Содержание
12.1. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой А = 5 см, если за время t = 1 мин совершается 150 колебаний и начальная фаза колебаний φ = π/4. Начертить график этого движения.
12.2. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой А = 0,1 м, периодом T = 4 с и начальной фазой φ = 0.
12.3. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой А = 50 мм, периодом Т = 4 с и начальной фазой φ = π/4. Найти смещение х колеблющейся точки от положения равновесия при t = 0 и t = 1,5 с. Начертить график этого движения.
12.4. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой A = 5 см и периодом T = 8 с, если начальная фаза φ колебаний равна: а) 0; б) π/2; в) π; г) Зπ/2; д) 2π. Начертить график этого движения во всех случаях.
12.5. Начертить на одном графике два гармонических колебания с одинаковыми амплитудами A1 = A2 = 2 см и одинаковыми периодами T1 = T2 = 8 с, но имеющими раз-ность фаз φ2 φ1 , равную: а) π/4; б) π/2; в) π; г) 2π.
12.6. Через какое время от начала движения точка, совершающая гармоническое колебание, сместится от положения равновесия на половину амплитуды? Период коле-баний T = 24 с, начальная фаза φ = 0.
12.7. Начальная фаза гармонического колебания φ = 0. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости?
12.8. Через какое время от начала движения точка, совершающая колебательное движение по уравнении x = 7*sin(π*t/2), проходит путь от положения равновесия до максимального смещения?
12.9. Амплитуда гармонического колебания A = 5 см, период T = 4 с. Найти максимальную скорость vmах колеблющейся точки и ее максимальное ускорение amах.
12.10. Уравнение движения точки дано в виде x = 2*sin(π*t/2 + π/4)см. Найти период колебаний Т, макси¬мальную скорость vmax и максимальное ускорение аmах точки.
Выдержка из текста работы
Колебания – процессы, повторяющиеся во времени. (Колебания могут быть самыми разными: от колебания атомов в молекуле до колебания воды в океане, но все они описываются одинаковыми уравнениями, а значит проявляют сходства.)
· Свободными (собственными) колебаниями называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок, либо она была выведена из положения равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити. Для того, чтобы вызвать колебания, надо либо толкнуть шарик, либо, отведя в сторону, отпустить его.
· Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы (например, колебания моста, возникающие при прохождении по нему людей, шагающих в ногу).
· Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако, моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой. То есть система сама управляет внешним воздействием. Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в моменты прохождения маятника через среднее положение.
· Параметрические колебанияосуществляются при периодическом изменении параметров колеблющейся системы (качающийся на качелях человек периодически поднимает и опускает свой центр тяжести, тем самым меняя параметры системы). При определенных условиях система становится неустойчивой — случайно возникшее отклонение из положения равновесия приводит к возникновению и нарастанию колебаний. Это явление называется параметрическим возбуждением колебаний (т.е. колебания возбуждаются за счет изменения параметров системы), а сами колебания – параметрическими.
Простое гармоническое движение — это движение простого гармонического осциллятора, периодическое движение, которое не является ни вынужденным, ни затухающим. Тело в простом гармоническом движении подвергается воздействию единственной переменной силы, которая по модулю прямо пропорциональна смещению x от положения равновесия и направлена в обратную сторону.
Наиболее важными являются такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Они называются гармоническими. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам. Во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер очень близких к гармоническим. Во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение, или суперпозиция,гармонических колебаний.
Гармоническое колебание — колебания, при которых физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид:
или,где х — смещение (отклонение) колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t; А — амплитуда колебаний, это величина, определяющая максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия; ω— циклическая частота, величина, показывающая число полных колебаний происходящих в течение 2π секунд ( )
— полная фаза колебаний, — начальная фаза колебаний.
Гармонический осциллятор – система, совершающая гармонические колебания.
Фаза – Всё, что стоит под знаком косинуса или синуса.
Вопрос №2
Гармонические колебания возникают тогда, когда на частицу действует сила, возвращающая их обратно, т. е. к положению равновесия.
F = -kx
При гармонических колебаниях сила выражается через закон Гука:
F – квази упругая;
X — силовая постоянная.
СИЛА ВСЕГДА НАПРАВЛЕНА В СТОРОНУ, ПРОТИВОПОЛОЖНУЮ СМЕЩЕНИЮ!
Если на тело действует сила, то оно движется ускоренно, значит, при колебаниях ускорение постоянно меняется, потому что постоянно меняется сила из-за того, что постоянно меняется смещение.
F = -kx
F = ma, значит
-kx = ma, ma+kx=0.
+Kx = 0 (Разделим всё на m и получим):
— Второй закон Ньютона в дифференциальной форме для гармонических колебаний.
F = -dU/dX – определение потенциального поля.
dU = — Fdx = -(-Kx)dx
dU = kxdx
При возвращающихся колебаниях сила меняется по линейному закону. Потенциальная энергия меняется по парабаллическому закону (cos, sin).
Вопрос №3
Вопрос №4
Математический маятник –идеализированная гипотетическая система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточена в точке.
Физический маятник – твёрдое тело, способное совершать колебания относительно неподвижной точки не совпадающей с центром масс тела.
Период колебаний — наименьший промежуток времени, за который осциллятор совершает одно полное колебание (то есть возвращается в то же состояние, в котором он находился в первоначальный момент, выбранный произвольно).
Для волновых процессов период связан кроме того очевидным образом с длиной волны
где — скорость распространения волны (точнее — фазовая скорость).
Период колебаний пружинного маятника (груза массой m, укрепленного на пружине жесткостью k)
Период колебаний математического маятника (материальной точки, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити) равен:
Амплитуда —(максимальное смещение от положения равновесия)максимальное значение смещения или изменения переменной величины от среднего значения при колебательном или волновом движении. Неотрицательная скалярная величина, размерность которой совпадает с размерностью определяемой физической величины.
Частота — физическая величина, характеристика периодического процесса, равная числу полных циклов процесса, совершённых за единицу времени.
— связь циклической частоты с частотой колебаний и периодом.
Циклическая частота в уравнениях колебаний:
— Циклическая частота колебаний математическогомаятника.
Циклическая частота колебаний пружинного маятника.
циклическая частота электромагнитных колебаний
Фаза колебаний — физическая величина, используемая по преимуществу для описания гармонических или близких к гармоническим[1][2] колебаний, меняющаяся со временем (чаще всего равномерно растущая со временем), при заданной амплитуде (для затухающих колебаний — при заданной начальной амплитуде и коэффициенте затухания) определяющая состояние колебательной системы в (любой) данный момент времени.[3] Равно применяется для описания волн, главным образом — монохроматических или близких к монохроматичности.
Фаза колебания (в электросвязи для периодического сигнала f(t) с периодом T) — это дробная часть t/T периода T, на которую t сдвинуто относительно произвольного начала координат. Началом координат обычно считается момент предыдущего перехода функции через нуль в направлении от отрицательных значений к положительным.
Вопрос №5
Вопрос №6
Энергия простого гармонического движения
Кинетическая энергияK системы в зависимости от времени t такова:
и потенциальная энергия есть
Полная механическая энергия системы, однако, имеет постоянное значение
Вопрос №9
Колебания, энергия которых уменьшается с течением времени за счет действия сил сопротивления, называются затухающими.
Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему, с частотой свободных колебаний называется резонансом.
Условие резонанса: w0 = wвын = wрез,
х — увеличивается.
Явление резонанса учитывается при периодически изменяющихся нагрузках в машинах и различного вида сооружениях. Используется в акустике, радиотехнике и т.д.
График этой функции показан на рис. 7.8. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки. Величину называют собственной циклической частотой колебаний диссипативной системы. Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, т.к, в них никогда не повторяются, например, максимальные значения смещения, скорости и ускорения. Величину обычно называют периодом затухающих колебаний, правильнее — условным периодом затухающих колебаний,
Натуральный логарифм отношения амплитуд смещений, следующих друг за другом через промежуток времени, равный периоду Т, называют логарифмическим декрементом затухания.
Обозначим через τ промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Тогда
откуда
Следовательно, коэффициент затухания есть физическая величина, обратная промежутку времени τ, в течение которого амплитуда убывает в е раз. Величина τ называется временем релаксации.
Пусть N — число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е раз, Тогда
Следовательно, логарифмический декремент затухания δ есть физическая величина, обратная числу колебаний N, по истечению которого амплитуда убывает в е раз
Вопрос 11
Продольные волны ─ распространяющееся с конечной скоростью в пространстве переменное взаимодействие материи, которое обычно характеризуется двумя функциями ─ векторной, направленной вдоль потока энергии волны, и скалярной функцией. В упругих волнах (звуковых волнах) векторная функция описывает колебания скорости движения элементов среды распространения волны. В зависимости от вида продольных волн и среды их распространения, скалярная функция описывает разного рода изменения в среде или в поле, например, плотность вещества.
ПОПЕРЕЧНАЯ ВОЛНА — волна, у которой характеризующая её векторная величина лежит в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны (для гармонических волн — волновому вектору ). К П. в. относят, напр., волны в струнах или упругих мембранах, когда смещения частиц в них происходят строго перпендикулярно направлению распространения волн, а также плоские однородные электромагнитные волны в изотропном диэлектрике или магнетике; в этом случае поперечные колебания совершают векторы электрических и магнитных полей.
Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание начнет распространяться в среде с некоторой скоростью v. Процесс распространения колебаний называется волной. Частицы среды, в которой распространяется волна, не переносятся волной, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебания частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Механические поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн. В продольных волнах вследствие совпадения направлений колебаний частиц и волны появляются сгущения и разрежения.
Распространение волн в упругой среде.
На рис.8.1 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1,2,3 и т.д. обозначены частицы, отстоящие друг от друга на расстоянии, равном , т.е. на расстоянии, проходимом волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами. В начальный момент времени (t = 0) все точки расположены на прямой и ни одна из них не выходит из положения равновесия. Приведем точку 1 в гармоническое колебание с периодом Т, направленное перпендикулярно линии 1-5. Гак как частицы среды связаны между собой силами упругости, они тоже приходят в колебания, но с некоторым запаздыванием. Через четверть периода точка 1 отклонится от линии равновесия на максимальное смещение. Колебание начали все точки, лежащие слева от точки 2. По истечении времени начнет подниматься вверх и точка 2. При , первая точка вернется в положение равновесия, вторая точка достигнет максимального отклонения, и колебания дойдут до точки 3. При точка 1 достигнет максимального отрицательного смещения, точка 2 вернется в положение равновесия и колебания достигнут точки 4. Наконец, за время, равное периоду t = Т, точка 1 вернется в положение равновесия, совершив полностью одно колебание. Колебания распространились до точки 5, все колеблющиеся точки образуют волну. При дальнейших колебаниях точек волновой процесс распространится вправо от точки 5. В рассмотренном случае образования поперечной волны каждая частица движется только вверх и вниз. У наблюдателя же создается впечатление, что «волна бежит», хотя в действительности происходит только передача движения от одной точки среды к другой.
В момент времени равный периоду (t = Т), точки 1 и 5, находящиеся в положении равновесия, имеют одинаковое смещение и одинаковое направление движения (вверх). Поэтому говорят, что точки I и 5 имеют одинаковые фазы. В отличие от этого точки 1 и 3, хотя смещения у них одинаковы, движутся в противоположные стороны, поэтому говорят, что точки 1 и 3 находятся в противоположных фазах. Расстояния между точками 1 и 5 определяет длину волны λ т.е. длиной волны λ называется, расстояние между ближайшими точками волны, колеблющимися в одинаковых фазах. Периодом волны Т называют время одного полного колебания ее точек. Величина, обратная периоду, называется частотой волны. Скорость волны определяется скоростью распространения колебаний от одной точки среды к другой: Так как то,
| (8.1) |
Скорость распространения волн тем меньше, чем инертнее среда, т.е. чем больше ее плотность. С другой стороны, она имеет большее значение в более упругой среде, чем в менее упругой. Скорость продольных волн определяется по формуле: , а поперечной:
где ρ- плотность среды, E— модуль Юнга, G — модуль сдвига. Так как для большинства твердых тел E>G то скорость продольных волн больше скорости поперечных.
Вопрос №12
Волны называются поперечными, если частицы среды колеблются перпендикулярно (поперек) лучу волны. Они существуют в основном за счет сил упругости, возникающих при деформации сдвига, а поэтому существуют только в твердых средах.
На поверхности воды возникают поперечные волны, так как колеблется граница сред.
В поперечных волнах различают горбы и впадины.
Длина поперечной волны — расстояние между двумя ближайшими горбами или впадинами.
2.Продольные волны:
Волны называются продольными, если частицы среды колеблются вдоль луча волны. Они возникают за счет деформации сжатия и напряжения, поэтому существуют во всех средах.
В продольных волнах различают зоны сгущения и зоны разряжения.
Длина продольной волны — расстояние между двумя ближайшими зонами сгущения или зонами разряжения.
1) Луч волны — направление распространения волны;
2) Волновой фронт (фронт волны) — геометрическое место множества точек, до которых дошло колебание к данному моменту времени;
3) Волновая поверхность – частный случай волновой поверхности: геометрическое место множества точек, колеблющихся в одинаковой фазе. Луч волны всегда перпендикулярен волновой поверхности;
4) Длина волны — путь, пройденный волной за период (или расстояние между точками, колеблющимися с разностью фаз два пи). Волновой процесс периодичен во времени и пространстве (периодичность процесса во времени характеризуется периодом; периодичность процесса в пространстве характеризуется длиной волны).
Если же газ, жидкость или твердое тело заполняет некоторую область пространства (сплошная среда), то возникшие в одном месте колебания распространяются по всем направлениям. При этом общая картина распространения волн остается прежней, но имеются и некоторые особенности.
Общие принципы, описывающие поведение волн, впервые были выдвинуты современником Ньютона, голландским ученым Христианом Гюйгенсом:
1) каждая точка среды, до которой дошло колебание становится источником вторичных волн;
2) волновой фронт в новый момент времени является огибающей вторичных волн.
Френель уточнил второе положение: волновой фронт в новый момент времени — результат интерференции вторичных волн.
Вопрос №13
Длина волны – расстояние, которое проходит волна распространяясь в данном периоде со скоростью v за период.
Длина волны – кратчайшее расстояние между двумя точке, колеблющимися в одинаковой фазе.
Вопрос №15
Для плоской волны волновое уравнение имеет вид:
(d2ξ/dx2)=(1/υ2)·(d2ξ/dt2)
Решение этого уравнения является уравнением бегущей плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси в среде, не поглощающей энергию:
ξ(x,t)=A·cos[ω(t-x/υ)+φ0] или ξ(x,t)=A·cos[ωt-kx+φ0],
где A — амплитуда волны, ω — циклическая частота, [ω(t-x/υ)+φ0] — фаза волны, φ0 — начальная фаза, k=2π/λ=2π/υT=ω/υ — волновое число, υ — фазовая скорость.
Вопрос №16
Стоячие волны:
Волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.
Уравнение стоячей волны
Складываем волны
иS=(учли, что k = 2π/λ)—уравнение стоячей волны.
Образование стоячих волн наблюдают при:
интерференции бегущей и отраженной волн. Например, если конец веревки закрепить неподвижно, то отраженная в месте закрепления веревки волна будет интерферировать с бегущей волной и образует стоячую волну. На границе, где происходит отражение волны, в данном случае получается узел. Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения получается пучность, если более плотная — узел. Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний противоположных направлений, в результате чего получается узел. Если волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит и у границы колебания складываются с одинаковыми фазами — получается пучность
Вопрос №17
Пучность– точки, в которых амплитуда = 2(координата максимум).
Узлы стоячей волны – точки, в которых амплитуда =0.
Длина стоячей волны – расстояние между соседними узлами или соседними пучностями.
