Даны выборочные значения спроса yi на некоторый товар и среднего дохода xi покупателей. Найдите точечные оценки параметров линейной регрессии, Эконометрика

Выдержка из текста работы

По данным об экономических результатах деятельности российских банков, по данным Банка России и Федеральной службы государственной статистики выполните следующие задания:

1. Проведите качественный анализ связей экономических переменных, выделив зависимую и независимую переменные

2. Постройте поле корреляции результата и фактора

3. Рассчитайте параметры следующих функций:

· линейной

· степенной

· показательной

· равносторонней гиперболы

4. Оцените качество каждой модели через среднюю ошибку аппроксимации и -критерий Фишера

5. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 15% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости

6. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

Таблица 1

Регион	Кредиты, предоставленные предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млн. руб.	Среднегодовая численность занятых в экономике, тыс. чел.
Белгородская область	342,5	671,3
Брянская область	275,4	593,7
Владимирская область	112,1	726,4
Воронежская область	274,5	1090,9
Ивановская область	141,5	491,2
Калужская область	129	488,7
Костромская область	50,7	337,6
Курская область	401,3	616,6
Липецкая область	125,3	572,8
Московская область	5814,2	2441,9
Орловская область	58	420
Рязанская область	456,5	539,5
Смоленская область	192,2	473,9
Тамбовская область	82,3	532,8
Тверская область	319,1	669,6
Тульская область	638,3	786,9
Ярославская область	727,9	666,5
Москва	811856,3	5406,1
Республика Карелия	41	343,1

Решение

1. По данным об экономических результатах деятельности российских банков среднегодовая численность занятых в экономике зависит от величины кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам.

Поэтому кредиты, предоставленные предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам (независимая переменная), среднегодовая численность занятых в экономике (зависимая переменная).

2. Построим поле корреляции результата и фактора (на координатную плоскость наносим точки ( (кредиты, предоставленные предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам), (среднегодовая численность занятых в экономике)):

Рис. 1 Поле корреляции

· Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:

Для расчёта параметров и линейной регрессии необходимо решить систему нормальных уравнений относительно и :

По исходным данным определяем

, , , , , .

Составим вспомогательную таблицу 1.

Параметр можно рассчитать по формуле:

Параметр рассчитывается по формуле:

Следовательно, уравнение линейной регрессии имеет вид:

Таблица 1

№
1	671,3	342,5	229920	450643,69	117306	3848,266	12290393,669	1553691799	1842355013	10,236
2	593,7	275,4	163504,98	352479,69	75845,16	-7514,109	60676447,422	2578534461	1848119736	28,284
3	726,4	112,1	81429,44	527656,96	12566,41	11916,137	139335299,321	982761415	1862186860	105,299
4	1090,9	274,5	299452,05	1190062,81	75350,25	65287,085	4226636211,520	484965042,7	1848197119	236,840
5	491,2	141,5	69504,8	241277,44	20022,25	-22522,400	513652361,870	4328003462	1859650324	160,169
6	488,7	129	63042,3	238827,69	16641	-22888,456	529803273,923	4376301308	1860728572	178,430
7	337,6	50,7	17116,32	113973,76	2570,49	-45012,873	2030725644,490	7793011732	1867489826	888,828
8	616,6	401,3	247441,58	380195,56	161041,69	-4161,037	20814918,218	2249244454	1837310765	11,369
9	572,8	125,3	71771,84	328099,84	15700,09	-10574,336	114482210,087	2898691667	1861047793	85,392
10	2441,9	5814,2	14197694,98	5962875,61	33804921,64	263103,684	66197878424,116	48328975115	1402574641	257289,484
11	420	58	24360	176400	3364	-32947,671	1089374350,653	5808396165	1866858948	569,063
12	539,5	456,5	246281,75	291060,25	208392,25	-15450,200	253023115,342	3447493909	1832581641	15906,700
13	473,9	192,2	91083,58	224581,21	36940,84	-25055,507	637446692,320	4667713926	1855280155	131,362
14	532,8	82,3	43849,44	283875,84	6773,29	-16431,230	272696676,117	3563659367	1864759671	200,650
15	669,6	319,1	213669,36	448364,16	101824,81	3599,348	10760025,466	1573376910	1844364341	10,280
16	786,9	638,3	502278,27	619211,61	407426,89	20774,690	405474192,671	505821393,5	1817049463	31,547
17	666,5	727,9	485145,35	444222,25	529838,41	3145,438	5844492,309	1609592308	1809418757	3,321
18	5406,1	811856,3	4388976343	29225917	659110651850	697128,822	13162394214,302	427537684320	590732335632	0,141
19	343,1	41	14067,1	117717,61	1681	-44207,550	1957934214,728	7651475622	1868328281	1079,233
Сумма	17869,5	822038,1	4406037957	41617443	659146250056	822038,1	91641243159	531939394379	623580637538	276926,629
Среднее	940,5	43265,163	231896734,6	2190391,747	34691907898	43265,16316	4823223324	27996810230	32820033555	14575,0857
	1305851	32820033555
	1142,739	181163,0027

То есть при увеличении кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам на 1 млн. руб., среднегодовая численность занятых в экономике увеличиваются на 146,422 млн. руб.

· Перед построением степенной модели проведём процедуру линеаризации переменных путём логарифмирования обеих частей этого уравнения:

Сделаем замену:

Составим вспомогательную таблицу 2:

Параметр определим по формуле:

Таблица 2

№
1	671,3	342,5	6,509	5,836	37,990	42,370	34,062	319,140	546	1844360886	1842355013	0,068
2	593,7	275,4	6,386	5,618	35,880	40,786	31,564	217,687	3331	1853085213	1848119736	0,210
3	726,4	112,1	6,588	4,719	31,092	43,403	22,273	408,015	87566	1836735110	1862186860	2,640
4	1090,9	274,5	6,995	5,615	39,275	48,927	31,528	1447,768	1376558	1748694533	1848197119	4,274
5	491,2	141,5	6,197	4,952	30,689	38,401	24,525	120,641	435	1861449808	1859650324	0,147
6	488,7	129	6,192	4,860	30,091	38,338	23,618	118,739	105	1861613931	1860728572	0,080
7	337,6	50,7	5,822	3,926	22,856	33,894	15,413	37,524	174	1868628825	1867489826	0,260
8	616,6	401,3	6,424	5,995	38,511	41,271	35,937	244,918	24455	1850741470	1837310765	0,390
9	572,8	125,3	6,351	4,831	30,678	40,329	23,336	194,698	4816	1855065010	1861047793	0,554
10	2441,9	5814,2	7,801	8,668	67,615	60,848	75,135	17805,058	143780685	648216935	1402574641	2,062
11	420	58	6,040	4,060	24,526	36,485	16,487	74,078	259	1865469821	1866858948	0,277
12	539,5	456,5	6,291	6,124	38,521	39,572	37,498	161,567	86986	1857920044	1832581641	0,646
13	473,9	192,2	6,161	5,259	32,398	37,958	27,652	107,894	7107	1862549850	1855280155	0,439
14	532,8	82,3	6,278	4,410	27,689	39,415	19,451	155,399	5344	1858451740	1864759671	0,888
15	669,6	319,1	6,507	5,766	37,514	42,337	33,241	316,630	6	1844576504	1844364341	0,008
16	786,9	638,3	6,668	6,459	43,068	44,464	41,716	523,457	13189	1826853483	1817049463	0,180
17	666,5	727,9	6,502	6,590	42,850	42,277	43,430	312,087	172900	1844966751	1809418757	0,571
18	5406,1	811856,3	8,595	13,607	116,957	73,879	185,153	211582,749	360328335783	28330809773	590732335632	0,739
19	343,1	41	5,838	3,714	21,680	34,083	13,791	39,460	2	1868461379	1868328281	0,038
Сумма	17869,5	822038,1	124,144	111,008	749,879	819,035	735,810	234187,510	360473900247	60388651066	623580637538	14,47
Среднее	940,5	43265,163	6,534	5,843	39,467	43,107	38,727	12325,658	18972310539	3178350056	32820033555	0,762
			0,415	4,591
			0,644	2,143

Тогда уравнение имеет вид:

Выполним его потенцирование:

То есть при увеличении кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам на 1%, среднегодовая численность занятых в экономике увеличиваются на 3,114%.

· Показательная модель регрессии имеет вид:

Проведём процедуру линеаризации путём логарифмирования обеих частей уравнения:

Сделаем замену:

Следовательно, уравнение имеет вид:

Составим вспомогательную таблицу 3:

Параметр определим по формуле:

Следовательно, уравнение регрессии имеет вид:

Выполним его потенцирование, получим:

· Уравнение гиперболы линеаризуется при помощи замены ,

Таблица 3

№
1	671,3	342,5	5,836	3917,889	450643,69	34,062	213,3877164	16670	1853455369	1842355013	0,377
2	593,7	275,4	5,618	3335,540	352479,69	31,564	185,843946	8020,286813	1855827744	1848119736	0,325
3	726,4	112,1	4,719	3428,166	527656,96	22,273	235,3896796	15200,3451	1851561406	1862186860	1,100
4	1090,9	274,5	5,615	6125,350	1190062,81	31,528	450,521938	30983,72266	1833093503	1848197119	0,641
5	491,2	141,5	4,952	2432,570	241277,44	24,525	154,8346318	177,8124051	1858500426	1859650324	0,094
6	488,7	129	4,860	2374,990	238827,69	23,618	154,1467738	632,3602303	1858559734	1860728572	0,195
7	337,6	50,7	3,926	1325,393	113973,76	15,413	117,7778594	4499,439226	1861696858	1867489826	1,323
8	616,6	401,3	5,995	3696,338	380195,56	35,937	193,5801402	43147,54014	1855161264	1837310765	0,518
9	572,8	125,3	4,831	2767,031	328099,84	23,336	179,0535636	2889,445605	1856412840	1861047793	0,429
10	2441,9	5814,2	8,668	21166,532	5962875,61	75,135	4996,537318	668572,2613	1464487724	1402574641	0,141
11	420	58	4,060	1705,386	176400	16,487	136,3946367	6145,71907	1860090674	1866858948	1,352
12	539,5	456,5	6,124	3303,676	291060,25	37,498	168,7432991	82803,91889	1857301405	1832581641	0,630
13	473,9	192,2	5,259	2492,020	224581,21	27,652	150,1367933	1769,313355	1858905498	1855280155	0,219
14	532,8	82,3	4,410	2349,846	283875,84	19,451	166,7417328	7130,406245	1857473929	1864759671	1,026
15	669,6	319,1	5,766	3860,582	448364,16	33,241	212,7426294	11311,89027	1853510913	1844364341	0,333
16	786,9	638,3	6,459	5082,436	619211,61	41,716	262,1694837	141474,1653	1849257465	1817049463	0,589
17	666,5	727,9	6,590	4392,344	444222,25	43,430	211,5713108	266595,3153	1853611771	1809418757	0,709
18	5406,1	811856,3	13,607	73561,228	29225917,21	185,153	980343,843	28388052145	878116452206	590732335632	0,208
19	343,1	41	3,714	1274,127	117717,61	13,791	118,9372034	6074,207668	1861596814	1868328281	1,901
Сумма	17869,5	822038,1	111,008	148591,444	41617443,19	735,810	988652,3537	28389366243	911116957541	623580637538	12,110
Среднее	940,5	43265,163	5,843	7820,602	2190391,747	38,727	52034,334	1494177171	47953524081	32820033555	0,637
	1305851,497		4,591
	1142,739		2,143

тогда уравнение имеет вид:

Для расчётов используем данные таблицы 4.

Параметр определим по формуле:

Уравнение регрессии имеет вид:

4. Величина средней ошибки аппроксимации определяется как среднее отклонение расчётных значений от фактических:

Таблица 4

№			z=1/x
1	671,3	342,5	0,001490	0,51020	117306	0,0000022	68799,744	4686394275	652014825,7	1842355013	199,875
2	593,7	275,4	0,001684	0,4639	75845,16	0,0000028	42347,442	1770056704	842212,4353	1848119736	152,767
3	726,4	112,1	0,001377	0,1543	12566,41	0,0000019	84151,023	7062540623	1671653556	1862186860	749,678
4	1090,9	274,5	0,000917	0,2516	75350,25	0,0000008	146642,704	21423651234	10686916016	1848197119	533,218
5	491,2	141,5	0,002036	0,2881	20022,25	0,0000041	-5403,716	30749425,41	2368659842	1859650324	39,189
6	488,7	129	0,002046	0,2640	16641	0,0000042	-6818,613	48269329,76	2508384658	1860728572	53,857
7	337,6	50,7	0,002962	0,1502	2570,49	0,0000088	-131242,89	17238007868	30453062069	1867489826	2589,617
8	616,6	401,3	0,001622	0,6508	161041,69	0,0000026	50846,100	2544677854	57470604,48	1837310765	125,703
9	572,8	125,3	0,001746	0,2188	15700,09	0,0000030	33997,919	1147354287	85881822,66	1861047793	270,332
10	2441,9	5814,2	0,000410	2,381014784	33804921,64	0,0000002	215544,095	43986628650	29680030187	1402574641	209729,895
11	420	58	0,002381	0,1381	3364	0,0000057	-52291,294	2740448602	9131036541	1866858948	902,574
12	539,5	456,5	0,001854	0,846153846	208392,25	0,0000034	19358,116	357271077,1	571546916,8	1832581641	18901,616
13	473,9	192,2	0,002110	0,4056	36940,84	0,0000045	-15500,580	246263344,9	3453412572	1855280155	81,648
14	532,8	82,3	0,001877	0,1545	6773,29	0,0000035	16191,433	259504157,5	732986879	1864759671	195,737
15	669,6	319,1	0,001493	0,4766	101824,81	0,0000022	68285,934	4619490586	626038996,3	1844364341	212,995
16	786,9	638,3	0,001271	0,8112	407426,89	0,0000016	98530,578	9582898141	3054266105	1817049463	153,364
17	666,5	727,9	0,001500	1,0921	529838,41	0,0000023	67342,240	4437470252	579705614,2	1809418757	91,516
18	5406,1	811856,3	0,000185	150,1741	65911065185	0,0000000	246049,795	320137000832	41121607008	590732335632	0,697
19	343,1	41	0,002915	0,1195	1681	0,0000085	-124791,92	15583259090	28243184781	1868328281	3044,705
Сумма	17869,5	822038,1	0,0318743	159,5506	659146250056	0,0000624	822038,1	457901936332	165678701206	623580637538	238028,984
Среднее	940,5	43265,163	0,002	8,397	34691907898	0,0000033	43265,163	24100101912	8719931642	32820033555	12527,841
		32820033554	0,000
		181163,003	0,001

То есть среднее отклонение фактических и расчётных значений составляет 1457508,57%, так как допустимый предел отклонения , то можно сказать, что линейная модель некорректно описывает указанную зависимость.

То есть среднее отклонение фактических и расчётных значений составляет 76,2%, так как допустимый предел отклонения , то можно сказать, что степенная модель некорректно описывает указанную зависимость.

То есть среднее отклонение фактических и расчётных значений составляет 63,7%, так как допустимый предел отклонения , то можно сказать, что показательная модель некорректно описывает указанную зависимость.

То есть среднее отклонение фактических и расчётных значений составляет 12527,841%, так как допустимый предел отклонения , то можно сказать, что модель равносторонней гиперболы некорректно описывает указанную зависимость.

Выдвинем гипотезу о статистической не значимости уравнения регрессии в целом.

Проведём сравнение фактического и критического значений -критерия Фишера. определяется по формуле:

находим с помощью статистических таблиц на уровне значимости

Так как все (кроме степенного), то гипотеза о случайном отклонении коэффициентов от нуля отвергается, следовательно, уравнения (кроме степенного) статистически значимы.

5. Прогнозное значение определяется путём подстановки в уравнение регрессии прогнозного значения (в нашем случае )

Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза:

где .

Строится доверительный интервал:

· Для линейной модели.

Строим доверительный интервал:

Следовательно, при увеличении кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам на 15% среднегодовая численность занятых в экономике с вероятностью 0,95 будут находиться в интервале от млн. руб. до 222171,773 млн. руб.

· Для степенной модели.

Строим доверительный интервал:

Следовательно, при увеличении кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам на 15% среднегодовая численность занятых в экономике с вероятностью 0,95 при использовании степенной модели будут находиться в интервале от млн. руб. до 315269,129 млн. руб.

· Для показательной модели.

Строим доверительный интервал:

Следовательно, при увеличении кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам на 15% среднегодовая численность занятых в экономике с вероятностью 0,95 при использовании показательной модели будут находиться в интервале от млн. руб. до 88522,896 млн. руб.

· Для гиперболической модели.

Строим доверительный интервал:

Следовательно, при увеличении кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам на 15% среднегодовая численность занятых в экономике с вероятностью 0,95 при использовании модели гиперболы будут находиться в интервале от млн. руб. до 499309,397 млн. руб.

6. По полученным данным видно, что ни одно из уравнений для описания предложенной зависимости не подходит. (Ошибка аппроксимации для всех уравнений превышает норму в несколько раз).

Задание № 2.

По данным об экономических результатах деятельности российских банков выполните следующие задания:

1. Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

2. Определите стандартизованные коэффициенты регрессии

3. Определите парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции

4. Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего -критерия Фишера

5. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений

6. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

Таблица 5

Банк	Кредиты предприятиям и организациям, млн. руб.	Средства предприятий и организаций, %	Выпущенные ценные бумаги, %
Сбербанк	1073255	19	3
Внешторгбанк	189842	25	12
Газпромбанк	207118	38	22
Альфа-банк	138518	30	3
Банк Москвы	90757	27	5
Росбанк	62388	55	10
Ханты-Мансийский банк	4142	9	0
МДМ-банк	51731	25	5
ММБ	48400	62	2
Райффайзенбанк	46393	42	0
Промстройбанк	45580	29	11
Ситибанк	33339	46	0
Уралсиб	43073	19	10
Межпромбанк	60154	7	37
Промсвязьбанк	32761	46	11
Петрокоммерц	23053	37	11
Номос-банк	28511	17	24
Зенит	25412	36	17
Русский стандарт	3599	1	14
Транскредитбанк	18506	46	27

Решение

1. Линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:

Параметры уравнения определим с помощью функции регрессии.

Таблица 6 Вывод итогов

Регрессионная статистика
Множественный R	0,257352
R-квадрат	0,06623
Нормированный R-квадрат	-0,04363
Стандартная ошибка	238263
Наблюдения		20
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	6,85E+10	3,42E+10	0,602885	0,55852
Остаток	17	9,65E+11	5,68E+10
Итого	19	1,03E+12
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%
Y-пересечение	255779,9	146224,5	1,749228	0,098281	-52727,2
Переменная X 1	-2853,05	3473,83	-0,8213	0,422845	-10182,2
Переменная X 2	-5051,73	5604,129	-0,90143	0,379954	-16875,4

Следовательно, уравнение имеет вид:

То есть при увеличении средств предприятий и организаций на 1% кредиты предприятиям и организациям уменьшаются на 2853,05 млн. руб.

При увеличении выпущенных ценных бумаг на 1% кредиты предприятиям и организациям уменьшаются на 5051,73 млн. руб.

2. Стандартизованные коэффициенты регрессии рассчитаем по формулам:

Составим вспомогательную расчетную таблицу 7

Таким образом, уравнение регрессии в стандартизованном масштабе имеет вид:

То есть при увеличении средств предприятий и организаций на среднеквадратическое отклонение кредиты предприятиям и организациям уменьшаются на 0,198 от своего среднеквадратического отклонения.

Таблица 7

	y	x1	x2
1	1073255	19	3	20391845	3219765	57	361	9	1151876295025
2	189842	25	12	4746050	2278104	300	625	144	36039984964
3	207118	38	22	7870484	4556596	836	1444	484	42897865924
4	138518	30	3	4155540	415554	90	900	9	19187236324
5	90757	27	5	2450439	453785	135	729	25	8236833049
6	62388	55	10	3431340	623880	550	3025	100	3892262544
7	4142	9	0	37278	0	0	81	0	17156164
8	51731	25	5	1293275	258655	125	625	25	2676096361
9	48400	62	2	3000800	96800	124	3844	4	2342560000
10	46393	42	0	1948506	0	0	1764	0	2152310449
11	45580	29	11	1321820	501380	319	841	121	2077536400
12	33339	46	0	1533594	0	0	2116	0	1111488921
13	43073	19	10	818387	430730	190	361	100	1855283329
14	60154	7	37	421078	2225698	259	49	1369	3618503716
15	32761	46	11	1507006	360371	506	2116	121	1073283121
16	23053	37	11	852961	253583	407	1369	121	531440809
17	28511	17	24	484687	684264	408	289	576	812877121
18	25412	36	17	914832	432004	612	1296	289	645769744
19	3599	1	14	3599	50386	14	1	196	12952801
20	18506	46	27	851276	499662	1242	2116	729	342472036
Сумма	2226532	616	224	58034797	17341217	6174	23952	4422	1281400208802
Среднее	111326,6	30,8	11,2	2901740	867060,85	308,7	1197,6	221,1	64070010440
²	51676398573	248,96	95,66
	227324,4346	15,778	9,781

При увеличении выпущенных ценных бумаг на среднеквадратическое отклонение кредиты предприятиям и организациям уменьшаются на 0,217 от своего среднеквадратического отклонения.

3. Парные коэффициенты корреляции найдём по формулам:

Частные коэффициенты корреляции можно выразить через парные коэффициенты, следующим образом:

Определим множественный коэффициент корреляции:

Так как , следовательно, зависимость кредиты предприятиям и организациям от средств предприятий и организаций и выпущенных ценных бумаг практически отсутствует.

4. Выдвинем гипотезу о случайном отличии коэффициентов , , от нуля.

Общий критерий проверяет гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи:

Сравнивая и , приходим к выводу, что причин для отклонения гипотезы нет, так как с вероятностью 0,95 делаем заключение о статистической не значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи .

Так как (или 6,6%), то 6,6% изменения кредиты предприятиям и организациям связано с изменением средств предприятий и организаций и выпущенных ценных бумаг и 93,4% от других факторов.

5. Прогнозное значение факторов составляют 80% от их максимальных значениях, следовательно:

Таким образом

(млн. руб.).

То есть, если прогнозные значения факторов составят 80% от их максимальных значений, прогнозное значение кредитов предприятиям и организациям составит млн. руб.

6. Так как распределение -Фишера указывает на то, что гипотезу о незначимости уравнения регрессии следует принять, то уравнение статистически незначимо, следовательно, не описывает указанную зависимость.

Задание № 3.

По данным о средних потребительских ценах в РФ, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:

1. Параметры линейного, экспоненциального, степенного, гиперболического трендов, описывающих динамику доли малых предприятий. Выберите из них наилучший, используя среднюю ошибку аппроксимации и коэффициент детерминации

2. Выбрать лучшую форму тренда и выполнить точечный прогноз на 2012, 2013 и 2014 годы

3. Определить коэффициенты автокорреляции 1, 2, 3 и 4 порядков

4. Построить автокорреляционную функцию временного ряда. Охарактеризовать структуру этого ряда.

Таблица 8

Год	Театры, за билет
1998	17,32
1999	25,12
2000	33,60
2001	45,08
2002	61,77
2003	72,06
2004	89,70
2005	111,43
2006	134,44
2007	162,11
2008	208,26
2009	243,09
2010	278,17
2011	343,80

Решение

1. Построим поле корреляции:

Рис. 2 Поле корреляции

· Добавив линию тренда (линейная, показать уравнение на диаграмме, поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации ), получим:

Рис. 3 Поле корреляции

Следовательно, уравнение линейной зависимости имеет вид:

То есть

· Изменив тип линии тренда на степенную, получим:

Рис. 4 Поле корреляции

Следовательно, уравнение степенной зависимости имеет вид:

То есть

· Изменив тип линии тренда на экспоненциальную, получим:

Рис. 5 Поле корреляции

Следовательно, уравнение экспоненциальной зависимости имеет вид:

То есть

· Изменив тип линии тренда на логарифмическую, получим:

Рис. 6 Поле корреляции

Следовательно, уравнение логарифмической зависимости имеет вид:

То есть

Коэффициент детерминации, объясняющий долю дисперсии, вызванной факторным признаком, определяется по формуле:

или «-квадрат» на диаграмме.

Таким образом

Величина средней ошибки аппроксимации определяется как среднее отклонение расчётных значений от фактических:

Составим вспомогательную таблицу:

Таблица 9

		Линейная	Степенная	Экспоненциальная	Логарифмическая

1	17,32	-23,375	2,350	11,203	0,353	21,809	0,259	-67,978	4,925
2	25,12	0,287	0,989	25,206	0,003	27,214	0,083	8,448	0,664
3	33,6	23,949	0,287	40,506	0,206	33,959	0,011	53,155	0,582
4	45,08	47,611	0,056	56,713	0,258	42,374	0,060	84,875	0,883
5	61,77	71,273	0,154	73,631	0,192	52,876	0,144	109,479	0,772
6	72,06	94,935	0,317	91,137	0,265	65,979	0,084	129,581	0,798
7	89,7	118,597	0,322	109,148	0,217	82,331	0,082	146,578	0,634
8	111,43	142,259	0,277	127,603	0,145	102,734	0,078	161,301	0,448
9	134,44	165,921	0,234	146,454	0,089	128,194	0,046	174,288	0,296
10	162,11	189,583	0,169	165,666	0,022	159,963	0,013	185,905	0,147
11	208,26	213,245	0,024	185,208	0,111	199,606	0,042	196,414	0,057
12	243,09	236,907	0,025	205,054	0,156	249,072	0,025	206,008	0,153
13	278,17	260,569	0,063	225,184	0,190	310,798	0,117	214,833	0,228
14	343,8	284,231	0,173	245,578	0,286	387,821	0,128	223,004	0,351
Сумма	1825,95	1825,992	5,441	1708,291	2,494	1864,730	1,173	1825,892	10,937
Среднее			0,389		0,178		0,084		0,781

38,9% больше допустимых 10%, т.е модель составлена некорректно.

17,8% больше допустимых 10%, т.е. модель составлена некорректно.

8,4% меньше допустимых 10%, т.е. модель составлена некорректно.

78,1% больше допустимых 10%, т.е. модель составлена некорректно.

По полученным данным видно, что только экспоненциальная модель отражает указанную зависимость.

Наилучшей из предложенных моделей является экспоненциальная зависимость, она отражает 98,75% изменения цены на билет от времени.

2. Выполним точный прогноз на 2012, 2013 и 2014 годы:

17,478*EXP(0,2214*15)= 483,9312965 (руб.)

17,478*EXP(0,2214*16)= 603,8603407 (руб.)

17,478*EXP(0,2214*17)= 753,5104957 (руб.).

3. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции.

Для этого составляем первую вспомогательную таблицу 10.

Таблица 10


1	17,32
2	25,12	17,32	-115,34	-96,69	11152,18	13302,78	9349,25
3	33,60	25,12	-106,86	-88,89	9498,74	11418,57	7901,71
4	45,08	33,60	-95,38	-80,41	7669,47	9096,90	6466,02
5	61,77	45,08	-78,69	-68,93	5424,06	6191,75	4751,56
6	72,06	61,77	-68,40	-52,24	3573,20	4678,24	2729,18
7	89,70	72,06	-50,76	-41,95	2129,36	2576,34	1759,93
8	111,43	89,70	-29,03	-24,31	705,71	842,61	591,05
9	134,44	111,43	-6,02	-2,58	15,53	36,21	6,66
10	162,11	134,44	21,65	20,43	442,32	468,82	417,32
11	208,26	162,11	67,80	48,10	3261,19	4597,15	2313,46
12	243,09	208,26	102,63	94,25	9672,94	10533,39	8882,77
13	278,17	243,09	137,71	129,08	17775,69	18964,68	16661,25
14	343,80	278,17	203,34	164,16	33380,36	41348,09	26948,00
Сумма	1825,95	1482,15	-17,32	0,00	104700,76	124055,55	88778,16
Среднее	140,46	114,01	-1,33	0,00	8053,90	9542,73	6829,09

Величина коэффициента автокорреляции уровней ряда первого порядка измеряет зависимость между соседними уровнями ряда при лаге 1.

Следовательно

где ;

Составляем вспомогательную таблицу для расчёта коэффициента автокорреляции второго порядка.

Таблица 11


1	17,32
2	25,12
3	33,60	17,32	-118,56	-83,01	9842,07	14057,07	6890,94
4	45,08	25,12	-107,08	-75,21	8053,85	11466,66	5656,79
5	61,77	33,60	-90,39	-66,73	6032,04	8170,80	4453,12
6	72,06	45,08	-80,10	-55,25	4425,80	6416,41	3052,75
7	89,70	61,77	-62,46	-38,56	2408,66	3901,56	1487,00
8	111,43	72,06	-40,73	-28,27	1151,58	1659,14	799,29
9	134,44	89,70	-17,72	-10,63	188,42	314,09	113,03
10	162,11	111,43	9,95	11,10	110,40	98,95	123,17
11	208,26	134,44	56,10	34,11	1913,39	3146,93	1163,38
12	243,09	162,11	90,93	61,78	5617,35	8267,81	3816,56
13	278,17	208,26	126,01	107,93	13599,78	15877,89	11648,53
14	343,80	243,09	191,64	142,76	27357,85	36724,93	20379,94
Сумма	1825,95	1203,98	-42,44	0,00	80701,19	110102,24	59584,50
Среднее	152,16	100,33	-3,54	0,00	6725,10	9175,19	4965,37

Следовательно

где ,

Составляем вспомогательную таблицу для расчёта коэффициента автокорреляции третьего порядка.

Таблица 12


1	17,32
2	25,12
3	33,60
4	45,08	17,32	-120,92	-70,03	8468,15	14620,55	4904,71
5	61,77	25,12	-104,23	-62,23	6486,33	10862,95	3873,03
6	72,06	33,60	-93,94	-53,75	5049,37	8823,87	2889,45
7	89,70	45,08	-76,30	-42,27	3225,29	5821,00	1787,06
8	111,43	61,77	-54,57	-25,58	1395,98	2977,39	654,52
9	134,44	72,06	-31,56	-15,29	482,60	995,75	233,90
10	162,11	89,70	-3,89	2,35	-9,12	15,10	5,51
11	208,26	111,43	42,26	24,08	1017,58	1786,29	579,67
12	243,09	134,44	77,09	47,09	3630,10	5943,57	2217,13
13	278,17	162,11	112,17	74,76	8385,76	12583,13	5588,51
14	343,80	208,26	177,80	120,91	21497,70	31614,46	14618,35
Сумма	1825,95	960,89	0,00	0,00	59629,74	96044,04	37351,83
Среднее	166,00	87,35	0,00	0,00	5420,89	8731,28	3395,62

Следовательно

где ,

Составляем вспомогательную таблицу для расчёта коэффициента автокорреляции четвёртого порядка.

Таблица 13


1	17,32
2	25,12
3	33,60
4	45,08
5	61,77	17,32	-120,83	-57,94	7000,96	14598,68	3357,39
6	72,06	25,12	-110,54	-50,14	5542,56	12217,99	2514,32
7	89,70	33,60	-92,90	-41,66	3870,28	8629,48	1735,81
8	111,43	45,08	-71,17	-30,18	2147,97	5064,46	911,01
9	134,44	61,77	-48,16	-13,49	649,76	2318,90	182,06
10	162,11	72,06	-20,49	-3,20	65,61	419,64	10,26
11	208,26	89,70	25,67	14,44	370,53	658,69	208,43
12	243,09	111,43	60,50	36,17	2187,92	3659,65	1308,05
13	278,17	134,44	95,58	59,18	5655,84	9134,58	3501,92
14	343,80	162,11	161,21	86,85	14000,17	25987,05	7542,40
Сумма	1825,95	752,63	-121,12	0,00	41491,61	82689,11	21271,65
Среднее	182,60	75,26	-12,11	0,00	4149,16	8268,91	2127,16

Следовательно

где ,

4. Последовательность коэффициентов корреляции , где , как функция интервала между наблюдениями называется автокорреляционной функцией.

Все полученные значения заносим в сводную таблицу.

Таблица 14

Лаг	Коэффициент автокорреляции уровней
1	0,997674
2	0,996358
3	0,99557
4	0,989317

Дополнительные полезные адреса Интернета:

· Журнал «Экономика и математические методы»»;

Размещено на