Содержание
№53. Дана система линейных уравнений
4х1 – 3х2 + 2х3 = 9,
2х1 + 5х2 – 3х3 = 4,
5х1 + 6х2 – 2х3 = 18.
Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
№63. Даны два линейных преобразования:
х1′ = 7х1 + 4х3, х1» = х2′ – 6х3′,
х2′ = 4х2 – 9х3, х2» = 3х1′ + 7х3′,
х3′ = 3х1 + х2, х3» = х1′ + х2′ – х3′.
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х1», х2», х3» через х1, х2, х3.
№73. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.
0 1 0
А = — 3 4 0
— 2 1 2
№83. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.
5х2 + 4*sqrt(6)хy + 7y2 = 22.
№93. Дано комплексное число а. Требуется: 1) записать число а в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения z3 + a = 0.
a= -2*sqrt(2)/(1-i).
Выдержка из текста работы
в) координаты точки А1(3,0,-1) обозначим соответственно Х0 = 3, У0 = 0, Z0=-1, а координаты точки В1 (-1,-2,-4) через Х1=-1, У1 = -2, Z1=-4 и воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки:
Следовательно, уравнение ребра А1В1 имеет вид
г) обозначим координаты векторов и через Х1=-4,У1= -2, 1=-3 и Х2=-4, У2=2, 2=3, соответственно. Векторное произведение данных векторов определяется формулой
Так как данный вектор перпендикулярен грани А1 В1 С1, то можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через точку (Х0, У0, 0) перпендикулярно вектору , которое имеет вид:
Подставим координаты точки А1 (Х0=3, У0=0, 0=-1) и координаты перпендикулярного вектора А=0, В=24, С=-16 в это уравнение:
0(Х-3)+24(У-0)-16(+16) = 0. Раскроем скобки и приведем подобные члены 24Y-16Z-256=0. Итак, уравнение грани А1 В1 С1 имеет вид:
24Y-16Z-256=0 или 3Y-2Z-32=0.
д) вектор является направляющим вектором высоты, опущенной из вершины D1 на грань А1В1С1. Воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку с заданным направляющим вектором: , где — координаты точки D1. Отсюда искомое уравнение: или
е) координаты вектора ==.
Обозначим =,=, .
Чтобы доказать, что векторы образуют линейно независимую систему векторов необходимо убедиться, что определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов,
отличен от 0. Определитель третьего порядка равен
=- +=
Вычислим определитель
=-4- (-2)+(-3) =
=-4(2*2 -)+2(2(-4) -43) -3((-4) (-3) -42) =
=-413+2(-20) — 34=-52 — 40- 12 = -104.
Так как данный определитель отличен от 0, то вектора образуют линейно независимую систему.
ж) сначала найдем координаты точек М и N, соответственно. Координаты точки
М = = =
N ===.
Получаем вектор =.
з) обозначим через координаты вектора в базе .
Тогда = = .
Так как: =++=
=++=
то приравнивая соответствующие координаты, получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера. Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
Тогда = z, где:
Для системы (1) определитель:
=(-4)-(-4)+4=
=(-4)*13+4*(-13)+4*0=-52-52+0=-104;
= (-6) -(-4) +4=
=(-6)*13+4*(-3)+4*(-4.5)=-78-12-18=-108;
=(-4)- (-6)+4=
=(-4)* (-3)+6*(-13)+4*(-4.5)=12-78-18=-84;
=(-4)- (-4)+ (-6)=
=(-4)*4.5+4*(-4.5)-6*0=-18-18-0=-36.
По формулам Крамера
Итак, разложение вектора по базису () имеет вид
ЗАДАЧА 2
Решите систему линейных уравнений
а) методом Крамера;
б) методом Гаусса;
в) с помощью обратной матрицы.
Решение.
а) Метод Крамера состоит в решении системы линейных уравнений по формулам Крамера ,
где (Подробности смотрите в пункте з) задачи 1.
=1-1+1=1*(-3+2)-1(3+1)+1(-2-1)=
=1*(-1)-1*4+1(-3)=-1-4-3=-8
=6-1+1=6*(-3+2)-1(0+1)+1(0-1)=
=6*(-1)-1*1+1(-1)=-6-1-1=-8
=1-6+1=1*(0+1)-6(3+1)+1(-1-0)=
=1*1-6*4+1(-1)=1-24-1=-24
=1-1+6=1*(1-2)-1(-1-1)+6(-2-1)=
=1*(-1)-1*(-2)+6(-3)=-1+2-18=-17
Так как ; то
Ответ:
б) Найдем определитель главной матрицы, составленной из коэффициентов при X1 — n:
|
1 1 1 -1 1 -1 1 2 -3 |
= -8 |
Определитель главной матрицы системы уравнений не равен нулю, следовательно данная система уравнений имеет единственное решение. Найдем его.
Достроим главный определитель системы уравнений еще одним столбцом, в который вставим значения за знаком равенства.
|
1 1 1 6 -1 1 -1 0 1 2 -3 1 |
Теперь последовательно, при помощи элементарных преобразований преобразуем левую часть матрицы (3 Ч 3) до треугольного вида (обнулим все коэффициенты находящиеся не на главной диагонали, а коэффициенты на главной диагонали преобразуем до единиц).
Вычтем 1 — ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
|
1 1 1 6 0 2 0 6 0 1 -4 -5 |
Вычтем 2 — ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
|
1 1 1 6 0 2 0 6 0 0 -4 -8 |
Вычтем 3 — ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
|
1 1 0 4 0 2 0 6 0 0 -4 -8 |
Вычтем 2 — ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
|
1 0 0 1 0 2 0 6 0 0 -4 -8 |
Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.
|
1 0 0 1 0 1 0 3 0 0 1 2 |
|
Числа получившиеся правее единичной матрицы и будут решением системы уравнений. Ответ: X=1; Y=3; Z=2. |
в) решение системы в этом случае равно =, где = — обратная матрица для матрицы =, — столбец свободных членов, — определитель этой матрицы.
Составим матрицу состоящую из коэффициентов при неизвестных данной системы:
А = .
Вычислим ее определитель
=1-1+1=
Вычислим алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А:
Тогда = и ==
=== =.
Ответ:
ЗАДАЧА 3
В ящике 18 одинаковых бутылок пива без этикеток. Известно, что треть из них «Жигулевское». Случайным образом выбирают 3 бутылки. Вычислите вероятность того, что среди них :
а) только пиво сорта «Жигулевское»;
б) ровно одна бутылка этого сорта.
Решение. Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 бутылки Жигулевского из 18 бутылок, то есть — число сочетаний из 18 элементов по 3.
а) подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию. Это число исходов ровно числу способов, которыми можно извлечь 3 бутылки Жигулевского из 12 бутылок, то есть
искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
б) подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию: две бутылки Жигулевского можно выбрать из 18 бутылок: способами, при этом одну бутылку нужно выбирать из четырех: способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех элементарных исходов
Ответ: а) б)
ЗАДАЧА 4
В двух одинаковых коробках находятся карандаши «Конструктор». Известно, что ? карандашей в первой коробке и ј во второй имеют твердость ТМ. Наугад выбирается коробка, из нее наугад извлекается один карандаш. Он оказывается твердости ТМ. Какова вероятность того, что он извлечен из первой коробки?
Решение: Обозначим через А событие — «карандаш имеет твердость ТМ». Возможны следующие гипотезы о происхождении этого карандаша: «карандаш из первой коробки», «карандаш из второй коробки». Так как доля первой коробки составляет ?, то вероятности этих гипотез равны соответственно:
Искомую вероятность того, что взяли карандаш с твердостью ТМ, находим по формуле полной вероятности:
Ответ:
ЗАДАЧА 5
Задан закон распределения дискретной случайной величины X:
|
X |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
p |
0,16 |
0,25 |
0,25 |
0,16 |
0,10 |
p |
0,03 |
Найдите:
а) неизвестную вероятность p;
б) математическое ожидание M, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины;
в) функцию распределения F(x) и построить её график;
г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y = 4x — 1.
Решение:
а) так как сумма всех вероятностей должна равняться единице, то получим уравнение
Отсюда ;
б) математическое ожидание М это сумма всех произведений значений случайной величины на их вероятности:
Дисперсия D=
Среднее квадратическое отклонение = ;
в) если
если — 2
если — 1
если 0 0,41+0,25=0,66
если 1 0,66+0,16=0,82
если 2 0,82+0,10=0,92
если 30,92+0,05=0,97
если х 4, то F(x)=Р( Х х )=0,97+0,03=1
Итак, функция распределения может быть записана так:
F (x) =
График этой функции приведен на рисунке:
г) сначала найдем значения случайной величины Y.
По условиям задачи
Поэтому
Составим таблицу вида.
|
Y |
7 |
3 |
-1 |
3 |
7 |
11 |
15 |
|
|
P |
0,16 |
0,25 |
0,25 |
0,16 |
0,10 |
0,05 |
0,03 |
Чтобы получить закон распределения случайной величины Y, необходимо:
1) рассмотреть ее значение в порядке возрастания;
2) сложить вероятности, соответствующие совпадающим значениям данной таблицы.
Итак, закон распределения случайной величины Y :
|
Y |
-1 |
3 |
7 |
11 |
15 |
|
|
Р |
0,12 |
0,41 |
0,26 |
0,14 |
0,04 |
ЗАДАЧА 6
Известно, что вероятность рождения мальчика равна 0,51, а девочки 0,49. Какова вероятность того, что 300 новорожденных окажется:
а) 150 мальчиков;
б) от 150 до 200 мальчиков?
Решение:
а) воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Вероятность того, что в n =300 испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна равна к=150 раз (безразлично, в какой последовательности) приближенно равна
Так как
Значение функции находим в таблице Брадиса:
Итак,
Отметим, что таблица функции приведена только для положительных значений. Если же значение получилось отрицательным, то знак минус можно просто опустить в силу четности функции ;
б) воспользуемся интегральной теоремой Лапласа. Вероятность того, что в n =300 независимых испытаниях событие наступит от К1=150 до К2 =200 раз приближенно равна:
Так как ,
Значение функции также находим в специальной таблице Брадиса. В таблице Для отрицательных значений х используют эту же таблицу, учитывая, что является нечетной функцией, то есть Итак, . Отсюда
Ответ:
Размещено на www.
