Выдержка из текста работы
Продолжительность горения электролампочек (ч) следующая:
750
750
756
769
757
767
760
743
745
759
750
750
739
751
746
758
750
758
753
747
751
762
748
750
752
763
739
744
764
755
751
750
733
752
750
763
749
754
745
747
762
751
738
766
757
769
739
746
750
753
738
735
760
738
747
752
747
750
746
748
742
742
758
751
752
762
740
753
758
754
737
743
748
747
754
754
750
753
754
760
740
756
741
752
747
749
745
757
755
764
756
764
751
759
754
745
752
755
765
762
По выборочным данным, представленным в заданиях №1-30, требуется:
1* Построить интервальный вариационный ряд распределения;
Построение интервального вариационного ряда распределения
Max: 769
Min: 733
R=769-733=36
H= R / 1+3,32 lg n=36/(1+3,32lg100)=4,712
A1= x min — h/2=730,644
B1=A1+h; B2=A2+h
2* Вычислить выборочные характеристики по вариационному ряду:
среднюю арифметическую (x ср.), центральные моменты (мю к, к=1,4), дисперсию (S^2), среднее квадратическое отклонение (S), коэффициенты асимметрии (Ас) и эксцесса (Ек), медиану (Ме), моду (Мо), коэффициент вариации(Vs);
Вычисление выборочных характеристик распределения
Di=(xi— xср)
xср =å xi mi/å mi
xср = 751,7539
Вспомогательная таблица ко второму пункту расчетов
Выборочный центральный момент К-го порядка равен
M k = ( xi — x)^k mi/ mi
В нашем примере:
Центр момент 1
0,00
Центр момент 2
63,94
Центр момент 3
-2,85
Центр момент 4
12123,03
Выборочная дисперсия S^2 равна центральному моменту второго порядка:
В нашем примере:
S^2= 63,94
Ввыборочное среднее квадратическое отклонение:
В нашем примере:
S= 7,996
Выборочные коэффициенты асимметрии Ас и эксцесса Fk по формулам
Ac = m3/ S^3;
В нашем примере:
Ас =-0,00557
Ek = m4/ S^4 -3;
В нашем примере:
Ek = -0,03442
Медиана Ме — значение признака x (e), приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений ( n = 2l -1). При четном числе наблюдений( n= 2l) медианой Ме является средняя арифметическая двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда: Me=( x(e) + x( e+1) /2
Если исходить из интервального ряда, то медиану следует вычислять по ормуле
Me= a me +h * ( n/2 — mh( me-1) / m me
где mе- означает номер медианного интервала, ( mе -1) — интервала, редшествующего медианому.
В нашем примере:
Me=751,646
Мода Мо для совокупности наблюдений равна тому значению признака , которому соответствует наибольшая частота.
Для одномодального интервального ряда вычисление моды можно производить по формуле
Mo= a mo + h * ( m mo- m(mo-1))/2 m mo- m( mo-1) — m( mo+1)
где мо означает номер модального интервала ( интервала с наибольшей частотой), мо-1, мо+1- номера предшествующего модальному и следующего за ним интервалов.
В нашем примере:
Mo = 751,49476
Так как Хср, Mo Me почти не отличаются друг от друга, есть основания предполагать теоретическое распределение нормальным.
Коэффициент вариации Vs = S/ x * 100 %= 3.06%
В нашем примере:
Vs= 1,06%
3* Построить гистограмму, полигон и кумуляту.
Графическое изображение вариационных рядов
Для визуального подбора теоретического распределения, а также выявления положения среднего значения (x ср.) и характера рассеивания (S^2 и S) вариационные ряды изображают графически.
Полигон и кумулята применяются для изображения как дискретных, так и интервальных рядов, гистограмма – для изображения только интервальных рядов. Для построения этих графиков запишем вариационные ряды распределения (интервальный и дискретный) относительных частот (частостей)
Wi=mi/n, накопленных относительных частот Whi и найдем отношение Wi/h, заполнив таблицу 1.4.
Интервалы xi Wi Whi Wi/h
Ai-bi
1 2 3 4 5
4,97-5,08 5,03 0,02 0.02 0,18
5,08-5,19 5,14 0,03 0,05 0,27
5,19-5,30 5,25 0.12 0,17 1,09
5,30-5,41 5,36 0,19 0,36 1,73
5,41-5,52 5,47 0,29 0,65 2,64
5,52-5,63 5,58 0,18 0,83 1,64
5,63-5,74 5,69 0,13 0,96 1,18
5,74-5,85 5,80 0,04 1,00 0,36
— 1,00 —
Для построения гистограммы относительных частот (частостей) на оси абсцисс откладываем частичные интервалы, на каждом из которых строим прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте Wi данного i-го интервала. Тогда высота элементарного прямоугольника должна быть равна Wi/h,. Следовательно, позади под гистограммой равна сумме всех носительных частот, т.е. единице.
Из гистограммы можно получить полигон того же распределения. Если середины верхних оснований прямоугольников соединить отрезками прямой.
4* Сделать вывод о форме ряда распределения по виду гистограммы и полигона, а также по значениям коэффициентов Ас и Ек.
4 Анализ графиков и выводы
Гистограмма и полигон являются аппроксимациями кривой плотности (дифференциальной функции) теоретического распределения (генеральной совокупности). Поэтому по их виду можно судить о гипотическом законе распределения.
Для построения кумуляты дискретного ряда по оси абсцисс откладывают значения признака xi, а по оси ординат – накопленные относительные частоты Whi. Для интервального ряда по оси абсцисс откладывают интервалы .
С кумулятой сопоставляется график интегральной функции распределения F(x).
В нашем примере коэффициенты асимметрии и эксцесса не намного отличаются от нуля. Коэффициент асимметрии оказался отрицательным (Ас=-0,005), что свидетельствует о небольшой левосторонней асимметрии данного распределения. Эксцесс оказался также отрицательным (Ек= -0,034). Это говорит о том, что кривая, изображающая ряд распределения, по сравнению с нормальной, имеет несколько более плоскую вершину. Гистограмма и полигон напоминают кривую нормального распределения (рис.1.1 и 1.2.). Все это дает возможность выдвинуть гипотезу о том, что распределение продолжительности горения электролампочек является нормальным.
Приечание: Кумулята, гистронрамма и полигон находятся в приложениях к работе.
5* Рассчитать плотность и интегральную функцию теоретического нормального распределения и построить эти кривые на графиках гистограммы и кумуляты соответственно.
Расчет теоретической нормальной кривой распределения
Приведем один из способов расчета теоретического нормального распределения по двум найденным выборочным характеристикам x и S эмпирического ряда.
При расчете теоретических частот m^тi за оценку математического ожидания (мю) и среднего квадратического отклонения G нормального закона распределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик x ср. и S, т.е. (мю)=Xср.= 751,7539; G=S=7,99.
Теоретические частоты находят по формуле: M^i=npi,
где n – объем; Pi – величина попадания значения нормально распределенной случайной величины в i-й интервал.
Вероятность Pi определяется по формуле
Pi=P(ai<x<=bi)=1/2[Ф(t2i)-Ф(t1i)],
Где Ф(t)=2\ 2(пи)=интегралу с границами от (0;t) е^x2/2dx — интегральная функция Лапласа – находится по таблице для
T2i=bi-x ср.\ S
T1i=ai-x ср.\S
Таблицы Для вычисления вероятности нормальной кривой распределения
Интервалы
Mi
T1
T2
1/2Ф(T1)
1/2Ф(T2)
Pi
a(i)
b(i)
730,644
735,356
2
-2,640
-2,051
0,4958
0,4798
-0,0080
735,356
740,068
8
-2,051
-1,461
0,4798
0,4279
-0,0260
740,068
744,780
6
-1,461
-0,872
0,4279
0,3078
-0,0601
744,780
749,492
18
-0,872
-0,283
0,3078
1,1103
0,4013
749,492
754,204
35
-0,283
0,306
0,0300
0,6619
0,3160
754,204
758,916
12
0,306
0,896
0,1179
0,3133
0,0977
758,916
763,628
11
0,896
1,485
0,3133
0,4306
0,0587
763,628
768,340
6
1,485
2,074
0,4306
0,4808
0,0251
768,340
773,052
2
2,074
2,664
0,4808
0,4960
0,0076
Pi*n
Mi(теор)
Mi(теор)/h
Mi(теор)накоп
1
0,002
0,0080
-2,5950
3
0,006
0,0340
-6,0050
6
0,013
0,0940
40,1250
40
0,085
0,4953
31,5950
32
0,068
0,8153
9,7700
10
0,021
0,9130
5,8650
6
0,012
0,9716
2,5100
3
0,005
0,9967
0,7600
1
0,002
1,0000
100
Сравнение гистограммы и нормальной кривой наглядно показывает согласованность между теоретическим и эмпирическим распределением.
Примечание: Построенные графики находятся в приложениях к работе.
6* Проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критерию согласи яПирсона f^2).
Проверка гипотез о нормальном законе распределения
Частоты для проверки соответствия эмпирического ряда распределения нормальному закону используют критерий X^2, основанный на сравнении эмпирических частот mi с теоретическими m^тi, которые можно ожидать при принятии определенной нулевой гипотезы.
Значение X^2набл. – наблюдаемое значение критерия, полученное по результатам наблюдений, равно
к
F^2набл.= (mi-m^тi)
I=1 m^i
Где к – число интервалов (после объединения). M^i – теоретические частоты. Все вспомогательные расчеты, необходимые для вычисления f^2, сведем в таблицу 1.6.
Таблица 1.6.
Вычисление критерия X^2 при проверке нормальности продолжительности горения электролампочек
Интервалы
Mi(Практ)
Mi(теор)
(Mi-Mi(теор))^2
…../Mi(теор)
a(i)
b(i)
730,644
735,356
2
2
9
1,29
735,356
740,068
8
5
740,068
744,780
6
13
49
3,88
744,780
749,492
18
21
9
0,43
749,492
754,204
35
25
100
4,01
754,204
758,916
12
21
81
3,89
758,916
763,628
11
12
1
0,08
763,628
768,340
6
5
1
0,14
768,340
773,052
2
2
X^2набл
13,71
Правило проверки гипотезы заключается в следующем. Определяем по таблице распределения xu-квадрат критическое значение X^2кр.(альфа для числа степеной свободы V=к-3 и заданного уровня значимости альфа. Затем сравниваем X^2кр.
Если X^2 набл.<=X^2кр. , то выдвинутая гипотеза о законе распределения не отвергается (не противоречит опытным данным).
Если X^2 набл. >X^2кр. , то выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается с вероятностью ошибки a.
Для нашего примера X^2набл.=13,71, a=0,005, V=7-3=4 (число интервалов после объединения стало равным 7) и X^2кр. (0,005; 4) =14,9
Так как X^2набл.<X^2кр., то согласно критерию Пирсона гипотеза о нормальном законе не отвергается с вероятностью ошибки 0,005. Можно сделать вывод, что распределение продолжительности горения электролампочек является нормальным. Что подтверждают графики и значения моды и медианы.
