Выдержка из текста работы
На Арабском Востоке математические исследования начались, по-видимому, в IX в., когда в Багдаде с развитием переводческой деятельности возник интерес к творениям великих древнегреческих авторов. Аль-Хадджадж ибн Матар перевел «Начала» Евклида и «Альмагест» Птолемея, а Хиляль ибн Хиляль аль-Химзи – четыре тома «Конических сечений» Аполлония Пергского. В том же столетии были переведены и некоторые труды Архимеда, Папа и Диофанта.
Всё это весьма знаменательно благодаря двум важным обстоятельствам: во-первых, переводы делались известными математиками и, во-вторых, потребность в них была связана с новейшими исследованиями того времени. Мак, книги V-VII «Конических сечений» Аполлония привёл великий математик Сабит ибн Кура, умерший в 901 г. Более того, есть все основания предполагать, что примерно в 870 г. В связи с уже проводившимся изучением анализа неопределённых уравнений переводом «Арифметики» Диофанта занялся Куста ибн Лука.
Можно привести еще много примеров, иллюстрирующих тесную связь между переводами и самостоятельными исследованиями, которые велись в тот период, когда эллинистическая математика начала широко распространяться в арабском мире.
Как раз в это время – в IX в. – в Багдадской академии, известной как «Дом мудрости», аль-Хорезми написал трактат, как по форме, так и по содержанию явившийся новым шагом в истории математики. Это была «Китаб аль-джебр Валь-мукабалах» («Книга о восстановлении и противопоставлении»), в которой алгебра впервые рассматривалось как самостоятельная математическая дисциплина. Это было серьезное достижение, получившее признание современников, оценивших не только новый для математики метод, но и само содержание, а главное открывавшиеся перспективы дальнейших исследований.
Что касается метода, то он был одновременно алгоритмическим (автор предлагал серию вычислительных процедур) и наглядным. В те времена ощущалась потребность в такой математике, которая была бы достаточно общей, чтобы оперировать различными типами утверждений, и в то же время существовала независимо от них. В работе аль-Хорезми алгебраическое выражение могло относиться и к числу, и к иррациональной величине, и к геометрическому объекту. Эта новая математика была настоящей находкой для учёных того времени.
Оригинальность концепции алгебраический стиль аль-Хорезми, не опиравшегося на какую-либо ранее известную традицию, трудно переоценить. Новая алгебра позволяла получить представление об огромных потенциальных возможностях приложения одной математической дисциплины к другой, неизвестных до IX в. Другими словами, сначала алгебра благодаря расширению её границ и новизне концепции сделала такое приложение возможным, а в дальнейшем многочисленность и разнообразие этих приложений изменили характер самой математики.
Последователи аль-Хорезми расширяли приложение арифметики к алгебре к тригонометрии; алгебры к евклидовой теории чисел; алгебры к геометрии и наоборот. Все эти приложения открыли путь новым дисциплина или по крайней мере способствовали возникновению новых глав в истории математики.
Одни из примеров – вклад арабкой математики в классическую теорию чисел.
К концу IX в. Были переведены важнейшие труды греков по арифметике: книги Евклида по этому предмету, «Введение в арифметику» Никомаха из Грасы и «Арифметика» Диофанта Александрийского. Вслед за этими переводами появились новые страницы в теории чисел, явившиеся в некотором роде ответом на них. Например, в области теории друг дружеских чисел было сделано два важных шага. Один из них привёл (в евклидовой арифметике) к ряду новых открытий, а другой ( в результате применения алгебры) завершился через несколько столетий появлением целой области теории чисел, не имевшей никакого отношения к открытиям греков. Остановимся на этих двух моментах подробнее.
В конце IX книги своих «Начал» Евклид выдвинул теорию совершенных чисел, однако ни он, ни Никомах Герасский не разработали теорию дружеских чисел. Сабит ибн Кура, который перевёл труд Никомаха и правил одни из переводов «Начал», решил заняться этим вопросом. Он вывел замечательную формулу для дружеских чисел, которая теперь носит его имя.
Если отвлечься от мистики, которая традиционно окружает дружеские числа, и обратиться к чистой математике, то нужно признать, что вплоть до конца XVII в. Формула Ибн Куры упоминалась лишь вскользь и то в работах более поздних математиков. Среди них были такие, светила арабского мира, как аль-Антаки, аль-Багдади, Ибн аль-Бана, аль-Умави и аль-Каши. Время и место их жизни свидетельствуют о широком распространении формулы Ибн Куры, которою мы вновь встречаем в 1636 г. В работе Пьера де Ферма, а в 1638 г. – у Рене Декарта.
Второй момент примечателен тем, что прославленный физик и математик Камаль аль-Дин аль-Фаризи, умерший в 1320г., написал трактат, целью которого было построить доказательство формулы Ибн Куры, но иным путем. Доказательство аль-Фаризи было основано на последовательном определении делителей какого-либо целого числа и действий, которые могут быть с ними произведены. Оно не только дало толчок к изменениями перспектив евклидовой арифметики, но и привело к появлению новых направлениях в теории чисел. Стало возможным говорить о её неэллинистическом разделе.
Прежде чем приступить к этой новой области – изучению делителей, — аль-Фаризи должен был точно установить некоторые факты, не выявленные в «Началах» Евклида. Ему также пришлось использовать достижения алгебры X-XI вв. (после аль-Караджи), особенно комбинатореные методы. Таким образом, разработанный аль-Фаризи метод позволил ему не ограничиваться доказательством формулы Ибн Куры и приступить к новому исследованию первых двух арифметических функций: сумме делителей целого числа и числу этих делителей.
А ведь именно такой подход, когда алгебра и комбинаторный анализ применялись к евклидовой арифметике, преобладал в Европе вплоть до XVII в., по крайней мере до 1640 г. Таким образом, анализ выводов и методов аль-Фаризи показывает, что благодаря им ещё в XIII в. могло появиться множество теорем, открытий и методов, которые до сих пор приписывались математикам XVII в.
В историческом плане изначальный объём знаний, накопленных латинской, византийской, арабской, а также индийской и китайской математикой, можно было бы отделить от всей совокупности трудов, созданных в период Возрождения. Однако, на мой взгляд, такая дихотомия не имеет особого значения ни в историческом, ни в эпстемологическом плане. Арабская математика, безусловно, является продолжением эллинистической математики, которая её породила. Это относится и к математике, которая начиная с XII в. развивалась в латинском мире. Наконец, труды, созданные на арабском и латинском языках с IX до начала XVII в., нельзя разделять на отдельные периоды.
В Европе конец XVII в. был отмечен появлением новых методов и новых областей математики. Однако всё это возникло не на пустом месте и ни одновременно в каждой дисциплине. Более того, линии раздела редко совпадают с появлением трудов разных учениях. В теории чисел, например, использование Декартом и Ферма алгебраических метеодов не было новшеством, как это порой утверждают, они просто повторили открытия аль-Фаризи. Настоящим открытием Ферма можно считать его труд 1640 г. – изобретение метода «предельного перехода» и изучение квадратичных форм. Таким образом, вклад в четкой схеме развития этой науки в IX – первой половине XVII в.
