Содержание
Задание 1
Предприятие выпускает торты двух видов. Требуется определить оптимальную структуру товарооборота, обеспечивающую предприятию максимальную прибыль графическим и симплекс-методами, если известны следующие данные:
М – мука, кг;
С – сахар, кг;
О – орехи, кг;
УМ – упаковочный материал, м2;
В – времени, чел. / час.
Таблица 1 Исходные данные
Вид печеньяРасход ресурсов на 1 тортОбъем имеющихся ресурсовПрибыль, руб.
МСОУМВМСОУМВ
А0,410,120,180,420,1853044045046093724
Б0,540,210,240,120,1726
Задание 2
На складах а1, а2, а3, а4 и а5 имеются запасы продукции в соответствующих количествах. Найти такой вариант поставки продукции от поставщиков в торговые точки в1, в2, в3, в4 и в5, чтобы сумма затрат на перевозку была минимальной. Для решения использовать методы:
— потенциалов (опорное решение определить методом минимальной стоимости);
— Вогеля.
Таблица
ai / вj150200200400200
15014724
30036396
250481225
150159137
20023465
Задание 3
Четыре работника должны выполнять четыре вида работ. Назначить работников на работы методами динамического программирования или ветвей и границ таким образом, чтобы затраты труда были минимальны.
4424
8131
9262
3555
Задание 4
Предприятие производит босоножки и туфли. Затраты в течение летнего периода на производство пары босоножек составили 64 ден. ед., туфлей – 141. Цена пары обуви составляет 74 и 196 соответственно. По данным наблюдений за несколько предыдущих лет предприятие может реализовать в условиях:
— сухой погоды: босоножек в количестве 5410 пар, а туфлей в количестве 1510 пар;
— влажной погоды: босоножек в количестве 720 пар, а туфлей в количестве 6190 пар.
В связи с возможными изменениями погоды определить стратегию поведения предприятия в выпуске продукции, обеспечивающую максимальную прибыль от реализации продукции. Решить задачу графически и с использованием критериев природы, приняв степень оптимизма равной 0,49.
Выдержка из текста работы
1.10. Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка – «Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 ч работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» – 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно и распоряжении фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,10 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0,30 ден. ед. за 1 л «Тоника». Сколько продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной прибыли?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?
Решение:
Лимонад Тоник
Время 0,02 0,04
Расход ингредиента 0,01 0,04
Прибыль 0,1 0,3
Пусть Х1 – количество напитка – «Лимонад» которое вложится в наилучшую программу.
Х2 – количество напитка «Тоник» » которое вложится в наилучшую программу.
Очевидно, что функция выпуска может быть записана через выражение:
F(x)=0,1Х1+0,3Х2
Теперь необходимо сформулировать ограничения на использование ресурса.
0,02Х1+0,04Х2?24
0,01Х1+0,04Х2?16
Х1 , Х2 ? 0
Ограничения задачи можно изобразить графически.
Время работы оборудования: 0,02 Х1 + 0,04 Х2 ? 24 ч/день.
Проведем прямую 0,02 Х1 + 0,04 х2 = 24
Находим точки пересечения данной прямой с осями координат Х1 и Х2. Подставив Х1 = 0 в уравнение и рассчитав значение Х1, получим, что при Х1 = 0, Х2 = 600. Подставив Х2= 0 в уравнение и рассчитав значение Х1, получим, что при Х2 = 0 Х1 = 1200. Нанесем эти две точки на график и соединим их прямой. Для определения области, которую следует заштриховать, подставим Х1= 0 и Х2 = 0 в неравенство: 0,02 Х1 + 0,04 Х2 ? 24.
Специальный ингредиент: 0,01 Х1 + 0,04 Х2 ? 16
Проведем прямую: 0,01 Х1 + 0,04 Х2 = 16
Таким же образом, подставив Х1 = 0 в уравнение и рассчитав значение Х1, получим, что при Х1 = 0, Х2 = 400. Подставив Х2= 0 в уравнение и рассчитав значение Х1, получим, что при Х2 = 0 Х1 = 1600. Нанесем эти две точки на график и соединим их прямой. Подставим Х1= 0 и Х2 = 0 в неравенство: 0,01 Х1 + 0,04 Х2 ? 16.
Рис.1. Решение графическим методом
Область, отмеченная серым цветом — это допустимое множество, которое содержит все возможные сочетания объемов производства, удовлетворяющие данным ограничениям. Координаты любой точки, принадлежащей допустимому множеству, являются возможным сочетанием объемов производства двух видов напитков, выпускаемых фирмой.
Чтобы найти конкретное значение решим систему уравнений.
0,02 Х1+0,04 Х2 = 24
0,01 Х1+0,04 Х2= 16
В первом уравнении выразим Х1 через Х2:
0.02 Х1 =24-0.04 Х2
x=(24-0.04 Х2)/0.02
Подставим полученное выражение во второе уравнение
0.01 •(24-0.04 Х2)/0.02 + 0.04 Х2= 16
(0.01•24/0.02) — (0.01•0.04 Х2/0.02) +0.04•y = 16
(0.04 — 0.01•0.04./0.02)• Х2= 16 — (0.01•24/0.02)
Х2=(16 — (0.01•24/0.02))/(0.04 — 0.01•0.04./0.02)
Х2=(16 — (12))/(0.04 — 0.01•0.04./0.02)
Х2=(16 — 12)/(0.04 — 0.02)
Х2=(4)/(0.02)=200
Подставим полученное значение Х2 в любое уравнение системы и найдем Х1
Например, Х2 подставляем в первое уравнение системы
0.02• Х1 + 0.04.•200 =24
0.02• Х1=24 — 0.04.•200
Х1=(24 — 0.04.•200)/0.02
Х1=(24 — 0.04.•200)/0.02
Х1 =(16)/0.02
Х1=800
Значение Х1=800
Значение Х2=200
Max f(x)= 0.1*800+0.30*200=140 (ден.ед)
min f(x)=0
Ответ: Максимальная ежедневная прибыль от реализации продукции составит 140 ден.ед. при производстве 800 л «Лимонада» и 200 л «Тоника». Если решать задачу на минимум, то компания прибыли не получит и при производстве продукции понесет убытки.
Задача 2.
Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования .
2.10. Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Вид ресурсов Нормы расхода ресурсов на ед. продукции Запасы
ресурсов
вид II
вид III
Труд
Сырье 1
Сырье 2
Оборудование 3
3 4
5 2000
15000
7400
1500
Цена изделия 6 10 9
Требуется:
1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24ед.;
• оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6ед.
Решение:
1. Сформулируем экономико — математическую модель задачи.
Обозначим через Х1, Х2, Х3 нормы расхода ресурсов на ед. продукции.
Целевая функция — это выражение, которое необходимо максимизировать f(x) = 6Х1 +10Х2 +9Х3
Ограничения по запасам ресурсов
3Х1 +6Х2 +4Х3 2000
20Х1 +15Х2 +20Х3 15000
10Х1 +15Х2 +20Х3 7400
0Х1 +3Х2 +5Х3 1500
Х1, Х2, Х3 0
Указать адреса ячеек, в которые будет помещен результат решения (изменяемые ячейки).
Обозначим через Х1, Х2, Х3 нормы расхода ресурсов на ед. продукции. В задаче оптимальные значения вектора Х =(Х1, Х2, Х3) будут помещены в ячейках ВЗ:DЗ, оптимальное значение целевой функции в ячейке E4.
Ввести исходные данные.
Введем исходные данные в созданную форму. В результате получим (Рисунок 1):
Рисунок 1. Исходные данные
Введем зависимость для целевой функции
• Курсор в E4.
• Курсор на кнопку Мастер функций.
На экране диалоговое окно Мастер функций шаг 1 из 2.
• Курсор в окно Категория на категорию
• Курсор в окно Функции на СУММПРОИЗВ.
• В массив 1 ввести В$3:E$3.
• В массив 2 ввести В4:E4.
• Готово. На экране: в F4 введена функция, как показано на Рисунке 2.
Рисунок 2. Функция.
Введем зависимость для левых частей ограничений:
• Курсор в F4.
• Копировать в буфер.
• Курсор в F7.
• Вставить из буфера.
• Курсор в F8.
• Вставить из буфера.
• Курсор в F9.
• Вставить из буфера.
На этом ввод зависимостей закончен.
Запуск Поиска решения.
Назначение целевой функции (установить целевую ячейку).
• Курсор в поле Установить целевую ячейку.
• Ввести адрес $F$4.
• Ввести направление целевой функции: Максимальному значению.
Ввести адреса искомых переменных:
• Курсор в поле Изменяя ячейки.
• Ввести адреса В$3:E$3.
Ввод ограничений.
Курсор в поле Добавить. Появится диалоговое окно Добавление ограничения (Рисунок 3).
Рисунок 3. Добавление ограничений.
Целевая функция двойственной задачи формулируется на минимум. коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи.
g = 2000?Y1 + 15000?Y2 +7400?Y3 +1500Y4 ® min
Необходимо найти такие “цены” на ресурсы (Yi), чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной.
Ограничения. Число ограничений в системе двойственной задачи равно числу переменных в исходной задаче. В исходной задаче три переменных, следовательно, в двойственной задаче три ограничения. Правыми частями в ограничениях двойственной задачи являются коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая часть ограничения определяет стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы продукции. Каждое ограничение соответствует определенному виду продукции.
3Y1 + 20Y2 + 10Y3 + 0Y4 ? 6
6Y1 + 15Y2 + 15Y3 + 3Y4 ? 10
4Y1 + 20Y2 + 20Y3 + 5Y4 ? 9
Y1 ,Y2 ,Y3, Y4 ? 0
Решение двойственной задачи можно найти в отчете Поиска решений. Отчет по устойчивости. Теневые цены ресурсов труд, сырье 1, сырье 2 и оборудование соответственно равны в десятичных дробях 1.5; 0; 0,15; 0.
Рисунок 4. Отчет по устойчивости.
Рисунок 5. Отчет по пределам.
Ресурсы труд и сырье 2 имеют отличные от нуля оценки 1,5 и 0,15 – эти ресурсы полностью используются в оптимальном плане, являются дефицитными, сдерживающими рост целевой функции. Правые части этих ограничений равны левым частям.
3Х1 +6Х2 +4Х3 2000
10Х1 +15Х2 +20Х3 7400
3?520 +6?0 +4?110 =2000=2000
10?520 +15?0 +20?110 =7400=7400
Ресурс сырье 1 используется не полностью (12600<15000) и оборудование используется не полностью (550<1500), поэтому имеет нулевую двойственную оценку (Y2=0).
20Х1 +15Х2 +20Х3 15000
0Х1 +3Х2 +5Х3 1500
20*520 +15*0 +20*110 =12600<15000
0*520 +3*0 +5*110 =550<1500
Этот ресурс не влияет на план выпуска продукции.
Общая стоимость используемых ресурсов при выпуске первого вида продукции и второго вида продукции составит 4110 руб.
g = 2000?Y1+15000?Y2+7400?Y3+1500Y4 =
=2000?1,5+15000?0+7400?0,15+1500?0 =4110 руб.
Не использованный полностью в оптимальном плане ресурс получает нулевую оценку. Нулевая оценка ресурса свидетельствует о его не дефицитности. Ресурс не дефицитен не из-за его неограниченных запасов (они ограничены величиной bi), а из-за невозможности его полного использования в оптимальном плане. Так как суммарный расход недефицитного ресурса меньше его общего количества, то план производства им не лимитируется. Данный ресурс не препятствует и дальше максимизировать целевую функцию f(X).
Заметим, что ценность различных видов ресурсов нельзя отождествлять с действительными ценами, по которым осуществляется его закупка. В данном случае речь идет о некоторой мере, имеющей экономическую природу, которая характеризует ценность ресурса только относительно полученного оптимального решения.
Анализ эффективности отдельных вариантов плана выполняется на основе соотношений из 2 теоремы двойственности.
Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия больше его цены, то это изделие не войдет в оптимальный план из-за его убыточности. В нашей задаче в план выпуска не вошла продукция второго вида, потому что затраты по ним превышают цену на 1,5 тыс. руб. Это можно подтвердить, подставив в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора Y.
3Y1 + 20Y2 + 10Y3 + 0Y4 ? 6
6Y1 + 15Y2 + 15Y3 + 3Y4 ? 10
4Y1 + 20Y2 + 20Y3 + 5Y4 ? 9
3*1,5 + 20*0 + 10*0,15 + 0*0 = 6=6
6*1,5 + 15*0 + 15*0,15 + 3*0=11,25? 10
4*1,5 + 20*0 + 20*0,15 + 5*0=9=9
Разницу между правыми и левыми частями ограничений двойственной задачи можно найти в Отчете по устойчивости в столбце Нормируемая стоимость.
Анализ влияния изменения правых частей ограничений на значения целевой функции (Чувствительность решения к изменению запасов сырья).
Предположим, что запас сырья ресурса «труд» изменился на 24 единиц, т. е. теперь он составляет 2000 + 24 = 2024 единиц. Из теоремы об оценках, известно, что колебание величины bi приводит к увеличению или уменьшению f(X). Оно определяется величиной yi в случае, когда при изменении величин bi значения переменных yi в оптимальном плане соответствующей двойственной задачи остаются неизменными. В нашей задаче увеличение запасов ресурса «труд» приведет к увеличению значения целевой функции на 36 тыс. руб.(Df(x)= D b1? y1 =24?1,5 = 36). Для двойственных оценок оптимального плана весьма существенное значение имеет их предельный характер. Точной мерой влияния ограничений на функционал оценки являются лишь при малом приращении ограничения. Известно, что оценки не меняют своей величины, если не меняется набор векторов, входящих в базис оптимального плана, тогда как интенсивность этих векторов (значения неизвестных) в плане могут меняться.
Поэтому необходимо знать такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы ограничений исходной ЗЛП, или интервалы устойчивости двойственных оценок, в которых оптимальный план двойст-венной задачи не менялся бы. Эту информацию можно получить из Отчета по устойчивости. В нашей задаче в ниже приведенном фрагменте отчета видно, что запасы дефицитных ресурсов труд и оборудование могут быть, как уменьшены, так и увеличены, увеличение запаса ресурса сырье не повлияет на план выпуска продукции.
Ограничение Допустимое Допустимое
Правая часть Увеличение Уменьшение
2000 220 380
15000 1E+30 2400
7400 1266,666667 733,3333333
1500 1E+30 950
Изделие четвертого вида
Вид ресурсов 4 вид
Труд 8
Сырье 1 4
Сырье 2 20
Оборудование 6
Цена изделия четвертого вида = 11 ед.
8Y1 + 4Y2 + 20Y3 + 6Y4 ? 11
8*1,5 + 4*0 + 20*0,15 + 6*0? 11
15 ? 11
Так как 15 ? 11, то вариант включения изделия четвертого вида в план не целесообразен, так как затраты на его изготовление не покрываются получаемой прибылью.
Задача 3.
Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева построить баланс производства и распределения продукции предприятий .
Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие — продукции второго вида; третье предприятие — продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки аij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.
Требуется:
1. Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.
В соответствии с номером Вашего варианта ниже в таблице 1 выберите числовые значения для таблицы 2.
Таблица 1
Вариант Для первой строки Для второй строки Для третьей строки
№ 1А 2А 3А 4А 1Б 2Б 3Б 4Б 1В 2В 3В 4В
10 0,1 0,1 0,2 160 0,1 0,2 0,3 180 0,1 0,2 0,3 170
Таблица 2
Предприятия
(виды продукции) Коэффициенты прямых затрат аi j Конечный продукт Y
1 2 3
3 1А
1В 2А
2В 3А
3В 4А
Решение:
Проверить продуктивность технологической матрицы А
Рисунок 1. Проверка матрицы на продуктивность.
Все элементы матрицы больше нуля, значит матрица А продуктивна.
Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.
Рисунок 2. Решение системы уравнений методом Жордана – Гаусса.
Рисунок 3. Межотраслевой баланс производства и распределения продукции.
Задача 4.
Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда .
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице
Номер варианта Номер наблюдения ( t = 1,2,…,9)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 33 35 40 41 45 47 45 51 53
Требуется:
1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( — расчетные, смоделированные значения временного ряда).
4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).
Решение:
1) Проверим наличие аномальных наблюдений.
Рисунок 1. Проверка наличия аномальных зон
Используем метод Ирвина
t Yt Y-Ycp (Y-Ycp)2 1 33 -10,33 106,7089
2 35 -8,33 69,3889 0,29651594
3 40 -3,33 11,0889 0,74128984
4 41 -2,33 5,4289 0,14825797
5 45 1,67 2,7889 0,59303188
6 47 3,67 13,4689 0,29651594
7 45 1,67 2,7889 0,29651594
8 51 7,67 58,8289 0,88954781
9 53 9,67 93,5089 0,29651594
45 390 364,0001
Ycp=390/9=43,33
Табличные значения для a=0,05 l=1,5
Т.к. все расчетные значения меньше табличных, то аномальных наблюдений нет.
2) Для оценки параметров линейной модели y(t)=a0+a1t с помощью МНК (метода наименьших квадратов) необходимо составить систему нормальных уравнений и найти значения параметров модели a0 и a1:
t Yt t2 t*Yt
1 33 1 33
2 35 4 70
3 40 9 120
4 41 16 164
5 45 25 225
6 47 36 282
7 45 49 315
8 51 64 408
9 53 81 477
? 390 285 2094
Уравнение модели выглядит следующим образом:
Оценим адекватность построенной модели на основе исследования
1. Случайность значений остатков (критерий поворотных точек или критерий пиков).
Случайность значений остатков (критерий поворотных точек — пиков).
Необходимое условие для соблюдения свойства:
— то — поворотная точка
— то — неповоротная точка
t Yt Yрасч Et m Et2 (Et-Et-1)2 Et/Yt |E(t)|
1 33 33,7 -0,7 0,49 0,021 0,7
2 35 36,1 -1,1 1 1,21 0,16 0,031 1,1
3 40 38,5 1,5 1 2,25 6,76 0,038 1,5
4 41 40,9 0,1 1 0,01 1,96 0,002 0,1
5 45 43,3 1,7 1 2,89 2,56 0,038 1,7
6 47 45,7 1,3 0 1,69 0,16 0,028 1,3
7 45 48,1 -3,1 1 9,61 19,36 0,069 3,1
8 51 50,5 0,5 1 0,25 12,96 0,010 0,5
9 53 52,9 0,1 0,01 0,16 0,002 0,1
45 390 389,7 0,3 6 18,41 44,08 0,239 10,1
Рисунок 2. Оценка адекватности построенной модели
m = 6 n = 9
6 > 2 – неравенство выполняется, свойство выполняется
2. Независимость уровней ряда остатков по критерию Дарбина-Уотсона.
Так как dрасч попадает в интервал от 2 до 4, то находим
свойство выполняется. Остатки не зависимы
3. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью R/S – критерия:
Нижняя граница — 2,7
Верхняя граница – 3,7
2,7 < 3,2 < 3,7 – свойство выполняется
4. Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы. M(E) = 0. С этой целью строится t- статистика:
=0,3/9=0,03,
=0,03/1,517*3=0,59
tтабл=2,31
tрасч < tтабл свойство выполняется
Вывод: Уравнение модели считается адекватным, так как выполняются все свойства по указанным критериям.
Точность модели
1. Стандартная ошибка отклонения
2. Средняя относительная ошибка аппроксимации.
S = 2,66% < 15% — модель считается точной
Составим точечный и интервальный прогнозы
Интервальный прогноз
n = 9 k = 1
точечный прогноз при t=10
55,3 ± 2,36 * 2,0
55,3 ± 4,7
Нижняя граница 55,3 – 4,7 = 50,6
Верхняя граница 55,3 + 4,7 = 60
(50,6 ? 60)
n = 9 k = 2
точечный прогноз при t=11
57,7 ± 2,36 * 2,12
57,7 ± 5
Нижняя граница 57,7 – 5 = 52,7
Верхняя граница 57,7 + 5 = 62,7
(52,7 ? 62,7)
Рисунок 3. Результат моделирования и прогнозирования.
