Помощь студентам, абитуриентам и школьникам

Консультации и учебные материалы для разработки диссертации, дипломной работы ,курсовой работы, контрольной работы, реферата, отчета по практике, чертежа, эссе и любого другого вида студенческих работ.

Пример контрольной работы по высшей математике: Числовые и функциональные ряды Вариант 14

Раздел: Контрольная работа

Выдержка из текста работы

  1. Криволинейный интеграл первого рода: определение, свойства, вычисление, приложения.
  2. Криволинейный интеграл второго рода: определение, свойства, вычисление, приложения.
  3. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.

Комплексные числа и функции комплексной переменной.

  1. Понятие множества комплексных чисел (к.ч.). Операции в нем.
  2. Алгебраическая форма записи к.ч. Действия над числами в этой форме.
  3. Геометрический смысл к.ч., модуль и аргумент.
  4. Тригонометрическая форма записи к.ч. Действия над числами в этой форме. Формула Эйлера.
  5. Понятие окрестности комплексной точки. Предел последовательности комплексных чисел.
  6. Понятие функции комплексной переменной (ФКП). Предел и непрерывность ФКП.
  7. Определение производной ФКП, ее свойства.
  8. Условие Коши – Римана об аналитической ФКП. Формулы вычисления производной.
  9. Геометрический смысл модуля и аргумента производной ФКП.
  10. Гармонические функции. Теорема о действительной и мнимой частях ФКП. Восстановление одной части по известной другой.
  11. Элементарные ФКП (их свойства):

1) линейная; 2) дробно – линейная; 3) показательная; 4) логарифмическая; 5) степенная; 6) тригонометрическая; 7) гиперболическая.

  1. Понятие интеграла ФКП, его свойства.
  2. Интегральная теорема Коши:

а) для односвязной области;

б) ее распространение на многосвязную.

  1. Теорема о производной интеграла ФКП с переменным верхним пределом. Аналог формулы Ньютона – Лейбница.
  2. Интегральная формула Коши (о способе вычисления интеграла ФКП).
  3. Понятие вычета функции f(z). Основная теорема о вычетах (способ вычисления интеграла ФКП). Вычисление вычетов относительно простых и кратных полюсов.

Обыкновенные ДУ (дифференциальные уравнения).

  1. Понятие ДУ I порядка, различные формы записи. Геометрический смысл.
  2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (без док-ва). Понятие общего и частного решения.
  3. Методы интегрирования ДУ I порядка:

а) с разделяющимися переменными; б) однородное; в) линейное; г) Бернулли; д) в полных дифференциалах.

  1. ДУ II порядка: понятие, различные виды, задача Коши и теорема Коши.
  2. Линейные однородные ДУ II порядка: общий вид, теорема о свойстве решений, фундаментальная система решений.
  3. Теорема о структуре общего решения линейного однородного ДУ II порядка.
  4. Линейные однородные ДУ II порядка с постоянными коэффициентами: общее решение в случаях: а) k1≠k2 €R; б) k1=k2; в) k1=α + βi, k2= α – βi.
  5. Линейные неоднородные ДУ II порядка: теорема о структуре общего решения.
  6. Вид общего решения линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами в случаях: а) специальной правой части; б) неспециальной.
  7. Линейные однородные и неоднородные ДУ n-го порядка.
  8. Решение нормальных систем линейных ДУ методом сведения к одному ДУ.

Числовые и функциональные ряды.

  1. Понятие числового ряда, частичной суммы, суммы, свойства числовых рядов, сходимость.
  2. Необходимый признак сходимости числового ряда.
  3. Знакоположительные ряды: общий вид, сходимость. Достаточные признаки сходимости: признак Даламбера, радикальный и интегральный Коши.
  4. Знакочередующиеся ряды: общий вид. Достаточный признак сходимости Лейбница.
  5. Знакопеременные ряды: достаточный признак сходимости. Абсолютная и условная сходимость.
  6. Функциональные ряды: общий вид, точка сходимости, область сходимости.
  7. Степенные ряды: общий вид. Теорема Абеля об области сходимости.
  8. Ряд Тейлора. Условие разложения функции в ряд Тейлора.
  9. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора при x0=0: ex, cos(x), sin(x), (1+x)n, ln(1+x), arctg(x).
  10. Периодические процессы и периодические функции. Тригонометрический ряд.
  11. Ряд Фурье для функций с периодом 2π, коэффициенты Фурье.
  12. Условия разложения функции в ряд Фурье (теорема Дирихле).
  13. Ряд Фурье для четных, нечетных функций с периодом 2π.
  14. Ряд Фурье для функций с произвольным периодом 2L.
  15. Комплексная форма ряда Фурье.
  16. Интеграл Фурье, его комплексная форма.

 

 

Операционное исчисление.

47. Преобразование Лапласа: определение, требования к оригиналу.

48. Условие существования интеграла Лапласа (теорема).

49. Определение изображения для некоторых элементарных функций: f(t) = eat , f(t) = tn , f(t) = cost.

50. Свойства преобразования Лапласа:

1) теория линейности (изображение для sinω, cosωt)

2) теорема подобия

3) теорема затухания [или смещения] (изображение для eat sinω, eat cosωt)

4) теорема запаздывания: геометрич. смысл, показать на примере единичных импульсов

6) теорема опережения: геометрич. смысл

7) изображение для периодического оригинала.

8) Восстановление оригинала по изображению:

    1. по таблице
    2. разложение рациональной дроби на простейшие
    3. через вычеты: формула обращения (обратн. преобразованию Лапласа); лемма Жордана; теорема обращения, использующая лемму Жордана.

51) Дифференцирование оригинала (теорема), интегрирование оригинала (теорема).

52) Дифференцирование и интегрирование изображения.

53) Свертка функций; теорема умножения изображений; интеграл Дюамеля.

54) Свертка изображений, теорема умножения оригиналов.

55) Приложение преобразования Лапласа к решению линейных ДУ с постоянными коэффициентами и систем ДУ.

56) Применение интеграла Дюамеля к решению ДУ.

57) Связь преобразований Фурье и Лапласа.