Выдержка из текста работы
Никулина Е.Г. Методические указания и контрольные задания по высшей математике для студентов-заочников экономических специальностей АГАУ / Е.Г. Никулина, Т.А. Сыркина, О.В. Цымбалист. Барнаул: Изд-во АГАУ, 2010. 87 с.
Методическое издание содержит указания к выполнению каждой из трех контрольных работ, а также решения некоторых задач, тщательный разбор которых поможет студенту-заочнику выполнить соответствующую контрольную работу.
Предназначено для студентов 1-2 курсов заочного отделения экономических специальностей.
Рекомендовано к печати учебно-методической комиссией ИТАИ Алтайского государственного аграрного университета (протокол № 4 от 26.03.10).
© Составители: Никулина Е.Г., Сыркина Т.А., Цымбалист О.В., 2010
© ФГОУ ВПО АГАУ, 2010
Содержание
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ.. 4
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1 8
Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости. 8
Тема 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве. 11
Тема 3. Элементы линейной алгебры.. 13
Тема 4. Введение в анализ. 17
Тема 5. Производная и дифференциал функции. 20
Тема 6. Приложения производной. 22
Тема 7. Функции нескольких переменных. 27
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2 31
Тема 8. Неопределенный интеграл. 31
Тема 9. Определенный интеграл. 38
Тема 10. Дифференциальные уравнения. 41
Тема 11. Ряды. 45
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №3. 49
Тема 12. Повторные независимые испытания. 49
Тема 13. Случайные величины и их характеристики. 53
Тема 14. Элементы линейного программирования. 58
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ.. 61
Контрольная работа №1. 61
Контрольная работаа №2. 71
Контрольная работа №3. 77
ПРИЛОЖЕНИЯ.. 84
Литература. 87
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Порядок выполнения контрольных работ.
На первом курсе обучения студенты-заочники общего потока выполняют работы 1 и 2; на втором – 3. Для студентов-заочников, обучающихся по ускоренной программе, предусмотрены две контрольные работы на первом курсе.
К выполнению контрольной работы следует приступать только после изучения соответствующего материала курса по лекциям и учебнику с достаточным количеством задач в каждой теме. Следует внимательно разобрать решения тех задач, которые приводятся в данном пособии к каждой теме.
При выполнении контрольной работы следует руководствоваться следующими указаниями:
1.Каждую работу следует выполнять в отдельной тетради, на внешней обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студента, полный шифр, номер контрольной работы, курс и специальность, дата ее отправки в институт.
2. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Следует делать соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием формул, теорем, выводов, которые используются при решении данной задачи. Все вычисления необходимо делать полностью. Чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно и четко с указанием единиц масштаба, координатных осей и других элементов чертежа.
Для замечаний преподавателя необходимо на каждой странице оставлять поля шириной 3-4 см.
3.После получения работы (как зачтенной, так и не зачтенной) студент должен исправить в ней все отмеченные рецензентом недостатки. В случае незачета студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу.
4. В период экзаменационной сессии студент обязан представить все прорецензированные и зачтенные контрольные работы. При необходимости студент должен давать на экзамене устные пояснения ко всем или некоторым задачам, содержащимся в этих работах.
5. Студент выполняет тот вариант контрольных работ, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра (номер зачетной книжки). При этом если предпоследняя цифра учебного шифра есть число нечетное (1, 3, 5, 7, 9), то номера задач соответствующего варианта даны в таблице 1 для студентов общего потока. Для студентов, обучающихся по сокращенной программе, номера задач для соответствующего варианта даны в таблице 3. Если же предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное или ноль (2, 4, 6, 8, 0), то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице 2 для студентов общего потока, а для студентов, обучающихся по сокращенной программе, номера задач для соответствующего варианта даны в таблице 4.
6. Если в процессе изучения материала или при решении той или иной задачи у студента возникают вопросы, на которые он не может ответить сам, то ему следует обратиться к ведущему преподавателю для получения консультации.
Таблица вариантов для контрольных работ (общий курс)
Таблица 1.
| Номер варианта | Номера контрольных задач | |||||||||||||||||||||
| Контрольная работа №1 | Контрольная работа №2 | Контрольная работа №3 | ||||||||||||||||||||
Таблица 2.
| Номер варианта | Номера контрольных задач | |||||||||||||||||||||
| Контрольная работа №1 | Контрольная работа №2 | Контрольная работа №3 | ||||||||||||||||||||
Таблица вариантов для контрольных работ (ускоренный курс)
Таблица 3.
| Номер варианта | Номера задач | |||||||||||||||
| Контрольная работа №1 | Контрольная работа №2 | |||||||||||||||
Таблица 4.
| Номер варианта | Номера задач | |||||||||||||||
| Контрольная работа №1 | Контрольная работа №2 | |||||||||||||||
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1
Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости
[1], с. 115 – 117, пример 4.12.
[5], с. 15 §2, с. 18 – 23 №78 – 98, §3 с.25 – 26 №128.
[7], с. 22 пример 1, с. 24 пример 1, с. 34 – 35 пример 1, с. 36 – 37 пример 1,
с. 39 – 40 пример 1, 2.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Даны вершины треугольника АВС: А(–4; 8), В(5; –4), С(10;6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС, и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
Решение. 1. Расстояние между точками и определяется по формуле:
Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:
2. Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид:
Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой (АВ):
, записанное в общем виде. Для нахождения углового коэффициента прямой (АВ), разрешим полученное уравнение относительно : Тогда угловой коэффициент Аналогично, подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой (АС).
Для нахождения углового коэффициента прямой (АС), разрешим полученное уравнение относительно : Тогда
3. Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны определяются по формуле:
Угол А, образованный прямыми (АВ) и (АС), найдем по формуле (3), подставив в нее
4. Так как высота (CD) перпендикулярна стороне (АВ), то угловые коэффициенты этих прямых обратные по величине и противоположные по знаку, т.е.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом , имеет вид:
Подставим в (4) координаты точки С и получим уравнение высоты (CD):
Для нахождения длины высоты (CD) воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой ( ):
Определим расстояние от точки С(10;6) до прямой (АВ):
5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке имеет вид:
Так как высота (CD) является диаметром искомой окружности, то ее центр есть середина отрезка CD. Предварительно определим координаты точки D, как точки пересечения прямых (АВ) и (CD). Решим систему уравнений: ; откуда
Далее, используя формулы деления отрезка пополам, получим:
Следовательно, и Используя формулу (6), получим уравнение искомой окружности:
6. Множество точек треугольника АВС есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой (АВ) и содержит точку С; вторая – ограничена прямой (ВС) и содержит точку А, третья полуплоскость ограничена прямой (АС) и содержит точку В.
Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой (АВ) координаты точки С:
Поэтому искомое неравенство примет вид:
Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой (ВС) и содержащую точку А, прежде всего составим уравнение прямой (ВС), подставив в формулу (2) координаты точек В и С:
Подставив в полученное уравнение прямой (ВС) координаты точки А, имеем: Тогда искомое неравенство будет иметь вид:
Аналогично составим неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и содержащую точку В:
Третье искомое неравенство
Итак, множество точек треугольника АВС определяется системой неравенств:
На рис.1 в прямоугольной системе координат xOy изображен треугольник АВС, высота СD, окружность с центром в точке Е.
| 4 |
| В |
| 4 |
| А |
| С |
| Е |
| D |
| x |
| y |
Рис. 1.
Вопросы для самопроверки.
1. Дайте определение прямоугольной декартовой системы координат.
2. Напишите формулу для нахождения расстояния между двумя точками.
3. Напишите формулы для определения координат точки, делящей отрезок в заданном отношении; координаты середины отрезка.
4. Напишите уравнения прямой: а) с угловым коэффициентом; б) проходящей через данную точку в данном направлении; в) проходящей через две данные точки; г) в «отрезках» на осях.
5. Как определить координаты точки пересечения двух прямых?
6. Напишите формулу для определения угла между двумя прямыми.
7. Напишите условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
8. Напишите формулу расстояния от точки до прямой.
9. Сформулируйте определение окружности.
10. Напишите уравнение окружности с центром в любой точке плоскости ; с центром в начале координат.
Тема 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве.
[1] глава 3, §3.1, c. 63 – 67, с. 67 – 68 пример 3.1.
[5] глава 2, §2, с. 45 – 47, с. 47 – 48 №243 – 245, с. 50 №259, с.55 №288.
[7] с. 22 §1.5 пример 1, с. 64 пример 1.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 2.Даны координаты точек: А(3;0; –5), В(6;2;1), С(12; –12;3).
Требуется: 1) записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов; 2) вычислить угол между векторами ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору .
Решение. 1. Если даны точки и , то вектор через орты выражается следующим образом:
Подставляя в эту формулу координаты точек А и В, имеем:
Аналогично определяем координаты вектора
Модуль вектора вычисляется по формуле:
Подставим в формулу (2) координаты векторов получим модули этих векторов:
2. Косинус угла , образованного векторами , равен их скалярному произведению, деленному на произведение модулей этих векторов, т.е.
Скалярное произведение векторов вычислим по формуле: В результате будем иметь . Исходя из формулы (3), имеем:
2.;
Теорема. Если и дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна
надо продифференцировать по переменной обе части уравнения, считая при этом функцией от , а затем полученное уравнение разрешить относительно
Из последнего равенства выражаем производную
определим критические точки.
при имеем
Следовательно, при функция имеет минимум. Вычислим значение функции в точке минимума: Итак, точка А есть точка минимума.
, следовательно, функция убывает; на интервале имеем и приравняем ее к нулю. После чего решим полученное уравнение: при и как Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте определение первообразной функции. 2. Что называется неопределенным интегралом от данной функции? 3. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла. 4. Напишите формулы таблицы основных интегралов. 5. В чем сущность метода интегрирования заменой переменной? 6. Напишите формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Тема 9. Определенный интеграл. [1] c. 296 пример 11.2 (а, б), с. 299 пример 11.4, с. 300 пример 11.5, с. 301 – 302 пример 11.6, с. 304 пример 11.7, с. 305 – 307 примеры 11.8, 11.9, с. 308 пример 11.10, с. 311 пример 11.12, с. 315 – 318 примеры 11.14 – 11.17. [5] c. 252 – 253 № 1592 – 1595, с. 254 – 255 № 1610 – 1612. [11], с. 374 примеры 1 – 6, с. 375 пример 1, с. 379 – 380 примеры 1 – 3, с. 401 – 402 примеры 1, 2, с. 403 примеры 3, 4, с. 407 пример 2. При вычислении определенных интегралов применяют формулу Ньютона-Лейбница: Покажем работу данной формулы на конкретных примерах. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 16.Вычислить интегралы: Решение. Задача 17.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: Решение. Площадь фигуры, ограниченная непрерывными линиями , , при условии , определяется по формуле: Для нахождения точек пересечения данных линий решаем систему уравнений Итак, получили точки пересечения прямой и параболы: ( ;0) и (1; 5). Построим фигуру, ограниченную указанными линиями. Тогда
Рис. 6. Вопросы для самопроверки
1. Назовите задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. 2. Напишите интегральную сумму для функции на отрезке 3. Что называется определенным интегралом от функции на отрезке 4. Каков геометрический смысл определенного интеграла? 5. Перечислите основные свойства определенного интеграла. 6. Чему равна производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования? 7. Напишите формулу Ньютона –Лейбница. 8. Напишите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле. 9. Как вычистить объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси 10. Дайте определение несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования. 11. Сформулируйте понятие несобственного интеграла от разрывной функции.
|
[5] глава 2, §2, с. 45 – 47, с. 47 – 48 №243 – 245, с. 50 №259, с.55 №288. [7] с. 22 §1.5 пример 1, с. 64 пример 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Тема 10. Дифференциальные уравнения.
[1] с. 335 – 336 примеры 12.9 – 12.10, с. 338 пример 12.12,
с. 339 пример 12.13, с. 340 – 341 примеры 12.14 – 12.15, с. 344
пример 12.17 (а – в), с. 347 – 349 примеры 12.19 – 12.21, с. 350 – 354
примеры 12.23 – 12.24, задачи 1,2.
[6] c. 118 – 119 №507 – 510, с. 123 – 124 №545 – 547, с. 132 – 135
№596 – 602, с. 141 №649, с. 142 – 143 №656, с. 144 – 145 №666 – 667.
[12], с. 22 – 23, примеры 2 – 4, с. 25 пример 4, с. 30 – 31, пример 1,
с. 55 – 61 примеры 1 – 4, с. 70 § 21, с. 71 – 74 примеры 1 – 4.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 18.Решить уравнение Для его решения (как и для линейного уравнения) искомую функцию представляем в виде произведения двух других функций: то есть введем подстановку: . При подобном выборе функции уравнение (1) сведется к решению системы:
Последовательно решаем уравнения (2) затем (3).
Решим уравнение (2):
Тогда
Итак,
Задача 19.Найти частное решение уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
Подставим и в исходное уравнение:
илиоткуда получаем Следовательно,
или Тогда общее решение исходного дифференциального уравнения примет вид:
Для того чтобы записать частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, необходимо найти и . Предварительно вычислим
Используя начальные условия, получим систему:
.
Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:
2) Если непрерывная случайная величина X задана функцией f(x), то ее математическое ожидание определяется формулой
.Т.к. функция f(x) при и при равна нулю, то из последней формулы получаем
.
3) Дисперсию D(X) определим по формуле
.
Тогда
.
Задача 28. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40мм. и средним квадратическим отклонением 3 мм. Определить: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет больше 34 мм. и меньше 43 мм.; 2) вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем на 1,5 мм.
Решение.
1) Пусть X – длина детали. Если случайная величина X задана дифференциальной функцией f(x), то вероятность того, что X примет значения, принадлежащие отрезку , определяется по формуле
.Вероятность выполнения строгих неравенств определяется той же формулой. Если случайная величина X распределена по нормальному закону, то
,где Ф(x) –функция Лапласа, а = M(X), .
В задаче а = 40, . Тогда
.
2) По условию задачи , где а = 40, . Подставляя эти значения в формулу попадания случайной величины в интервал для нормально распределенной случайной величины, получаем
, т.е..Из этой формулы следует:
.
Вопросы для самопроверки.
1. Какие случайные величины называются дискретными? Непрерывными? Приведите примеры.
2. Что называется законом распределения случайной величины? Как задается закон распределения дискретной случайной величины?
3. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины? Ее дисперсией? Средним квадратическим отклонением? Перечислите их свойства.
4. Дайте определение интегральной функции распределения; дифференциальной функции распределения. Перечислите свойства этих функций.
5. Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины?
6. Запищите дифференциальную функцию для нормального закона распределения.
7. Запишите формулу для определения вероятности попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.
8. Сформулируйте правило «трех сигм».
9. Назовите сущность закона больших чисел.
10. Запишите неравенство Чебышева.
11. Сформулируйте теорему Чебышева; теорему Бернулли.
Тема 14. Элементы линейного программирования.
[7] c. 71 – 75 задачи 1- 3.
[10] с. 540 §3, c. 542 пример 1.
[13] c. 419 §29, с. 421 – 424 №29.1 – 29.4.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 29. Предприятие имеет возможность приобрести не более 20 трехтонных и не более 18 пятитонных автомашин. Отпускная цена трехтонного грузовика 4 млн. руб., пятитонного – 5 млн. руб. Сколько нужно приобрести автомашин каждой марки, чтобы их суммарная грузоподъемность была максимальной, если для приобретения автомашин выделено 150 млн. рублей? Задачу решить графическим и аналитическим методами.
Решение.
Пусть приобретено трехтонных и пятитонных автомашин. По условию задачи имеем систему ограничений:
Суммарная грузоподъемность приобретенных грузовиков равна
.
Задача состоит в определении такого решения системы ограничений, при котором линейная форма L (целевая функция) принимает наибольшее значение.
Графический метод решения.
В прямоугольной системе координат построим многоугольник OABCD, образованный прямыми = 0 (OD), = 20 (AB), = 0 (AO), = 18 (CD), 4 +5 =150 (BC) и прямую 3 +5 =0 (l) (рис.7).
| O |
| l |
| D |
| C |
| B |
| X2 |
| A |
| X1 |
Рис.7.Системе ограничений удовлетворяют координаты точек, лежащих на пятиугольнике OABCD и внутри него. Т.к. прямые (l) и (ВС) не параллельны, то для определения оптимального решения системы ограничений, для которой линейная форма L принимает наибольшее значение, достаточно определить значения этой формы в точках A, B, C, D и из полученных чисел выбрать наибольшее. Эти точки в нашей задаче имеют следующие координаты: A(20, 0), B(20, 14), C(15, 18), D(0, 18). Подставляя координаты этих точек, определяем значения целевой функции:
L(A)=L(20; 0)=60; L(B)=L(20; 14)=130; L(C)=L(15; 18)=135; L(D)=L(0; 18)=90.
Следовательно, Lmax=L(15; 18)=135, т.е. предприятию следует приобрести 15 трехтонных и 18 пятитонных автомашин.
Аналитический метод решения.
В систему ограничений введем дополнительные неизвестные , чтобы она приняла следующий вид:
Эта система имеет 3 уравнения и 4 неизвестных. Примем, например, x1, x2, x3 за базисные неизвестные, а x4 за базисное неизвестное и выразим из системы ограничений неизвестные , x1, x2, x3 через. x4. Тогда
и
.Из последнего выражения следует, что L принимает наибольшее значение при x4. = 0 (т.к. ). При x4. = 0 имеем: x1 = 15, x2 = 18 и L(15; 18)=135.
Следовательно, предприятие должно приобрести 15 трехтонных и 18 пятитонных автомашин при их общей грузоподъемности 135 тонн.
Вопросы для самопроверки.
1. Сформулируйте основную задачу линейного программирования. Приведите примеры.
2. Дайте геометрическую интерпретацию основной задачи линейного программирования.
3. В чем суть симплекс-метода решения задач линейного программирования?
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Контрольная работа №1
В задачах 1 – 20 даны вершины треугольника ABC.
Определить: 1) длину стороны AB; 2) уравнения сторон AB и AС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол A в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC.
1.A(-8;- 3), B(4; -12), C(8; 10).
2.A(-5; 7), B(7; -2), C(11; 20).
3.A(-12; -1), B(0; -10), C(4; 12).
4.A(-10; 9), B(2; 0), C(6; 22).
5.A(0; 2), B(12; -7), C(16; 15).
6.A(-9; 6), B(3; -3), C(7; 19).
7.A(1; 0), B(13; -9), C(17; 13).
8.A(-4; 10), B(8; 1), C(12; 23).
9.A(2; 5), B(14; -4), C(18; 18).
10.A(-1; 4), B(11; -5), C(15; 17).
11.A(-6; 8), B(6; -1), C(4; 13).
12.A(-2; 7), B(10; -2), C(8; 12).
13.A(3; 6), B(15; -3), C(13; 11).
14.A(-10; 5), B(2; -4), C(0; 10).
15.A(-4; 12), B(8; 3), C(6; 17).
16.A(-3; 10), B(9; 1), C(7; 15).
17.A(4; 1), B(16; -8), C(14; 6).
18.A(-7; 4), B(5; -5), C(3; 9).
19.A(0; 3), B(12; -6), C(10; 8).
20.A(-5; 9), B(7; 0), C(5; 14).
В задачах 21 –40 даны координаты точек A, B, C. Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и определить модули этих векторов; 2) определить угол между векторами и ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору .
21.A(7; -4; 1), B(12; -3; 1), C(10; 1; 5).
22.A(0; -3; 3), B(5; -2; 3), C(3; 2; 7).
23.A(-2; -1; -2), B(3; 0; -2), C(1; 4; 2).
24.A(-6; 0; 0), B(-1; 1; 0), C(-3; 5; 4).
25.A(-2; -3; -8), B(3; -2; -8), C(1; 2; -4).
26.A(1; 0; -1), B(6; 1; -1), C(4; 5; 3).
27.A(-1; 4; 1), B(4; 5; 1), C(2; 9; 5).
28.A(3; -6; -3), B(8; -5; -3), C(6; -1; 1).
29.A(1; 0; 0), B(6; 1; 0), C(4; 5; 4).
30.A(2; -8; -2), B(7; -7; -2), C(5; -3; 2).
31.А(-1; 3; 3), В(2; 2; 1), С(0; 3; -2).
32.А(2; 3; -1), В(0; 4; 5), С(-2; -2; 4).
33.А(2; 1; 0), В(3; 0; 3), С(2; -3; 7).
34.А(-3; 1; 3), В(1; 7; 2), С(7; 3; 3).
35.А(0; 2; 1), В(4; 0; 1), С(3; -4; 2).
36.А(0; -2; 1), В(-2; 0; 2), С(0; 1; 0).
37.А(-1; 2; 1), В(-4; -3; 1), С(5; 4; 2).
38.А(2; 3; -1), В(-3; 4; 1), С(-2; 2; -4).
39.А(3; -4; 6), В(1; -2; 6), С(-3; 5; 1).
40.А(4; -3; 2), В(-1; 4; 3), С(6; 3; -2).
В задачах 41 – 60 даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.
41. .
42. .
43. .
44. .
45. .
46. .
47. .
48. .
49. .
50. .
51. .
52. .
53. .
54. .
55. .
56. .
57. .
58. .
59. .
60. .
В задачах 61 – 80 систему уравнений: а) записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы; б) решить методом Гаусса; в) решить методом Крамера.
61.62.
63.64.
65. 66.
67.68.
69. 70.
71. 72.
73. 74.
75. 76.
77. 78.
79.80.
В задачах 81 – 100 вычислить указанные пределы.
81. а) ; б) ;
в) ; г) .
82. а) ; б) ;
в) ; г) .
83. а) ; б) ;
в) ; г) .
84. а) ; б) ;
в) ; г) .
85. а) ; б) ;
в) ; г) .
86. а) ; б) ;
в) ; г) .
87. а) ; б) ;
в) ; г) .
88. а) ; б) ;
в) ; г) .
89. а) ; б) ;
в) ; г) .
90. а) ; б) ;
в) ; г) .
91. а) ; б) ;
в) ; г) .
92. а) ; б) ;
в) ; г) .
93. а) ; б)
в) ; г) .
94. а) ; б) ;
в) ; г) .
95. а) ; б) ;
в) ; г) .
96. а) ; б) ;
в) ; г) .
97. а) ; б) ;
в) ; г) .
98. а) ; б) ;
в) ; г) .
99. а) ; б) ;
в) ; г) .
100. а) ; б) ;
в) ; г) .
В задачах 101 – 120 определить производные функций.
101. а) ; б) ;
в) .102. а) ; б) ;
в) .
103. а) ; б) ;
в) .
104. а) ; б) ;
в) .
105. а) ; б) ;
в) .
106. а) ; б) ;
в) .
107. а) ; б) ;
в) .
108. а) ; б) ;
в) .
109. а) ; б) ;
в) .
110. а) ; б) ;
в) .
111. а) ; б) ;
в) .
112. а) ; б) ;
в) .
113. а) ; б) ;
в) .
114. а) ; б) ;
в) .
115. а) ; б) ;
в) .
116. а) ; б) ;
в) .
117. а) ; б) ;
в) .
118. а) ; б) ;
в) .
119. а) ; б) ;
в) .
120. а) ; б) ;
в) .
В задачах 121–140 исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики. Исследование функции рекомендуется проводить по следующей схеме: 1) установить область определения функции; 2) исследовать функцию на непрерывность; 3) определить, является ли данная функция четной, нечетной; 4) определить интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума; 5) определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба; 6) определить асимптоты графика функции.
121. . 122. . 123. .
124. 125. 126.
127. . 128. . 129. .
130. . 131. . 132. .
133. . 134. . 135. .
136. . 137. . 138. .
139. . 140. .
141. Каковы радиус основания R и высота H открытого цилиндрического бака данного объема V, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество листового металла?
142. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом. Периметр сечения 18м. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей?
143. Определить длину сторон прямоугольника наибольшей площади, который можно вписать в эллипс .
144. Определить наибольший объем цилиндра, полная поверхность которого равна S.
145. Определить наибольший объем конуса, образующая которого равна 3м.
146. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.
147. Сумма двух положительных чисел равна a. Каковы эти числа, если сумма их кубов будет наименьшей?
148. Два коридора шириной 2,4 м. и 1,6 м. пересекаются под прямым углом. Определить наибольшую длину лестницы, которую можно перенести горизонтально из одного коридора в другой.
149. На параболе указать точку, наименее удаленную от прямой .
150. Из всех прямоугольников, вписанных в круг радиуса R, указать тот, который имеет наибольшую площадь.
151. В прямоугольной системе координат через точку М(2;3) проведена прямая, которая вместе с осями координат образует треугольник, расположенный в первом квадранте. Каковы должны быть отрезки, отсекаемые прямой на осях координат, чтобы площадь треугольника была наименьшей?
152. Резервуар, открытый сверху, имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала, если он должен вмещать 256 л. воды.
153. Требуется вырыть яму цилиндрической формы с круглым основанием и вертикальной боковой поверхностью заданного объема . Каковы должны быть размеры ямы (радиус R и высота H), чтобы на облицовку ее дна и боковой поверхности пошло наименьшее количество материала?
154. Равнобедренный треугольник, периметр которого равен 12, вращается вокруг основания. Найти основание а, при котором полученное тело вращения имеет набольший объем?
155. Сечение оросительного канала имеет форму равнобочной трапеции, боковые стороны которой равны меньшему основанию. При каком угле наклона боковых сторон сечение канала будет иметь наибольшую площадь?
156. Определить высоту конуса наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.
157. Из прямоугольного листа жести размером требуется изготовить открытую сверху коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы под прямым углом. Каковы должны быть стороны вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была наибольшей?
158. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R=3, вращается вокруг основания. Найти высоту треугольника h, при котором полученное тело вращения имеет наибольший объем.
159. Требуется изготовить полотняный шатер, имеющий форму прямого кругового конуса заданной вместимости . Каковы должны быть размеры конуса (радиус основания R и высота H), чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна?
160. Требуется поставить палатку в форме правильной четырехугольной пирамиды заданной боковой поверхности Каковы должны быть размеры палатки (сторона основания a и высота H), чтобы вместимость палатки была наибольшей?
В задачах 161 – 170 исследовать на экстремум функцию z = f(x,y).
161. .
162. .
163. .
164. .
165. .
166.
167.
168.
169.
170.
В задачах 171 – 180 определить наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x,y) в данной замкнутой области.
171. в прямоугольнике .
172. в треугольнике, ограниченном осями OX и OY и прямой .
173. в прямоугольнике .
174. в области, ограниченной параболой и осью Ох.
175. `в квадрате .
176.
177. . в треугольнике, ограниченном осями координат Ох и Оу и прямой
178. в квадрате
179. в квадрате
180. в треугольнике, ограниченном осями координат Ох и Оу и прямой
Контрольная работа №2.
В задачах 181 – 200 найти указанные неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.
181. а) ; б) ; в) .
182. а) ; б) ; в).
183. а) ; б) ; в) .
184. а) ; б) ; в) .
185. а) ; б) ; в) .
186. а) ; б) ; в) .
187. а) ; б) ; в) .
188. а) ; б) ; в) .
189. а) ; б) ; в) .
190. а) ; б) ; в) .
191. а) ; б) ; в) .
192. а) ; б) ; в) .
193. а) ; б) ; в) .
194. а) ; б) ; в) .
195. а) ; б) ; в) .
196. а) ; б) ; в)
197. а) ; б) ; в)
198. а) ; б) ; в) .
199. а) ; б) ; в) .
200. а) ; б) ; в) .
В задачах 201 – 210 вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.
201. .
202. .
203. .
204. .
205. .
206. .
207. .
208. .
209. .
210. .
В задачах 211 – 215 вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.
211. .
212. .
213. .
214. .
215.
В задачах 216 – 220 вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.
216. .
217. .
218. .
219. .
220. .
В задачах 221 – 240 определить частное решение дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
221. 222.
223.. 224.
225.226.
273.
274.
275. .
276. .
В задачах 281 – 300 дан степенной ряд . При заданных значениях a и b написать первые три члена ряда, определить интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.
281. . 282. .
283. . 284. .
285. . 286. .
287. . 288. .
289. . 290. .
291. . 292. .
293. . 294. .
295. . 296. .
297. . 298. .
299. . 300. .
В задачах 301 – 320 вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем разложения подынтегральной функции в ряд и почленного дифференцирования этого ряда.
301. . 302. .
303. . 304. .
305. . 306. .
307. . 308. .
309. . 310. .
311. . 312. .
313. . 314. .
315. . 316. .
317. . 318. .
319. . 320. .
Контрольная работа №3.
321. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых 3 в мягком переплете. Библиотекарь взял 2 учебника. Определить вероятность того, что оба учебника окажутся в мягком переплете.
322. Студент знает ответы на 20 из 25 вопросов программы. Определить вероятность того, что он знает ответы на предложенные ему экзаменатором три вопроса.
323. Для некоторой местности в июле шесть пасмурных дней. Определить вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода.
324. Из 200 рабочих норму выработки не выполняют 15 человек. Определить вероятность того, что два случайно выбранных рабочих не выполняют норму.
325. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,6, вторым – 0,7, а третьим – 0,8. Определить вероятность того, что при одном выстреле попадут в цель: а) все три стрелка; б) попадет хотя бы один из них.
326. В ящике лежат 20 электрических лампочек, из которых 2 нестандартные. Определить вероятность того, что взятые одна за другой две лампочки окажутся стандартными.
327. Одновременно бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что на каждой кости появится нечетное количество очков.
328. Из заготовленной для посева пшеницы зерно первого сорта составляет 40%, второго сорта – 50%, третьего сорта – 10%. Вероятность того, что взойдет зерно первого сорта, равна 0,8, второго – 0,5, третьего – 0,3. Определить вероятность того, что взойдет наугад взятое зерно.
329. В магазин поступили телевизоры из трех заводов. Вероятность того, что телевизор изготовлен на первом заводе, равна 0,3, на втором – 0,2, на третьем – 0,5. Вероятность того, что телевизор окажется бракованным, для первого завода равна 0,2, для второго – 0,1, для третьего – 0,3. Определить вероятность того, что наугад взятый телевизор окажется небракованным.
330. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3% брака, второй – 0,2% брака, третий – 0,4% брака. Вычислить вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго – 2000 и с третьего – 2500 деталей. Какова вероятность того, что та деталь изготовлена первым автоматом?
331. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Производится 4 выстрела. Определить вероятность того, что цель будет поражена: а) три раза; б) не более двух раз.
332. Вероятность всхожести пшеницы равна 0,8. Какова вероятность того, что из 5 семян взойдет не менее 3?
333. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Написать закон распределения вероятностей попаданий в цель при 5 выстрелах и построить многоугольник распределения вероятностей.
334. Всхожесть семян пшеницы составляет 90%. Определить наиболее вероятное число всходов из 200 посеянных семян.
335.Семена пшеницы содержат 0,2% сорняков. Определить вероятность того, что в 1000 семян будет 6 семян сорняков.
В задачах 336 – 340 дана вероятность p того, что семя злака прорастет. Определить вероятность того, что из n посеянных семян прорастет ровно k семян.
336. .
337. .
338. .
339. .
340. .
В задачах 341 – 360 дана вероятность p появления события A в каждом из n независимых испытаний. Определить вероятность того, что в этих испытаниях событие A появится не менее k1 раз и не более k2 раз.
341. .
342. .
343. .
344. .
345. .
346. .
347. .
348. .
349. .
350.
351.
352.
353.
354.
355.
356.
357.
358.
359.
360.
В задачах 361 – 380 задан закон распределения дискретной случайной величины X (в первой строке указаны возможные значения величины X, во второй строке даны вероятности p этих значений). Определить: 1) математическое ожидание M(X); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение .
361.
| X | ||||
| p | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,4 |
| X | ||||
| p | 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,4 |
362.
363.
| X | ||||
| p | 0,4 | 0,1 | 0,3 | 0,2 |
364.
| X | ||||
| p | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
365.
| X | ||||
| p | 0,3 | 0,3 | 0,2 | 0,2 |
366.
| X | ||||
| p | 0,2 | 0,5 | 0,2 | 0,1 |
367.
| X | ||||
| p | 0,1 | 0,4 | 0,3 | 0,2 |
368.
| X | ||||
| p | 0,5 | 0,2 | 0,2 | 0,1 |
369.
| X | ||||
| p | 0,2 | 0,4 | 0,3 | 0,1 |
370.
| X | ||||
| p | 0,3 | 0,2 | 0,2 | 0,3 |
371.
| X | -5 | |||
| p | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
372.
| X | -8 | -2 | ||
| p | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
373.
| X | -2 | |||
| p | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
374.
| X | -3 | |||
| p | 0,3 | 0,4 | 0,1 | 0,2 |
375.
| X | -4 | -1 | ||
| p | 0,3 | 0,1 | 0,4 | 0,2 |
376.
| X | -3 | |||
| p | 0,3 | 0,4 | 0,1 | 0,2 |
377.
| X | -6 | -2 | ||
| p | 0,2 | 0,4 | 0,1 | 0,3 |
378.
| X | -5 | -3 | ||
| p | 0,2 | 0,1 | 0,1 | 0,6 |
379.
| X | ||||
| p | 0,2 | 0,2 | 0,4 | 0,2 |
380.
| X | -6 | -2 | ||
| p | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
.
В задачах 381 – 400 случайная величина X задана интегральной функцией распределения F(х). Определить: 1) дифференциальную функцию распределения f(х); 2) математическое ожидание M(X); 3) дисперсию D(X).
381.
382.
383.
384.
385.
386.
387.
388.
389.
390.
391.
392.
393.
394.
395.
396.
397.
398.
399.
400.
401.Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм., среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5 мм. и 200,5 мм. Определить процент стандартных деталей.
402.Средний диаметр стволов деревьев на некотором участке равен 25 см., среднее квадратическое отклонение равно 5 см. Считая диаметр ствола случайной величиной, распределенной нормально, определить процент деревьев, имеющих диаметр свыше 20 см.
403.Процент всхожести семян равен 90%. Оценить вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдет от 850 до 950 семян включительно.
404.Среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины равно 0,5. Определить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превосходит 1.
405.Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 150 мм. и средним квадратическим отклонением 0,5 мм. Какую точность размера детали можно гарантировать с вероятностью 0,95.
406.Средний вес зерна равен 0,2г., среднее квадратическое отклонение равно 0,05г. Определить вероятность того, что вес наудачу взятого зерна окажется в пределах от 0,16г. до 0,22г.
407.Норма высева семян на 1 га равна 200 кг. Фактический расход семян на 1 га колеблется около этого значения со средним квадратическим отклонением 10 кг. Определить количество семян, обеспечивающих посев на площади 100 га с гарантией 0,95.
408.Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм., среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5 мм. и 200,5 мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,04 мм. На сколько повысился процент бракованных деталей?
409.Масса яблока, средняя величина которой равна 150г., является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 20г. Определить вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах от 130г. до 180г.
410.Устройство состоит из 20 однотипных независимо работающих элементов. Вероятность безотказной работы каждого элемента за 10 часов равна 0,9. Оценить вероятность того, что абсолютная величина между числом отказавших элементов и средним числом отказов за 10 часов окажется меньше двух.
411.Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X равны соответственно 12 и 2. Определить вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (14; 16).
412.Известно, что средний расход удобрений на один гектар пашни составляет 80 кг., а среднее квадратическое отклонение расхода равно 5 кг. Считая расход удобрений нормально распределенной случайной величиной, определить диапазон, в который вносимая доля удобрений попадает с вероятностью 0,98.
413.Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 20 и средним квадратическим отклонением 3. Определить симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью p=0,9972 попадет случайная величина.
414.Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины – количества сыра, используемого для изготовления 100 бутербродов, равно 1 кг. Известно, что с вероятностью 0,96 расход сыра на изготовление 100 бутербродов составляет от 900 до 1100г. Определить среднее квадратическое отклонение расхода сыра на 100 бутербродов.
415.Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 15, и средним квадратическим отклонением, равным 2. Определить симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью p=0,954 попадет случайная величина.
416.При измерении нормально распределенной случайной величины оказалось, что ее среднее квадратическое отклонение равно 10, а вероятность попадания этой величины в интервал от 100 до 140, симметричный относительно математического ожидания, равна 0,86. Определить математическое ожидание этой величины и вероятность попадания ее в интервал от 90 до 150.
417.Размер мужских сорочек является случайной величиной с нормальным законом распределения, математическим ожиданием 39 и дисперсией 9. Какой процент от общего объема заказа следует предусмотреть магазину для сорочек 40-го размера воротничка при условии, что этот размер находится в интервале (39,5; 40,5)?
418.Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием 25. Вероятность попадания X в интервал (10; 15) равна 0,2. Определить вероятность попадания X в интервал (35; 40).
419.Масса вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т. и средним квадратическим отклонением 0,9 т. Определить вероятность того, что очередной вагон имеет массу не более 70 т., но не менее 60 т.
420.Стрельба ведется из точки О вдоль прямой ОХ. Средняя дальность полета снаряда равна 250 м. Полагая, что дальность полета X распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 80 м., определить, какой процент выпускаемых снарядов даст перелет от 120 до 160 м.
Задачи 421 – 440. Колхоз имеет возможность приобрести не более a трехтонных автомашин и не более a-2 пятитонных автомашин. Отпускная цена трехтонного грузовика – 4 млн. руб., а пятитонного – 5 млн. руб. Колхоз может выделить для приобретения автомашин (9a — 30) млн. руб. Сколько нужно приобрести автомашин каждой марки, чтобы их суммарная грузоподъемность была максимальной? Задачу решить графическим и аналитическим методами. Значения параметра a даны в следующей таблице:
| Номер задачи | ||||||||||
| a |
| Номер задачи | ||||||||||
| a |
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица 1
Значение функции .
