Выдержка из текста работы
Таким образом, получим, что наименьшее значение функции z достигается в точке (0; 0) zнаим = 4, а наибольшее значения функции в точке А(-2; -4) zнаиб = 24.
б) вектор — градиент функции в точке А(1; -1).
Задача 2
Исследовать на сходимость данный ряд:
Решение
Воспользуемся интегральным признаком Коши:
Так как интеграл расходится, то и ряд тоже расходится.
Задача 3
Найти область сходимости данного ряда.
15.10. .
Решение
Общий член ряда
Для исследования ряда на абсолютную сходимость применим признак Даламбера.
Таким образом, при , то есть при -1 < x < 1 исходный ряд сходится абсолютно.
Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.
При х = -1 заданный ряд принимает вид:
Это числовой знакочередующийся ряд. Его общий член по абсолютной величине монотонно убывает и стремится к нулю при . Таким образом, оба условия признака Лейбница выполнены и ряд сходится.
При х = 1 заданный ряд принимает вид:
Ряд расходится как гармонический.
Область сходимости исходного степенного ряда: . Вне этого интервала ряд расходится.
Задача 4
Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения:
Решение
Полагаем y = uv, где u и v — неизвестные функции от х,
Подставим в исходное уравнение
Подберем функцию v = v(x) так, чтобы выражение, содержащееся в скобке было равно нулю.
Для определения функции u(x) имеем
Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:
Задача 5.
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Решение
Находим общее решение Y однородного уравнения с теми же коэффициентами, что и в левой части заданного уравнения.
Составим характеристическое уравнение
k2 — 3k + 2 = 0
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Подбираем частное решение исходного неоднородного уравнения.
Подставим в исходное уравнение.
Общее решение заданного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид
Найдем частное решение дифференциального уравнения.
Подставляя начальные условия в общее решение и его производную, получим систему уравнений относительно С1 и С2.
