Содержание
№51. Дана система линейных уравнений
а11х1 + а12х2 + а13х3 = b1,
а21х1 + а22х2 + а23х3 = b2,
а31х1 + а32х2 + а33х3 = b3.
Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
3х1 + 2х2 + х3 = 5,
2х1 + 3х2 + х3 = 1,
2х1 + х2 + 3х3 = 11.
№61. Даны два линейных преобразования:
х1′ = а11х1 + а12х2 + а13х3, х1» = b11х1′ + b12х2′ + b13х3′,
х2′ = а21х1 + а22х2 + а23х3, х2» = b21х1′ + b22х2′ + b23х3′,
х3′ = а31х1 + а32х2 + а33х3. х3» = b31х1′ + b32х2′ + b33х3′,
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х1», х2», х3» через х1, х2, х3.
х1′ = 4х1 + 3х2 + 5х3, х1» = — х1′ + 3х2′ – 2х3′,
х2′ = 6х1 + 7х2 + х3, х2» = — 4х1′ + х2′ + 2х3′,
х3′ = 9х1 + х2 + 8х3, х3» = 3х1′ – 4х2′ + 5х3′.
№71. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.
0 1 0
А = — 3 4 0
— 2 1 2
№81. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.
15х2 – 2*sqrt(5)хy + 9y2 = 20.
№91. Дано комплексное число а. Требуется: 1) записать число а в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения z3 + a = 0.
a=2*sqrt(2)/(1+i).
Выдержка из текста работы
Если система линейных уравнений (*) такова, что определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет единственное решение , которое находится по формуле:
2.Найти проекцию точки М0 (-8;12) на прямую, проходящую через точки А (2;-3), В(-5; 1)
Решение:
Напишем уравнение прямой проходящий через точки А(2;-3) и В (-5; 1)
Или
Отметим что угловой коэффициент равен . Поэтому у прямой, которая перпендикулярна данной, угловой коэффициент будет равен , и уравнение этого перпендикуляра , проходящего через точку М0 (-8;12) имеет вид:
Осталось найти точку пересечения перпендикуляра и исходной прямой. Так найдем нужную проекцию. Другими словами надо решить систему уравнений:
Слегка преобразив получим:
Выразив одну переменную через другую из первого уравнения и подставив это выражение во второе уравнение, найдем сначала одно, а потом и второе .
Ответ: х=-12; y=5.
. Исследовать и найти решение системы
Решим систему методом Гаусса. Запишем систему в матричном виде и выполним элементарные преобразования
точка линейный уравнение матричный
Т.к. добавление столбца из нулей 9 свободных членов) не может повысить ранг матрицы. Ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы, но меньше числа неизвестных (4=4, 1<4) следовательно (согласно теоремы Кронекера-Капелли) система совместна и имеет бесконечное множество решений, в том числе и нулевое решение: (0,0,0,0).
Общее решение системы имеет вид:
Базисные решения:
Фундаментальная система решений
Ответ:
Примечание: Решить методом Крамера и методом обратной матрицы нельзя, т.к. необходимо чтобы (а у данной матрицы ).
