Выдержка из текста работы
Целью курсовой работы является более подробное, углубленное и в, некоторой степени исследовательское изучение наиболее важных разделов курса с помощью программного обеспечения персональных ЭВМ (математические инструментальные среды MathCAD, Maple V, пакет моделирования систем Model Vision Studium).
Основной задачей выполнения курсовой работы являются изучение и создание математической модели бистабильной системы «нагреватель — охлаждающая жидкость» и компьютерной модели динамики материальной точки в поле кольца Тора, а именно изучение поведения стационарных решений уравнения теплопроводности в характерных точках внутри диапазона бистабильности, построение фазового портрета, изучение компьютерного построения модели системы, а также представление системы в виде 3D-анимации.
Введение
В последнее время вычислительная техника приобретает всё большее значения в самых разных областях человеческой деятельности, начиная с повседневной жизни и заканчивая сложнейшими работами инженеров и учёных.
Вычислительная техника, и в частности компьютеры, облегчает задачи исследователей, связанных с математическими расчётами. Построение математической и компьютерной модели системы, работать в этой области стало проще, поскольку математические расчёты и выкладки без применения ЭВМ занимают много времени.
теплопроводность компьютерный бистабильность анимация
1. Исследование устойчивости бистабильных систем
Слова "бистабильная система" говорят сами за себя — это система с двумя положениями устойчивого равновесия. Простой механический пример — это движение материальной точки в потенциале с двумя минимумами (см. рисунок 1а). Если на частицу действует еще и сила трения, то ясно, что какие бы мы ни выбрали начальные условия, колебания, в конце концов, затухнут, частица "свалится" в одну из потенциальных ям и будет находиться там неограниченно долго.
Рисунок 1 — Бистабильная система и перескок под действием внешней силы
Для того, чтобы частица все-таки попала в другую потенциальную яму, надо приложить внешнюю силу. Если эта сила достаточно велика, то она "вытащит" частицу из первой ямы и перекинет ее во вторую. Легко понять, насколько велика должна быть эта сила. На языке потенциала "приложить внешнюю силу" означает добавить линейно растущий потенциал, как это показано на рисунке 1б. Если V(x) — бистабильный потенциал, то внешняя сила должна превосходить величину F0 = |V'(x)|, взятой в точке перегиба, т.е. там, где возвращающая сила, создаваемая потенциалом, самая большая. Тогда суммарный потенциал модифицируется так, как показано на рисунке, и частица скатится во вторую яму.
Если теперь внешняя сила будет периодична по времени, то в результате наша частица будет "скакать" из одной ямы в другую и обратно. Итак, что мы получили: наша бистабильная система откликается на сильное внешнее воздействие. При этом частота, с которой система перескакивает из одного устойчивого состояния в другое, совпадает с частотой внешнего воздействия. Пока здесь нет ничего удивительного. Если внешнее воздействие очень сильное, то система будет послушно повторять все изменения и колебания этой силы.
Посмотрим, что будет, если внешнее воздействие окажется не столь сильным, т.е. F < F0. Тогда частица не сможет покинуть яму и так и останется в ней, несмотря на внешнее воздействие. В результате мы получили, что наша система обладает неким порогом чувствительности: при внешней силе F > F0 система начинает перескакивать из одного состояния в другое с частотой внешней силы, а при F < F0 система не чувствует внешнее воздействие вовсе. (В принципе можно возразить, что в этом случае частица будет колебаться под действием внешней силы внутри одной ямы. Однако чаще всего, наблюдая реальную бистабильную систему, мы можем сказать только одно — в каком из двух состояний она находится. В этом случае, при F < F0 мы будем просто видеть, что система "застыла" в одном из своих положений и все. Именно такой случай мы имеем в виду.)
Итак, вывод: у бистабильной системы существует некий порог чувствительности к внешним воздействиям. Слишком слабые, т.е. подпороговые воздействия остаются для системы незамеченными.
Рассмотрим вновь нашу бистабильную систему в отсутствии внешних сил. Система замерла в одном из положений равновесия. Пусть теперь на частицу действует случайная сила, то есть давайте наложим на систему случайное внешнее воздействие, попросту говоря, шум. Под действием этой силы частица будет случайно колебаться. При этом может оказаться и так, что частица, блуждая по одной потенциальной яме, вдруг перескочит и во вторую. Среднее время между такими перескоками равно: τ = exp(ΔV / D). Здесь ΔV — высота барьера, разделяющего две потенциальные ямы, а D — интенсивность шума. Видно, что чем сильнее шум, тем меньше это время, т.е. тем чаще частица перескакивает из одной ямы в другую. Если изобразить зависимость координаты частицы от времени, то получится приблизительно такая картина, как на рисунке 2.
Рисунок 2 — Отклик системы на случайную внешнюю силу
Квантовый стохастический резонанс. Совсем недавно, во второй половине 90-х годов, возник вопрос о возможности существования стохастического резонанса на квантовом уровне. Ожидается, что квантовое "дрожание частиц", которое существует всегда, даже при абсолютном нуле температуры, и которое играет здесь роль шума, будет способствовать детектированию квантового сигнала, распространению информации и т.д.
Стохастический резонанс в иных системах. До этого речь шла исключительно о бистабильных системах. Однако недавно было осознано, что это явление — совершенно общего плана, и оно может возникать и в системах, отличных от бистабильных. Главное требование — это наличие какого-либо порога. Примером такой системы может служить потенциал, изображенный на рисунке 3. В этом случае перескоки происходят не между двумя устойчивыми положениями равновесия, а между "основным" и "возбужденным" состояниями системы.
Рисунок 3
.1 Условие задачи №1
Имеется система «нагреватель — охлаждающая жидкость». Дано дифференциальное уравнение температурного поля этой системы:
