Выдержка из текста работы
Определить спектр АМ колебания u(t) =Um(t)cos(w0t+y0), огибающая амплитуды которого связана линейной зависимостью с сигналом сообщения Uc(t), т.е. Um(t).=U0+ Uc(t)
(коэффициент пропорциональности принят равным единице).
Сигнал сообщения Uc(t) представляет собой сумму первых пяти гармоник периодического колебания uW(t) (см. раздел 3). Найденный аналитически спектр сигнала сообщения и АМ колебания должен быть представлен в форме амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристик. Необходимо кроме того определить парциальные коэффициенты глубины модуляции mn. Несущая частота определяется как w0=20W5, где W5 – частота пятой гармоники в спектре колебания uW(t). Значение амплитуды U0 несущей частоты w0 принимается равным целой части удвоенной суммы , где Un – амплитудное значение гармоники спектра колебания uW(t).
2. Шифр задания и исходные данные
Шифр задания: 17 – 3
Исходные данные приведены в таблице 1.
Таблица 1.
|
U1, В |
U2, В |
T, мкс |
t1, мкс |
|
3 |
3 |
250 |
60 |
Временная диаграмма исходного колебания
3. Аналитическая запись колебания UW(t)
Сначала выполним спектральный анализ заданного колебания uΩ(t). Для этого, пользуясь графической формой колебания и заданными параметрами, запишем его аналитически. Весь период Т колебания разбиваем на три интервала: [0;t1], [t1;t2] и [t2; T] (точка является серединой интервала [t1; T]). Первый интервал представлен синусоидой, второй и третий – линейными функциями. В общем виде аналитическая запись сигнала будет выглядеть так:
при ,
uΩ(t)= при , (1)
при .
Частота синусоиды (в знаменателе записан период этой синусоиды).
Значения k1 и b1 определяем из системы уравнений
;
,
получаемой путем подстановки во второе уравнение системы (1) значений времени t1 и и соответствующих им значений колебания uΩ(t) (uΩ(t1)=0, uΩ(t)=-U2). Решение указанной системы уравнений дает , . Аналогично определяем k2 и b2. В третье уравнение системы (1) подставляем значения t2 и T и соответствующие им значения колебания uΩ(t) (uΩ(t2)=-U2, uΩ(T)=0).
;
.
Решив систему, получаем ,
В результате изложенного система уравнений (1) принимает вид
при ,
uΩ(t)= при , (2)
при .
Для дальнейших расчетов определим:
мкс;
рад/с
рад/с
Для разложения сигнала в ряд Фурье вычислим значения аn, bn, Аn и φn первых пяти гармоник.
4. Определение коэффициентов an
Посчитаем каждый из интегралов отдельно:
первый интеграл интегрируем по частям:
, ,
, .
аналогично интегрируем:
Запишем выражение для аn, как функции порядкового номера n гармоник колебания UW(t):
Подставляя ранее вычисленные значения k1 b1, k2, b2, заданное значение U1 и значения n=1,2,…, находим численные значения пяти коэффициентов an:
Заносим полученные результаты в таблицу 2.
5. Определение коэффициентов bn
Расчет каждого из интегралов произведём отдельно:
, ,
, .
Запишем выражение для bn, как функции порядкового номера n гармоник колебания UW(t):
Подставляя ранее вычисленные значения k1 b1, k2, b2, заданное значение U1 и значения n=1,2,…, находим численные значения пяти коэффициентов bn:
Занесём полученные данные в таблицу 2.
6. Определение постоянной составляющей А0
В.
7. Определение амплитуд An и начальных фаз Yn
Значения An и Ψn вычисляем с помощью полученных ранее коэффициентов an и bn.
рад,
рад,
рад,
рад.
Полученные результаты заносим в таблицу 2.
Таблица 2
|
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
an |
1.641 |
0.033 |
-0.368 |
-0.237 |
-0.128 |
|
bn |
1.546 |
0.548 |
0.442 |
0.028 |
-0.093 |
|
An |
2.254 |
0.549 |
0.575 |
0.239 |
0.159 |
|
Ψn |
0.756 |
1.511 |
2.264 |
3.023 |
-2.512 |
8. Временная диаграмма колебания, представляющего собой сумму найденной постоянной составляющей и первых пяти гармоник
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t) – заданное колебание,
S(t)=S1(t)+ S2(t)+ S3(t)+ S4(t)+ S5(t)+A0,
S1(t) – первая гармоника,
S2(t) – вторая гармоника,
S3(t) – третья гармоника,
S4(t) – четвертая гармоника,
S5(t) – пятая гармоника,
A0 – постоянная составляющая.
9. Построение графиков АЧХ и ФЧХ ограниченного спектра колебания uW(t)
Пользуясь данными таблицы 2, строим АЧХ и ФЧХ сигнала сообщения uc(t), представляющего собой, в соответствии с заданием, сумму первых пяти гармоник колебания uW(t).
АЧХ колебания uW(t)
ФЧХ колебания uW(t)
|
|
10. Аналитическая запись АМ колебания
В качестве модулирующего колебания (сигнала сообщения) используем только первые пять гармоник спектра колебания uW(t) (постоянную составляющую А0 отбрасываем). В соответствии с этим искомое амплитудно-модулированное колебание запишем как
рад/с – несущая частота.
Значение амплитуды U0 несущей частоты w0 принимается равным целой части удвоенной суммы , где Un – амплитудное значение гармоники спектра колебания UW(t).
– начальная фаза несущего колебания.
– парциальные коэффициенты глубины модуляции.
Вычислим значения парциальных коэффициентов:
Полученные результаты заносим в таблицу 3.
Представим АМ колебание в форме суммы элементарных гармоник
Вычислим значения :
Полученные результаты заносим в таблицу 3.
Таблица 3.
|
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
mn |
0.3221 |
0.0784 |
0.0822 |
0.0341 |
0.0227 |
|
Bn, В |
1.127 |
0.274 |
0.288 |
0.119 |
0.079 |
11. Построение графиков АЧХ и ФЧХ АМ колебания
Воспользовавшись численными значениями U0, ω0, Bn, Ω, Ψ0, Ψn, построим графики АЧХ и ФЧХ амплитудно-модулированного колебания.
АЧХ АМ колебания
ФЧХ АМ колебания
12. Определение ширины спектра АМ колебания
Ширина спектра АМ колебания равна удвоенному значению наивысшей частоты в спектре модулирующего низкочастотного сигнала.
рад/с.
