Выдержка из текста работы
По необходимому и достаточному условию существования предела в точке, левосторонний и правосторонний пределы должны быть равны. Из неравенства пределов в номерах 3 и 4, следует, что предела в данной точке не существует.
Ответ: Предела не существует.
Найти первую, вторую и пятую производные функции:
Найдём первую производную:
Упростим ответ:
Найдём вторую производную:
Упростим ответ:
Найдём пятую производную:
Упростим ответ:
Ответ: = ; = ; =
Найти вторую производную от функции, заданной параметрически:
x = e^t/(1 + t)
y = (t — 1) e^t
Найдем первую производную по формуле:
Найдём вторую производную:
Ответ:
Провести исследования функций: найти точки экстремума, промежутки возрастания и убывания функций, точки перегиба, промежутки выпуклости вверх и вниз, ассимптоты, построить графики функций и асимптот.
Область определения: xR
Найдём точки пересечения с осью абсцисс:
Точки с координатами (3;0) и (0;0)
Найдём точки пересечения с осью ординат:
Точка с координатами (0;0)
Найдём первую производную:
Найдём корни первой производной:
и точки, в которых производная равна бесконечности и не существует
x= 2 и x =3 — точки подозрительные на экстремум.
Вычислим значения второй производной в этих точках и сравним их с нулём:
2 — точка локального минимума.
Найдём промежутки возрастания и убывания функции:
Промежуток возрастания.
Промежуток убывания.
Найдём вторую производную:
Найдём корни второй производной — точки, подозрительные на перегиб:
Такие точки отсутствуют.
Найдём промежутки знакопостоянства второй производной:
Промежутки выпуклости вверх.
Промежутки выпуклости вниз.
Найдём наклонные асимптоты, пользуясь формулой
Уравнение наклонной асимптоты.
Построим графики функции и асимптоты:
Область определения: xR
Найдём точки пересечения с осью абсцисс:
Точки с координатами (1;0) , (2;0) , (3;0) , (4;0) , (5.1 ; 0)
Найдём точки пересечения с осью ординат:
Точка с координатами (0;0)
Найдём первую производную:
Найдём корни первой производной:
x= 1.35624 ; 2.4577 ; 3.54871 ; 4.71735 — точки, подозрительные на экстремум.
Вычислим значения второй производной в этих точках и сравним их с нулём:
Точка локального минимума.
функция предел производная асимптота
Точка локального максимума.
Найдём промежутки знакопостоянства первой производной:
Промежутки возрастания функции.
Промежутки убывания функции.
Найдём вторую производную:
Найдём корни второй производной — точки, подозрительные на перегиб:
Исследуем полученные точки:
Точки перегиба отсутствуют.
Найдём промежутки знакопостоянства второй производной:
Промежутки выпуклости вниз.
Промежутки выпуклости вверх.
Найдём наклонные асимптоты, пользуясь формулой
Наклонные асимптоты отсутствуют.
Построим общий вид графика функции:
Сузим промежуток построения графика, для более наглядного рассмотрения точек экстремума:
Область определения: tR/{-1,1,0}
Найдём первую производную :
Найдём промежутки монотонности :
Найдём вертикальные асимптоты:
Найдём горизонтальные асимптоты:
Найдём наклонные асимптоты по формулам:
Уравнение наклонной асимптоты:
Исследуем поведение графика:
Построим график функции и асимптот:
Вычислить:
Ответ:
Вычислить:
Ответ:
Вычислить:
Система функций имеет устранимый разрыв в точке х=0, при равенстве и .Для устранения разрыва, ко второму уравнению добавляется константа . Таким образом система функций при и при становится первообразной на всей действительной оси при одинаковых константах C.
Ответ: при и при >0
Вычислить:
Ответ:
Вычислить:
Ответ:
Привести уравнение кривой к каноническому виду, построить кривую, найти площадь фигуры ограниченной кривой:
Перейдем к новым координатам x1=x-1:
Преобразуем его и получим уравнение эллипса:
Построим его:
Вычислим его площадь:
Ответ:
Привести уравнение кривой к каноническому виду, построить кривые, найти объём тела вращения, образованного при вращении относительно прямой y=1 фигуры, ограниченной линиями:
Перейдём к новым координатам x1= x+1 и y1 = y-1:
Упростим полученное уравнение и получим каноническое уравнение гиперболы:
Построим кривую и прямую:
Найдём пределы интегрирования, точки пересечения гиперболы с прямой y=6:
Найдём объём цилиндра с осью y=0 и образующей y=6:
Найдём объём, ограниченный однополостным гиперболоидом при вращении его вокруг оси ординат:
Найдём объём искомой фигуры: вычтем из объёма цилиндра объём гиперболоида:
Ответ:
18) Привести уравнения кривых к каноническому виду, построить кривые, найти площадь фигуры, ограниченной кривыми:
Перейдём к новым координатам x1= x+1 и y1 = y-1:
Построим кривые, по полученным уравнениям:
Найдём точки пересечения графиков:
Найдём площадь искомой фигуры:
Ответ:
Построить кривую и найти её длину: ) , ,
Построим кривую:
Вычислим её длину:
Ответ: 72
Построить кривую, и найти её длину: p=
Построим график:
Вычислим её длину:
Ответ: 8
Построить кривую, найти площадь фигуры, ограниченной ею:
Построим фигуру:
Найдём её площадь:
Ответ:
Построить кривую, найти площадь фигуры, ограниченной ею: ;
Построим её график:
Найдём её площадь:
Ответ:
Миноносец стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега. С миноносца нужно отправить гонца в лагерь, расположенный в 15 км, считая по берегу от ближайшей к миноносцу точки берега. Если гонец может делать пешком по 5 км/час, а на веслах по 4 км/час, то в каком пункте берега он должен пристать, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время?
Найдём уравнение для времени:
Найдём корни первой производной — точки, подозрительные на экстремум:
Убедимся, что 12 — максимум функции, и ответ к данной задаче:
Ответ: Гонец должен пристать на расстоянии 3 км от лагеря
Найти координаты центра масс дуги цепной линии y=a*ch (x/a),содержащейся между точками с абсциссами и
Найдём первую производную:
Воспользуемся формулами, для вычисления центра масс:
Ответ: (0; 1.197 a)
Пластинка в форме треугольника погружена вертикально в воду так, что на поверхности воды лежит вершина, а основание параллельно поверхности воды. Основание пластинки равно [а],а высота равна [h]. Найти силу давления на каждую из сторон пластинки.
Найдём силу давления на участок пластинки :
Найдём силу давления на всю пластинку:
Ответ:
Вычислить сумму ряда с заданной точностью , указать n — наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность суммы ряда.
Рассмотрим общий член ряда и найдём первый член ряда, который по модулю меньше погрешности:
Вычислим сумму первых 5 членов ряда и найдём её приближённое значение, с точностью до тысячной:
Ответ: -0.393
Размещено на
