Содержание
Задача 1
Исходные данные:
Функция у(х) задана таблично:
I 0 1 2 3 4 5 6
X -0.4 -0.1 0.2 0.5 0.8 1.1 1.4
Y -6.2 -1.9 0.1 5.5 6.7 5.3 3.2
х =0.68
Вычислить значение функции у(х) в точке X = 0.68, используя линейную интерполяцию.
Задача 2
Исходные данные:
Вычислить значение функции у(х) в точке X = 0.68, используя квадратичную интерполяцию (интерполяцион¬ный многочлен Лагранжа второй степени).
Задача 3
Исходные данные:
Для заданной функции у(х) построить аппроксимирующий многочлен третьей степени на отрезке [х0;x6] методом наименьших квадратов. При этом определение коэффициентов А,Б,С,В из системы линейных ал¬гебраических уравнений выполнить методом Гаусса. Найти значение функции в заданной точке х .
Исходные данные:
Вычислить величину определенного интеграла для таблично заданной
Задача 4
функции у = у(х) методом трапеций. Сравнить полученное значение с величиной, найденной по формуле Ньютона-Лейбница:
Задача 5
Исходные данные:
Найти наибольшее и наименьшее значения для непрерывной на отрезке унимодальной функции . Определить точки и , в которых эти зна¬чения достигаются. Задачу решить двумя способами:
a) методом дифференциального исчисления;
b) численным методом золотого сечения. Сравнить результаты двух подходов.
Задача 6
Исходные данные:
Найти один из нулей функции (корень уравнения ) методом бисекции с точностью e = 0.01.
Выдержка из текста работы
1. Источники погрешностей величин, структура погрешности приближенного значения числовой величины Этапы решения прикладной задачи и классификация ошибок. Абсолютная и относительная погрешности. Значащие и верные цифры. Округление чисел.
2. Общая формула расчета погрешности результата приближенных вычислений. Погрешность алгебраической суммы, произведения и частного, погрешность значения функции.
3. Способы приближенных вычислений по заданной формуле (вычисления по правилам подсчета цифр, вычисления со строгим учетом предельных абсолютных погрешностей, вычисления по методу границ).
4. Постановка задачи решения нелинейных уравнений. Основные этапы решения этой задачи. Первый этап решения нелинейных уравнений (суть, способы, условия существования корня уравнения на отрезке). Метод половинного деления решения нелинейных уравнений и его погрешность (геометрическая иллюстрация, достоинства и недостатки).
5. Метод простой итерации уточнения значения корня нелинейного уравнения. Геометрическая интерпретация процесса построения итерационной последовательности. Погрешность метода.
6. Достаточные условия сходимости итерационной последовательности (с доказательством). Приведение скалярного уравнения к виду, обеспечивающему сходимость итерационной последовательности (способ приведения скалярного уравнения к виду ).
7. Метод хорд и метод касательных решения нелинейных уравнений (формулы для построения итерационных последовательностей, начальное приближение, геометрическая иллюстрация, достоинства и недостатки). Погрешность методов.
8. Точные и приближенные методы решения системы линейных уравнений (источники погрешности результата). Метод Гаусса: схема единственного деления (этапы решения задачи, организация текущего контроля правильности вычислений на каждом этапе). Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу.
9. Применение метода Гаусса для решения других задач вычислительной алгебры (вычисление определителей и обращение матриц).
10. Метод простой итерации решения систем линейных уравнений (суть метода, метрики и достаточные условия для сходимости итерационного процесса, практическая схема решения систем линейных уравнений, начальное приближение, условия прекращения итерационного процесса).
11. Метод Зейделя решения систем линейных уравнений (формулы метода, достаточные условия для сходимости итерационного процесса, отличия и преимущества метода по сравнению с методом простой итерации, преобразование системы уравнений к итерационному виду, критерий окончания итерационного процесса).
12. Постановка задачи решения систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений (матрица Якоби и итерационные формулы метода (-го и второго порядков), правила остановки итерационного процесса).
13. Постановка задачи аппроксимации, критерии близости. Интерполяция. Доказать существование и единственность интерполяционного многочлена.
14. Построение интерполяционного многочлена методом Лагранжа (вывод формулы). Погрешность многочленной интерполяции. Применение интерполяционного многочлена Лагранжа для приближенного вычисления промежуточных значений функций.
15. Интерполяционные формулы Ньютона (конечные разности, вывод формул). Погрешность многочленной интерполяции.
16. Постановка задачи аппроксимации методом наименьших квадратов. Этапы ее решения. Общий подход к вычислению параметров, выбранной аппроксимируемой функции.
17. Аппроксимация функциями вида и методом наименьших квадратов.
18. Особенности задачи численного дифференцирования. Вывод формулы Лагранжа для равномерной сетки. Погрешность метода интерполирования для равномерной сетки. Численное дифференцирование на основе этой формулы.
19. Постановка задачи приближенного вычисления определённого интеграла. Вывод формулы метода средних прямоугольников. Формулы левых и правых прямоугольников.
21. Формулы Симпсона приближенного вычисления определённого интеграла, погрешность формулы. Определение шага разбиения отрезка интегрирования, обеспечивающего заданную точность результата.
22. Постановка задачи численного решения дифференциальных уравнений.
Метод Эйлера решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, его геометрическая иллюстрация и его погрешность.
23. Метод Рунге-Кутты решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка и его погрешность.
24. Многошаговый метод Адамса решения задачи Коши. Способы проверки точности решения. Достоинства и недостатки одношаговых и многошаговых методов.
