Содержание
По касательной к шкифу маховика в виде диска диаметром D=75 см и массой m=40 кг приложена сила F=1 кН. Определить угловое ускорение и частоту вращения n маховика через время t=10 с после начала действия силы, если радиус r шкифа равен 12 см. Силой трения пренебречь.
Выдержка из текста работы
На стержень действуют равномерно распреде ложенной в середине участка ( =16 кН), пара сил с моментом М, реакция опорной поверхности и составляющие , реакции шарнира С.
Для полученной плоской системы сил составляем уравнения равновесия:
; ,
= = =47,9(кН);
; , = = 29,4 (кН);
; , = = 8 (кН).
Теперь рассмотрим равновесие угольника АЕС. На него действует силы , , составляющие реакции шарнира С , (направлены противоположно , и численно , ) и реакция шарнира А ( , ).
Для этой плоской системы сил тоже составим уравнения равновесия: ;
= = = 1748(кН).
; ,
= = 924,4(кН);
; ,
= = –1499,4(кН) – действительное направление составляющей противоположно принятому на рисунке;
RD ХА YA RB ХC YC
1748 924,4 –1499,4 47,9 29,4 8
ЗАДАЧА С3-00
Дано: Р=200 Н, a1=45о, b1=60о, g1=60о, Q=100 Н, a2=45о, b2=60о, g2=60о, j=60о, q=51о.
Найти: Усилия в стержнях
РЕШЕНИЕ:
Считаем стержни растянутыми.
Рассмотрим равновесие узла Н, в котором сходятся стержни 1,2,3. На узел действуют сила и реакции , , стержней. Уравнения равновесия этой пространственной системы сходящихся сил:
; , = = 115,5 (Н);
; , = = = 118,3 (Н);
; , = = –183,6 (Н) – стержень сжат;
Рассмотрим равновесие узла М, в котором сходятся стержни 1,4,5,6. На узел действуют сила и реакции ( ), , , стержней. Уравнения равновесия этой пространственной системы сходящихся сил:
; , = = –193 (Н) – стержень сжат;
; , = = =–21,9 (Н) – стержень сжат.
; , = = 15,1 (Н);
N1 N2 N3 N4 N5 N6
115,5 –183,6 118,3 –193 15,1 –21,9
растянут сжат растянут сжат растянут сжат
ЗАДАЧА С4–00
Дано: Р1=5 кН, Р2=3 кН, М=4 кНм, а=0,6 м, F1=6 кН, F2=8 кН.
Найти: реакции связей А, В и стержня.
РЕШЕНИЕ:
Рассмотрим равновесие угольника. На него действуют силы тяжести Р1, Р2, силы F1, F2, пара сил с моментом М и реакции связей А (ХА, YА, ZА) и В (ХВ, ZВ) и стержня N (считаем его растянутым).
Составляем уравнения равновесия пространственной системы сил:
= = 0,54 (кН);
; ,
= = –0,57 (кН) – действительное направление противоположно принятому на рисунке;
= = –2,95 (кН) – действительное направление противоположно принятому на рисунке;
; , = = = 3,95 (кН);
; ,
= = –5,2 (кН) ;
; ,
= = –0,04 (кН).
XA YA ZA XB ZB N
3,95 –5,2 –0,04 –2,95 0,54 –0,57
ЗАДАЧА К1-00
Дано: уравнения движения точки в плоскости ху: , ; 1 с.
Найти: уравнение траектории точки; скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны траектории в момент .
РЕШЕНИЕ:
1. Уравнение траектории. Для определения уравнения траектории точки исключим время из заданных уравнений движения.
Воспользуемся свойством тригонометрических функций . Тогда
, и . Это уравнение эллипса с большой полуосью равной 12 см. и малой – 6 см.
2. Скорость точки. Скорость найдем по ее проекциям на координатные оси: , где
, . При =1 с
(см/с), = 5,44(см/с),
= 5,66(см/с).
3. Ускорение точки. Находим аналогично: , , и при =1 с (см/с2),
(см/с2), (см/с2).
4. Касательное ускорение. Найдем, дифференцируя равенство . Получим
, откуда и при =1 с (см/с2).
5. Нормальное ускорение. (см/с2).
6. Радиус кривизны траектории. (см).
v a at an r
см/с см/с2 см
5,66 2,17 –1,18 1,82 17,6
Дано: Точка движется по дуге окружности радиуса м по закону ; 1 с.
Найти: скорость и ускорение точки в момент .
РЕШЕНИЕ:
Скорость точки , при =1 с
= –1,05(м/с).
Ускорение находим по касательной и нормальной составляющим:
(м/с2); (м/с2); = 1,10(м/с2).
ЗАДАЧА К2–00
Дано: r1= 2 см, R1= 4 см, r2= 6 см, R2= 8 см, r3= 12 см, R3= 16 см, , t1=2 c.
Найти: скорости , , ускорения , , .
РЕШЕНИЕ:
Скорости точек, лежащих на ободах колес радиуса , обозначим через , а точек, лежащих на ободах колес радиуса , через .
Угловые скорости всех колес.
. Т.к. , то .
Т.к. колеса 1 и 2 связаны ременной передачей, то или и . Колеса 1 и 3 находятся в зацеплении, следовательно, , то есть и отсюда .
Скорости , .
, .
При t1=2 c =13,5 (см/с), =9 (см/с).
Угловое ускорение . , следовательно = = –1(1/с2).
Ускорение . Для т.А , где , . Угловое ускорение = = = –6 (1/с2). Таким образом при t1=2 c
касательная составляющая (см/с2),
нормальная составляющая = = 81 (см/с2),
полное ускорение = = 84,5 (см/с2).
Ускорение . Т.к. груз 5 совершает поступательное движение, то . Тогда = –18 (см/с2).
vВ vС e2 aА a5
см/с 1/с2 см/с2
9 13,5 –1 84,5 –18
ЗАДАЧА К3-00
Дано: 0°, 60°, 30°, 0°, 120°, ?1=6 1/с, АД=ВД, 0,4 м, 1,2 м, 1,4 м, 0,6 м.
Найти: скорости , , , ускорения и
РЕШЕНИЕ:
Скорость т.А = =2,4 (м/с), ^. О1А в сторону вращения.
Определение . Зная направления и (перпендикулярно кривошипам О1А и О2В) найдем положение МЦС звена АВ (т.С2). Тогда
и отсюда . Определим С2А и С2В. Из построения МЦС следует, что DАВС2 – равносторонний (все углы равны 60о). Т.е. . Следовательно
=2,4 (м/с).
Определение . Найдем сначала скорость т.Д из соотношения (1): . Из рисунка следует, что . Отсюда = = 2,08 (м/с). Вектор скорости направлен в соответствии с угловой скоростью вращения звена АВ (здесь вдоль ВА). Точки Д и Е принадлежат одному звену ДЕ. Воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела на прямую, соединяющие эти точки (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки и быть равными), согласно которой
, т.е. =2,08 (м/с).
Определение . Для определения найдем положение МЦС звена ДЕ (т.С3). Тогда . DДЕС3 – равносторонний. Тогда и = =1,48 (1/с).
Определение и . Точка В принадлежит звену АВ. Чтобы найти найдем сначала ускорение т. А: . (равномерное вращение) и = =14,4 (м/с2).
Так как т.В движется по окружности, то и
Направления векторов: ^ВО2 (пока произвольно), – вдоль ВО2 от В к О2 (численно = =9,6 м/с2), – вдоль АО1 от А к О1, ^ВА (пока произвольно), – вдоль ВА от В к А (численно ). Из соотношения (1) = = 2 (1/с) и =4,8 (м/с2). Для определения и спроектируем обе части равенства на оси координат: ось х – вдоль ВА, у^ВА.
ось х:
ось у:
Из первого уравнения найдем :
= = 2,77 (м/с2).
Тогда ускорение т.В равно
= =10 (м/с2).
Из второго уравнения найдем :
= = 22,2 (м/с2).
Из равенства получим
= = 18,5 (1/с2).
ЗАДАЧА К4–00
Дано: Точка М движется относительно пластины. Уравнение относительного движения т. М: (см). Уравнение движения тела (рад). t=1 с; b=12 см.
Найти: Для заданного момента времени определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение т.М.
РЕШЕНИЕ:
Рассматриваем движение т.М как сложное, считая ее движение по прямолинейному желобу относительным, а вращение пластины – переносным. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам:
или в развернутом виде .
Положение т.М: При t=1с = 32 (см) – т.М находится в области положительных значений на отрезке АD. Расстояние от оси вращения О до т.М равно =57,7 (см). Тригонометрические функции угла АОМ (a) равны: , .
Относительное движение.
Относительная скорость . При =1с вектор = 50 (см/с) — направлен в сторону положительных значений .
Модуль относительной скорости =50 см/с.
Модуль относительного касательного ускорения , где (см/с2).
100 (см/с2).
вектор направлен в сторону отрицательных значений . Знаки и разные; следовательно, относительное движение т.М замедленное.
Относительное нормальное ускорение , так как траектория относительного движения – прямая линия ( ).
Переносное движение.
Модуль переносной скорости , где R=ОМ — радиус окружности L, описываемой той точкой тела, с которой совпадает в данный момент т.М
– модуль угловой скорости тела: .
При 1 с 4 1/с; 4 рад/с.
Модуль переносной скорости: (см/с). Вектор направлен по касательной к окружности L в сторону вращения тела.
Модуль переносного вращательного ускорения , где — модуль углового ускорения тела: (1/с2); то есть переносное вращательное движение –ускоренное, так как знаки и одинаковые. 8 1/с2 и
(см/с2).
Вектор направлен противоположно .
Модуль переносного центростремительного ускорения (см/с2).
Вектор направлен от т .М к т. О.
Кориолисово ускорение .
Модуль кориолисова ускорения , где . Так как 4 рад/с, а 50 см/с то (см/с2).
Вектор направлен в соответствии с правилом векторного произведения.
Абсолютная скорость.
Абсолютную скорость т.М найдем как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей. Векторы и расположены под углом aо (см. рисунок) друг к другу.
Модуль абсолютной скорости определим как и (см/с).
Абсолютное ускорение.
Все векторы лежат в плоскости чертежа. Модуль абсолютного ускорения находим методом проекций:
= = 1311,5 (см/с2),
= = 600,3 (см/с2),
=1442,4 (см/с2).
