделение в целом заданных частей (элементов), сторон, признаков в их взаимосвязях, и на последнем этапе человек снова приходит к целому, ко второму синтезу (С2). Это и есть ответ, решение задачи. Таким образом, мыслительный процесс взрослого человека протекает по схеме С1-А-С2. Для мышления младшего школьника типичен процесс, идущий путем «короткого замыкания», т.е. от С1 непосредственно к С2, минуя развернутый этап анализа. Подобное протекание мыслительного процесса приводит ученика к таким решениям и ответам, которые характеризуются аналогичностью. Подобного рода особенности детского мышления часто выступают и в суждениях детей о поступках и делах людей, о которых они слышали или читают. Эти же особенности обнаруживаются отчетливо в отгадывании загадок, в объяснении пословиц и других формах работы, требующих логического мышления. Например, детям дана загадка: «Я все знаю, всех учу, но сама всегда молчу. Чтоб со мною подружиться, надо грамоте учиться» (книга). Абсолютное большинство детей, не дослушав до конца загадку, кричат — учительница (Она все знает, всех учит) [48].
Таким образом, говоря об особенностях мышления младшего школьника и, опираясь на все указанное выше, можно сделать следующие выводы:
1. Особенности логического мышления младших школьников проявляются и в самом протекании мыслительного процесса, и в каждой его отдельной операции (сравнении, классификации, обобщении, совершающихся в разных формах суждения и умозаключения).
2. Для мышления младших школьников характерно однолинейное сравнение (они устанавливают либо только различие, либо только сходное и общее).
3. Детям 7-10 лет доступны логические суждения, оперирования понятиями, переходы к обобщениям и выводам.
4. Мышление и решение задач тесно связаны друг с другом. Но их нельзя отождествлять, сводя мышление к решению задач. Решение задачи осуществляется только с помощью мышления. Но мыслительная деятельность необходима не только для решения уже поставленных задач. Она необходима и для самой постановки задач, для выявления и осознания новых проблем. Мышление нужно также для усвоения знаний, для понимания текста в процессе чтения и во многих других случаях, отнюдь не тождественных решению задач.
1.3 Современные подходы развития логического мышления младшего дошкольника
Развитие логического мышления — одна из важных задач начального обучения. Роль математики в развитии логического мышления исключительно велика. При сознательном усвоении математических знаний учащиеся пользуются основными мыслительными операциями: анализом и синтезом, сравнением, абстрагированием и конкретизацией, обобщением; делают индуктивные выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Умение мыслить логически — необходимое условие успешного усвоения учебного материала [45].
Изменение приоритетных направлений развития современной системы образования ставит перед школой задачу формирования творчески мыслящих людей, обладающих нестандартным взглядом на проблемы, владеющих навыками исследовательской работы. К сожалению, для современной начальной школы в России все еще характерна репродуктивная деятельность. На уроках школьники почти все время решают учебно-тренировочные типовые задачи, назначение которых состоит в том, чтобы поисковая деятельность учащихся с каждой последующей задачей одного и того же типа постепенно свертывалась и в конечном счете совсем исчезла. Привыкая к выполнению стандартных типовых заданий, имеющих единственное решение и, как правило, единственный ответ, который заранее предопределен на основе некоторого алгоритма, учащиеся привыкают к однотипным действиям, начинают мыслить по стандарту, практически не имеют возможности действовать самостоятельно, эффективно развивать собственный интеллектуальный потенциал, прежде всего логическое мышление, творческую активность. Ведь творчество — это умение отказаться от стереотипов мышления, для того чтобы создать что-то новое [10].
Широкие возможности в этом отношении открывает решение школьниками нестандартных задач. Нестандартная задача — это задача, алгоритм решения которой учащимся неизвестен, т.е. ученики не знают заранее ни способов ее решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение [48]. Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной в зависимости от того, знакомы ли учащиеся со способами решения таких задач. Нестандартная задача, в отличие от традиционной, не может быть решена по какому-либо известному им алгоритму. Такие задачи не сковывают ученика жесткими рамками одного решения. Необходим поиск решения, что требует творческой работы мышления и способствует его развитию.
При решении нестандартных задач применяются те же способы решения, что и для стандартных: алгебраический, арифметический, графический, практический, метод предположения, метод перебора.
Существуют определенные этапы решения задачи [37], выполнение которых позволяет считать решение завершенным полностью:
анализ текста задачи;
составление плана решения (гипотеза решения);
осуществление выработанного плана;
исследование полученного решения.
Г. Г. Гороховская отмечает, что особенно труден для учащихся первый этап — анализ текста задачи. Поэтому необходимо с самого начала обучения решению задач формировать у младших школьников общее умение анализировать задачи. В тексте задачи важны и действующие лица, и их действия, и числовые характеристики. При работе с математической моделью задачи (числовым выражением или уравнением) часть этих деталей опускается. Педагог учит умению абстрагироваться от некоторых свойств и использовать другие [7].
Решающее значение имеет умение найти и составить план решения задачи. С этой целью используют рассуждения от данных к искомым величинам (синтетический) и, наоборот, от искомых (вопроса задачи) к данным (известным) величинам (аналитический), возможна их комбинация (аналитико-синтетический способ рассуждений). Поиск плана решения задачи можно осуществлять, например, с помощью аналогии, установив сходство отношений в данной задаче с отношениями в задаче, решенной ранее [37]. Хорошим средством для нахождения плана решения могут являться постановка вопросов и решение вспомогательных задач. Вообще процесс решения любой нестандартной задачи состоит в последовательном применении двух основных операций [48]: 1) сведение (путем преобразования или переформулирования) нестандартной задачи к другой, ей эквивалентной, но уже стандартной (способ моделирования); 2) разбиение нестандартной задачи на несколько вспомогательных стандартных подзадач (способ разбиения). Для того чтобы легче было осуществлять способы разбиения и моделирования, полезно с самого начала при решении нестандартных задач приучить детей к построению вспомогательной модели задачи — схемы, чертежа, рисунка, графа, графика, таблицы, осуществлению инсценировки. Это способствует развитию конкретного и абстрактного мышления во взаимосвязи между собой, так как модель задачи, с одной стороны, дает возможность конкретно представить зависимости между величинами, входящими в задачу, а с другой — способствует абстрагированию от сюжетных деталей, от предметов, описанных в тексте задачи. Например, при решении нестандартной задачи: «На столе у учителя лежало 10 тетрадей, из них 5 тетрадей в клетку, а 6 тетрадей в зеленой обложке. Сколько тетрадей в клетку могло быть в зеленой обложке?» можно построить графические модели, на которых имеет смысл зафиксировать положение, например, тетрадей в клетку, а положение тетрадей в зеленой обложке изменять нужным образом.
Рис. 1
Что касается третьего этапа, то он часто реализуется уже при составлении плана решения либо может быть реализован без особого труда. Четвертый же этап следует считать необязательным, но желательно и его осуществлять там, где это возможно.
Обратим внимание, что в предложенной нестандартной задаче заложена возможность ее принципиальной трансформации по уровню сложности как за счет изменения числовых данных, так и за счет изменения условий и требования. Например, можно рассмотреть следующую задачу: «На столе у учителя лежали тетради. Когда учитель отобрал из них тетради в клетку, которых оказалось 5, то среди оставшихся тетрадей оказалось 3 тетради в зеленой обложке. Сколько тетрадей в зеленой обложке могло лежать на столе сначала?» Следует также иметь в виду, что последовательная работа с серией задач такого типа может быть направлена на развитие умения классифицировать по двум независимым свойствам, что позволяет получить четыре класса. В данном случае это такие классы: 1) тетради в клетку в зеленой обложке; 2) тетради в клетку, но не в зеленой обложке; 3) тетради в зеленой обложке, но не в клетку; 4) тетради не в клетку и не в зеленой обложке.
Начинать знакомство с нестандартными задачами лучше:
1) с задач с недостающими данными, которые способствуют развитию нешаблонного анализа;
2) с нерешаемых задач, развивающих умение осуществлять анализ новой ситуации;
3) с заданий на определение закономерности, направленных на формирование умения самостоятельно осуществлять анализ ситуации и формулировать гипотезы преобразования данной ситуации;
4) с заданий на формирование умения проводить дедуктивные рассуждения (при их решении учащиеся должны проявить смекалку, догадаться, что задача вообще не решается или что в задаче есть лишние данные или данных не хватает) [7].
В качестве одного из основополагающих принципов современной концепции преподавания математики на первый план выдвигается идея приоритета развивающей функции обучения математике. В соответствии с этим основной целью математического образования становится не изучение основ математической науки как таковой, а развитие умения математически, а значит, логически и осознанно исследовать явления реального мира. Поэтому использование учителем начальной школы различного рода нестандартных задач в учебном процессе является необходимым элементом обучения математике [11].
Во всём многообразии можно выделить в особый класс такие задачи, которые называют задачами — ловушками, «обманными» задачами, провоцирующими задачами. В условиях таких задач содержатся различного рода упоминания, указания, намеки, подсказки, подталкивание к выбору ошибочного пути решения или неверного ответа.
Высоким развивающим потенциалом обладают провоцирующие задачи. Они способствуют воспитанию одного из важнейших качеств мышления — критичности, приучают к анализу воспринимаемой информации, её разносторонней оценке, повышают интерес к занятиям математики.
I тип. Задачи, навязывающие в явной форме один вполне определённый ответ.
1-й подтип. Какое из чисел 333, 555, 666, 999 не делится на 3?
Поскольку 333= 3 111, 666=3 222, 999 = 3 333, то многие учащиеся, отвечая на вопрос, называют число 555.
Но это неверно, так как 555=3 185. Правильный ответ: Никакое.
2-й подтип. Задачи, побуждающие сделать неправильный выбор ответа из предложенных верных и неверных ответов. Что легче: пуд пуха или пуд железа?
Многие полагают, что пуд пуха легче, поскольку железо тяжелее пуха. Но этот ответ неверен: пуд железа имеет массу — 16кг и масса пуда пуха тоже — 16кг.
II тип. Задачи, условия которых подталкивают решающего к тому, чтобы выполнить какое-либо действие с заданными числами или величинами, тогда как выполнять это действие вовсе не требуется.
1. Тройка лошадей проскакала 15 км. Сколько км проскакала каждая лошадь?
Хочется выполнить деление 15:3 и тогда ответ: 5 км. На самом деление выполнять совсем не требуется, поскольку каждая лошадь проскакала столько же, сколько и тройка.
2. (Старинная задача) Шёл мужик в Москву, а навстречу ему шли 7 богомолок, у каждой из них было по мешку, а в каждом мешке — по коту. Сколько существ направлялось в Москву?
Решающий с трудом удерживается от того, чтобы сказать: «15 существ, так как 1+7+7=15», но ответ неверен, сумму находить не требуется. Ведь в Москву шёл один мужик.
III тип. Задачи, условия которых допускают возможность «опровержения» семантически верного решения синтаксическим или иным нематематическим решением
1. Три спички выложены на столе так, что получилось четыре. Могло ли такое быть, если других предметов на столе не было?
Напрашивающийся отрицательный ответ опровергается рисунком
2. (Старинная задача) Крестьянин продал на рынке трёх коз за три рубля. Спрашивается: «По чему каждая коза пошла?»
Очевидный ответ: «По одному рублю» — опровергается: козы по деньгам не ходят, ходят по земле.
Опыт показал, нестандартные задачи весьма полезны для внеклассных занятий в качестве олимпиадных заданий, так как при этом открываются возможности по-настоящему дифференцировать результаты каждого ученика.
Такие задачи могут с успехом использоваться и в качестве дополнительных индивидуальных заданий для тех учеников, которые легко и быстро справляются с основными заданиями во время самостоятельной работы на уроке, или для желающих в качестве домашних заданий.
Разнообразие логических задач очень велико. Способов решения тоже немало. Но наибольшее распространение получили такие способы решения логических задач как табличный и с помощью рассуждений [3].
Задачи, решаемые составлением таблицы.
При использовании этого способа условия, которые содержит задача, и результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных таблиц.
1. Коротышки из цветочного городка посадили арбуз. Для его полива требуется ровно 1л воды. У них есть только 2 пустых бидона ёмкостью 3л и 5л. Как, пользуясь этими бидонами, набрать из реки ровно 1л воды?
Решение: Представим решение в таблице.
|
3л |
0 |
3 |
0 |
3 |
1 |
1 |
|
|
5л |
0 |
0 |
3 |
3 |
5 |
0 |
Составим выражение: 3 2 — 5 = 1. Необходимо 2 раза наполнить трёхлитровый сосуд и один раз опустошить пятилитровый.
Решение нестандартных логических задач с помощью рассуждений.
Этим способом решают несложные логические задачи.
Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: »Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский». Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?
Решение. Имеется три утверждения:
Вадим изучает китайский;
Сергей не изучает китайский;
Михаил не изучает арабский.
Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.
Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.
Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.
Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.
ВЫВОДЫ ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ
Анализ психолого-педагогической и методической литературы позволяет сделать следующие выводы.
1. Логическое мышление — это вид мышления, сущность которого в оперировании понятиями, суждениями, умозаключениями на основе законов логики, их сопоставлении и соотнесении с действиями или же совокупность умственных логически достоверных действий или операций мышления, связанных причинно-следственными закономерностями, позволяющими согласовать наличные знания с целью описания и преобразования объективной действительности.
2. Особенности логического мышления младших школьников проявляются и в самом протекании мыслительного процесса, и в каждой его отдельной операции (сравнении, классификации, обобщении, совершающихся в разных формах суждения и умозаключения).
3. Для мышления младших школьников характерно однолинейное сравнение (они устанавливают либо только различие, либо только сходное и общее).
4. Детям 7-10 лет доступны логические суждения, оперирования понятиями, переходы к обобщениям и выводам.
5. Мышление и решение задач тесно связаны друг с другом. Но их нельзя отождествлять, сводя мышление к решению задач. Решение задачи осуществляется только с помощью мышления. Но мыслительная деятельность необходима не только для решения уже поставленных задач. Она необходима и для самой постановки задач, для выявления и осознания новых проблем. Мышление нужно также для усвоения знаний, для понимания текста в процессе чтения и во многих других случаях, отнюдь не тождественных решению задач.
6. Нестандартная задача — это задача, алгоритм решения которой учащимся неизвестен, т.е. ученики не знают заранее ни способов ее решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение.
Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной в зависимости от того, знакомы ли учащиеся со способами решения таких задач. Нестандартная задача, в отличие от традиционной, не может быть решена по какому-либо известному им алгоритму. Такие задачи не сковывают ученика жесткими рамками одного решения. Необходим поиск решения, что требует творческой работы мышления и способствует его развитию.
логический мышление школьник математика
ГЛАВА II. ОПЫТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА ПО РАЗВИТИЮ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ МЛАДШЕГО ШКОЛЬНИКА В ПРОЦЕССЕ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ПОСРЕДСТВОМ РЕШЕНИЯ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ
Во второй главе мы описали педагогические условия развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике посредством решения нестандартных задач и проанализировали результаты диагностической работы по развитию логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике посредством решения нестандартных задач.
2.1 Педагогические условия развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике посредством решения нестандартных задач
В данном параграфе раскрываются педагогические условия развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике посредством решения нестандартных задач.
Но прежде кратко остановимся на таких понятиях, как «условия», «педагогические условия», поскольку в научной литературе имеются различные подходы к их определению. Во-первых, определим, что мы понимаем под термином «условие».
Философская энциклопедия трактует «условие» как «то, от чего зависит нечто другое (обусловленное), что делает возможным наличие вещи, состояния, процесса…» [47, с. 406]. Таким образом, под условием подразумевается категория, выражающая такие отношения предмета к окружающим его явлениям, без которых он не может возникнуть и существовать — С. Л. Рубинштейн [40]. Во-вторых, уточним, что мы понимаем под «педагогическими условиями».
А.Я. Найн пишет, что термин «педагогические условия» в широком смысле можно определить как совокупность мер и конечных результатов действия социально-педагогических процессов на данном этапе развития общества.
Под педагогическими условиями мы понимаем совокупность объективных возможностей содержания, форм, методов, педагогических приемов и материально-пространственной среды, направленных на достижение поставленной цели [32]. Школьная практика показала, что педагогические условия представлены тремя составляющими учебно-воспитательного процесса: ученик — учитель — согласованное действие ученика и учителя в целостном учебно-воспитательном процессе. По нашему мнению, эти условия должны быть направлены на поддержку психологической комфортности, развитие когнитивных, эмоциональных и волевых процессов, поощрение активности младших школьников.
Универсального метода, позволяющего решить любую нестандартную задачу, в математике нет, так как нестандартные задачи в какой-то степени неповторимы. Однако при обучении решению нестандартных задач можно и нужно следовать тем же педагогическим условиям, что и при работе со стандартными задачами. Рассмотрим некоторые из них.
Во-первых, необходимо вызвать у учащихся интерес к решению той или иной задачи. Для этого надо тщательно отбирать интересные задачи и делать их привлекательными для школьников. Это могут быть:
Задачи-вопросы.
Задачи с несформулированным вопросом.
Задачи с неполным составом условия.
Задачи с избыточным составом условия.
Задачи-головоломки.
Нереальные задачи.
Задачи-шутки.
Провоцирующие задачи.
Задачи с несколькими решениями.
Нами переработаны статьи из журналов «Начальная школа», «Математика в школе». Ниже мы приводим собранные нами типы нестандартных задач, которые могут применяться на уроках математики в начальной школе [27].
Задачи-вопросы.
Сходство их с задачами состоит в том, что в них, как и в задачах, задаются в словесной форме те или иные зависимости, отношения, связи, которые могут быть переведены на язык математики, а различие заключается в том, что для ответа на поставленный вопрос не требуется выполнять какое-либо арифметическое действие над числами, а нужно лишь применить знания некоторых математических фактов, закономерностей.
Приведём для примера несколько таких задач — вопросов:
Пример 1. На какое дерево садится ворона после дождя? (На мокрое)
Пример 2. Если известно, сколько книг было на одной полке и сколько книг было на другой полке, то каким действием можно узнать, сколько всего книг на этих двух полках?
Пример 3. Несколько карандашей разложили в две коробки поровну. В одной коробке оказалось 6 карандашей. Сколько карандашей в другой коробке?
Пример 4. С двух станций одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Они встретились через два часа. Сколько времени был в пути каждый из них до момента встречи?» [14].
Пример 5. Как можно отмерить 3 м ткани из куска ткани в 4 м, не пользуясь никаким измерительным прибором?
Чтобы ответить на заданные задачи-вопросы, необходимо во второй задаче понимать, что речь идёт об объединении двух множеств. В третьей задаче понимать выражение «поровну», в четвёртой задаче понимать, что при одновременном встречном движении поезда затратят одинаковое время.
Задачи с несформулированным вопросом.
В задачах этой серии ни прямо, ни косвенно не формулируется вопрос, но этот вопрос, логически вытекает из данных в задаче математических отношений. Задачи такого рода помогают установить, может ли учащийся сформулировать вопрос, воспринимает ли он логику данных в задаче отношении и зависимостей, понимает ли он их сущность.
Например: «В двух кассах магазина находится 140 руб. Если из первой кассы переложить во вторую 15 руб., то в обеих кассах будет поровну. (Сколько денег будет в каждой кассе?)».
Приведём ещё один пример, где вопрос дети должны придумать сами.
Задача. «Кукла стоит 800 тенге, а заводная машина 1600 тенге».
К этой задаче можно придумать несколько вопросов:
Сколько всего стоят игрушки?
На сколько кукла стоит дешевле?
На сколько машина стоит дороже?
Во сколько раз кукла стоит дешевле машины?
Во сколько раз машина стоит дороже куклы?
Исходя из поставленного вопроса, мы можем решить несколько простых задач разных типов.
Задачи с неполным составом условия.
В этих задачах отсутствуют некоторые данные, вследствие чего дать точный ответ на вопрос задачи не представляется возможным. Задачи указанного типа помогают проверить «схватывают» ли учащиеся в процессе восприятия условия задачи её формальную структуру, способны ли они обнаружить неполноту данных.
Например, прочитав задачу с недостающими данными «Мама принесла 15 яблок и разделила их поровну среди членов семьи. Сколько яблок получил каждый член семьи?», мы убеждаемся, что все элементы задачи присутствуют, это и условие, и вопрос, но не хватает одного числового данного. (Мы знаем, что для решения задачи должно быть хотя бы два числовых данных). Мы не знаем, сколько членов семьи. Подставив число, мы с легкостью сможем решить эту задачу.
Задачи с избыточным составом условия.
В задаче этой серии введены дополнительные, ненужные, не имеющие значения показатели, до известной степени маскирующие необходимые для решения данные. И эта серия направлена на выявление некоторых особенностей умственного восприятия школьниками математической задачи.
Задачи-головоломки.
Пример 1. Из города А в город В самолёт долетел за 80 минут, на обратный же путь самолёт затратил 1 час 20 минут. Объясните почему?
Пример 2. Два отца и два сына делили три апельсина. Каждый из них получил по одному апельсину. Объясните, как такое могло получиться?
Пример 3. Один стог сена лошадь съедает за 1 месяц, коза — за 2 месяца и овца за 2 месяца. За какое время они вместе съедят один стог сена?
Нереальные задачи.
Пример 1. На одной берёзе выросло 12 яблок, а на дугой на 3 яблока больше. Сколько всего яблок выросло?
Задачи-шутки.
Сюда относятся такие задачи, при решении которых не следует сразу браться за выполнение того или иного арифметического действия. С помощью простейших логических рассуждений и умозаключений делается соответствующий вывод, который является ответом на вопрос задачи.
Пример 1. Мельник пришел на мельницу. В каждом углу он увидел по 3 мешка. На каждом мешке сидело по 3 кошки, каждая кошка имела 3 котенка. Сколько ног было на мельнице? (Две ноги — у мельника, у кошек — лапы)
Пример 2. Один ослик нес 10 кг сахару, а другой ослик нес 10 кг ваты. У кого поклажа была тяжелее?
Провоцирующие задачи.
Пример 1. Крышка стола имеет 4 угла. Сколько будет углов у крышки, если один из них отпилить? (5)
Пример 2. Три мальчики по дороге шли, и пятак они нашли. Сколько денежек найдут, коль вскоре вшестером они пойдут?
Пример 3. Шесть рыбаков съедят 6 судаков за 6 дней. Сколько судаков съедят 12 рыбаков за 12 дней?
Задачи с несколькими решениями.
Действительно, задачи такого рода вызывают у
детей интерес, активизируют мыслительную деятельность, формируют самостоятельность, нешаблонность мышления.
Рассмотрим пример занимательной задачи сказочного характера: «Красная Шапочка несла бабушке 14 пирожков: с мясом, с грибами и с капустой. Пирожков с капустой — наибольшее количество, причём, их вдвое больше, чем пирожков с мясом. Сколько пирожков с грибами несла Красная Шапочка?».
Напомним, что данная задача относится к разряду нестандартных, поэтому известными методами её не решить.
Покажем возможность использования приёма «предположение ответа» при решении данной задачи:
1 способ. Пусть пирожков с мясом 2.
Тогда с капустой 2 2 = 4 (пир.). Следовательно, с грибами 14 — (2 + 4) = 8 (пир.). Но в этом случае пирожков с капустой не наибольшее количество.
Пусть пирожков с мясом 3, тогда с капустой
2 = 6 (пир.). Следовательно, с грибами 14 — (3 + 6) = 5 (пир.).
Этот результат соответствует условию задачи.
Ответ: Красная Шапочка несла 5 пирожков с грибами.
Пусть пирожков с мясом 4.
Тогда с капустой 4 2 = 8 (пир.).
Следовательно, с грибами 14 — (4 + 8) = 2 (пир.).
Этот результат так же соответствует условию задачи.
Ответ: Красная Шапочка несла 2 пирожка с грибами.
Как видим, данная задача может иметь два различных ответа.
Во-вторых, задачи не должны быть ни слишком легкими, ни очень трудными, так как, не решив задачу или не разобравшись в ее решении, предложенном учителем, школьники могут потерять веру в свои силы. В этом случае важно соблюсти меру помощи. Прежде всего, учитель не должен знакомить учащихся с уже готовым решением. Подсказка должна быть минимальной.
При планировании содержания занятий мы выделили отдельный блок — «Решение логических задач». Занятия проводились с учащимися второго класса еженедельно [11].
Так, на первых этапах учащимся предлагалось рассмотреть уже решенные задачи. Вместе с ними проводим анализ готовых решений и делаем выводы. Это в дальнейшем поможет им в решении более сложных логических задач. Именно поэтому мы уделяем должное внимание такой работе. Приведем пример.
Задача: У лавочки встретились Шпунтик, Винтик и Гусля. В каком порядке им надо сесть на нее, чтобы Гусля сидел слева от Винтика, а Шпунтик — слева от Гусли.
Решение
Рисунок 2
Учитель должен обратить внимание обучающихся на содержимое в руках персонажей, что, в свою очередь, служит подсказкой в решении задачи.
На втором этапе обучающиеся стараются найти иные способы решения разобранных задач.
Пример:
По тропинке вдоль кустов
Шло 11 хвостов
Сосчитать я также смог,
Что шагало 30 ног.
Это вместе шли куда-то
Петухи и поросята.
А теперь вопрос таков?
Сколько было петухов?
И узнать я был бы рад,
Сколько было поросят.
На третьем этапе сравниваются способы решения, предложенные учителем и учениками.
Пример задачи: «По стволу яблони высотой 10 метров ползет маленький жучек. За один день он поднимается на 4 метра, а за ночь опускается на 2 метра. Сколько ему потребуется времени, чтобы подняться до вершины?».
Учащиеся выбирают более доступный способ решения. В этом возрасте младший школьник имеет наглядно-образное мышление, которое только со временем будет трансформироваться в словеснологическое.
На следующем этапе мы уделяли внимание решению логических задач разной степени трудности. Для актуализации знаний учеников использовали более легкие задачи.
Примеры задач: «Петя ростом выше Васи, но ниже Ильи. Кто выше, Вася или Илья?», «По улице идут 2 сына и 2 отца. Всего три человека. Может ли так быть?»
В завершении обучающимся предлагается самостоятельно придумать логическую задачу, оформить ее и представить классу. Именно на этом этапе ученики выделяют существенные и несущественные признаки логической задачи и тем самым доказывают, что их задача является логической. Затем предлагается решить её ученикам класса.
Результат работы обучающихся — сборники логических задач. Приведем несколько примеров задач, которые сочинили ученики самостоятельно.
«У Алеши было очень много бластеров Иерфов, а у Антона мало, а у Ильи порядочно. У кого больше?»
«Настя не любит синий, желтый и зелёный. Дима любит синий цвет. Жанна не любит желтый, а Рома не любит розовый. Кто из ребят что нарисовал?»
«Хлоя, Барби и Жасмин выбирали профессии: писательницы, модельера и дизайнера. Хлоя не выбрала профессии писательницы и визажиста, а Барби не выбрала профессию модельера. Кто какую профессию выбрал?»
«Набор кисточек дороже набора фломастеров, но дешевле красок. Что самое дорогое?».
Такой процесс обучения является, с одной стороны, развивающим, а с другой, — занимательным для младшего школьника.
В-третьих, работу по обучению решению нестандартных задач следует вести систематически, начиная с I класса.
Таким образом, в качестве педагогических условий развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике посредством решения нестандартных задач:
1) вызвать у учащихся интерес к решению нестандартной задачи;
2) задачи должны соответствовать возрастным особенностям младших школьников;
3) работу по обучению решению нестандартных задач следует вести систематически.
2.2 Цель, содержание проведения эксперимента по развитию логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике посредством решения нестандартных задач
В данном параграфе покажем организацию, проведение и итоги экспериментальной работы по развитию логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике посредством решения нестандартных задач.
В ходе исследования нами был организован кружок математики, который посещали учащиеся 2-х классов.
Экспериментальная работа проводилась на базе МОУ «СОШ № 65 им. Б.П. Агапитова». В эксперименте приняло участие 26 учащихся.
В ходе экспериментальной работы решались следующие задачи:
— выявить уровень развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике посредством решения нестандартных задач на начало экспериментального исследования;
— реализовать разработанные нами педагогические условия;
— выявить уровень развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике посредством решения нестандартных задач на конец экспериментальной работы;
— проанализировать результаты экспериментальной работы;
— сделать выводы об эффективности проведенной работы и степени достоверности выдвинутой гипотезы.
Экспериментальная работа проводилась в три этапа.
I этап — констатирующий. Цель — выявить уровень развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике посредством решения нестандартных задач на начало эксперимента.
С этой целью дается следующая проверочная работа.
Проверочная работа
Задачи на установление соответствия:
У Саши, Маши, Кости, Оли и Коли было 4 яблока и 1 груша. Что было у каждого ребенка, если у Маши и Кости были разные фрукты, а у Коли и Кости одинаковые?
Задачи на порядок во множестве:
В деревне Простоквашино на скамейке сидят дядя Федор, кот Матроскин, пес Шарик, почтальон Печкин. Если пёс Шарик, сидящий крайним слева, сядет между котом Матроскиным и дядей Федором, то дядя Фёдор окажется крайним слева. Кто где сидит?
Комбинаторные задачи:
Коля, Вася и Боря играли в шашки. Каждый из них сыграл всего 2 партии. Сколько всего партий было сыграно?
Задачи на подбор-перебор:
У Саши и Коли вместе 15 абрикосов. У Саши абрикосов больше, чем у Коли. Сколько абрикосов у каждого мальчика?
Задачи на переливание:
Папа купил 24 л бензина и разлил его в 3 десятилитровые канистры. Все ли канистры наполнены бензином?
Оценивание проводилось с учетом следующих оценочных условий (см. табл. 1):
Таблица 1. Оценочные условия для оценивания выполненной учащимися проверочной работы на начало эксперимента
|
№ |
Задание |
Задание выполнено верно |
Задание выполнено неверно |
В ходе выполнения допущены недочеты |
Максимальное число -баллов |
|
|
1 |
Задачи на установление соответствия |
2 |
0 |
1 |
2 |
|
|
2 |
Задачи на порядок во множестве |
2 |
0 |
1 |
2 |
|
|
3 |
Комбинаторные задачи |
2 |
0 |
1 |
2 |
|
|
4 |
Задачи на подбор-перебор |
2 |
0 |
1 |
2 |
|
|
5 |
Задачи на переливание |
2 |
0 |
1 |
2 |
|
|
Итого |
10 |
Результаты среза показали разброс оценок от 0 до 16 баллов. При этом 0 — это минимальный балл, а 10 — максимальный. Выбор интервалов при группировке индивидуальных суммарных баллов мы осуществляли, руководствуясь методикой А.А. Кыверялга, согласно которой средний уровень определяется 25%-ным отклонением от среднего показателя по диапазону оценок суммарного балла. Тогда оценка из интервала от R (min) до 0,25 R (max) позволяет констатировать низкий уровень имеющихся знаний по теме «Нумерация чисел первого десятка», а о высоком уровне свидетельствуют оценки, превышающие 75 % максимально возможные.
Исходя из данной методики, уровни имеющихся знаний по теме «Нумерация чисел первого десятка» определялись нами по показателям, представленным в таблице 2.
Таблица 2
Шкала оценки уровней сформированности имеющихся знаний
|
Уровень |
Низкий |
Средний |
Высокий |
|
|
Оценка в баллах |
0-4 |
5-7 |
8-10 |
С учетом данной шкалы подсчитывался суммарный балл каждого ученика по показателям, занесенным в сводную таблицу (см. табл. 3).
Таблица 3. Сводная таблица оценки уровней развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике посредством решения нестандартных задач на констатирующем этапе эксперимента
|
Фамилия имя учащегося |
Показатели |
Сумма баллов |
Уровень |
||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|||||
|
1. |
Андреева Анастасия. |
2 |
2 |
0 |
2 |
2 |
8 |
высокий |
|
|
2. |
Андреева Юлия. |
2 |
2 |
2 |
1 |
2 |
9 |
высокий |
|
|
3. |
Архипов Кирилл. |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
6 |
средний |
|
|
4. |
Богданова Мария. |
2 |
2 |
1 |
0 |
1 |
6 |
средний |
|
|
5. |
Бугрова Виктория. |
0 |
1 |
1 |
1 |
2 |
5 |
средний |
|
|
6. |
Величко Кристина. |
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
7 |
средний |
|
|
7. |
Дьяченко Полина. |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
5 |
средний |
|
|
8. |
Елович Вадим. |
0 |
2 |
1 |
1 |
2 |
6 |
средний |
|
|
9. |
Есина Виктория. |
0 |
2 |
2 |
0 |
2 |
6 |
средний |
|
|
10. |
Захарченко Мария. |
2 |
2 |
0 |
0 |
2 |
6 |
средний |
|
|
11. |
Ибрагимов Роберт. |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
5 |
средний |
|
|
12. |
Колесников Данил. |
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
5 |
средний |
|
|
13. |
Леонов Андрей. |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
2 |
низкий |
|
|
14. |
Мишин Максим. |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
2 |
низкий |
|
|
15. |
Морозова Екатерина. |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
2 |
низкий |
|
|
16. |
Муслимова Карина. |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
низкий |
|
|
17. |
Ракова Татьяна. |
2 |
1 |
0 |
2 |
1 |
6 |
высокий |
|
|
18. |
Рутнова Елена. |
2 |
0 |
2 |
0 |
2 |
6 |
средний |
|
|
19. |
Сидорова Марина. |
2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
4 |
средний |
|
|
20. |
Соболева Ольга. |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
4 |
средний |
|
|
21. |
Сосновских Юлия. |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
2 |
низкий |
|
|
22. |
Терентьев Антон. |
2 |
2 |
0 |
0 |
1 |
5 |
средний |
|
|
23. |
Устьянцева Елена. |
2 |
0 |
2 |
0 |
2 |
6 |
средний |
|
|
24. |
Хакимова Диля. |
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
9 |
высокий |
|
|
25 |
Чичерин Михаил. |
2 |
1 |
1 |
0 |
1 |
5 |
средний |
|
|
26 |
Шумкина Анастасия. |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
2 |
низкий |
Результаты проверочной работы показали, что 4 учащихся (15%) имеют высокий уровень развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике посредством решения нестандартных задач, с низким уровнем — 6 человек (23%), остальные дети имеют средний уровень (62%).
Таблица 4. Уровни развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике посредством решения нестандартных задач на начало эксперимента
|
Высокий уровень |
Средний уровень |
Низкий уровень |
||||
|
чел |
% |
чел |
% |
чел |
% |
|
|
4 |
15 |
16 |
62 |
6 |
23 |
Полученный результат для большей наглядности можно проиллюстрировать на диаграмме (см. рис. 4).
Рис. 4. Диаграмма уровня развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике посредством решения нестандартных задач на начало эксперимента
Таким образом, уровень развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике посредством решения нестандартных задач сформирован недостаточно.
II этап — формирующий.
Формирующий эксперимент проводился в процессе внеклассной работы по математике во 2 классе в период с 2.02.2014 по 10.04.2014.
В ходе формирующего эксперимента с учениками 2-х классов были даны задания на развитие логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике (см. Приложение).
III этап — итоговый.
Цель — выявить уровень развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике на конечном этапе эксперимента. Детям предлагалась следующая проверочная работа.
Проверочная работа
Задачи на установление соответствия:
В квартирах № 1, 2 и 3 жили три котёнка: белый, черный и рыжий. В квартирах № 1 и 2 жил не чёрный котенок. Белый котенок жил не в квартире № 1. В какой квартире жил каждый котенок?
Задачи на порядок во множестве:
На столе лежат 3 карандаша разной длины. Как сделать, чтобы самый длинный карандаш не лежал между остальными, не трогая его?
Комбинаторные задачи:
Коля, Саша, Миша и Вася — лучшие лыжники в классе. На соревнования надо составить команду из трех человек. Сколькими способами это можно сделать?
Задачи на подбор-перебор:
Ученик купил 15 тетрадей в одну линейку, в две линейки и в клетку. Тетрадей в клетку было на 10 больше, чем тетрадей в одну линейку. Сколько могло быть тетрадей каждого вида?
Задачи на переливание:
Две бочки по 20 вёдер соединены внизу трубой. Обе бочки наполнены водой. Сколько воды останется в каждой бочке, если из первой бочки взяли 6 вёдер воды?
Исходя из методики А.А. Кыверялга, уровни развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике определялись нами по показателям, представленным в таблице 1, стр. 40. С учетом данной шкалы подсчитывался суммарный балл каждого ученика по показателям, занесенным в сводную таблицу (см. табл. 5).
Таблица 5. Сводная таблица оценки уровней развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике на конечном этапе эксперимента
|
Фамилия имя учащегося |
Показатели |
Сумма баллов |
Уровень |
||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|||||
|
1. |
Андреева Анастасия. |
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
9 |
высокий |
|
|
2. |
Андреева Юлия. |
2 |
2 |
2 |
1 |
2 |
9 |
высокий |
|
|
3. |
Архипов Кирилл. |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
7 |
средний |
|
|
4. |
Богданова Мария. |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
7 |
средний |
|
|
5. |
Бугрова Виктория. |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
9 |
высокий |
|
|
6. |
Величко Кристина. |
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
7 |
средний |
|
|
7. |
Дьяченко Полина. |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
7 |
средний |
|
|
8. |
Елович Вадим. |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
7 |
средний |
|
|
9. |
Есина Виктория. |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
8 |
средний |
|
|
10. |
Захарченко Мария. |
2 |
2 |
2 |
0 |
2 |
8 |
средний |
|
|
11. |
Ибрагимов Роберт. |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
6 |
средний |
|
|
12. |
Колесников Данил. |
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
5 |
средний |
|
|
13. |
Леонов Андрей. |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
5 |
средний |
|
|
14. |
Мишин Максим. |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
4 |
средний |
|
|
15. |
Морозова Екатерина. |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
5 |
средний |
|
|
16. |
Муслимова Карина. |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
6 |
средний |
|
|
17. |
Ракова Татьяна. |
2 |
1 |
1 |
2 |
2 |
8 |
высокий |
|
|
18. |
Рутнова Елена. |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
8 |
средний |
|
|
19. |
Сидорова Марина. |
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
5 |
средний |
|
|
20. |
Соболева Ольга. |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
4 |
средний |
|
|
21. |
Сосновских Юлия. |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
5 |
средний |
|
|
22. |
Терентьев Антон. |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
7 |
средний |
|
|
23. |
Устьянцева Елена. |
2 |
1 |
2 |
0 |
2 |
7 |
средний |
|
|
24. |
Хакимова Диля. |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
10 |
высокий |
|
|
25 |
Чичерин Михаил. |
2 |
1 |
2 |
1 |
1 |
7 |
средний |
|
|
26 |
Шумкина Анастасия. |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
5 |
средний |
Результаты проверочной работы показали, что 6 учащихся (23%) имеют высокий уровень развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике, остальные дети имеют средний уровень (77%).
Таблица 6. Уровни развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике на конец эксперимента
|
Высокий уровень |
Средний уровень |
Низкий уровень |
||||
|
чел |
% |
чел |
% |
чел |
% |
|
|
6 |
23 |
20 |
77 |
0 |
0 |
Полученный результат для большей наглядности можно проиллюстрировать на диаграмме (см. рис. 5)
Рис. 5. Диаграмма уровней развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике на конец эксперимента
Сравнив результаты констатирующего и итогового этапов эксперимента, мы увидели следующую динамику (см. табл. 7).
Таблица 7. Динамика уровня развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике
|
Уровни |
Констатирующий этап |
Итоговый этап |
Динамика |
||||
|
чел |
% |
чел |
% |
чел |
% |
||
|
Высокий |
4 |
15 |
6 |
23 |
+2 |
+8 |
|
|
Средний |
16 |
62 |
20 |
77 |
+4 |
+15 |
|
|
Низкий |
6 |
23 |
0 |
0 |
-6 |
-23 |
Учащихся с высоким уровнем развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике стало на 2 человека больше, а с низким уровнем — на 6 человек меньше. Соответственно, детей со средним уровнем стало на 4 человека больше.
Полученный результат для большей наглядности можно проиллюстрировать на диаграмме (см. рис. 6).
Рис.6. Динамика уровня развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике
Таким образом, полученные результаты подтверждают выдвинутую нами гипотезу о том, что развитие логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике осуществляется эффективно, если вызвать у учащихся интерес к решению нестандартной задачи; задачи должны соответствовать возрастным особенностям младших школьников; работу по обучению решению нестандартных задач следует вести систематически. Это говорит о том, что выдвинутая нами на начало исследования гипотеза справедлива.
Выводы по второй главе
1. В качестве педагогических условий развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике посредством решения нестандартных задач:
1) вызвать у учащихся интерес к решению нестандартной задачи;
2) задачи должны соответствовать возрастным особенностям младших школьников;
3) работу по обучению решению нестандартных задач следует вести систематически, начиная с I класса.
2. В ходе изучения динамики эффективности развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике, можно увидеть, что результаты детей изменились.
Полученные результаты подтверждают выдвинутую нами гипотезу о том, что развитие логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике осуществляется эффективно, если вызвать у учащихся интерес к решению нестандартной задачи; задачи должны соответствовать возрастным особенностям младших школьников; работу по обучению решению нестандартных задач следует вести систематически.
Заключение
В соответствии с целью нами были поставлены и решены следующие задачи:
1) изучена психолого-педагогическая, математическая, методическая литература по проблеме исследования;
2) раскрыты современные подходы развития логического мышления в процессе внеклассной работы по математике;
3) разработаны критерии оценки уровня развития логического мышления в процессе внеклассной работы по математике.
4) разработаны и проверены экспериментально педагогические условия развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике посредством решения нестандартных задач.
В ходе решения первой задачи нами было установлено, что Логическое мышление — это вид мышления, сущность которого в оперировании понятиями, суждениями, умозаключениями на основе законов логики, их сопоставлении и соотнесении с действиями или же совокупность умственных логически достоверных действий или операций мышления, связанных причинно-следственными закономерностями, позволяющими согласовать наличные знания с целью описания и преобразования объективной действительности.
Особенности логического мышления младших школьников проявляются и в самом протекании мыслительного процесса, и в каждой его отдельной операции (сравнении, классификации, обобщении, совершающихся в разных формах суждения и умозаключения).
Для мышления младших школьников характерно однолинейное сравнение (они устанавливают либо только различие, либо только сходное и общее).
Детям 7-10 лет доступны логические суждения, оперирования понятиями, переходы к обобщениям и выводам.
Мышление и решение задач тесно связаны друг с другом. Но их нельзя отождествлять, сводя мышление к решению задач. Решение задачи осуществляется только с помощью мышления. Но мыслительная деятельность необходима не только для решения уже поставленных задач. Она необходима и для самой постановки задач, для выявления и осознания новых проблем. Мышление нужно также для усвоения знаний, для понимания текста в процессе чтения и во многих других случаях, отнюдь не тождественных решению задач.
Нестандартная задача — это задача, алгоритм решения которой учащимся неизвестен, т.е. ученики не знают заранее ни способов ее решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение. Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной в зависимости от того, знакомы ли учащиеся со способами решения таких задач. Нестандартная задача, в отличие от традиционной, не может быть решена по какому-либо известному им алгоритму. Такие задачи не сковывают ученика жесткими рамками одного решения. Необходим поиск решения, что требует творческой работы мышления и способствует его развитию.
В качестве педагогических условий развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике посредством решения нестандартных задач:
1) вызвать у учащихся интерес к решению нестандартной задачи;
2) задачи должны соответствовать возрастным особенностям младших школьников;
3) работу по обучению решению нестандартных задач следует вести систематически, начиная с I класса.
В ходе изучения динамики эффективности развития логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике, можно увидеть, что результаты детей изменились.
Полученные результаты подтверждают выдвинутую нами гипотезу о том, что развитие логического мышления младшего школьника в процессе внеклассной работы по математике осуществляется эффективно, если вызвать у учащихся интерес к решению нестандартной задачи; задачи должны соответствовать возрастным особенностям младших школьников; работу по обучению решению нестандартных задач следует вести систематически.
Таким образом, поставленная в работе цель доказана, задачи решены, гипотеза нала своё подтверждение.
Список использованной и цитируемой литературы
1. Акимова, М.К. Упражнения по развитию мыслительных навыков младших школьников / М. К.Акимова, В.Т. Козлова. — Обнинск, 2008. — 96 с.
2. Ананьев, Б.Г. Психология педагогической оценки / Б.Г. Ананьев // Избранные психологические труды. Том 2. М., Просвещение, 1980. — 325 с.
3. Ведилина, Е.А. Нестандартные задачи в курсе математики начальной школы: Учебно-методическое пособие для учителей начальных классов / Е.А. Ведилина. — Павлодар, 2008. — 72 с.
4. Волкова, С.И. Контрольные работы и тесты по математике: 1 — 4 классы / С. И. Волкова, И. С. Ордынкина. — М.: АСТ, 2007. — 117 с.
5. Гальперин, П.Я. Введение в психологию / П.Я. Гальперин. — М.: Просвещение, 1976. — 120 с.
6. Дьюи, Д. Психология и педагогика мышления / Д. Дьюи. — М.: Академия, 2007. — 314с.
7. Зайцев, Т.Г. Теоретические основы обучения решению задач в начальной школе / Т.Г. Зайцев. — М.: Просвещение, 2007. — 216 с.
8. Зак, А.З. Развитие умственных способностей младших школьников / А.З. Зак. — М.: Просвещение, 1994. — 217 с.
9. Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе: От действия к мысли: пос. для учителя / Под ред. А.Г. Асмолова. — М.: Просвещение, 2010. — 152 с.
10. Калинина, Н.В. Учебная самостоятельность младшего школьника: диагностика и развитие: практич. пос. / Н.В. Калинина, С.Ю. Прохорова. — М.: АРКТИ, 2008. — 80 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Нестандартные задачи разной сложности:
1. На детской площадке 8 двух- и трёх — колёсных велосипедов. Всего у них 21 колесо. Сколько было 2-х и 3-х колесных велосипедов на площадке?
2. В гараже 750 В клетке кролики и фазаны, всего 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке кроликов и сколько фазанов? автомобилей.
3.Мальчик собрал в коробку жуков и пауков — всего 8 штук и 54 ноги. Сколько жуков и сколько пауков?
4. Грузовые автомобили имеют по 6 колёс, а легковые по 4 колеса. Сколько, каких автомобилей в гараже, если колёс всего 3024?.
5. Через мост за день прошло 40 автомобилей и велосипедов. Всего проехало 100 колес. Просчитай, сколько проехало отдельно автомобилей и велосипедов, если у велосипеда 2 колеса, а у автомобиля 4 колеса?
6. Магазин получил со склада 1000 линеек по 20 см и 30 см. общая длина линеек 220 м. Сколько 20-сантиметровых линеек получил магазин?
7. В учреждении 14 столов с одним, двумя и тремя ящика. Всего 25 ящиков. Столов с одним ящиком столько, сколько с двумя и тремя вместе. Сколько столов с тремя ящиками?
8. По тропинке вдоль кустов
Шло 11 хвостов.
Сосчитать я также смог,
Что шагало 30 ног.
Это вместе шли куда-то
Петухи и поросята.
А теперь вопрос таков:
«Сколько было петухов?»
И узнать я был бы рад,
Сколько было поросят?
9. На корабле «Пиратское счастье» несколько кошек, матросов, кок и одноногий капитан. У всех вместе взятых 15 голов и 41 нога. Сколько на корабле было кошек?
10. На поляне ребята пасут жеребят. Если пересчитать ноги ребят и жеребят, то их будет 74, а если считать головы, то — 22. сколько на лугу жеребят?
11. Десяти собакам и кошам дали 56 галет. Каждой собаке досталось 6 галет, каждой кошке 5. сколько было собак и кошек?
12. Для туристов купили 100 билетов на сумму 340 рублей. Билеты стали 3 руб. и 4 руб. сколько закуплено билетов по 3 руб. и сколько по 4 руб.?
13. В клетке находятся цыплята и кролики. У них 15 голов и 36 ног. Сколько в клетке цыплят и сколько кроликов?
14. На веточке сирени 35 цветков, у которых по 4 или 5 лепестков. Всего лепестков 153. Сколько цветков с 5 лепестками?
15. У котенка на лапе 5 когтей, у цыплёнка 4. во дворе находится 10 котят и цыплят, а когтей у всей у них 104. Сколько котят во дворе?
16. В театре билеты продаются по 30 руб. и 40 руб. всего в театре 12 рядов по 25 мест в каждом. Общая стоимость всех билетов 10000 руб. сколько билетов продаётся по 40 руб.?
17. На каждой из 10 карточек Коля нарисовал треугольник или квадрат. Всего он провел 36 отрезков. Сколько квадратов он начертил?
18. По пустыне идет караван верблюдов, всего 40. У них 57 горбов. Сколько в караване одно — и двугорбых верблюдов?
19. Один человек видит и считает ноги верблюдов, другой — горбы. Первый насчитал 440 ног, второй — 160 горбов. Сколько в караване двугорбых верблюдов?
20. В гараже стояли машины и мотоциклы с коляской, их вместе 18. У них 65 колес. Сколько мотоциклов с коляской стояло в гараже, если у мотоцикла 3 колеса, а у машины 4?
21. В поход пошли 20 человек: мужчины, женщины и дети. Каждый мужчина нес груз 20 кг, каждая женщина — 5 кг, а каждый из детей — 3 кг. Все вместе несли груз массой 137 кг. Сколько мужчин, сколько женщин и сколько детей пошли в поход?
23. У бабушки Лизы — внуки и поросята. Сколько ребят и сколько поросят, если на всех приходится 6 хвостов и 30 ног?
Размещено на Allbest.ur
