Содержание
№55. Дана система линейных уравнений
2х1 – х2 – х3 = 4,
3х1 + 4х2 – 2х3 = 11,
3х1 – 2х2 + 4х3 = 11.
Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
№65. Даны два линейных преобразования:
х1′ = 3х1 – х2 + 5х3, х1» = 4х1′ + 3х2′ + х3′,
х2′ = х1 + 2х2 + 4х3, х2» = 3х1′ + х2′ + 2х3′,
х3′ = 3х1 + 2х2 – х3, х3» = х1′ – 2х2′ + х3′.
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х1», х2», х3» через х1, х2, х3.
№75. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.
4 -5 2
А = 5 -7 3
6 -9 4
№85. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.
5х2 + 8хy + 5y2 = 9.
№95. Дано комплексное число а. Требуется: 1) записать число а в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения z3 + a = 0.
a= -2*sqrt(2)/(1+i).
Выдержка из текста работы
Дана система линейных уравнений. Доказать её совместность и решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) методом Крамера.
{-(x_1+2x_2+x_3=4@3x_1-5x_2+3x_3=1@2x_1+7x_2-x_3=8)+
Решение:
Для определения совместимости системы воспользуемся теоремой Кронекера-Копелли. Составим матрицу A из коэффициентов при неизвестных.
A=(¦(1&2&1@3&-5&3@2&7&-1)),
и расширенную матрицу A?B добавив к матрице A столбец из свободных членов данной системы:
A?B=(¦(1&2&1&4@3&-5&3&1@2&7&-1&8)).
Система совместна если ранг матрицы A равен рангу матрицы A?B. Под рангом понимается наибольший порядок минора, отличного от нуля. Матрица A квадратная.
Вычислим определитель (минор 3 порядка) матрицы.
det?A=|¦(1&2&1@3&-5&3@2&7&-1)|=1*(-5)*(-1)+2*3*2+1*3*7-(1*(-5)*2+2*3*(-1)+1*3*7)=5+12+21-(-10-6+21)=33?0.
rang (A)=3.
В матрице A?B нет миноров порядка выше 3, а det?A является одним из миноров 3-го порядка, поэтому rang (A?B)=3.
rang (A)=rang (A?B)=3?система совместна.
Решить систему методом Гаусса.
(¦(1&2&1@3&-5&3@2&7&-1)¦¦(4@1@8))
Умножим первую строку на 3.
(¦(3&6&3@3&-5&3@2&7&-1)¦¦(12@1@8))
Из второй строки вычтем первую.
(¦(3&6&3@0&-11&0@2&7&-1)¦¦(12@-11@8))
Первую строку умножим на 2. Вторую строку разделим на -11. Третьи строку умножим на 3.
(¦(6&12&6@0&1&0@6&21&-3)¦¦(24@1@24))
Из третьей строки вычтем первую строку.
(¦(6&12&6@0&1&0@0&9&-9)¦¦(24@1@0))
Первую строку разделим на 6. Вторую строку умножим на 9.
(¦(1&2&1@0&9&0@0&9&-9)¦¦(4@9@0))
Из третьей строки вычтем вторую.
(¦(1&2&1@0&9&0@0&0&-9)¦¦(4@9@-9))
Вторую строку разделим на 9. Третью строку разделим на -9.
(¦(1&2&1@0&1&0@0&0&1)¦¦(4@1@1))
Запишем новую эквивалентную систему, которой соответствует расширенная матрица:
{-(x_1+2x_2+x_3=4@x_2=1@x_3=1)+
Выполняя обратный ход с помощью последовательных подстановок, находим неизвестные:
x_1=1,x_2=1,x_3=1
Получаем ответ: (1, 1, 1)
С помощью матричного исчисления.
{-(x_1+2x_2+x_3=4@3x_1-5x_2+3x_3=1@2x_1+7x_2-x_3=8)+
Составим матричное уравнение AX=B, где
A=(¦(1&2&1@3&-5&3@2&7&-1)), X=(¦(x_1@x_2@x_3 )), B=(¦(4@1@8)) и решим его указанным способом. Находим определитель
det?A=|¦(1&2&1@3&-5&3@2&7&-1)|=1*(-5)*(-1)+2*3*2+1*3*7-(1*(-5)*2+2*3*(-1)+1*3*7)=5+12+21-(-10-6+21)=33?0
Транспонируем матрицу: (¦(1&3&2@2&-5&7@1&3&-1)).
Найдем алгебраические дополнения.
A_11=?(-1)?^(1+1) (¦(-5&7@3&-1))=-5*(-1)-7*3=5-21=-16
A_12=?(-1)?^(1+2) (¦(2&7@1&-1))=-1*(2*(-1)-7*1)=-1*(-2-7)=9
A_13=?(-1)?^(1+3) (¦(2&-5@1&3))=2*3-(-5*1)=6+5=11
A_21=?(-1)?^(2+1) (¦(3&2@3&-1))=-1*(3*(-1)-2*3)=-1*(-3-6)=9
A_22=?(-1)?^(2+2) (¦(1&2@1&-1))=1*(-1)-2*1=-1-2=-3
A_23=?(-1)?^(2+3) (¦(1&3@1&3))=-1*(1*3-(3*1))=-1*(3+3)=0
A_31=?(-1)?^(3+1) (¦(3&2@-5&7))=3*7-2*(-5)=21+10=31
A_32=?(-1)?^(3+2) (¦(1&2@2&7))=-1*(1*7-2*2)=-1*(7-4)=-3
A_33=?(-1)?^(3+3) (¦(1&3@2&-5))=1*(-5)-(3*2)=-5-6=-11
A^(-1)=1/33 (¦(-16&9&11@9&-3&0@31&-3&-11))
A^(-1)=(¦(-16/33&9/33&11/33@9/33&-3/33&0@31/33&-3/33&-11/33))
A^(-1)=(¦(-16/33&3/11&1/3@3/11&-1/11&0@31/33&-1/11&-1/3))
Следовательно, X=A^(-1)*B=(¦(-16/33&3/11&1/3@3/11&-1/11&0@31/33&-1/11&-1/3))*(¦(4@1@8))=(¦(5/11@-13/11@13/11))
Решение системы уравнений: x_1=5/11, x_2=-13/11, x_3=13/11.
методом Крамера.
{-(x_1+2x_2+x_3=4@3x_1-5x_2+3x_3=1@2x_1+7x_2-x_3=8)+
Вычислим определитель системы и определители при неизвестных
?=|¦(1&2&1@3&-5&3@2&7&-1)|=1*(-5)*(-1)+2*3*2+1*3*7-(1*(-5)*2+2*3*(-1)+1*3*7)=5+12+21-(-10-6+21)=33?0
?_(x_1 )=|¦(4&2&1@1&-5&3@8&7&-1)|=4*(-5)*(-1)+2*3*8+1*1*7-(1*(-5)*8+2*1*(-1)+4*3*7)=20+48+7-(-40-2+84)=33
?_(x_2 )=|¦(1&4&1@3&1&3@2&8&-1)|=1*1*(-1)+4*3*2+1*3*8-(1*1*2+4*3*(-1)+1*3*8)=-1+24+24-(2-12+24)=33
?_(x_3 )=|¦(1&2&4@3&-5&1@2&7&8)|=1*(-5)*8+2*1*2+4*3*7-(4*(-5)*2+2*3*8+1*1*7)=-40+4+84-(-40+48+7)=33
Найдем значения x_1; x_2; x_3 по формулам Крамера
x_1=?_(x_1 )/?=33/33=1
x_2=?_(x_2 )/?=33/33=1
x_3=?_(x_3 )/?=33/33=1
Ответ: (1;1;1).
Найти произведение матриц A и B, если
A=(¦(1&2&2&-1@2&3&4&5@1&3&2&5@3&2&4&-3))
B=(¦(2&2&-1@-1&-4&3@-2&4&1@1&3&2))
Решение:
A*B=(¦(1&2&2&-1@2&3&4&5@1&3&2&5@3&2&4&-3))*(¦(2&2&-1@-1&-4&3@-2&4&1@1&3&2))=
(¦(1*2+2*(-1)+2*(-2)+(-1)*1&1*2+2*(-4)+2*4+(-1)*3&1*(-1)+2*3+2*1+(-1)*2@2*2+3*(-1)+4*(-2)+5*1&2*2+3*(-4)+4*4+5*3&2*(-1)+3*3+4*1+5*2@1*2+3*(-1)+2*(-2)+5*1&1*2+3*(-4)+2*4+5*3&1*(-1)+3*3+2*1+5*2@3*2+2*(-1)+4*(-2)+(-3)*1&3*2+2*(-4)+4*4+(-3)*3&3*(-1)+2*3+4*1+(-3)*2))
=(¦(2-2-4-1&2-8+8-3&-1+6+2-2@4-3-8+5&4-12+16+15&-2+9+4+10@2-3-4+5&2-12+8+15&-1+9+2+10@6-2-8-3&6-8+16-9&-3+6+4-6))=(¦(-5&-1&5@-2&23&21@0&13&20@-7&5&1))
Дана матрица А. Найти ей обратную (А-1) и установить, что .
A=(¦(2&-3&1@4&-5&2@5&-7&3))
Решение:
Найдем главный определитель.
?=|¦(2&-3&1@4&-5&2@5&-7&3)|=2*(-5)*3+(-3)*2*5+1*4*(-7)-(1*(-5)*5+(-3)*4*3+2*2*(-7))=-30-30-28-(-25-36-28)=1?0
Транспонированная матрица: (¦(2&4&5@-3&-5&-7@1&2&3))
Найдем алгебраическое дополнение:
A_11=?(-1)?^(1+1) (¦(-5&-7@2&3))=-5*3-(-7)*2=-15+14=-1
A_12=?(-1)?^(1+2) (¦(-3&-7@1&3))=-1*((-3)*3-(-7)*1)=-1*(-9+7)=2
A_13=?(-1)?^(1+3) (¦(-3&-5@1&2))=(-3)*2-(-5*1)=-6+5=-1
A_21=?(-1)?^(2+1) (¦(4&5@2&3))=-1*(4*3-5*2)=-1*(12-10)=-2
A_22=?(-1)?^(2+2) (¦(2&5@1&3))=2*3-5*1=6-5=1
A_23=?(-1)?^(2+3) (¦(2&4@1&2))=-1*(2*2-4*1)=-1*(4-4)=0
A_31=?(-1)?^(3+1) (¦(4&5@-5&-7))=4*(-7)-(5*(-5))=-28+25=-3
A_32=?(-1)?^(3+2) (¦(2&5@-3&-7))=-1*(2*(-7)-5*(-3))=-1*(-14+15)=-1
A_33=?(-1)?^(3+3) (¦(2&4@-3&-5))=2*(-5)-4*(-3)=-10+12=2
Обратная матрица
A^(-1)=1/? (¦(-1&2&-1@-2&1&0@-3&-1&2))
A^(-1)=1/1 (¦(-1&2&-1@-2&1&0@-3&-1&2))
A^(-1)=(¦(-1&2&-1@-2&1&0@-3&-1&2))
Проверим правильность нахождения обратной матрицы путем умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E.
A*A^(-1)=(¦(2&-3&1@4&-5&2@5&-7&3))*(¦(-1&2&-1@-2&1&0@-3&-1&2))=
(¦(2*(-1)+(-3)*(-2)+1*(-3)&2*2+(-3)*1+1*(-1)&2*(-1)+(-3)*0+1*2@4*(-1)+(-5)*(-2)+2*(-3)&4*2+(-5)*1+2*(-1)&4*(-1)+(-5)*0+2*2@5*(-1)+(-7)*(-2)+3*(-3)&5*2+(-7)*1+3*(-1)&5*(-1)+(-7)*0+3*2))=
(¦(-2+6-3&4-3-1&-2+2@-4+10-6&8-5-2&-4+4@-5+14-9&10-7-3&-5+6))=(¦(1&0&0@0&1&0@0&0&1))
A^(-1)*A=(¦(-1&2&-1@-2&1&0@-3&-1&2))*(¦(2&-3&1@4&-5&2@5&-7&3))=
(¦((-1)*2+2*4+(-1)*5&(-1)*(-3)+2*(-5)+(-1)*(-7)&(-1)*1+2*2+(-1)*3@-2*2+1*4+0*5&-2*(-3)+1*(-5)+0*(-7)&-2*1+1*2+0*3@(-3)*2+(-1)*4+2*5&(-3)*(-3)+(-1)*(-5)+2*(-7)&(-3)*1+(-1)*2+2*3))=
(¦(-2+8-5&3-10+7&-1+4-3@-4+4&6-5&-2+2@-6-4+10&9+5-14&-3-2+6))=(¦(1&0&0@0&1&0@0&0&1))
A*A^(-1)=A^(-1)*A=E=(¦(1&0&0@0&1&0@0&0&1))
Вычислить определитель матрицы А.
A=(¦(2&-1&3&4&-5@4&-2&7&8&-7@-6&4&-9&-2&3@3&-2&4&1&-2@-2&6&5&4&-3))
Разделим первую строку на 2.
|¦(1&-1/2&3/2&2&-5/2@4&-2&7&8&-7@-6&4&-9&-2&3@3&-2&4&1&-2@-2&6&5&4&-3)|
Умножим первую строку на 4
|¦(4&-2&6&8&-10@4&-2&7&8&-7@-6&4&-9&-2&3@3&-2&4&1&-2@-2&6&5&4&-3)|
Вычтем из второй строку первую и восстановим ее.
|¦(1&-1/2&3/2&2&-5/2@0&0&1&0&3@-6&4&-9&-2&3@3&-2&4&1&-2@-2&6&5&4&-3)|
Умножим первую строку на -6
|¦(-6&3&-9&-12&15@0&0&1&0&3@-6&4&-9&-2&3@3&-2&4&1&-2@-2&6&5&4&-3)|
Вычтем из третьей строку первую и восстановим ее.
|¦(1&-1/2&3/2&2&-5/2@0&0&1&0&3@0&1&0&10&-12@3&-2&4&1&-2@-2&6&5&4&-3)|
Умножим первую строку на 3.
|¦(3&-3/2&9/2&6&-15/2@0&0&1&0&3@0&1&0&10&-12@3&-2&4&1&-2@-2&6&5&4&-3)|
Вычтем из четвертой строку первую и восстановим ее.
|¦(1&-1/2&3/2&2&-5/2@0&0&1&0&3@0&1&0&10&-12@0&-1/2&-1/2&-5&11/2@-2&6&5&4&-3)|
Умножим первую строку на -2.
|¦(-2&1&-3&-4&5@0&0&1&0&3@0&1&0&10&-12@0&-1/2&-1/2&-5&11/2@-2&6&5&4&-3)|
Вычтем из пятой строки первую и восстановим ее.
|¦(1&-1/2&3/2&2&-5/2@0&0&1&0&3@0&1&0&10&-12@0&-1/2&-1/2&-5&11/2@0&5&8&8&-8)|
Восстановим первую строку до первоначального вида и поменяем местами вторую и третью строки, изменив знак определителя.
-|¦(2&-1&3&4&-5@0&1&0&10&-12@0&0&1&0&3@0&-1/2&-1/2&-5&11/2@0&5&8&8&-8)|
Умножим вторую строку на -1/2.
-|¦(2&-1&3&4&-5@0&-1/2&0&-5&6@0&0&1&0&3@0&-1/2&-1/2&-5&11/2@0&5&8&8&-8)|
Вычтем из четвертой строки вторую и восстановим ее.
-|¦(2&-1&3&4&-5@0&1&0&10&-12@0&0&1&0&3@0&0&-1/2&0&-1/2@0&5&8&8&-8)|
Умножим вторую строку на 5.
-|¦(2&-1&3&4&-5@0&5&0&50&-60@0&0&1&0&3@0&0&-1/2&0&-1/2@0&5&8&8&-8)|
Вычтем из пятой строки вторую и восстановим ее.
-|¦(2&-1&3&4&-5@0&1&0&10&-12@0&0&1&0&3@0&0&-1/2&0&-1/2@0&0&8&-42&52)|
Умножим третью строку на -1/2.
-|¦(2&-1&3&4&-5@0&1&0&10&-12@0&0&-1/2&0&-3/2@0&0&-1/2&0&-1/2@0&0&8&-42&52)|
Вычтем из четвертой строки третью и восстановим ее.
-|¦(2&-1&3&4&-5@0&1&0&10&-12@0&0&1&0&3@0&0&0&0&1@0&0&8&-42&52)|
Умножим третью строку на 8.
-|¦(2&-1&3&4&-5@0&1&0&10&-12@0&0&8&0&24@0&0&0&0&1@0&0&8&-42&52)|
Вычтем из пятой строки третью и восстановим ее.
-|¦(2&-1&3&4&-5@0&1&0&10&-12@0&0&1&0&3@0&0&0&0&1@0&0&0&-42&28)|
Поменяем местами четвертую и пятую строки, изменив знак определителя.
|¦(2&-1&3&4&-5@0&1&0&10&-12@0&0&1&0&3@0&0&0&-42&28@0&0&0&0&1)|
Перемножим элементы на главной диагонали
2*1*1*(-42)*1=-84
|¦(1&-1/2&3/2&2&-5/2@4&-2&7&8&-7@-6&4&-9&-2&3@3&-2&4&1&-2@-2&6&5&4&-3)|=-84…
