Пример контрольной работы по высшей математике: Дана система линейных уравнений х1 – 2х2 + 3х3 = 6, 2х1 + 3х2 – 4х3 = 20, 3х1 – 2х2 – 5х3 = 6. Доказать ее совместность и решить дв

Содержание

№52. Дана система линейных уравнений

х1 – 2х2 + 3х3 = 6,

2х1 + 3х2 – 4х3 = 20,

3х1 – 2х2 – 5х3 = 6.

Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

№62. Даны два линейных преобразования:

х1′ = х1 – х2 – х3, х1» = 9х1′ + 3х2′ + 5х3′,

х2′ = — х1 + 4х2 + 7х3, х2» = 2х1′ + 3х3′,

х3′ = 8х1 + х2 – х3, х3» = х2′ – х3′.

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х1», х2», х3» через х1, х2, х3.

№72. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

1 -3 3

А = — 2 -6 13

— 1 -4 8

№82. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.

5х2 + 2*sqrt(3)хy + 3y2 = 12.

№92. Дано комплексное число а. Требуется: 1) записать число а в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения z3 + a = 0.

a=4/(1+i*sqrt(3)).

Выдержка из текста работы

• Введение
• Глава 1. Математические, информационные и психолого-педагогические основы исследования
• 1.1 Математические основы решения и исследования системы линейных уравнений
• 1.2 Информационные основы исследования. Система компьютерной математики mathcad
• 1.3 Психолого-педагогические основы исследования. Информатизация и компьютеризация образования
• Вывод по главе 1
• Глава 2. Внедрение системы компьютерной математики mathcad в профильное школьное математическое образование
• 2.1 Анализ целей обучения математике. Постановка целей обучения математике с использованием системы компьютерной математики MathCAD
• 2.2 Анализ содержания школьных учебников по теме: «Система линейных уравнений»
• 2.3 Формы организации обучения
• 2.4 Программа по элективному курсу
• 2.5 Конспекты некоторых уроков элективного курса «Изучение избранных вопросов по математике с использованием системы компьютерной математики MathCAD»
• Вывод по главе 2
• Заключение
• Литература

MathCAD дает возможность решать также и системы уравнений. Максимальное число уравнений и переменных равно 50. Результатом решения системы будет численное значение искомого корня.

В MathCAD существует несколько способов решения систем линейных уравнений. Для решения совместных систем линейных уравнений следует использовать программы символьной математики, поскольку система уравнений может иметь неединственное решение, главные неизвестные выражаются в символьном виде через свободные неизвестные. Для решения совместных систем линейных уравнений будем использовать блок, включающий ключевое слово Given и встроенную функцию find.

Квадратную систему линейных уравнений вида (М- квадратная матрица, ранг которой равен числу ее строк, х- вектор неизвестных, — вектор свободных членов) можно найти, используя встроенную функцию lsolve. Матрица М — основная матрица данной системы уравнений.

Подробнее о том как решать системы линейных уравнений будет рассмотрено ниже.

Проблемой использования системы MathCAD в школах, в частности на уроках математики, занимались многие ученые, учителя, аспираты, а также сами студенты: Солонина А.Г., Дьяконов В.П., Карфидова Ю.ФА., Говядовская А.Н.

Объектом исследования в данной работе, является школьное математическое образование, а точнее решение и исследование систем линейных уравнений в школе.

Предмет исследования. Методическая система обучения школьников системе линейных уравнений с использованием компьютерной математики MathCAD.

Цель исследования состоит в разработке теоретических и методических снов использования системы MathCAD в процессе решения и исследования систем линейных уравнений в школе.

Цель исследования определила ряд конкретных задач:

1. Рассмотреть математические, информационные и психолого-педагогические основы исследования.

2. Проанализировать стандарты среднего (полного) общего образования по математике и информатике (базовый и профильный уровень), а также обязательный минимум содержания основных образовательных программ по математике и информатике.

3. Выявить возможности системы MathCAD изучения систем линейных уравнений.

4. Осуществить критический анализ содержания школьных учебников в связи с внедрением в процесс обучения системы компьютерной математики MathCAD.

5. Разработать содержание элективного курса по теме: решение и исследование систем линейных уравнений в связи с новыми требованиями информатизации и компьютеризации школьного математического образования.

Практическая значимость и научная новизна. Разработанный элективный курс может быть использован учителями в школе, школьниками при подготовке к самостоятельным и контрольным работам, экзаменам и для самостоятельного изучения математики, а также студентами педагогических вузов на занятиях по методике обучения математике.

В данной работе было сделано следующее:

1. Предложено преобразованное изложение школьной темы «Системы линейных уравнений», обоснованное на вузовской математике.

2. Осуществлен критический анализ содержания школьных учебников для классов с углубленным изучением математики, соответствующих обязательному минимуму содержания общего образования 1998 года и доработанные по федеральному компоненту государственного стандарта общего образования.

3. Произведен критический анализ целей обучения математики из государственного стандарта среднего (полного) общего образования по математике на профильном уровне.

4. Разработан элективный курс «Изучение избранных вопросов по математике с использованием системы компьютерной математики MathCAD», в котором осуществлена интеграция школьного курса алгебры и информатики (системы компьютерной математики MathCAD).

Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечены:

1) рациональным сочетанием теоретических и эмпирических методов исследования;

2) опорой основных положений и научных выводов на достижения педагогики, психологии, математики, теории и методике обучения математике;

3) соответствием используемых методов целям и задачам исследования.

Апробация результатов исследования. Результаты работы были представлены на студенческих конференциях по итогам 2007, 2008 годов в секции «Новые информационные технологии в математике», также в 2008 году результаты были опубликованы в сборнике трудов второй международной научно-практической конференции «Наука и образование XXI века».

Структура. Работа состоит из введения, двух глав с выводами по каждой из них, заключения и списка литературы.

1.1 Математические основы решения и исследования системы линейных уравнений.

Дадим определение системы линейных уравнений с m уравнениями и с n неизвестными (mn).

Определение. Системой из m-линейных уравнений с n неизвестными над полем P называется система вида

…………………………

Где , , ,

Первый индекс указывает на номер уравнения, а второй на номер неизвестного. Систему (1) можно записать в сокращенном виде:

, ()

Если m=n, то система называется квадратной. Для системы MathCAD m и n могут быть достаточно большими, например до 50 и более, и необязательно m=n.

Если посмотреть школьные учебники, которые мы рассмотрим более подробно во второй главе данной работы, то мы увидим, что там рассматриваются только квадратные системы.

Определение. Решением системы линейных уравнений (1) называется вектор такой, что имеют место m-истинных равенств:

…………………………

По умолчанию , т.е. . Совокупность равенств () можно записать в сокращенном виде:

, ()

Рассмотрим следующие важные для нас определения.

Определение. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система линейных уравнений называется несовместной, если она не имеет решений, т.е. множество всех ее решений пусто.

Определение. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если каждое решение любой из этих систем является решением другой системы.

Для решения систем линейных уравнений необходимо ввести понятие матрицы. В школе матрицы не изучаются, однако матрицы — это таблицы, понять которые не представляет труда для школьников. В системе MathCAD можно ввести матрицы и производить различные операции над ними.

Определение. Таблица вида

А=, где , называется матрицей над полем или — матрицей над .

Введем следующие обозначения для строк и столбцов матрицы: -я строка матрицы обозначается через , ;

-й столбец матрицы обозначается через :

Матрицы А= и В= называются соответственно основной и расширенной матрицами системы уравнений (1).

Определение. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие преобразования:

I. Умножение обеих частей какого-нибудь уравнения системы на ненулевой скаляр ,

II. Прибавление (вычитание) к обеим частям какого-либо уравнения системы соответствующих частей другого уравнения системы, умноженного на производный скаляр

III. Исключение из системы или присоединение к системе линейного уравнения с нулевыми коэффициентами и нулевым свободным членом.

С помощью элементарных преобразований можно решать любую систему линейных уравнений. Элементарные преобразования рассматриваются различные, выше мы рассмотрели как это у Куликова Л.Я. У другой автор А.И.Кострикин использует другое определение элементарных преобразований:

Одна система получена из другой при помощи элементарного преобразования типа (1), если в ней все уравнения, кроме i-го и k-го, остались прежними, а i-е и k-е уравнения поменялись местами. Если же во второй системе все уравнения, кроме i-го, те же, что и в первой, а i-е уравнение имеет вид , где с — какое-то число (т.е. , ), то полагаем, что к первой системе применено элементарное преобразование типа (2).

У обоих этих определений есть один общий так называемый «плюс», т.е. и у Куликова Л.Я., и у Кострикина А.И. указывается, а вернее точно говорится к какому уравнению прибавляем какое уравнение. И мы уже точно можем сказать, какое уравнение мы просто переписываем без изменений, а какое записываем в измененном виде. К сожалению, этого нет ни в одном проанализированном мною школьном учебнике по математике. Там просто говорят, что мы складываем два уравнения, и становится совершенно не понятно, какое именно уравнение мы оставим без изменения, а какое запишем в преобразованном виде? Поэтому у школьников возникают трудности с преобразованиями систем линейных уравнений. В следующих главах этой работы мы вернемся к этой проблеме, и будут предложены пути ее решения.

Докажем следующую очень важную для нас теорему.

Теорема. Если одна система линейных уравнений получается из другой системы линейных уравнений в результате цепочки элементарных преобразований, эти две системы равносильны.

Доказательство. Пусть дана система

Если умножить одно из ее равнений, например первое, на отличный от нуля скаляр , то получим систему

…………………………… (2)

Каждое решение системы (1) есть также решение системы (2). Обратно: если любое решение системы (2),т.е.

……………………………

то, умножив первое равенство на и не изменяя последующих равенств, получим равенства, показывающие, что вектор является решением системы (1). Следовательно, система (2) равносильна исходной системе (1). Также легко проверить, что однократное применение к системе (1) элементарного преобразования (РР) или (РРР) приводит к системе, равносильной исходной системе (1). Так как отношение равносильности транзитивно, то многократное применение элементарных преобразований приводит к системе уравнений, равносильной исходной системе (1).

А, теперь используя эту теорему, перейдем к решению систем линейных уравнений методом последовательного исключения переменных как это сделано у Куликова Л.Я.

Пусть дана система линейных уравнений

…………………………

Пусть А= и В=

Ведущим элементом строки матрицы называется первый (считая слева направо) ненулевой элемент строки. Столбец матрицы называется основным, если он содержит ведущий элемент какой-либо строки матрицы.

Определение. Элементарные преобразования над системой строк (столбцов) матрицы называются элементарными преобразованиями матрицы. Две матрицы называются строчечно-эквивалентными, если одна получается из другой при помощи цепочки элементарных преобразований над строками.

Определение. Матрица А называется ступенчатой, если она удовлетворяет условиям:

1. Нулевые строки матрицы (если они есть) расположены ниже всех ненулевых строк;

2. Если ведущие элементы ненулевых строк матрицы, то .

Примеры ступенчатых матриц:1) нулевая матрица, 2)однострочная матрица, 3) единичная матрица, 4) верхнетреугольная матрица.

Система линейных уравнений называется ступенчатой, если расширенная матрица системы есть ступенчатая матрица без нулевых строк. Система линейных уравнений называется приведенной ступенчатой, если расширенная матрица системы есть приведенная ступенчатая матрица.

Если B нулевая матрица, то любой n-мерный вектор является решением системы (1). Если же Aнулевая, а В ненулевая, то система уравнений (1) несовместна.

Предположим, что матрица A ненулевая. Тогда систему уравнений (1) можно при помощи элементарных преобразований привести к ступенчатой системе, а затем к приведенной ступенчатой системе, причем эти системы будут равносильны исходной системе (1). При помощи цепочки элементарных преобразований приведем систему уравнений (1) к ступенчатому виду без нулевых строк. Если последнее уравнение полученной системы имеет вид

, где

то полученная ступенчатая система уравнений несовместна и, следовательно, несовместна равносильная ей исходная система уравнений (1). Если же в левой части последнего уравнения полученной ступенчатой системы есть коэффициенты, отличные от нуля, то полученная ступенчатая система имеет вид

где коэффициенты , , отличны от нуля. Система (2) совместна и равносильна исходной системе(1).

От ступенчатой системы (2) при помощи цепочки элементарных преобразований переходим к ступенчатой системе уравнений

Система (3) совместна и равносильна исходной системе уравнений (1). Если при этом , то система уравнений (3) (и система (1)) имеет единственное решение ().Если же ,то система (3) равносильна системе

……………………………………

Уравнения системы (4) дают явное выражение переменных ,называемых главными, через переменные , называемые свободными. Придавая в уравнениях (4) свободным переменным любые значения из поля скаляров, находим соответствующие значения главных переменных. Таким образом, можно получить любое частное решение исходной системы уравнений (1), поскольку она равносильна системе (4). Поэтому вектор

(,,) (5)

называется общим решением системы уравнений (1). Вектор (5) можно записать в виде

где , и частное решение системы (1). Вектор (6) также называется общим решением системы (1).

Множество является множеством всех решений системы (1)

У А.И.Кострикина этот метод решения называется методом Гаусса. И мы привыкли в университете называть его методом Гаусса или методом последовательного исключения переменных, причем многие отождествляют эти два способа. Они очень похожи, но в то же время имеют отличие. Рассмотрим ход решения у А.И.Кострикина, а затем сравним его с решением выше. В начале решения ход его действий такой же, как и у Куликова Л.Я., т.е. он путем последовательного применения элементарных преобразований переходит к системе ступенчатого вида, которая эквивалентна исходной. Затем получает главные и свободные неизвестные, а дальше поднимаясь снизу вверх, получает, что значения для главных неизвестных определяются однозначно при любых заданных значениях для свободных неизвестных.

Таким образом, метод, который использует А.И.Кострикин, является объединением двух методов: первая часть решения — это метод последовательного исключения переменных, а вторая — это метод подстановки. Куликов Л.Я. использует метод последовательного исключения переменных и не использует метод подстановки.

В школе используется метод как у А.И.Кострикина. И, к сожалению, пока остается невыяснен вопрос, каким методом решает система MathCAD.

Применим указанный выше метод на конкретном примере.

Пример 1.1

Решить систему линейных уравнений:

В институте любой студент начнет ее решать, записав матрицу, которую приведет к ступенчатому виду, но в школе дети не знают, что такое матрица и поэтому их нужно научить приводить к ступенчатому виду всю систему, то есть применить метод последовательного исключения неизвестных.

Первый шаг. Первое уравнение оставляем без изменений, просто переписываем, а во всех других должны исключить переменную . Ко второму прибавляем первое уравнение, умноженное на (-3). Третье оставляем тоже без изменений, так как коэффициент при равен нулю. К четвертому прибавляем первое, умноженное на (-5). Получим систему равносильную данной:

Второй шаг. Первое и второе уравнения оставляем без изменений, просто переписываем. К третьему прибавляем второе уравнение, к четвертому прибавляем также второе уравнение, умноженное на (-1). Получили систему равносильную данной:

Третий шаг. Получили систему ступенчатого вида. Выделяем главные неизвестные, указываем свободные. Главные неизвестные — , ; свободные — , , . Выражаем главные неизвестные через свободные. Это процесс осуществляем, рассматривая уравнения снизу вверх, т.е. используем теперь метод подстановки (как у Кострикина А.И.):

Получили множество решений

В следующем пункте 1.2 мы рассмотрим, как этот же пример решает система MathCAD. И узнаем, какое же множество решений у нас получится.

А теперь рассмотрим очень важное понятие ранг, которое в школьных учебниках в явном виде не рассматривается, но на этом понятие основывается теория несовместимости систем линейных уравнений.

Определение. Строчечным рангом матрицы называется ранг системы ее строк , рассматриваемых как — -мерные векторы над полем Р. Столбцовым рангом матрицы называется ранг ее системы ее столбцов , рассматриваемых как -мерные векторы над полем Р.

Далее доказываются следующие теоремы:

Теорема. Строчечный ранг матрицы равен ее столбцовому рангу.

Теорема. Пусть А и В — соответственно основная и расширенная матрицы системы линейных уравнений (1). Равносильны следующие утверждения:

I. Система линейных уравнений (1) совместна.

II. Уравнение имеет решение над полем Р, где — столбец свободных членов, — вектор-столбец матрицы А.

III. Вектор есть линейная комбинация столбцов матрицы А.

IV. Столбцовые (строчечные) ранги матриц А и В равны, .

Теорема Кронекера — Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы. Следствие из этой теоремы: если ранг основной матрицы системы линейных уравнений равен числу уравнений системы, то система уравнений совместна.

1.2 Информационные основы исследования. Система компьютерной математики MathCAD

Одной из основных областей применения ПК являются математические и научно-технические расчеты. За последнее время мы стали свидетелями появления нового актуального, практически полезного и просто увлекательного научного направления — компьютерной математики. Ее можно определить как совокупность теоретических, методических, аппаратных и программных средств, в совокупности обеспечивающих эффективное автоматическое и диалоговое выполнение с помощью компьютеров всех видов, математических вычислений с высокой степенью их визуализации. К системам компьютерной математики относятся Derive, MuPAD, MathCAD, Mathematica, Maple V и Matlab. Это бурно развивающийся класс математических систем, который с равным успехом может использоваться в образовании и в сфере научной деятельности.

Широкую известность и заслуженную популярность в середине 80-х годов приобрели интегрированные системы для автоматизации математических расчетов класса MathCAD, разработанные фирмой MathSoft (США). Название системы происходит от двух слов — MATHematic (математика) и CAD (Computer Aided Design — системы автоматического проектирования, или САПР). По сей день, они остаются единственными математическими пакетами, в которых описание решения математических задач дается с помощью привычных математических формул и знаков. Такой же вид имеют и результаты вычислений. MathCAD позволяет выполнять как численные, так и аналитические (символьные) вычисления, имеет чрезвычайно удобный математико-ориентированный интерфейс и прекрасные средства научной графики. Именно поэтому MathCAD лучше всего подходит для применения его в школьном профильном образовании.

Система MathCAD существует в нескольких основных вариантах:

· MathCAD Standard — идеальная система для повседневных технических вычислений. Предназначена для массовой аудитории и широкого использования в учебном процессе;

· MathCAD Professional — промышленный стандарт прикладного использования математики в технических приложениях. Ориентирована на математиков и научных работников, проводящих сложные и трудоемкие расчеты.

В MathCAD очень удобный и привычный для пользователя интерфейс:

Рисунок 1.2.1

Строка задач стандартная, как и во всех программах и приложениях Windows, понятная панель инструментов.

Существуют различные возможности MathCAD для решения задач:

1. Использование главного меню.

2. С помощью математической панели.

3. Все вводить с клавиатуры

В наше время осталось очень мало людей, кто бы ни работал, с каким то не было приложениями Windows, поэтому разобраться, как работать в системе MathCAD не составит особого труда. Но чтобы правильно, без ошибок и более глубоко понять, как работает система, конечно же, нужны учебные пособия. А то получается, что система есть, а учебников к ней нет.

Решение систем линейных уравнений.

Максимальное число уравнений и переменных около 50. Результатом решения системы будет численное значение искомого корня.

Для решения совместных систем линейных уравнений следует использовать программы символьной математики, поскольку система уравнений может иметь неединственное решение, главные неизвестные выражаются в символьном виде через свободные неизвестные. Для решения совместных систем линейных уравнений необходимо использовать блок, включающий ключевое слово Given и встроенную функцию find.

Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее:

1. Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает MathCAD, что далее следует система уравнений.

2. Ввести уравнения в любом порядке. Используйте [Ctrl]= для печати символа =.

3. Ввести любое выражение, которое включает функцию Find, например: а:= Find(х,у).

4. Затем напечатайте знак символьного оператора ().

Решение будет представлено в виде столбца-вектора, в котором указано, как главные неизвестные системы уравнений выражаются через свободные неизвестные.

Ключевое слово Given, уравнения, которые следуют за ним, и какое — либо выражение, содержащее функцию Find, называют блоком решения уравнений.

Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find.

Мы решили ту же систему уравнений, что и в пункте 1.1 только с помощью системы MathCAD (рисунок 1.2.2).

Рисунок 1.2.2.

Получили такое же множество решений, как и при решении вручную в предыдущем пункте. Скептики могу сказать, что решать в системе MathCAD можно и, не зная теории, а, просто зная алгоритм введения чисел и букв на компьютере, т.е. решение сводится к простому нажатию кнопок. Но это лишь так, кажется, на самом деле все не так просто, и если человек не умеет решать системы линейных уравнений вручную, самостоятельно, то он не сможет их решить и в системе компьютерной математики MathCAD. Он может столкнуться с рядом трудностей.

Рассмотрим следующий пример:

Пример 1.2.

Решить систему линейных уравнений:

Решение осуществляем точно также как и в примере 1.1., т.е. приводим систему к ступенчатому виду.

В итоге получили систему вида:

Главные неизвестные — , , свободные — и . Выражая главные неизвестные через свободные, получили множество решений :

Теперь посмотрим, как эту же систему решила система MathCAD. На рисунке 1.2.3 представлено решение в системе MathCAD, и как мы видим, множество решений получилось другое. И что же, кто-то ошибся? Школьник, сравнив свой ответ, например с одноклассниками, которые решали самостоятельно, обнаружит, что у него получилось другое множество решений. Тут возникает проблема, которую можно разрешить только доказав равенство двух получившихся множеств.

Рисунок 1.2.3.

Множество дано выше,

Нужно доказать, что . Доказывать будем методом двойного включения.

Возьмем элемент из множества и докажем, что он принадлежит множеству , это значит, что и выражаются через и следующим образом:

Выразим отсюда и через и (т.к. во множестве свободными переменными являются и )

Получили

(,,, )

Таким образом мы взяли элемент принадлежащий множеству и показали, что он принадлежит и множеству

2. (доказательство аналогично).

Квадратную систему линейных уравнений вида (М- квадратная матрица, ранг которой равен числу ее строк, х- вектор неизвестных, — вектор свободных членов) можно найти, не только с помощью блока Given find, но и используя встроенную функцию lsolve. Матрица М — основная матрица данной системы уравнений. (Рисунок 1.2.4)

Алгоритм решения квадратных систем линейных уравнений:

1. Вставьте шаблон встроенной функции lsolve.

2. В первую метку шаблона введите основную матрицу системы уравнений.

3. Во вторую метку шаблона функции введите матрицу-столбец свободных членов системы уравнений.

4. Введите знак равенства. Ответ — единственный вектор-столбец, элементами которого являются действительные числа.

К сожалению, остается не выясненным вопрос, каким методом решает система MathCAD?

1.3 Психолого-педагогические основы исследования. Информатизация и компьютеризация образования

Широкое внедрение компьютерных технологий в нашу жизнь имеет психологическое последствия. В отечественной и зарубежной литературе выделяют следующие психологические феномены, связанные с освоением человеком новых информационных технологий: персонификацию, «одушевление» компьютера, когда компьютер воспринимается как живой организм; потребность в «общение» с компьютером и особенности такого общения, например, потребность в антропоморфном интерфейсе и эмоционально окрашенной логике; различные формы компьютерной тревожности; вопрос об ответственности создателей программного обеспечения за последствия его применения.[32], [33], [34], [35]. Ряд исследователей рассматривают компьютерные технологии как вторжение во внутренний мир человека, ведущее к возникновения у некоторых пользователей экзистенциального кризиса, сопровождающегося когнитивными и эмоциональными нарушениями. При этом может происходить переоценка ценностей, пересмотр взглядов на мировоззрение и свое место в мире.

Начальное изучение систем линейных уравнений приходится на 7 класс, т.е. на возраст 12-15 лет. Это средний школьный (подростковый) возраст характеризуется большой восприимчивостью, сенситивностью к усвоению норм, ценностей и способов поведения, которые существуют в мире взрослых и в их отношениях. В этом возрасте дети оценивают компьютер только как средство для развлечений: для разнообразных игр, для просмотра фильмов, для прослушивания музыки и т.д. Необходимо, чтобы школьники могли видеть компьютер не только как «умную игрушку», но и как полезную машину, с помощью которой можно добывать новые знания, облегчающие учебу. Изучив программу MathCAD, дети могу этим гордиться и даже хвастаться перед сверстниками, которые ее не изучали, т.к. в этом возрасте самое главное выделиться из толпы.

Если для младшего школьного возраста ведущей является учебная деятельность, то для школьника среднего возраста (подростка) в качестве ведущей выступает общественно полезная деятельность в разнообразных формах, в русле которой и интимно-личное общение со сверстниками, и очень важное общение с представителями другого пола. При этом учебная деятельность становится как бы осуществляемой активностью — она «обеспечивает» индивидуализацию подростка. В особенностях выбора средств, способов учебной деятельности он утверждает себя. Одновременная адаптация к одной новой общности, индивидуализация в другой, уже знакомой, и последующая интеграция в нее — это сложно переплетенные социально-психологические процессы, наиболее значимые для подростка. Найти себя в других — основная осознаваемая или интуитивно реализуемая потребность этого возраста.

Наряду с этим младший подросток характеризуется повышенной утомляемостью, ярко выраженной эмоциональностью, иногда резкостью в суждениях (до грубости). К концу периода младшего подростничества учащиеся начинают осознавать необходимость самостоятельного выбора дальнейшей программы образования, что предполагает сформированность достаточно устойчивых интересов и предпочтений, ориентацию в различных сферах труда и общественно полезной деятельности.

Информатизация образования, процесс обеспечения сферы образования методологией и практикой разработки и оптимального использования современных информационных технологий, ориентированных на реализацию психолого-педагогических целей обучения, воспитания. Этот процесс инициирует, во-первых, совершенствование механизмов управления системой образования на основе использования автоматизированных банков данных научно-педагогической информации, информационно-методических материалов, а также коммуникативных сетей; во-вторых, совершенствование методологии и стратегии отбора содержания, методов и организационных форм обучения и воспитания, соответствующих задачам развития личности обучаемого в современных условиях информатизации общества; в-третьих, создание методических систем обучения, ориентированных на развитие интеллектуального потенциала обучаемого, на формирование умений самостоятельно приобретать знания, осуществлять информационно-учебную, экспериментально-исследовательскую деятельность, разнообразные виды самостоятельной деятельности по обработке информация; в-четвёртых, создание и использование компьютерных тестирующих, диагностирующих методик контроля и оценки уровня знаний обучаемых.

В узком смысле информатизация образования — внедрение в учреждения системы образования информационных средств, основанных на микропроцессорной технике, а также информационной продукции и педагогических технологии, базирующихся на этих средствах.

Компьютеризация обучения, в узком смысле применение компьютера как средства обучения, в широком многоцелевое использование компьютера в учебном процессе. Основные цели компьютеризации обучения: подготовить подрастающее поколение к жизни в информатизованном обществе, повысить эффективность обучения путем внедрения средств информатизации.

Различаются два направления компьютеризации (информатизации) обучения: овладение всеми способами применения компьютера в качестве средств учебной деятельности; использование компьютера как объекта изучения. Идеи применения компьютера как средства обучения возникли в 50-х гг. 20в. в рамках программированного обучения. В 1959 в школе №444 г. Москвы под руководством С.И.Шварцбурда был начат эксперимент по изучению старшеклассниками программирования и основ вычислительной техники. По мере совершенствования технических характеристик самого компьютера и его программного обеспечения, расширения его дидактических возможностей утвердилась идея о принципиально новых свойствах компьютера как средства обучения. Компьютер позволяет строить обучение в режиме диалога, реализовать индивидуализированное обучение, опирающееся на модель учащегося, его «историю обучения». Изменилась оценка роли и места компьютера в учебном процессе. К началу 90-х гг. были созданы десятки тысяч различных обучающих систем.

Компьютеризация обучения оказывает существенное воздействие на все компоненты учебного процесса. Значительное влияние компьютера на содержание обучения обусловлено, с одно стороны, тем, что для учащегося стало доступным многое из того, что ранее считалось посильным лишь для специалиста высокой квалификации. Это стало возможным благодаря возможностям компьютера в наглядном представлении учебного содержания; применению компьютерных средств, реализующих идеи искусственного интеллекта; предоставлению учащимся доступа к большим объемам необходимой им информации, в том числе и непосредственно относящейся к решаемой ими задаче. С другой стороны, компьютер позволяет включать в содержание обучения различные эвристические средства, прежде всего стратегии поиска решения задач. Важное значение имеет и то, что компьютер создаёт реальные предпосылки для создания интегрированных учебных предметов, разработки содержания профессионального обучения с учётом реальных производственных процессов, делает объектом изучения учащегося его собственную учебную деятельность.

Использование компьютера в учебных целях вносит значительные изменения в деятельность учащегося. Он освобождается от необходимости выполнения рутинных операций, имеет возможность, не обращаясь к педагогу, получить требуемую информацию.

Второе направление компьютеризации обучения, связанное с применением компьютера в качестве объекта изучения, в своём развитии также претерпело существенные изменения. В 60-х гг. в СССР цели компьютерной грамотности на уровне школьного обучения сводились преимущественно к знанию возможных применений компьютера и не предполагали умения практически пользоваться им для решения задач. В начале 70-х гг. практическое владение ЭВМ связывалось с обучением школьников программированию. В этом направлении накоплен значительный опыт и созданы предпосылки компьютеризации обучения. Со 2-й половины 70-х гг. изменился подход к определению сущности компьютерной грамотности, пересмотрена образовательная ценность различных видов знаний и умений. Основной акцент делается на решение задач с помощью компьютера и рациональное использование математического обеспечения.

Использование компьютера в качестве средства обучения выявило необходимость пересмотра многих теоретических положений дидактики и педагогической психологии. Так, экспертные системы, позволяющие довести учащегося до правильного решения задачи любой сложности, а также гипертекстные обучающие системы, предоставляющие учащемуся значительные возможности в выборе последовательности изучения учебного материала, требуют внесения корректив в соответствующие принципы обучения.

Следует иметь в виду, что компьютеризация обучения не решает все проблемы обучения, компьютер не может и не должен вытеснить из учебного процесса педагога, новые информационные технологии обучения не могут полностью заменить традиционные технологии. Компьютеризация обучения способствовала развитию дистанционного обучения.

Итак, растущее применение компьютеров во всех сферах человеческой деятельности порождает новые проблемы и дает толчок к развитию новых областей исследования. Изучение психологических и социальных аспектов взаимодействия человека и компьютера, а также поиск эффективных методов применения информационных технологий приобретают особую актуальность в настоящее время.

Вывод по главе 1

В данной главе я рассмотрела математические основы исследования. Были выявлены наиболее важные для нас определения и теоремы, на которые в дальнейшее мы будем ссылаться.

В информационных основах вы изучили основные принципы работы в системе компьютерной математики MathCAD. Узнали возможности этой системы при решении систем линейных уравнений. Эти знания мы будем применять во второй главе данной работы.

Рассмотренные психолого-педагогические основы, помогли нам увидеть проблемы связанные с внедрение компьютера в школьное математическое образование, а также указали на пути их разрешения.

2.1 Анализ целей обучения математике. Постановка целей обучения математике с использованием системы компьютерной математики MathCAD

Цель педагогического воздействия является системообразующим (определяющим) элементом педагогической системы, одним из главных звеньев педагогической деятельности. От нее зависят остальные элементы: содержание и средства получения результатов. Цель как научное понятие есть предвосхищение в сознании субъекта результата, на достижение которого направлена деятельность. С точки зрения психофизиологии, цель — это модель потребного будущего, закодированная в мозге человека, образ требуемого результата, определяющий отбор действий, ведущих к его достижению. Согласно кибернетике, цель — такая характеристика процесса, на основе которой осуществляется обратная связь. Система работает, сравнивая реальные результаты с запланированными целями. В педагогической системе цель — это мысленное, заранее определяемое представление о результате педагогического процесса, о качествах, состоянии личности, которые предполагается формировать. Она определяет требования к педагогическому процессу и служит эталоном для оценки результатов.

Педагогические цели могут быть разного масштаба и составляют некоторую иерархию — ступенчатую систему. Высшая ступень — государственные цели, общественный заказ. Можно сказать, это цели-ценности, которые отражают представление общества о человеке и гражданине страны. Они разрабатываются специалистами, принимаются правительством, фиксируются в законах и других документах. Примерами высших целей являются закон РФ «Об образовании», национальный проект «Образование», «Концепция модернизации Российского образования на период до 2010 года» и т.п.

Существуют также международные цели, например, Болонский процесс, к которому Россия присоединилась в сентябре 2003 года на берлинской встрече министров образования европейских стран.

Целями Болонского процесса, достижение которых ожидается к 2010 году, являются:

1) построение европейской зоны высшего образования как ключевого направления развития мобильности граждан с возможностью трудоустройства;

2) формирование и укрепление интеллектуального, культурного, социального и научно-технического потенциала Европы; повышение престижности в мире европейской высшей школы;

3) обеспечение конкурентоспособности европейских вузов с другими системами образования в борьбе за студентов, деньги, влияние; достижение большей совместимости и сравнимости национальных систем высшего образования; повышение качества образования;

4) повышение центральной роли университетов в развитии европейских культурных ценностей, в которой университеты рассматриваются как носители европейского сознания.

Следующая ступень — цели-стандарты, цели отдельных образовательных систем и этапов образования, они отражаются в образовательных программах и стандартах. Например, цели обучения в средней школе и на его отдельных уровнях: начальная, основная, полная средняя школа. Более низкая ступень — цели обучения по отдельному предмету или воспитания детей определенного возраста. Наконец, цели отдельной темы, урока или внеурочного мероприятия.

В истории человеческого общества глобальные цели воспитания изменялись и изменяются в соответствии с философскими концепциями, психолого-педагогическими теориями, с требованиями общества к образованию. В мировой практике имеются в настоящее время различные взгляды на цели воспитания, образования.

В США выработана в 20-е годы и сохраняется, частично изменяясь, концепция адаптации личности к жизни, согласно которой школа должна воспитать эффективного работника, ответственного гражданина, разумного потребителя и доброго семьянина. Школа прививает учащемуся ценности общества. В 80-е годы возникли такие программы, как «воспитание в целях выживания», «воспитание в духе мира» и другие. Это говорит о различных подходах к определению целей воспитания и об их зависимости от общих концепций, моделей воспитания.

Гуманистическая, либеральная педагогика преимущественно в Западной Европе (тоже с первой половины 20 века) провозглашает целью школы воспитание автономной личности с критическим мышлением и самостоятельным поведением, формирование человека, реализующего свои потребности, в том числе высшую потребность в самоактуализации, развитии внутреннего «Я».

Цель воспитания в Российской Федерации в самом общем виде формулируется как помощь личности в разностороннем развитии. Это отражено в законе РФ «Об образовании» от 10.07.1992 N 3266-1.

Образование служит решению «задач формирования общей культуры личности, ее адаптации к жизни в обществе, помощи в осознанном выборе профессии» (ст.9,п.2). Образование, согласно Закону, должно обеспечить выработку личностью жизненного самоопределения, создание условий для ее самореализации, формирование в сознании учащихся картины мира, адекватной современному знанию, формирование гражданина, интегрированного в обществе и направленного на его совершенствование (ст.14, п 1,2). Можно сказать, что политико-государственный, авторитарный, идеологический подход к постановке целей воспитания заменяется личностным подходом, более человечным и прагматическим: воспитать личность, способную самостоятельно принимать решения и нести за них ответственность, сформировать человека, сознательно строящего свою жизнь в сотрудничестве с другими членами общества. Такая цель воспитания, которой постепенно проникается педагогическое сознание в нашей стране, довольно близка западной гуманистической педагогике и является частью личностно ориентированного образования — концепции, в общих чертах принятой в нашей стране педагогическим сообществом.

В человеческом обществе многое стандартизируется, особенно в области производства. Образование тоже должно отвечать определенным требованиям, обладать необходимым качеством. Образовательные стандарты — это требования к содержанию и уровню знаний учащихся. Они описывают минимум знаний, умений, качеств, как выпускника общеобразовательной школы, так и специалиста, окончившего профессиональную школу. Стандарты призваны обеспечивать необходимое качество образования в стране и соответствие его международному уровню.

Рассмотрим стандарт среднего (полного) образования по математике. Изучение математики на профильном уровне среднего (полного) общего образования направлено на достижение следующих целей:

· формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;

· овладение языком математики в устной и письменной форме, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин, продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне;

· развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, математического мышления и интуиции, творческих способностей, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;

· воспитание средствами математики культуры личности через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей; понимания значимости математики для научно-технического прогресса.

Проанализируем все эти цели с точки зрения обучения математике. В литературе цели рассматриваются на различных иерархических уровнях. В данном стандарте цели представлены на одном уровне. В современной литературе по теории и методике обучения математике существует несколько видов целей, т.е. цели различных уровней. Рассмотрим, например, такие уровни целей:

1. Стратегические цели.

2. Тактические цели.

3. Диагностируемые цели.

Цели в стандарте я отношу к тактическим целям. Разработаем цели, представив их в виде иерархии.

Стратегическая цель обучения математике. Если мы не будем ставить стратегические цели, то этим самым мы обедняем наше образование. Поэтому при постановке целей обучения математике мы должны вначале указать главные — стратегические цели, к которым должны стремиться. В настоящее время приоритетное место занимает личностный подход к образованию. Личностно ориентированное образование (в переводе с английского — personality-centered education) — это образование, которое обеспечивает развитие и саморазвитие личности учащихся.

Личность — это социальное качество индивида. Личность — это человек, взятый в системе таких его психологических характеристик, которые социально обусловлены, проявляются в общественных по природе связях и отношениях являются устойчивыми, определяют нравственные поступки человека, имеющие существенное значение для него самого и окружающих.

Личностно ориентированное образование осуществляется на основе выявления индивидуальных особенностей учащихся, субъектного опыта познания и предметной деятельности. И если рассматривать этот подход, то стратегической целью можно назвать — развитие личности каждого ученика. Соответственно, чтобы получить развитую личность учащегося, мы не должны забывать о личности самого учителя, поэтому среди стратегических целей можно также указать развитую личность учителя. Средством достижения этой цели является математика как школьный предмет. Обогащенное, научно-обоснованное содержание математики как школьного предмета является неоспоримым и наиболее важным аспектом этой цели.

Тактические цели обучения математике. Как уже говорилось выше тактические цели — это цели из стандарта. В этих целях нет ни слова об интеграции учебных дисциплин, также они написаны без учета внедрения системы компьютерной математики MathCAD. Наше нынешнее время называется временем интеграций. Скоро очень сложно будет представить математику, физику и другие школьные дисциплины без информатики, а, вернее, без компьютера. Поэтому интеграция неотъемлемый атрибут образования будущего.

Нередко одно и то же понятие в рамках каждого конкретного предмета определяется по-разному — такая многозначность научных терминов затрудняет восприятие учебного материала. Несогласованность предлагаемых программ приводит к тому, что одна и та же тема по разным предметам изучается в разное время. Эти противоречия легко снимаются в интегрированном обучении, которое решает также ещё одну проблему — экономии учебного времени.

Необходимо также отметить ещё один важный момент: интегрированное обучение призвано отразить интеграцию научного знания, объективно происходящую в обществе. Не освещать межнаучные связи или показывать их поверхностно было бы большим недостатком современной школы. Интегрированное обучение позволяет наиболее эффективно показать междисциплинарные связи и естественнонаучный метод исследования, используемый на стыке наук.

В действующих для общеобразовательных школ учебниках по математике и информатике, есть много абстрактных, формальных тренировочных упражнений для отработки техники вычисления, техники применения новых знаний, что является, безусловно, необходимым условием выработки вычислительных навыков. Но работа с подобными упражнениями, особенно на первых этапах изучения новой темы, часто кажется учащимся формальной, а порой ненужной. Разумеется, систематическая работа по данной теме приведет, в конечном счете, к положительным результатам по устранению формализма в восприятии выполняемой работы. Если показать на основе интеграции в начале изучения новой темы, практическое решение какой-либо проблемы (может быть даже достаточно сложной) и подчеркнуть, что дальнейшая деятельность по отработке вычислительных и практических навыков нужна будет для того, чтобы в будущем самостоятельно решать подобные сложные проблемы,— то этап проведения тренировочных упражнений не будет выглядеть оторванным от практических нужд. Кроме того, включение на этом этапе элементов интеграции всё более и более будет способствовать выделению практической значимости проводимой тренировочной работы.

Поэтому я считаю, что обязательно в тактических целях необходимо указывать интеграцию математики с другими школьными предметами, в данном случае я предлагаю интеграцию математики с информатикой. Возможны следующие тактические цели обучения математике с использованием системы MathCAD:

1. создание оптимальных условий для развития мышления учащихся в процессе обучения математике и информатике на основе интеграции этих предметов.

2. повышение и развитие интереса учащихся к указанным предметам.

Диагностируемые цели. Цели, которые были поставлены в стандарте не диагностируемые. Диагностируемые это значит те цели, которые можно проверить.

Укажем, например, такие диагностируемые цели (для профильного класса):

— учащийся умеет грамотно выполнять алгоритмические предписания и инструкции на математическом языке в системе компьютерной математики MathCAD;

— учащийся умеет пользоваться математическими формулами в системе MathCAD, самостоятельно составлять формулы зависимостей между величинами

— учащийся умеет проводить аргументированные рассуждения, делать логически обоснованные выводы, отличать доказанные утверждения от недоказанных, аргументировать суждения.

Теперь поставим диагностируемые цели, которые относятся непосредственно к теме данной работы:

1. Четкое представление учащихся о понятиях решении системы, множестве решений, о равносильности систем линейных уравнений.

2. Овладение методом последовательного исключения переменных

3. Выявление типов систем линейных уравнений с помощью встроенных функций.

Все эти цели ставит учитель в процессе обучения. Но существуют и цели учеников. Если мы будем реализовывать личностно ориентированный подход к обучению математике, то следует рассматривать цели самих учащихся, которые должны поставить сами учащиеся.

2.2 Анализ содержания школьных учебников по теме: «Система линейных уравнений«

В настоящее время существует много учебной литературы, как для общеобразовательных классов, так и для профильных классов. Но не каждый учебник является понятным для учащихся. Некоторым детям бывает трудно учиться по этим учебникам и не всегда пройденный материал усваивается полностью. Поэтому я провела анализ содержания школьных учебников по теме «Системы линейных уравнений». Все учебники мною проанализированные соответствуют обязательному минимуму содержания общего образования 1998 года и доработанные по федеральному компоненту государственного стандарта общего образования.

Изучение систем линейных уравнений начинается в 7 классе и систематизируется и углубляется в конце 11 класса.

Рассмотрим для начала учебник 7 класса, составленный Макарычевым Ю.Н., Миндюк Н.Г. и другими [2]. В нем рассматриваются только системы линейных уравнений с двумя переменными. Определения системы линейных уравнений в этом учебнике не дается, дается только определения решения системы линейных уравнений и равносильных систем. Рассматриваются следующие способы решения систем: графический, способ подстановки, способ сложения. После каждого способа система дидактических упражнений. Сразу же возникает вопрос: что это за способ сложения? Вот что написано в учебнике: «рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную». Затем рассматриваются примеры, после которых записан алгоритм нахождения решения способом сложения:

1) Умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

2) Складывают почленно левые и правые части уравнений системы;

3) Решают получившееся уравнение с одной переменной;

4) Находят соответствующее значение второй переменой.

У ребят однозначно возникнут вопросы: а зачем мы умножаем, зачем подбираем множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными, зачем складываем, и еще куча других вопросов. Из этого учебника не видно, что делать, если переменных не две, а больше?

Следующий учебник, который я рассмотрела, это учебник 7 класса автора А.Г. Мордковича [3]. В нем есть, хотя и не точное, определение системы линейных уравнений, которое вводится исходя из практики. Определение из учебника звучит следующим образом: «если даны два уравнения с двумя переменными x и y : и и поставлена задача — найти такие пары значений , которые одновременно удовлетворяют и тому, и другому уравнению, то говорят, что заданные уравнения образуют систему уравнений. Уравнения записываются друг под другом и объединяются специальным символом — фигурной скобкой. Определение уравнения с двумя переменными дано было ранее — так называют равенство , где ,, — конкретные числа, причем , , а ,- переменные (неизвестные). Решением линейного уравнения с двумя неизвестными называют всякую пару чисел , которая удовлетворяет уравнению, т.е. обращает равенство с переменными в верное числовое равенство. На первом месте всегда пишут значение переменной , на втором — значение переменной . Определение из учебника очень близко к истинному определению системы линейных уравнений, которое было нами дано в главе 1, пункт 1.1. Напомним его

Системой из m-линейных уравнений с n неизвестными над полем P называется система вида

…………………………

Где , , ,

Здесь также рассматриваются системы только с двумя переменными. Определение решения системы линейных уравнений вводится следующим образом: пару значений , которая одновременно является решением и первого и второго, называют решением системы. Решить систему — это значит найти все ее решения или установить, что их нет.

Далее рассматриваются методы решения систем линейных уравнений. Они фактически совпадают с методами из предыдущего учебника. Первый рассмотренный метод — графический. Он рассматривается на конкретных примерах. Указаны недостатки этого метода: «к сожалению, графический метод, как и метод угадывания, не самый надежный. Во-первых, прямые могут просто не уместиться на чертеже. Во-вторых, прямые могут уместиться на чертеже, но пересечься в точке, координаты которой по чертежу не очень легко определить.»

Но с помощью графического метода в этом учебнике вводятся определения несовместной и неопределенной систем.

» прямые могут пересекаться, причем только в одной точке, — это значит, что система имеет единственное решение;

Эти прямые могут быть параллельными — это значит, что система не имеет решений (говорят также, что система несовместна);

Эти прямые могут совпасть — это значит, что система имеет бесконечно много решений (говорят также, что система неопределенна).»

Можно назвать это большим «плюсом» учебника, так как это уже идет исследование систем линейных уравнений.

Следующий рассмотренный метод — метод подстановки. Здесь введен алгоритм решения систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки

1. Выразить у через х из первого уравнения системы.

2. Подставить полученное на первом шаге выражение вместо у во второе уравнение системы.

3. Решить полученное на втором шаге уравнение относительно х.

4. Подставить найденное на третьем шаге значение х в выражение у через х, полученное на первом шаге.

5. Записать ответ в виде пары значений , которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шагах.

Дети получили этот алгоритм и начали с ним работать. Они будут четко следовать его пунктам. Хотя здесь возможны различные пути решения: можно, например, выразить х через у, можно выражать не из первого уравнения, а из второго. И опять возникает вопрос: а что делать, если уравнений в системе будет больше чем два и переменных будет тоже больше? Этот вопрос для ребят останется открытым.

Далее идет метод алгебраического сложения. Вот как вводится этот метод:

» рассмотрим систему, которую мы решили в предыдущем параграфе

Как мы решали эту систему? Мы выразили из первого уравнения и подставили результат во второе, что привело к уравнению с одной переменной , т.е. к фактически к временному исключению из рассмотрения переменной . Но исключить из рассмотрения можно было бы гораздо проще — достаточно сложить оба уравнения системы (сложить уравнения -это значит по отдельности составит сумму левых частей, сумму правых частей уравнений и полученные суммы приравнять):

Затем можно было найденное значение подставить в любое уравнение системы, например в первое, и найти :

Дальше в учебнике применяются аналогичные рассуждения еще для нескольких систем, и в конце этого параграфа говорится, что рассмотренный метод называют методом алгебраического сложения. На этом заканчивается изучение систем линейных уравнений и способов их решения.»

Проанализируем последний рассмотренный нами в этом учебнике метод — метод алгебраического сложения. Уже само название метода некорректно. По своей сути этот метод решения называется методом последовательного исключения переменных, а алгебраическое сложение — это всего лишь средство этого метода, как применяется этот метод на практике было рассмотрено в первой главе данной работы в параграфе математические основы. В этом учебнике при решении «теряется» знак системы, а значит и сама система. Получается, что начинали решать систему из двух уравнений, затем сложили оба уравнения и получили в итоге одно уравнение с одной переменной?! В учебнике в этом разделе нет ни не единого слова о равносильности! Этого не должно быть! Дети должны понимать, что они делают на самом деле с системой линейных уравнений, почему мы имеем право складывать два уравнения, и что в итоге должно получиться. И ни в коем случае мы не должны терять знак системы, обязательно должно быть определение равносильности систем уравнений. Определение равносильности было дано нами в первой главе данной работы, в параграфе 1.1 Математические основы.

Далее идут различного типа упражнения, и на этом изучение систем линейных уравнений заканчивается и встречается только в 11 классе, как повторение, усложнения систем линейных уравнений не наблюдается. Т.е. увеличение числа неизвестных, числа самих уравнений, систем, которые имеют неединственное решение или вовсе не имеют решения, нет. В учебнике Мордковича А.Г. для 11 классов системы линейных уравнений не встречаются.

Как уже говорилось выше, изучение систем линейных уравнений в школьной программе происходит дважды: в 7 классе и в 11 классе. Проанализируем теперь учебники 11 класса рекомендованные министерством образования.

Рассмотрим учебник для 11 класса автора Виленкин Н.Я.. В этом учебнике конкретно не рассматриваются системы линейных уравнений, здесь рассматриваются в общем виде системы и совокупности уравнений. Дано определение системы уравнений:

«Пусть заданы два уравнения и . Первое из этих уравнений задает на плоскости линию , а второе — линию . Чтобы найти точки пересечения этих линий, надо найти все пары чисел , такие, что при замене в данных уравнениях на и на получаются верные равенства. Если поставлена задача об отыскании всех таких пар чисел, то говорят, что задана система уравнений. Совокупность всех пар чисел таких, что при подстановке вместо и вместо получаются верные числовые равенства, образует решение данной системы.

Аналогично определяются системы уравнений с тремя и большим числом переменных. Как правило, число уравнений системы должно равняться числу переменных. Системы уравнений, не имеющие решений (или, что то же самое, с пустым множеством решений), называют несовместными. Как правило, несовместными оказываются системы уравнений, в которых число уравнений больше числа переменных»

Последнее утверждение из этого учебника не верное — несовместность системы уравнений не зависит от числа уравнений или переменных. В первой главе показано, что система несовместна, когда ранг основной матрицы не равен рангу расширенной. Приведем пример, опровергающий данное утверждение. Рассмотрим небольшую систему и найдем ее решение:

Решать будем методом последовательного исключения переменных и методом подстановки. Мы должны исключить переменную , для этого нужно переписать первое уравнение без изменения, ко второму прибавить первое, умноженное на , а к третьему прибавить первое, умноженное на . Получим систему равносильную данной:

Затем первое со вторым оставляем без изменений, а к третьему прибавляем второе, умноженное на (-1). Получили

Теперь из второго уравнения находим значение , подставляем его в первое уравнение и находим значение . Получили упорядоченную пару (2;5), которая и является решением данной системы линейных уравнений. Рассуждения, проведенные при решении данного примера, должны быть и у школьников при решении любой системы уравнений, и не только системы линейных уравнений.

Далее вводится определение равносильных систем, и рассматриваются методы решения систем уравнений в общем виде. Остановимся на методе, который называется метод алгебраического сложения уравнений. В этом учебнике он вводится очень корректно, не взирая на само определение метода. В начале пункта вводится теорема:

«Теорема. Пусть функция определена для всех пар , при которых определены обе функции F и Ф. Тогда система уравнений

Равносильна системе уравнений

Иными словами, при решении систем уравнений можно прибавлять к одному из уравнений системы другое уравнение той же системы, умноженное на некоторый множитель.

Следствие. Если к одному из уравнений системы (1) прибавить другое уравнение той же системы, умноженное на некоторое число , а другое оставить без изменения, то получим систему, равносильную данной».

Далее идут конкретные примеры, среди которых нет систем линейных уравнений. Этот учебник подходит для углубленного изучения математики, необходимо только добавить строгое определение систем линейных уравнений.

Рассмотрим еще один учебник для 10-11 классов под редакцией А.Н.Колмогорова (год издания 1983). В начале темы «Системы уравнений и неравенств» дается определение системы уравнений и ее решения, далее говорится о равносильности:

Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. В ходе решения систему уравнений последовательно заменяют равносильными ей все более простыми системами, пока не получат систему, решения которой находятся без труда. При этом пользуются, в частности, следующими правилами.

1. Правило замены. Заменив в системе одно из уравнений на равносильное, получим систему, равносильную первоначальной.

2. Правило подстановки. Если одно из уравнений системы имеет вид

(- произвольное выражение, не содержащее ), то, заменив во всех остальных уравнениях системы переменную на выражение , получим систему, равносильную первоначальной.

3. Правило сложения. Если в систему входят уравнения

(,, и — какие-то выражения относительно переменных), то одно из этих уравнений, например второе, можно заменить уравнением

Получается равносильная система. Это правило выражают словесно так: любое уравнение системы можно заменить на уравнение, которое получается при его сложении с любым другим уравнением этой системы.

В этом учебнике не теряется знак системы, каждый шаг обоснован.

После равносильности и методов решения систем идет определение системы линейных уравнений (Заметим, что в учебнике Виленкина Н.Я. нет ни слова о системе линейных уравнений).

Линейным уравнением с переменными , , , называется уравнение вида

Система, состоящая только из линейных уравнений, называется системой линейных уравнений.

Далее на конкретных примерах рассматривается, как применяются правила, сформулированные выше. Важно заметить, что используются системы больше чем с двумя неизвестными, а также системы, имеющие неединственное решение, вводится понятие треугольной системы.

По моему мнению, учебник под редакцией А.Н.Колмогорова, не смотря на то, что этот учебник более ранний, чем все остальные, наиболее подходящий для изучения систем линейных уравнений.

2.3 Формы организации обучения

Политические, экономические и социальные изменения, которые произошли в нашей стране за последнее десятилетие, вызвали потребность в модернизации образования, в его содержательном и структурном обновлении.

В соответствии с распоряжением Правительства Российской Федерации от 29 декабря 2001 г. №1756-р об одобрении Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г. на старшей ступени общеобразовательной школы предусматривается профильное обучение. Ставится задача создания «системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда <…> отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования».

В «Концепции модернизации Российского образования на период до 2010 года» среди необходимых условий достижения нового, современного качества общего образования названы личностная ориентированность, дифференциация и индивидуализация образования при обеспечении государственных образовательных стандартов — на основе многообразия образовательных учреждений и вариативности образовательных программ. А также введение профильного обучения в старшей школе, отработка гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования.

Элективные курсы (курсы по выбору) играют важную роль в системе профильного обучения школы. В отличие от факультативных курсов, существующих ныне в школе, элективные курсы — обязательны для старшеклассников.

В соответствии с одобренной Минобразованием России «Концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования» дифференциация содержания обучения в старших классах осуществляется на основе различных сочетаний курсов трех типов: базовых, профильных, элективных. Каждый из курсов этих трех типов вносит свой вклад в решение задач профильного обучения.

Учебный план профильного обучения включает четыре предметных блока.

Блок 1-й — базовые общеобразовательные предметы, обязательные для всех учащихся и инвариантные практически для всех профилей обучения: математика, история, русский и иностранные языки, физическая культура, а также интегрированные курсы обществознания (для естественнонаучного профиля) или естествознания (для гуманитарных профилей).

Блок 2-й — профильные общеобразовательные предметы, определяющие общую направленность соответствующего профиля и обязательные для учащихся, выбравших данный профиль.

Содержание учебных предметов первых двух блоков определяется Государственным образовательным стандартом общего образования (ГОС). Соответствие подготовки выпускников требованиям ГОС определяется по результатам единого государственного экзамена (ЕГЭ).

Блок 3-й — элективные курсы, обязательные для изучения учебные предметы по выбору учащихся, которые реализуются за счет школьного компонента учебного плана. Каждый учащийся в течение двух лет обучения должен выбрать и изучить 5-6 элективных курсов.

Соотношение объема учебного времени по всем трем блокам составляет примерно 50%: 30%: 20%.

Блок 4-й — учебные практики, проекты, исследовательская деятельность

Цель изучения элективных курсов — ориентация на индивидуализацию обучения и социализацию учащихся, на подготовку к осознанному и ответственному выбору сферы будущей профессиональной деятельности. Исходя из этого, тематика и содержание элективных курсов должны отвечать следующим требованиям:

° иметь социальную и личностную значимость, актуальность как с точки зрения подготовки квалифицированных кадров, так и для личностного развития учащихся;

° способность социализации и адаптации учащихся, предоставлять возможность для выбора индивидуальной образовательной траектории, осознанного профессионального самоопределения;

° поддерживать изучение базовых и профильных общеобразовательных предметов, а также обеспечивать условия для внутрипрофильной специализации обучения;

° обладать значительным развивающим потенциалом, способность формированию целостной картины мира, развитию общеучебные, интеллектуальных и профессиональных навыков, ключевых компетенций учащихся.

В соответствии с целями и задачами профильного обучения элективные курсы могут выполнять различные функции:

· изучение ключевых проблем современности;

· ориентация в особенностях будущей профессиональной деятельности, «профессиональная проба»;

· ориентация на совершенствование навыков познавательной, организационной деятельности;

· дополнение и углубление базового предметного образования; компенсация недостатков обучения по профильным предметам.

Каждая из указанных функций может быть ведущей, но в целом они должны выполняться комплексно.

Оценивая возможность и педагогическую целесообразность введения тех или иных элективных курсов следует помнить и о таких важных их задачах, как формирование при их изучении умений и способов деятельности для решения практически важных задач, продолжение профориентационной работы, осознание возможностей и способов реализации выбранного жизненного пути и т.д. Элективные курсы реализуются в школе за счет времени, отводимого на компонент образовательного учреждения.

Вводя в школьное образование элективные курсы, необходимо учитывать, что речь идет не только об их программах и учебных пособиях, но и обо всей методической системе обучения этим курсам в целом. Ведь профильное обучение — это не только дифференцирование содержания образования, но, как правило, и по-другому построенный учебный процесс.

Именно поэтому в примерных учебных планах отдельных профилей в рамках времени, отводимого на элективные курсы, предусмотрены часы в 10-11 классах на организацию учебных практик, проектов, исследовательской деятельности. Эти формы обучения, наряду с развитием самостоятельной учебной деятельности обучающихся, применением новых методов обучения (например, дистанционного обучения, учебных деловых игр и т.д.), станут важным фактором успешного проведения занятий по элективным курсам.

Итак, элективные курсы в профильном обучении направлены как на внутрипрофильную дифференциацию, так и на компенсацию профильной однонаправленности; способствующие углублению индивидуализации профильного обучения, расширению мировоззренческих представлений учащихся.

Курсы по выбору являются обязательной частью содержания профильного обучения. Учащимся предлагается не менее трех курсов по выбору на одно учебное полугодие. Чем больше, тем лучше. Количество учебных часов, отводимых по учебному плану на каждый из этих курсов, колеблется от 15-16 до 48.

Элективные курсы могут быть весьма разнообразными и выбираются, исходя из конкретных условий (подготовка учителя, материально-техническая база, запросы учащихся и рынка труда).

На мой взгляд, элективные курсы незаменимы для достижения основных целей образования на старшей ступени школы.

2.4 Программа по элективному курсу

В данном параграфе на основании проведенного мною исследования, по результатам анализа школьных учебников разработан элективный курс: «Изучение избранных вопросов по математике с использованием системы компьютерной математики MathCAD» для 10 класса физико-математического профиля. Программа элективного курса включает следующие разделы:

1. Титульный лист

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина»

Физико-математический факультет

«Изучение избранных вопросов по математике с использованием системы компьютерной математики MathCAD»

Для учащихся 10 класса, физико-математического профиля.

Всего часов (включая самостоятельную работу) — 72.

Программа составлена студенткой 5 курса,

Физико-математического факультета

Стариковой А.В.

Рязань 2009

2. Пояснительная записка.

Настоящая программа соответствует требованиям к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы и «Концепции модернизации Российского образования на период до 2010 года». Курс предназначен для дополнения и углубления базового образования по математике.

К основным целям курса относятся:

1) профориентация;

2) создать условия для формирования и развития у учащихся:

· интереса к изучению математики

· умения самостоятельно приобретать и применять знания;

· мыслительной деятельности при проектирование, планирование, работе с источниками информации, анализе, синтезе, структурирование информации

· навыков самоанализа и рефлексии;

3) приобщить учащихся к компьютерной культуре;

4) развивать коммуникативные навыки;

5) сформировать у школьников:

· системное представление о теоретической базе системы компьютерной математики MathCAD.

· навыки коллективной работы

· основы научного мировоззрения;

6) воспитание средствами математики и информатики культуры личности через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей; понимания значимости математики для научно-технического прогресса.

7) Четкое представление учащихся о понятиях решении системы, множестве решений, о равносильности систем линейных уравнений.

8) Овладение методом последовательного исключения переменных

9) Выявление типов систем линейных уравнений с помощью встроенных функций.

Программа содержит следующие разделы:

В разделе1 уделяется внимание системам компьютерной математики. Осуществляется знакомство с системами компьютерной математики. История возникновения и создания систем компьютерной математики, их возможности и сферы применения. Обзор и особенности нескольких систем компьютерной математики (Derive, MathCAD, Mathematica, Maple, Mat lab).

Система MathCAD, история создания и развития. Демонстрация возможностей. Запуск системы, общий обзор деталей интерфейса, создание документа. Запись документа, открытие документа.

Введение и вычисление алгебраических выражений с помощью панели Калькулятор, знакомство с панелями инструментов Форматирование, Стандартная, Математика (рассмотрение панелей инструментов, составляющих панель Математика); вывод и удаление панелей инструментов с экрана, результаты выполнения и сравнение операций «равно» и «присвоить».

Второй раздел посвящен системам линейных уравнений. Повторение основных понятий и определений: системы линейных уравнений, решение системы уравнений, совместная система, несовместная система, неопределенная система, равносильные системы линейных уравнений. Повторение методов решения. Решение вручную. Изучение способов решения систем линейных уравнений в системе MathCAD.

В третьем разделе рассматриваются различные системы уравнений, т.е. не обязательно линейные уравнения. Рассматриваются способы их решения вручную и в системе MathCAD.

Также предусмотрено проведение двух контрольных работ, одной исследовательской и одной лабораторной работы.

3. Содержание элективного курса.

Раздел 1. Система компьютерной математики MathCAD. Ее преимущества.

Раздел 2. Системы линейных уравнений. Их исследование и решение. Изучение способов решения систем линейных уравнений в системе MathCAD.

Раздел 3. Системы не линейных уравнений. Методы их решения вручную и с помощью системы MathCAD.

4. Примерный тематический план.

№	Раздел, тема	Всего	Лекции	Практические занятия	Самостоятельная работа
1 1.1 1.2 1.3 1.4	Раздел 1 История систем компьютерной математики Изучение возможностей системы MathCAD Введение и вычисление алгебраических выражений с помощью различных панелей Лабораторная работа «Создание и форматирование документа MathCAD	6 9 8 1	2 2 2 —	2 4 4 1	2 3 2 —
		24	6	11	7
2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5	Раздел 2 Определения системы линейных уравнений и ее решения Методы решения систем. Метод подстановки. Графический метод. Метод последовательного исключения переменных Решение систем в системе MathCAD Контрольная работа №1	6 6 6 6 1	2 2 2 2 —	2 2 2 2 1	2 2 2 2 —
		25	8	9	8
3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5	Раздел 3 Нелинейные системы уравнений. Равносильность систем уравнений. Методы решения систем нелинейных уравнений. Контрольная работа №2. Исследовательская работа	3 4 6 1 8	1 2 2 — —	1 1 2 1 —	1 1 2 — 8
4	Зачетный урок	1	1	—	—
		23	6	5	12
	Итого	72	20	25	27

5. Формы контроля.

В процессе изучения элективного курса учащиеся выполняют две контрольные работы и одну лабораторную работу. Контрольные работы могут быть также в виде тестов.

Примерная типология заданий в контрольной работе №1:

1. Решить системы в тетради и в системе MathCAD с помощью встроенной функции lsolve:

а) б)

2. Решить систему линейных уравнений (вручную и в системе MathCAD с помощью блока Given Find):

У учащихся есть отдельная тетрадь для контрольных работ по элективному курсу, все задания, которые нужно выполнять в системе MathCAD — они выполняют на компьютере, а затем сохраняют свои результаты в специально отведенной папке. Учитель, проверив контрольную работу в тетради, подзывает ученика, и они садятся за компьютер и ученик должен объяснить, как он выполнял задания в системе MathCAD. Если ученик все решил и смог объяснить, как он выполнял задания, то за контрольную работу ставится оценка «отлично», если имелись не большие неточности в тетради и при объяснении, то — оценка «хорошо», если ученик имеет ошибки в тетради и его объяснение требует дополнения, то — оценка «удовлетворительно».

Лабораторная работа выполняется только на компьютере. Она должна показать, как ребята освоили систему MathCAD. Учащиеся должны научиться выполнять элементарные действия в этой системе компьютерной математики.

6. Критерии оценки знаний.

Итоговой формой контроля изучения элективного курса может быть как экзамен, так и зачетный урок. Так учитываются оценки полученные в течении курса, а также за контрольные и лабораторные работы.

Оценка «отлично» может быть поставлена, если ученик знает формулировки основных определений курса, усвоил систему основных понятий курса, знаком с методологическими проблемами оснований математики, отлично ориентируется в среде MathCAD, а также уверенно выполняет практические задания, предусмотренные программой.

Оценка «хорошо» может быть выставлена, если он знает формулировки основных определений, ориентируется в среде MathCAD, но допускает незначительные ошибки при выполнении практических задач.

Оценка «удовлетворительно» может быть поставлена, если ученик знает формулировки большинства определений, делает существенные ошибки или не выполняет вообще практическое задание, возникают проблемы при работе в системе MathCAD.

7. Вопросы зачетного урока.

1. В какой стране возникла система компьютерной математики MathCAD?

2. Дайте определение системе линейных уравнений.

3. Дайте определение решению системы линейных уравнений.

4. Какие системы называются равносильными?

5. Что такое несовместные системы линейных уравнений? Совместные?

6. Какие вы знаете типы совместных систем?

7. Какие системы линейных уравнений называются квадратными?

8. С помощью какой встроенной функции в системе MathCAD решаются квадратные системы линейных уравнений?

9. Почему для решения совместных систем линейных уравнений следует использовать программы символьной математики?

10. Какие вы знаете преобразования систем линейных уравнений, приводящие к равносильным системам?

11. С помощью чего в системе MathCAD можно решить любую систему линейных уравнений?

12. Расскажите о способах введения функций Find и lsolve в системе MathCAD.

13. .Перечислите методы решения определенных систем линейных уравнений.

2.5 Конспекты некоторых уроков элективного курса «Изучение избранных вопросов по математике с использованием системы компьютерной математики MathCAD«

Урок № 10 (продолжительность 40 минут)

Тема: » Решение определенных систем линейных уравнений вручную и в среде MathCAD»

Цели:

а) образовательная — усвоение учащимися алгоритма решения определенных систем линейных уравнений.

б) развивающая — развитие у учащихся алгоритмической культуры;

в) воспитательная — воспитание у учащихся усидчивости, аккуратности и бережливости.

Тип урока: объяснение нового материала.

Литература:

1. Виленкин Н.Я. и другие. Алгебра и математический анализ. 11 класс: учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / — 11-е изд., стереотип. — М.: Мнемозина, 2004. — 288с.; ил.

2. Алгебра и начала анализа: учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы / под ред. А.Н.Колмогорова, М.: Просвещение, 1983.- 335с.

3. А.Г.Солонина MathCAD в задачах по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для педвузов. М.:ТЦ Сфера ,2000. 181

4. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO М.: СК-ПРЕСС,1997

План урока:

1. Организационный момент 2 минуты

2. Повторение ранее изученного материала 7 минут

3. Объяснение нового материала 20 минут

4. Закрепление нового материала 8 минут

5. Домашнее задание 1 минута

6. Итоги урока 2 минуты

Ход урока.

Здравствуйте, садитесь. Приготовились к уроку, начнем.

Ребята, давайте вспомним, что мы изучали на предыдущих уроках. Мы изучали системы линейных уравнений. Кто мне может назвать, какие типы систем линейных уравнений мы изучили?

— Мы изучили совместные и несовместные системы линейных уравнений, совместные системы подразделяются еще на определенные и неопределенные.

Правильно, дайте определения указанных типов систем

— Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система линейных уравнений называется несовместной, если она не имеет решений. Определенной системой называется система, которая имеет единственное решение, а неопределенной — система, имеющая бесчисленное множество решений.

Молодцы! Теперь давайте вспомним, какие системы линейных уравнений называются равносильными?

— Две системы линейных уравнений называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Верно. Какие мы изучили преобразования систем линейных уравнений, приводящие к равносильным системам?

— Мы можем умножать обе части любого уравнения на число, можем прибавлять к обеим частям какого-либо уравнения системы соответствующих частей другого уравнения системы, умноженного на число, а также мы можем исключать из системы или присоединять к системе линейное уравнение с нулевыми коэффициентами и нулевым свободным членом.

Молодцы! Вспомнили, а теперь перейдем к новой теме. Тема нашего урока: «Решение определенных систем линейных уравнений вручную и в среде MathCAD». Что такое определенные системы линейных уравнений, мы с вами вспомнили, это системы линейных уравнений, которые имеют единственное решение. Рассмотрим два основных алгоритма решения их решения.

Алгоритм 1. Этот алгоритм основан на двух методах: методе исключения переменных и методе подстановки.

Алгоритм 2. Он основан только на методе исключения неизвестных.

Продемонстрируем эти алгоритмы на конкретных примерах.

Задача №1. Решить систему, используя сначала алгоритм 1, затем — алгоритм 2.

Решение.

Решаем, используя первый алгоритм. Сначала применяем метод последовательного исключения переменных. На первом шаге мы должны избавиться от переменной во всех уравнения, кроме первого. Первое уравнение системы оставляем без изменений, просто переписываем, ко второму прибавляем первое, умноженное на (-1), к третьему так же прибавляем первое, умноженное на (-2).

Получаем систему равносильную данной системе:

Второе уравнение можно умножить на , что бы далее было проще считать.

Теперь нам необходимо исключить переменную в третьем уравнении. Для этого мы первое и второе уравнение последней системы просто переписываем, а к третьему уравнению прибавляем второе, умноженное на 5. Получили следующее уравнение:

Теперь применяем метод подстановки. Из третьего уравнения находим значение и подставляем это значение во второе — найдем значение . Затем, подставив найденные значения и в первое уравнение, получим значение . Таким образом, мы получили, что система имеет единственное решение — упорядоченную тройку чисел (1; 2; -2). Записываем ответ.

Ответ: (1; 2; -2)

Теперь применим к этому же примеру алгоритм 2. Начало решения точно такое же, как и в первом алгоритме — приводим систему к ступенчатому виду:

Теперь мы должны двигаться снизу вверх, мы должны продолжать исключать переменные дальше. Необходимо теперь исключить из второго уравнения, но сперва мы должны сделать коэффициент при в третьем уравнении равным нулю.

Теперь третье уравнение переписываем, а ко второму прибавляем третье, умноженное на 2, а к первому прибавляем третье, умноженное на (-1) Получаем

Теперь осталось только исключить переменную в первом уравнении, для этого к первому уравнению прибавляем второе, умноженное на (-3):

Как видим, мы получили сразу ответ (1; 2; -2), этот алгоритм менее удобен для решения определенных систем линейных уравнений, он удобен для неопределенных систем, которые мы рассмотрим на следующем уроке.

Теперь мы должны научиться решать такие системы с помощью программы MathCAD. В системе MathCAD существуют различные методы решения систем линейных уравнений. Сперва, мы с вами изучим, как решать квадратные системы линейных уравнений (квадратные — это когда число неизвестных равно числу уравнений в системе). Для этого нам необходимо изучить понятие матрица. Матрица — это таблица, составленная из коэффициентов при неизвестных. Пока мы ограничимся квадратной матрицей. Вот так будет выглядеть матрица для нашей системы линейных уравнений:

-эта матрица называется основной матрицей нашей системы

эта матрица называется расширенной матрицей системы (она не является квадратной). Она отличается от основной тем, что к ней добавлен столбец свободных членов

В системе MathCAD, чтобы решить квадратную систему линейных уравнений используют встроенную функцию lsolve. Функцию можно вставлять в рабочее поле MathCAD различными способами: можно просто ввести с клавиатуры, а можно через Вставку на панели задач (смотри рисунок 2.5.1). Алгоритм решения квадратных систем линейных уравнений:

1. Вставьте шаблон встроенной функции lsolve.

2. В первую метку шаблона введите основную матрицу системы уравнений.

3. Во вторую метку шаблона функции введите матрицу-столбец свободных членов системы уравнений.

4. Введите знак равенства. Ответ — единственный вектор-столбец, элементами которого являются действительные числа.

Рисунок 2.5.1. Вставка функции lsolve

Решим наш пример в системе MathCAD. Матрицу вставлять очень просто, можно тоже через Вставку на панели задач или через специальный символ.

Рисунок 2.5.2. Решение квадратной системы линейных уравнений.

Теперь решим следующую задачу.

Задача № 2. Решить систему, используя любой алгоритм.

Будем решать ее, используя алгоритм 1. Проводим аналогичные рассуждения, как и при решении задачи№1. Первое уравнение переписываем без изменений, ко второму прибавляем первое, умноженное на (-1),а к третьему и четвертому прибавляем первое, умноженное на (-2)

Сократим коэффициенты во втором уравнении на 2

Следующим шагом мы должны исключить переменную в третьем и четвертом уравнениях. Для этого к третьему прибавляем второе уравнение, которое переписываем без изменения, умноженное на 5, к четвертому прибавляем второе, умноженное на 3, получили:

Теперь к четвертому прибавляем третье, которое оставляем без изменения:

Мы знаем, что уравнения с нулевыми коэффициентами и нулевым свободным членом можно исключать из системы, и мы получим равносильную систему:

Это уравнение мы уже решали, ответ получился (1; 2; -2). А вам интересно как можно решать не квадратные системы в программе MathCAD?

Для решения совместных систем линейных уравнений необходимо использовать блок, включающий ключевое слово Given и встроенную функцию find.

Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее:

1. Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает MathCAD, что далее следует система уравнений.

2. Ввести уравнения в любом порядке.

3. Ввести любое выражение, которое включает функцию Find, например: а:= Find(х,у). Вместо и в скобках должны стоять переменные, которые входят в вашу систему.

4. Затем напечатайте знак символьного оператора ().

Решение будет представлено в виде столбца.

Функцию Find не обязательно вводить с клавиатуры, можно как и функцию lsolve вставить через Вставку на панели задач (смотри рисунок 2.5.1). Вот как будет выглядеть решение нашей задачи в системе MathCAD:

Рисунок 2.5.3. Решение с помощью блока Given Find.

С помощью блока Given Find можно решать любые системы линейных уравнений, в том числе и квадратные.

Решим теперь следующие примеры в тетрадях вручную и самостоятельно, используя любой из двух алгоритмов. Потом проверим в системе MathCAD. Номера из учебника Колмогорова А.Н. №№1455,1456, на странице 228.

№ 1455 №1456

Когда большая часть учеников справится с номером №1455 вызываем ученика к доске, он решает эту систему. Решив ее на доске и проверив результаты вычислений, даем решить ее всему классу в системе компьютерной математики MathCAD. Указываем ребятам на время, за которое они выполнили это задание вручную и в компьютере. Рассмотрим решение эти заданий. Решение №1455 вручную:

Ответ: (-3; 2; -1)

Решение в системе MathCAD:

Решение №1456 вручную:

Ответ: (2; 3; 1)

Решение в системе MathCAD:

математический линейный уравнение mathcad

Записываем домашнее задание: выучить все, что мы сегодня записали, а также номера №№1457, 1458, решить их пока вручную. На следующем уроке проверим их в системе MathCAD. А теперь подведем итоги урока.

Урок № 11 (продолжительность 40 минут)

Тема: » Решение неопределенных систем линейных уравнений вручную и в среде MathCAD»

Цели:

а) образовательная — освоение учащимися способов выявления главных и свободных переменных. Усвоение алгоритма решения неопределенных систем линейных уравнений.

б) развивающая — развитие у учащихся алгоритмической культуры;

в) воспитательная — воспитание у учащихся усидчивости, аккуратности и бережливости.

Тип урока: объяснение нового материала.

Литература:

5. Виленкин Н.Я. и другие. Алгебра и математический анализ. 11 класс: учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / — 11-е изд., стереотип. — М.: Мнемозина, 2004. — 288с.; ил.

6. Алгебра и начала анализа: учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы / под ред. А.Н.Колмогорова, М.: Просвещение, 1983.- 335с.

7. А.Г.Солонина MathCAD в задачах по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для педвузов. М.:ТЦ Сфера ,2000. 181

8. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO М.: СК-ПРЕСС,1997

Вывод по главе 2

В данной главе был осуществлен критический анализ целей обучения математике из стандарта среднего (полного) общего образования, профильный уровень. Были предложены свои цели обучения, причем различных иерархических уровней.

Проведен анализ школьных учебников по теме «Системы линейных уравнений», основываясь на теории из первой главы.

Были рассмотрены различные формы организации обучения, в результате был выбран элективный курс, как наиболее подходящая форма обучения в школе. Разработана программа по элективному курсу «Изучение избранных вопросов по математике с использованием системы компьютерной математики MathCAD», написаны тематический план, конспекты некоторых уроков; рассмотрено применение системы компьютерной математики MathCAD.

Литература

1. А.Г.Солонина MathCAD в задачах по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для педвузов. М.:ТЦ Сфера ,2000. 181

2. Алгебра: Учеб. для 7кл общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; Под ред. С.А.Теляковского. М.:Просвещение, 2006.-240с.

3. Алгебра: Учебник для 7кл общеобразовательных учреждений / А.Г.Мордкович, М.: Просвещение, 2005.-235с.

4. Алгебра и начала анализа: учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы / под ред. А.Н.Колмогорова, М.: Просвещение, 1983.- 335с.

5. Дьяконов В.П. Автоматизация математических расчетов с помощью системы MathCAD.//Мир ПК. 1991. №8

6. Дьяконов В.П. Система MathCAD: Справочник. М.: Радио исвязь, 1993, 128с.

7. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO М.: СК-ПРЕСС,1997

8. Зимняя И.А. Педагогическая психология: Учебник для вузов. Изд. второе, доп., испр. и перераб. М.: Логос, 2003. 384с.

9. Панюкова С.В. Информационные и коммуникационные технологии в личностно ориентированном обучении. М.: Изд-во ИОСО РАО, 1998. 225с.

10. Педагогика. Учебное пособие для студентов педагогических вузов и педагогических колледжей /Под ред. П.И.Пидкасистого. М.: Педагогическое общество России,2005. 608с.

11. Солонина А.Г Концепция персонализированного обучения: Монография. М.: Прометей,1997

12. Л.Я.Куликов Алгебра и теория чисел: Учеб.пособие для педагогических институтов. -М.: Высш.школа, 1979. — 559с.,ил.

13. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры: Учеб.для вузов. — 2-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАЛИТ, 2004. — 272с.

14. Я.И.Груденков Психолого-дидактические основы методики обучения математике, М.,1987

15. В.И.Загвязинский Методология и методика дидактического исследования, М..1982

16. Концепция информатизации образования // Информатика и образование,1988, №2

17. В.М.Коротов Общая методика учебно-воспитательного процесса, М.,1983

18. В.А.Крутецкий Психология обучения и воспитания, М.,1976

19. Е.И.Машбиц Психолого-педагогические проблемы компьютеризации обучения, М.,1988

20. Стоунс Э. Психопедагогика. Психологическая теория и практика обучения. М.,1984

21. Башмаков М.И., Поздняков С.Н. и др. Информационная среда обучения, СПб.,1997

22. Лейнис Н.С. Умственные способности и возраст, М.,1971

23. Карфидова Ю.А. изучение элементарных функций в школе посредством системы компьютерной математики /Выпускная квалификационная работа по теории и методике обучения математике. Рязань, 2008, 135с.

24. Говядовская А.Н. Мотивация обучения математике в средней школе / Выпускная квалификационная работа по теории и методике обучения математике. Рязань, 2008,165с.

25. Большой психологический словарь /Сост. Мещеряков Б.Г., Зинченко В.П. М.,2004

26. Большой энциклопедический словарь /Сост. Прохоров Ф.М. — М.,2000

27. Выгодский Л.С. Педагогическая психология. М.,1991

28. Метельский Н.В. Очерки истории методики математики. К вопросу о реформе преподавания математики в средней школе. Под ред.И.Я. Депмана. Минск,1968. 340с.

29. Метельский Н.В. Психолого-педагогические основы дидактики математики. Мн.,1977

30. Метельский Н.В. Пути совершенствования обучения математике: проблемы современной методики математики. Мн.,1989.-160с.

31. Психология: Большая современная энциклопедия./Сост. Рапацевич Е.С. Мн.,20005

32. Саранцев Г.И. Общая методика преподавания математики. Саранск,1999

33. Фридман Л.М. Психологический справочник учителя. М.,1991

34. Бабаева Ю.Д. и др. Диалог с ЭВМ: психологические аспекты // Вопросы психологии. 1983. №2. С. 18-25.

35. Бабаева Ю.Д., Войскунский А.Е. Психологические последствия информатизации // Психологический журнал. 1998. Т.19. №1. С. 89-100.

36. Доронина О.В. Страх перед компьютером: природа, профилактика, преодоление // Психологический журнал. 1997. Т. 18. №1. С. 113-121

37. Васильева И.А., Осипова Е.М., Петрова Н.Н. Психологические аспекты применения информационных технологий // Вопросы психологии. 2002. №3

38. Самылкина Н.Н. Программа элективного курса «Подготовка к единому государственному экзамену по информатике» //Информатика и образование. 2007. №1. с.28-30

39. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. М.,1983

40. Зубрилин А.А. О некоторых проблемах внедрения элективных курсов. // Педагогика. 2007. №7. С.32-38.

41. Саркеева А.Н. Системы компьютерной математики в интеграции физико-математического образования в средней школе. // Информатика и образование. 2008. №8. С.88-91.

42. Масленикова О.Н. ИКТ-насыщенная образовательная среда: учебно-методическое сопровождение. // Информатика и образование. 2008. №1

43. Попадьина С.Ю. система компьютерной математики в профильном обучении. // Информатика и образование. 2007. №5. С.71-76.

Размещено на