Выдержка из текста работы
Линейная алгебра — часть алгебры, изучающая векторные (линейные) пространства и их подпространства, линейные отображения (операторы), линейные, билинейные, и квадратичные функции на векторных пространствах.
Численные методы линейной алгебры — раздел вычислительной математики, посвященный математическому описанию и исследованию процессов численного решения задач линейной алгебры.
Наиболее важными являются задачи линейной алгебры — вычисление определителя, обратной матрицы, собственных значений и др.
Целями работы являются:
· изучить методы нахождения определителя и обратной матрицы методом Гаусса;
· разработать вычислительный алгоритм в программе Pascal ABC для вычисления определителей и для нахождения обратной матрицы.
1. Теоретическая часть
1.1 Вычисление точного значения определителей
Вычисление определителей основывается на их известных свойствах, которые относятся к определителям всех порядков. Вот эти свойства:
1. Если переставить две строки (или два столбца) определителя, то определитель изменит знак.
2. Если соответствующие элементы двух столбцов (или двух строк) определителя равны или пропорциональны, то определитель равен нулю.
3. Значение определителя не изменится, если поменять местами строки и столбцы, сохранив их порядок.
4. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
5. Значение определителя не изменится, если к элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число. Для определителей третьего порядка это свойство может быть записано, например, так:
6. Определитель второго порядка вычисляется по формуле
7. Определитель третьего порядка вычисляется по формуле
Существует удобная схема для вычисления определителя третьего порядка (см. рис. 1 и рис. 2).
По схеме, приведенной на рис. 1, произведения соединеных элементов берутся со своим знаком, а по схеме рис. 2 — с обратным. Величина определителя равна алгебраической сумме полученных шести произведений.
В определителе порядка n алгебраическим дополнением элемента, стоящего на пересечении k-го столбца и l-й строки, называется определитель порядка (n — 1), получаемый из данного вычеркиванием в нем строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, причем к этому определителю присоединяется множитель (-1)k+l, где (k + l) — сумма номеров вычеркнутой строки и столбца. Алгебраическое дополнение элемента, рассматриваемое без множителя (-1)k+l, называется минором этого элемента.
8. Теорема Лапласа.
Определитель равен сумме произведений каждого элемента некоторой строки (или столбца) на его алгебраическое дополнение.
Условимся обозначать элементы определителя маленькими буквами, а их алгебраические дополнения — соответствующими большими буквами с теми же индексами. Так, как алгебраическое дополнение элемента a3 будем обозначать через A3, алгебраическое дополнение элемента d4 — через D4 и т. д. На основании свойства 8 определитель (3) может быть представлен, например, в таком виде:
D = a3A3 + b3B3 + c3C3 + d3D3 + e3E3
Это равенство представляет собой разложение определителя по элементам третьей строки. По свойству 8 вычисление определителя порядка n сводится к вычислению определителей порядка (n — 1).
9. Если все элементы какого-нибудь ряда определителя, кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому не равному нулю элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.
С помощью указанных свойств можно вычислить определитель любого порядка.
1.2 Нахождение обратной матрицы методом Гаусса
линейный алгебра гаусс матрица определитель
Метод Гаусса является поистине универсальным методом в линейной алгебре, поскольку он применим и к решению систем линейных уравнений, и к решению определителей, и к отысканию обратной матрицы.
Теорема:
Пусть А квадратная невырожденная матрица. Если матрица (А | E) приведена с помощью элементарных преобразований строк к виду (Е | A-1), где Е — единичная матрица того же порядка, что и матрица А.
Из теоремы следует метод нахождения обратной матрицы методом Гаусса:
1) к матрице А приписать справа единичную матрицу Е той же размерности;
2) путем преобразований методом Гаусса над строками расширенной матрицы (А | E) матрица А приводится к единичной матрице;
3) в результате вычислительного процесса на месте приписанной справа матрицы Е получится обратная матрица A-1.
Схематично процесс нахождения обратной матрицы выглядит следующим образом: (А | E) (E | A-1).
2. Практическая часть
2.1 Вычисление определителей
Пример 1: Вычислить определитель:
Решение:
С помощью формулы (правило треугольника):
Получаем:
= 1*2*2 + 0*5*1 + 3*1*4 — 4*2*5 — 0*3*2 — 1*1*1 = -25
С помощью программы (см. Приложение, п.1):
2.2 Пример нахождения обратной матрицы
2. Элементы первой строки умножим на (- 3) прибавим соответственно к элементам второй строки, получим . Затем элементы второй строки прибавим соответственно к элементам первой строки, получим . При выполнении следующего преобразования элементы второй строки умножим на (-1/2). В результате получим матрицу .
3. Итак, обратная матрица имеет вид A-1 = .
С помощью программы найдём обратную матрицу методом Гаусса (см. Приложение, п. 1):
