Содержание
12.21. Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А = 2 см, полная энергия колебаний W = 0,3 мкДж. При каком смещении х от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F = 22,5 мкН?
12.22. Шарик, подвешенный на нити длиной l = 2 м, отклоняют на угол α = 4° и наблюдают его колебания. Полагая колебания незатухающими гармоническими, найти скорость шарика при прохождении им положения равновесия. Проверить полученное решение, найдя скорость шарика при прохождении им положения равновесия из уравнений механики.
12.23. К пружине подвешен груз массой m = 10 кг. Зная, что пружина под влиянием силы F = 9,8 Н растягивается на l = 1,5 см, найти период Т вертикальных колебаний груза.
12.24. К пружине подвешен груз. Максимальная кинетическая энергия колебаний груза WК мах = 1 Дж. Амплитуда колебаний A = 5 см. Найти жесткость k пружины.
12.25. Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от последовательного соединения пружин перейти к параллельному их соединению?
12.26. Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить вместо медного шарика алюминиевый такого же радиуса?
12.27. К пружине подвешена чашка весов с гирями. При этом период вертикальных колебаний T1 = 0,5 с. После того как на чашку весов положили еще добавочные гири, период вертикальных колебаний стал равным T2 = 0,6 с. На сколько удлинилась пружина от прибавления этого добавочного груза?
12.28. К резиновому шнуру длиной l = 40 см и радиусом r = 1 мм подвешена гиря массой m = 0,5 кг. Зная, что модуль Юнга резины E = 3 МН/м2, найти период Т вертикальных колебаний гири. Указание. Учесть, что жесткость k резины связана с модулем Юнга Е соотношением k = S*E/l, где S площадь поперечного сечения резины, l ее длина.
12.29. Ареометр массой m = 0,2 кг плавает в жидкости. Если погрузить его немного в жидкость и отпустить, то он начнет совершать колебания с периодом T = 3,4 с. Считая колебания незатухающими, найти плотность жидкости ρ, в которой плвает ареометр. Диаметр вертикальной цилиндрической трубки ареометра d = l см.
12.30. Написать уравнение движения, получающегося в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебательных движений с одинаковым периодом T = 8 с и одинаковой амплитудой А = 0,02 м. Разность фаз между этими колебаниями φ2 φ1 = π/4. Начальная фаза одного из этих колебаний равна нулю.
Выдержка из текста работы
Колебательными называются процессы, при которых параметры, характеризующие состояние колебательной системы, обладают определённой повторяемостью во времени. Такими процессами, например, могут являться суточные и годовые колебания температуры атмосферы и поверхности Земли, колебания маятников, переменный эл. ток
— голосовые связки
— струны различных инструментов
— колебания столба воздуха в трубе органа
— отливы и приливы море и океанов
— образование бурления (турбулентных потоков) на перекатах рек
— работа различных генераторов электрических и электромагнитных колебаний
— работа поршневых групп в двигателях внутреннего с горания
— корабль на волне
— мембрана телефона
— колебания кристаллической решетки атомов
— повышение(понижение) уровня экономической активности в зависимости от сезона ( особенно наглядно видно на примере сельского хозяйства)
— колебания полотна моста
— волатильность (колебания) различных рынков (фондового, валютного и т.д.)
— повторяющиеся процессы в функционировании и развитии человеческого организма.
Характерной особенностью всех колебательных движений является периодичность, т.е. регулярная повторяемость через определённые равные отрезки времени T. Этот отрезок времени между двумя последовательными одинаковыми состояниями движения колеблющегося тела называют периодом колебаний, а сами колебания периодическими. Для периодических колебаний функция, определяющая состояние колеблющейся системы, повторяется через период колебаний:
Среди периодических колебаний особое место занимают колебания гармонические, т.е. колебания, при которых характеристики движения системы изменяются по гармоническому закону, например:
x- отклонение материальной точки от положения равновесия, которое называется смещением.
Очевидно, что максимальное отклонение точки от положения равновесия равно a, эта величина называется амплитудой колебаний. Физическая величина, равная:
и определяющая состояние колеблющейся системы в данный момент времени, называется фазой колебаний. Значение фазы в момент начала от счёта времени
называется начальной фазой колебаний.
Величина в выражении фазы колебаний, определяющая быстроту колебательного процесса, называется его круговой или циклической частотой колебаний.
Все колебания делятся на колебания различных видов. Принадлежность колебания к тому или иному виду зависит от свойств колеблющихся систем.
Классификация колебаний:
— ПО ФИЗИЧЕСКОЙ ПРИРОДЕ:
· Механические (звук, вибрация)
· Электромагнитные (свет, радиоволны)
· Колебания смешанного типа (комбинации вышеперечисленных)
-ПО ХАРАКТЕРУ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ С ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДОЙ:
· Вынужденные— колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия. Примеры: листья на деревьях, поднятие и опускание руки. При вынужденных колебаниях может возникнуть явление резонанса: резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении собственной частоты осциллятора и частоты внешнего воздействия.
· Свободные (или собственные) — это колебания в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие). Простейшими примерами свободных колебаний являются колебания груза, прикреплённого к пружине, или груза, подвешенного на нити
· Автоколебания — колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии, расходующейся на совершение колебаний (пример такой системы — механические часы). Характерным отличием автоколебаний от свободных колебаний является, то что их амплитуда определяется свойствами самой системы, а не начальными условиями.
· Параметрические — колебания, возникающие при изменении какого-либо параметра колебательной системы в результате внешнего воздействия.
· Случайные — колебания, при которых внешняя или параметрическая нагрузка является случайным процессом.
Для более удобного и наглядного отображения поведения колебательных процессов различного рода рассматривают их геометрическое представление. Рассмотрим самые распространённые способы.
Временные диаграммы (рис. 1)
рис. 1 (затухающие колебания)
Наиболее широко применяемыми и известными являются временные (плоские) диаграммы, на которых в зависимости от времени представляются параметры движения, например, смещение, скорость и ускорение. Если материальная точка совершает движение по гармоническому закону
то скорость её в произвольный момент времени выражается соотношением
а ускорение, соответственно,
Временные диаграммы этих параметров отражены на рис.95-97.
На рис.98 в произвольном масштабе одновременно представлены все три характеристики движения.
векторные диаграммы (рис. 229)
(В данном случае, мы можем увидеть, что А0- сумма колебаний с амплитудами А1 и А2)
Часто употребляемыми являются также так называемые векторные диаграммы. Они широко применяются при изучении гармонических колебаний, при изучении сложения колебаний и т.д. Любое гармоническое колебание можно представить следующим образом. Пусть начало некоторого вектора совпадает с началом координат (рис. 99), а сам он вращается вокруг начала координат с угловой скоростью, численно равной циклической частоте колебаний. Как видно из рисунка, в любой момент времени проекции вектора на оси координат численно равны
Масштаб можно выбрать таким, что длина вектора будет численно равна амплитуде колебаний.
Весьма наглядным является сложение гармонических колебаний, представляемое с помощью векторных диаграмм. Предположим, что обе гармонические составляющие имеют одинаковую частоту изменения параметров (т.е. угловые скорости вращения обоих векторов одинаковы). Если начальные фазы составляющих различны, то векторы в пространстве не совпадают по направлению. Геометрическая сумма этих векторов определяет амплитуду результирующего колебания. Действительно, поскольку для гармонических колебаний справедлив принцип суперпозиции, то результирующее смещение, получаемое телом, должно равняться по этому принципу геометрической сумме смещений, получаемых телом за счёт участия в каждом из отдельных колебаний. Так как при одинаковой угловой скорости вращения слагаемых векторов их относительное расположение (рис.100) не будет изменяться с течением времени, то не будет изменяться, соответственно, и длина суммарного вектора (амплитуда результирующего колебания), который будет вращаться с той же угловой скоростью, что и слагаемые векторы. Таким образом, результирующее колебание будет происходить с той же циклической частотой, а его амплитуда численно равна геометрической сумме складываемых векторов.
Если же циклические частоты складываемых колебаний (угловые скорости вращения векторов) неодинаковы, то относительное расположение складываемых векторов с течением времени будет периодически изменяться, будет периодически изменяться и амплитуда результирующего колебания, принимая значения от нуля до величины, равной сумме амплитуд складываемых колебаний. Поскольку периодичность изменения амплитуды результирующего колебания (длины суммарного вектора) определяется относительной скоростью вращения векторов, то циклическая частота изменения амплитуды результирующего колебания должна определяться разностью циклических частот складываемых колебаний. Более подробно случай сложения одинаково направленных колебаний будет рассмотрен потом.
Фазовое представление колебаний
При фазовом представлении колебаний состояние колеблющейся системы описывается в фазовой плоскости. Фазовой плоскостью называют плоскость, координаты точек которой определяют состояние колеблющейся системы с одной степенью свободы. По осям координат откладываются значения координат и скоростей механической системы. При гармонических колебаниях вместо скорости (или импульса) откладывается обычно отношение скорости тела к циклической частоте колебаний. Изменению состояния системы соответствует перемещение точки по фазовой плоскости. Отметим, что на фазовой плоскости можно представить не только колебательный процесс, но и любой Другой вид движения, например, прямолинейное движение, движение тела, брошенного под углом к горизонту и т.д.
Рассмотрим фазовые представления некоторых частных случаев движения. На рис. 3 представлено равномерное прямолинейное движение. Действительно, при равномерном и прямолинейном движении на всей траектории (для любой координаты) скорость тела имеет постоянное значение. Этому случаю соответствует прямая, параллельная оси X на фазовой плоскости.
Рис. 3 Рис. 4
Если же скорость с течением времени изменяется, то фазовая траектория не будет представлять собой прямую линию. Так, если тело совершает равнозамедленное движение с начальной скоростью из начала координат, то закон изменения его скорости записывается в виде
а закон движения — в форме
Исключая из этих зависимостей время, получаем уравнение движения в фазовой плоскости
Этому уравнению соответствует парабола, представленная на рис.4.
При гармонических колебаниях закон движения тела можно записать в виде
Скорость его при этом для произвольного момента времени имеет вид
Исключая время, получим уравнение фазовой траектории
которая представлена на рис. 5.
Рис. 5 Рис . 6
Этими основными видами геометрического представления колебаний и будем пользоваться в дальнейшем.
Рассмотрим также равномерное движение точки по окружности. Радиус вращения равен ,, в исходный момент времени направление на точку составляло угол с осью X (рис. 6).
В любой момент времени проекции точки на оси координат равны
Соответствующие проекции скорости на оси координат равны
Ускорение же в проекциях на оси координат равно
Отметим, что такое определение закона движения точки в проекциях на оси координат аналогично уже отмеченному выше векторному представлению колебаний.
В самом деле, как видно из выражений проекций точки на оси координат, а также проекций векторов скорости её и ускорения, вдоль отдельных координатных направлений точка совершает гармонические колебания. При этом угловая скорость точки численно равна циклической (круговой) частоте колебаний (откуда ясно происхождение названия самой частоты).
Сложение одинаково направленных колебаний.
а) Частоты складываемых колебаний одинаковы.
Предположим, что точка одновременно принимает участие в двух гармонических движениях вдоль одного и того же направления, при этом частоты складываемых колебаний равны между собой, отличаются только амплитуды и начальные фазы колебаний:
По принципу суперпозиции колебаний полное смещение точки из положения равновесия должно быть равным геометрической сумме смещений, получаемых в каждом из отдельных колебаний. Кроме того, поскольку оба составляющих колебания происходят с одной и той же частотой, то и результирующее колебание будет иметь ту же частоту. Поэтому результат сложения колебаний представим в виде функции:
После тригонометрических преобразований и подстановки получим:
колебательный физический амплитуда результирующий
Из последних условий можно определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания
Амплитуда результирующего колебания может принимать различные значения в зависимости от значений амплитуд складываемых колебаний и разности их начальных фаз. Поэкспериментируем.
Возьмём два колебания (рис. 7), как было указано выше с одинаковыми частотами, имеем w1= w2= 2.2, возьмём амплитуды а1= а2= 0,5, а фазы у нас будут разные. Мы видим, что амплитуда результирующего колебания увеличилась примерно в два раза. Примерно, потому что у нас фазы начальные близки друг к другу, а не равны.
Рис. 7
Теперь возьмём те же два колебания, однако начальные фазы сделаем равными. Получаем(рис. 8):
Рис. 8
И вот теперь при равных начальных фазах мы видим, что амплитуда конечная удваивается. (Вышло сложение двух одинаковых однонаправленных колебаний). Рис. 8
На рис. 9 мы видим, что будет, если увеличивать амплитуду а2.
рис. 9
Попробуем изобразить сумму двух волн, находящихся в противофазе. Т.е., когда момент максимума одного колебания совпадает с моментом минимума второго колебания. В результате сложения таких колебаний мы получим их взаимное уничтожение (если амплитуда одинаковая, тогда а2=а1-а2=0). Это представлено на рис. 10
рис. 10
Если же волны у нас будут в противофазе, но а1?а2 получим следующую картину (рис. 11)
рис.11
б) Частоты складываемых колебаний различны, одинаковы амплитуды и начальные фазы
При складывании колебаний различных частот равенство амплитуд и начальных фаз мы взяли только для упрощения преобразований. Пусть первое из складываемых колебаний имеет вид
а второе-
По принципу суперпозиции колебаний .
Используя формулы тригонометрических преобразований, получаем результат в виде:
Как видно, результирующее колебание в этом случае не является гармоническим. Однако, если частоты складываемых колебаний не очень отличаются друг от друга, то результирующее колебание можно представить как почти гармоническое с медленно изменяющейся амплитудой. (рис. 12)
Рис. 12
При этом смещение точки из положения равновесия происходит с частотой, равной полусумме складываемых частот. Такой случай сложного колебания называется биениями, т.е. периодическими изменениями амплитуды результирующего колебания, возникающие при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний с близкими частотами. Частота биений при этом определяется разностью частот складываемых колебаний .
Практически биения используют для сравнения частот двух колебаний, например, при настройке музыкальных инструментов. Наблюдение биений позволяет с большой точностью определить тот момент, когда частота биений становится равной нулю (так называемые нулевые биения). Это происходит при равенстве частот складываемых колебаний (рис. 13). Похожее явление биений наблюдается и при складывании нормальных колебаний с несколькими степенями свободы. В таких системах в некоторые моменты времени амплитуда колебаний одного из тел системы принимает максимальное значение, в то время как для другого она становится минимальной. Другими словами, в связанных системах происходит периодическая «перекачка» энергии от одного из тел системы к другому. На рис. 13 биения изображены более наглядно.
Рис. 13
Размещено на
