Выдержка из текста работы
Министерство Образования Российской Федерации Марийский Государственный Технический Университет Кафедра ИСЭ Курсовая работа По дисциплине Математическое моделирование экономических процессов на тему Формирование оптимального портфеля ценных бумаг на примере ОАО Банк Центральное ОВК Выполнил ст т гр. МИЭ 41 Веприков Д.О. Проверил зав. каф. ИСЭ доц. Некрасова Н. В. доц. каф. ИСЭ Петрова Л. В. Йошкар Ола, 2002. Содержание 1 Обзор литературы 1.1 Формирование оптимальной модели развития коммерческих банков 1.2 Выбор портфеля ценных бумаг. Краткий обзор существующих методов оценки доходности и риска ценных бумаг 1.3 Задача управления процентным риском и теория иммунизации 5 1.3.1 Оптимизация рискового портфеля ценных бумаг и теория игр 3.2 Теория оптимального портфеля Марковица 2 Экономическая сущность задачи выбора портфеля ценных бумаг 3 Обоснование необходимости моделирования и цели использования вычислительной техники для решения задачи 4 Описание и формализация исходных данных для задачи 4.1 Обоснование и описание критерия эффективности 11 4.1.1 Ожидаемый риск актива 1.2 Ожидаемый риск портфеля, состоящего из нескольких активов 4.2 Обоснование и описание ограничений на множество допустимых значений оптимизируемых переменных 2.1 Определение доходности актива 2.2 Определение ожидаемой доходности портфеля 4.3 Обоснование и описание взаимосвязи между переменными 5 Построение и описание экономико-математической модели задачи формирования оптимального портфеля инвестиций в ценные бумаги 6 Выбор и обоснование методов решений предполагаемой модели 6.1 Задача нелинейного программирования 6.2 Задача выпуклого программирования. Метод множителей Лагранжа 6.3 Градиентные методы 6.4 Геометрическая интерпретация решения задачи квадратического программирования 7 Анализ полученных выходных данных 22 Введение Проблема риска и прибыли одна из ключевых в экономической деятельности.
При формировании инвестиционных портфелей, предприятие, банк может столкнуться с различными видами рисков и они естественно стремятся их минимизировать.
Банк или предприятие, фирма в своей деятельности могут подвернуться различным видам риска кредитному невыполнение обязательств перед инвестором, процентному возникающему непредвиденного изменения процентных ставок, риску ликвидности изменение кредитных и депозитных потоков, etc. Поставленная задача не лишена смысла, т.к. на рынке денежных ценных бумаг в качестве инвесторов преобладают банки, которые, в то же время как посредники частично размещают краткосрочные бумаги у свих клиентов.
Формирование инвестиционного портфеля это один из методов управления финансовыми активами Поскольку рынок подвергает сомнению буквально каждую часть портфеля акций, даже самый независимо мыслящий инвестор может начать сомневаться в правильности вложений. Два фактора обычно связано с процессом инвестирования время и риск. Для обыкновенных акций существенными являются оба фактора.
Инвестиционный процесс представляет собой принятие инвестором решения относительно ценных бумаг, в которые осуществляются инвестиции, объемов и сроков инвестирования.
Когда инвестор выбирает, куда вложить деньги с максимально возможным доходом и минимальным риском, он обращается к финансовому посреднику.
Финансовыми посредниками являются специализированные институты, оказывающие инвесторам услуги на финансовых рынках.
Кредитные организации коммерческие банки в их числе. В развитых странах банки и небанковские финансовые институты весьма активно инвестируют в ценные бумаги. Основная деятельность коммерческого банка как финансового посредника привлечение депозитов и предоставление кредитов.
Цели инвестиций в ценные бумаги получение более высокой доходности, чем доходность по кредитным операциям. Инвестиционные предпочтения краткосрочные бумаги, инструменты денежного рынка. Для прироста капитала инвестору наиболее подходят акции, паи инвестиционных фондов, инструменты денежного рынка, etc. 1
Обзор литературы
1.1 Формирование оптимальной модели развития коммерческих банков
Современные условия развития банковского сектора обуславливают необходимость совершенствования методов экономического анализа, планирования и контроля.
Деятельность коммерческих банков анализируется со стороны Центрального банка, налоговых органов и органов статистики. Кредитная политика банка является частью его общей стратегии развития. Основной стержень прогнозирования банковской стратегии это формирование разумных альтернатив его развития. При этом следует исходить из того, что банк это рисковое предприятие, функционирующее в условиях неопределенности во-вторых, это фирма, стремящаяся к повышению своей доходности 6, 34-35. Из этого следует, что банк при формировании кредитного, инвестиционного, а так же портфеля вложений в ценные бумаги должен либо минимизировать процентный риск, либо максимизировать доходность портфеля путем диверсификации, etc. Методы математического моделирования используются при управлении ликвидностью баланса и в расчетах окупаемости инвестиционных проектов 6, 36. Банки подвержены также риску, относящемуся к их марже разницей между процентной ставкой, по которой банк предоставляет кредиты, и той, которую выплачивает по вкладам опасности того, что уменьшится доходность активов, приносящих прибыль, или значительно возрастут расходы на выплату процентов при одновременном уменьшении разности между доходами и расходами банка, т.е. чистой прибыли.
Изменение разности между доходами и расходами обычно связываются либо с изменениями в структуре активов и пассивов банка, либо с процентным риском.
Оптимальная модель банковской стратегии может быть описана как модель динамического программирования.
Во многих экономических моделях зависимость между постоянными и переменными факторами лишь в первом приближении можно считать линейными, более детальное рассмотрение позволяет обнаружить их нелинейность 6, 37. 1.2 Выбор портфеля ценных бумаг. Краткий обзор существующих методов оценки доходности и риска ценных бумаг Портфель это набор финансовых активов, которыми располагает инвестор.
В него могут входить как инструменты одного вида, например, акции или облигации, или разные активы ценные бумаги, производные финансовые инструменты, недвижимость. Главная цель формирования портфеля состоит в стремлении получить требуемый уровень ожидаемой доходности при более низком уровне ожидаемого риска. Данная цель достигается, во-первых, за счет диверсификации портфеля, i.e. распределения средств инвестора между различными активами во-вторых, за счет тщательного подбора финансовых инструментов 1, 239. Инвесторы должны диверсифицировать портфель, т.е. их портфель должен содержать более одной ценной бумаги.
Это имеет смысл, т.к. диверсификация может снизить риск, измеряемый стандартным отклонением 5, 179. 1.3
Задача управления процентным риском и теория иммунизации
Классическое решение проблемы управления процентным риском портфеля ценных бумаг дается в рамках теории иммунизации. Однако оно не может быть признано исчерпывающим по целому ряду причин.
Во-первых, инвестор может столкнуться с проблемой недоступности финансовых инструментов, соответствующих его сроку вложений. Дело в том, что иммунизация является недостижимой, если дюрации всех финансовых инструментов превышают срок вложения инвестора 3, 54. Во-вторых, стремление к полному устранению процентного риска присуще лишь части инвесторов, осуществляющих операции на рынке ценных бумаг с фиксированным доходом. Для остальных инвесторов выбор структуры портфеля зависит от соотношения между ожидаемой доходностью и уровнем процентного риска В-третьих, теория иммунизации предлагает способ защиты от единовременных сдвигов временной структуры процентных ставок.
Поскольку на реальных рынках колебания процентных ставок происходят постоянно, сохранение портфеля в иммунизированном состоянии требует осуществление многочисленных ребалансировок, в ходе которых структура портфеля приводится в соответствие с новым состоянием рыночной конъюнктуры, что сопряжено с высоким уровнем трансакционных издержек 3 там же. 1.3.1
Оптимизация рискового портфеля ценных бумаг и теория игр
Проблему выбора структуры оптимального портфеля можно представить в форме игры с природой, определив множество стратегий инвестора как множество вариантов формирования портфеля, а множество состояний природы как множество возможных комбинаций периодов времени, через которые инвестору могут потребоваться денежные средства, со сценариями перемещения временной структуры процентных ставок.
Каждой комбинации структуры портфеля и состояния природы соответствует определенное значение доходности, которые можно рассчитать по формуле, где — доходность портфеля при сроке вложений m и реализации сценария временной структуры процентных ставок q — доля вложений в облигации акции выпуска j — доходность облигаций акций выпуска j. Выигрыш инвестора при реализации различных состояний природы представляет собой разность между доходностью портфеля и ставкой спот т.е. ставкой мгновенной ликвидности, установившейся в момент формирования портфеля.
Полезность выигрыша определяется отношением инвестора к процентному риску.
Большинство инвесторов отрицательно относятся к процентному риску, и для них увеличение выигрыша на заданную величину ведет к меньшему изменению уровня полезности, чем снижение выигрыша на ту же величину. Согласно теории полезности Неймана-Моргенштерна функция полезности, отражающая стремление к избежанию риска, характеризуется положительным значением первой производной и отрицательным значением второй производной на всей области определения, соответствующей возможным значениям выигрыша.
Функция полезности Неймана-Моргенштерна имеет вид. Функция вида обладает двумя полезными свойствами, позволяющими использовать ее для отношения к процентному риску на рынке ценных бумаг с фиксированным доходом. Она отражает неприятие риска и позволяет учитывать степени неприятия риска у различных инвесторов.
Структура портфеля, обеспечивающее максимальное среднее значение среднего уровня полезности, зависит от вероятности отзыва средств из портфеля через различные сроки и вероятностей реализации различных сценариев перемещения временной структуры процентных ставок. Для ее определения необходимо решить задачу оптимизаци Определяя вероятности, инвестор формализует свои оценки предполагаемого срока вложений. Определяя вероятности, инвестор формализует свои оценки предполагаемых изменений временной структуры процентных ставок.
Т.о данная модель представляет собой инструмент поддержки принятия решений, позволяющий регулировать структуру портфеля на основе о предполагаемых сроках вложений, характере прогнозов инвестора и его склонность к процентному риску 3, 55 — 56. 1.3.2
Теория оптимального портфеля Марковица
Подход Марковица начинается с предположения, что инвестор в настоящий момент времени имеет конкретную сумму денег для инвестирования. Эти деньги будут инвестированы на определенный промежуток времени период владения курсив мой. В общем подход Марковица основан на анализе среднегодовой доходности, стандартного отклонения и кривых безразличия.
Альтернативные портфели анализируются с этих позиций 5, 180. Портфель набор различных ценных бумаг, следовательно, проблема видится как проблема выбора инвестиционного портфеля. Принимая решение, инвестор должен иметь в виду, что доходность в предстоящий период неизвестна 5. Формирование портфеля ценных бумаг это один их этапов инвестиционного процесса.
Он включает определение конкретных активов для вложения средств, а так же пропорций распределения инвестиционного капитала между активами. При этом инвестор сталкивается с проблемами селективности, выбора времени операций и диверсификации 5. Концепция эффективного множества и оптимального портфеля инвестора являются основополагающими в современной инвестиционной теории. Но как инвестор может реально оценить эффективное множество и выбрать оптимальный портфель Используя математический метод, известный как квадратическое программирование, инвестор может обработать ожидаемые доходности, стандартные отклонения и ковариации для определения эффективного множества.
Итак, подход Марковица к проблеме портфеля предполагает, что инвестор старается решить две проблемы максимизировать ожидаемую доходность при заданном уровне риска и минимизировать неопределенность риск при заданном уровне ожидаемой доходности. Ожидаемая доходность служит мерой потенциального вознаграждения, связанного с портфелем. 2
Экономическая сущность задачи выбора портфеля ценных бумаг
Российский фондовый рынок представляет собой один из развивающихся рынков.
Он характерен наличием значительного числа акционерных обществ, большинство из которых не состоят в листинге ни одной из торговых площадок, но, тем не менее, представляют интерес для прямых инвестиций. Отсутствие достаточной ликвидности является основной проблемой при портфельном инвестировании на российском финансовом рынке.
Хотя значительное число компаний являются прибыльными, финансово устойчивыми и демонстрируют рост от 20 до 30 в год, тем не менее, они торгуются на рынке со значительным дисконтом относительно подобных компаний даже в развивающихся странах. Все это свидетельствует о том, что при налаживании инфраструктуры рынка, проведении определенной работы, направленной на повышение открытости компаний для инвестора даже без кардинальных макроэкономических улучшений, акции могут значительно возрасти.
За 1999 год наиболее сильно выросли в цене акции нефтегазовой отрасли. Причиной является то, что основными отраслями являются не наукоемкие производства, а сырьевые отрасли. Причем акции таких компаний продолжают оставаться недооцененными ввиду продолжающегося роста цен на энергоносители. Из ценных бумаг на российских торговых площадках обращаются в основном привилегированные акции компаний. Зарождается сектор корпоративных долговых обязательств. Многие компании начинают видеть преимущества этого способа финансирования своей операционной деятельности. Кроме того, есть надежда на возрождение рынка производных ценных бумаг, которые бы дали возможность управлять валютными, процентными и портфельными рисками.
Ценные бумаги, которые приобретаются для получения дохода, считаются инвестициями низкого и среднего уровня риска. Ценные бумаги, приобретаемые с целью прироста капитала, считаются инвестициями высокого уровня риска. Допустим, инвестирование денежных средств сопровождается получением ценных бумаг активов акций, облигаций, валюты, векселей.
Если денежные средства вложены в несколько объектов, полученные от инвестирования ценные бумаги образуют портфель активов. Инвестор, как правило, не держит только один вид ценных бумаг. Значительно безопаснее обладать набором из нескольких финансовых инструментов, выпущенных различными эмитентами так называемым портфелем инвестиций. В этом случае более важным для инвестора является не уровень общего риска, каждой ценной бумаги в отдельности, а совокупный риск инвестиционного портфеля или рыночный риск. Доходность портфеля характеризуется средневзвешенной доходностью его составляющих, которая для портфеля, состоящего, например, из двух активов, рассчитывается следующим образом 1 где — общая доходность портфеля — удельный вес актива А — удельный вес актива B. Будущая стоимость ценных бумаг в отличие от текущей не определена и зависит от большого количества различных факторов.
Количественная мера этой неопределенности называется риском.
При этом методы линейного программирования можно использовать для контроля систематического риска при формировании портфеля активов 4, 27. Нами рассматривается идеальный конкурентный рынок. Все участники такого рынка имеют свободный доступ ко всей информации о ценных бумагах и стремятся сформировать оптимальный портфель ценных бумаг. Спрос активов на этом рынке равен предложению. Под портфелем ценных бумаг понимают совокупность ценных бумаг, приобретенных инвестором.
Структура портфеля это соотношение долей капитала, вложенных в ценные бумаги различных видов. Для того, чтобы составить эффективный портфель, необходимо найти точку касания границы эффективности с кривой безразличия инвестора. Инвестор намечает иметь в своем портфеле N определенных ценных бумаг. Ему необходимы характеристики этих бумаг, т.е. ожидаемая доходность и риск, и знать или вычислить коэффициенты корреляции между всеми парами выбранных ценных бумаг.
Однако для удобства расчетов лучше воспользоваться ковариациями доходностей активов. 3
Обоснование необходимости моделирования и цели использования вычислительной техники для решения задачи Реальный портфель вложений в ценные бумаги как правило должен быть высокодиверсифицированным, т.е. содержать различные ценные бумаги различных компаний различных же отраслей. В такой ситуации трудно учесть все факторы при большом количестве активов, входящих в портфель, оптимальность того или иного варианта может быть неочевидна.
Тем более что число эффективных портфелей т.е. портфелей, принадлежащих эффективному множеству, бесконечно велико. Задача нахождения оптимального портфеля ценных бумаг, а тем более, поддержание его в иммунизированном состоянии требует большого объема расчетов. Тем более, что для решения подобных задач используются методы квадратического программирования. Поэтому использование стандартных пакетов прикладных программ не лишено смысла. Математическое и программное обеспечение включают математические методы, алгоритмы, программы и программные комплексы для проведения расчетов на ЭВМ. Организация плановых расчетов с использованием экономико-математических моделей предусматривают автоматизацию расчета технико-экономических коэффициентов, формирования матриц задач, а так же расчет аналитических и результативных таблиц после решения задачи.
При решении конкретной экономической задачи требуется соответственно и экономическая информация.
Характер информации определяется
Содержание
м экономико-математической задачи. ППП Excel, помимо удобного средства автоматизации многочисленных и трудоемких расчетов, играет роль своеобразного компьютерного полигона. Пакеты прикладных программ, реализующие функции табличных процессоров, идеально подходят для анализа чувствительности т.е. проблем вида что будет, если. ППП Excel не является исключением и предоставляет пользователю возможности по моделированию подобных расчетов. Процедуру поиска решения можно использовать для определения значения влияющей ячейки, которое соответствует экстремуму зависимой ячейки, например, расходы на рекламу, обеспечивающие максимальную прибыль.
Влияющая и целевая ячейки должны быть связаны формулой листа, иначе при изменении значения одной не будет изменяться другая. В процедуре поиска решения Microsoft Excel используется алгоритм нелинейной оптимизации Generalized Reduced Gradient GRG2, разработанный Леоном Ласдоном Leon Lasdon, University of Texas at Austin и Аланом Уореном Allan Waren, Cleveland State University. Алгоритмы симплексного метода и метода branch-and-bound для решения линейных и целочисленных задач с ограничениями разработаны Джоном Уотсоном John Watson и Деном Филстра Dan Fylstra из Frontline Systems, Inc. 4
Описание и формализация исходных данных для задачи
Для моделирования и решения экономико-математических задач необходим определенный объем информации. Это информация о ресурсах и их наличии, процессах производства, распределения, обмена и потребления продукции или финансов.
Одной из важнейших характеристик всех ценных бумаг включая акции является их доходность ожидаемая доходность.
Источником ожидаемой доходности обыкновенных акций является прежде всего рост курса акций. Реальным стимулом инвестирования является разница цен в момент покупки и продажи акций 15, 30. Исходя из этого, в качестве исходных данных берется прогноз динамики изменения рыночной цены акций российских эмитентов в системе РТС Российская Торговая Система, а так же значения дивиденда, выплачиваемого на одну акцию.
Значения прогнозной доходности приведены в Приложении I, Табл. 1.1 4.1
Обоснование и описание критерия эффективности
Понятие риск широко используется при анализе портфельных инвестиций. Финансисты условились понимать под ним степень неопределенности результата, точнее вариацию разброс ожидаемых значений доходности вокруг ее средней величины математического ожидания. Такая трактовка риска позволила унифицировать подход к его различным видам.
С позиции инвестора все многообразие рисков может быть объединено в одну группу общий риск или риск отдельных ценных бумаг. 4.1.1
Ожидаемый риск актива
Приобретая какой-либо актив, инвестор ориентируется не только на значение ожидаемой доходности, но и на уровень его риска. Ожидаемая доходность выступает, как некоторая величина, которую надеется получить инвестор, например 15. Возможность получения данного результата подтверждается предыдущей динамикой доходности актива.
На практике доходность, которую получит инвестор, может оказаться как равной, так и отличной от 15. Т.о риск инвестора состоит в том, что он может получить результат, отличный от ожидаемой доходности. Строго говоря, риск вкладчика заключается в том, что он получит худший, чем ожидаемый результат. На практике в качестве меры риска используют показатели дисперсии и стандартного отклонения. Они показывают, в какой степени и с какой вероятностью фактическая доходность и доходность актива может отличаться от величины его ожидаемой доходности, т.е. средней доходности.
Действительно, поскольку риск обусловлен недетерминированностью исхода решения, то, чем меньше разброс, результата решения, тем более он предсказуем, т.е. меньше риск. Если вариация дисперсия результата равна нулю, риск полностью отсутствует. Например, в условиях стабильной экономики операции с государственными ценными бумагами считаются безрисковыми 2, 12. Данные параметры учитывают отклонения как в сторону увеличения, так и уменьшения доходности по сравнению с ожидаемым значением 1, 240-242. Дисперсия определяется по формуле , 2 где — дисперсия доходности актива n число периодов наблюдения — средняя доходность актива.
Стандартное отклонение определяется по формуле , 3 где — стандартное отклонение доходности актива. Стандартное отклонение говорит о величине и вероятности отклонения доходности актива от ее средней величины за определенный период. Полезная мера риска должна некоторым образом учитывать вероятность возможных плохих результатов и их величину.
Вместо того, чтобы измерять вероятность различных результатов, мера риска должна некоторым образом оценивать степень возможного отклонения действительного результата от ожидаемого. Может показаться, что простая мера риска в лучшем случае является очень грубой суммой плохих возможностей. Но в наиболее типичной ситуации стандартное отклонение является в действительности очень хорошей мерой неопределенности оценки перспектив портфеля.
Наилучшим примером является случай, когда распределение вероятностей доходности портфеля может быть аппроксимировано по известной кривой, имеющей форму колокола, которая носит название нормального распределения. Данное предположение является правдоподобным при рассмотрении высокодиверсифицированного портфеля с относительно коротким периодом владения ценными бумагами 5, 179. Доходность актива в том или ином году это случайная величина.
Массовые случайные процессы подчиняются закону нормального распределения. Поэтому с вероятностью 68,3 можно ожидать, что через год доходность актива будет лежать в пределах одного стандартного отклонения от средней доходности с вероятностью 95,5 этот диапазон составит два стандартных отклонения и с вероятность 99,7 диапазон составит три стандартных отклонения. Поскольку доходность актива случайная величина, которая зависит от различных факторов, то остается 0,3 вероятности, что она выйдет за рамки трех стандартных отклонений. Чем больше стандартное отклонение доходности актива, тем больше его риск 1, 244. Таким образом, при одинаковом уровне доходности нескольких активов стандартное отклонение может быть различным. 4.1.2 Ожидаемый риск портфеля, состоящего из нескольких активов Ожидаемый риск портфеля представляет собой сочетание стандартных отклонений входящих в него активов.
Однако в отличие от ожидаемой доходности портфеля его риск не является обязательно средневзвешенной величиной стандартных отклонений доходности активов.
Дело в том, что различные активы могут по-разному реагировать на изменение конъюнктуры рынка. В результате стандартные отклонения дисперсии доходности различных активов в ряде случаев будут гасить друг друга, что приведет к снижению риска портфеля. Риск портфеля зависит от того, в каком направлении изменяются доходности входящих в него активов при изменении конъюнктуры рынка и в какой степени. Для определения степени взаимосвязи и направления изменения доходности двух активов используют такие показатели, как ковариация и корреляция.
Показатель ковариации определяется по формуле , 4 где — ковариация доходности активов А и В. Положительное значение ковариации говорит о том, что доходности активов изменяются в одном направлении, отрицательная в обратном. Нулевое значение ковариации означает, что взаимосвязь между активами отсутствует 1, 245. В нашем случае очевидно, что значения доходности активов очень слабо коррелируют между собой.
Для того, чтобы представить идею и эффект диверсификации портфеля при различной корреляции доходностей входящих в него активов, сделаем некоторые выводы, которые применим при анализе решения данной задачи. 1. Если в портфель объединяются активы с корреляцией 1, то достигается только усреднение, а не уменьшение риска 2. Если в портфель объединяются активы с корреляцией меньше, чем 1, то его риск уменьшается. Уменьшение риска портфеля достигается при сохранении неизменного значения ожидаемой доходности. 3. Чем меньше корреляция доходности активов, тем меньше риск портфеля 4. Если в портфель объединяются активы с корреляцией 1, то можно сформировать портфель без риска. 5. При формировании портфеля необходимо стремиться объединить в него активы с наименьшей корреляцией.
Данные утверждения верны как для портфеля, состоящего из двух активов, так и из нескольких. Риск портфеля, состоящего из двух активов, рассчитывается по формуле 5 Тогда риск дискперсия портфеля, состоящего из нескольких активов, запишется как 6 Это следует из того, что если вы вложили x денежных единиц в ценную бумагу акцию, имеющую среднюю годовую доходность, тогда доход составит, а так же из формулы 5. 4.2
Обоснование и описание ограничений на множество допустимых значений оптимизируемых переменных
4.2.1 Определение доходности актива
Суммарная доходность обыкновенных акций зависит от изменения курса и выплаты дивидендов.
Однако главным компонентом доходности является рыночная оценка нераспределенной прибыли.
Для коротких периодов главным фактором является изменение цен на акции. В нашей задаче мы опустим все прочие компоненты суммарной доходности акций, кроме той, что зависит от выплаты дивидендов и изменения курса акций. Пусть — дивиденд, выплаченный на акцию i в состоянии s в конце периода, и пусть — цена акции в начале периода. Тогда 7 является доходностью акции i в состоянии s. Доходность бессрочной привилегированной акции, равно как и обыкновенной акции с неизменным дивидендом, находится по формуле , 8 где — текущая рыночная цена акции. 4.2.2
Определение ожидаемой доходности портфеля
На начальном этапе решения задачи необходимо оценить ожидаемую доходность портфеля в конце периода инвестирования, а так же оценить стоимость портфеля в начале инвестиционного процесса.
В 5, 178 предлагается методика оценки ожидаемой доходности портфеля. Портфель, формируемый инвестором, состоит из нескольких активов, каждый из которых обладает своей ожидаемой доходностью.
Ожидаемая доходность портфеля определяется как средневзвешенная ожидаемая доходность входящих в него активов 9 где — ожидаемая доходность портфеля — ожидаемая доходность активов, входящих в состав портфеля — удельный вес каждого актива в портфеле. Или иначе 10 Удельный вес актива в портфеле рассчитывается как отношение его стоимости к стоимости всего портфеля , 11 где — удельный вес i-ого актива — стоимость i-ого актива — стоимость портфеля. Сумма всех удельных весов, входящих в портфель активов, всегда равна единице.
Т.к. ожидаемая доходность портфеля представляет собой средневзвешенные ожидаемые доходности ценных бумаг, то вклад каждой ценной бумаги в ожидаемую доходность портфеля зависит от ее ожидаемой доходности, а так же от доли начальной рыночной стоимости портфеля, вложенной в данную ценную бумагу 5, 178 179. Данное утверждение будет полезно при составлении математической модели задачи. 4.3
Обоснование и описание взаимосвязи между переменными
Для каждого допустимого портфеля мы можем отметить на графике ожидаемую доходность и стандартное квадратическое отклонение.
Это приведет к следующей диаграмме см. рис. 1. Рис. 1 Кривая безразличия Данный рисунок показывает возможные соотношения между риском и доходностью на данном рынке. Каждая точка на диаграмме соответствует портфелю бумаг, которые инвестор считает равноценными. Далее, перейдем от системы координат к системе координат, где. Тогда в наших осях парабола, характеризующая кривую безразличия инвестора, будет выглядеть прямой. Уравнение для семейства прямых безразличия запишется в виде Если инвестор заинтересован в максимизации ожидаемой доходности, и минимизации стандартного отклонения, то можно заметить, что некоторые из портфелей доминируют остальные.
Так, при фиксированной доходности отклонении доминируемые портфели имеют большее отклонение меньшую доходность. Можно полагать, что рациональные инвесторы будут делать свой выбор среди недоминируемых портфелей, которые занимают верхний левый угол на рисунке. 5
Построение и описание экономико-математической модели задачи формирования оптимального портфеля инвестиций в ценные бумаги
При определении оптимального в смысле минимизации риска портфеля, инвестор банк исходит из следующих допущений I. Состав портфеля ценных бумаг в течение периода владения неизменен при изменении структуры портфеля.
II. Средства инвестируются в один вид ценных бумаг в акции. III. Доходность портфеля не может быть больше доходности самой доходной ценной бумаги акции, входящей в портфель.
IV. Всегда приходится выбирать между увеличением доходности и уменьшением риска. Как было отмечено выше, инвестор не склонен вкладывать свои средства в один какой-либо наиболее доходный финансовый инструмент, но предпочитает диверсифицировать структуру своего портфеля вложений, теряя, однако, при этом в доходности. Для того, чтобы сохранить структуру портфеля относительно стабильной, необходимо минимизировать дисперсию при ограничениях наложенных на величину инвестиций и ставки доходности.
Необходимо рассчитать дисперсию см. Приложение II, Табл. 2.1 а так же ковариацию доходностей по ценным бумагам см. Приложение II, Табл. 2.2. Итак, запишем математическую модель задачи нахождения структуры оптимальных вложений в акции на основе модели Марковица. Множество недоминируемых портфелей, называемое эффективной границей, может быть построено решением общей задачи минимизаци риска, впервые рассмотренной Марковицем 12 при двух ограничениях.
Первое ограничение фиксирует желаемый уровень доходности, а второе ограничение нормирует весовые коэффициенты портфеля без ограничений на короткую позицию 13 14 На практике обычно на величины накладывают ограничения. Самое распространенное из них. Т.е. предполагается, что инвестор не собирается делать эмиссию или брать в долг. Кроме того, могут возникать ограничения типа доля любой ценной бумаги в портфеле не должна превышать определенной величины.
Однако вместо весовых коэффициентов могут быть и конкретные суммы вложений в ценные бумаги. С учетом 6 целевая функция запишется , 15 при ограничениях, т.к. мы предполагаем, что прогнозная доходность портфеля составит величину, т.к. доходность портфеля не может превышать доходность самой доходной ценной бумаги, включенной в портфель, т.к. максимальный размер инвестиций не может превысить инвестируемых средств, т.к. инвестиции должны быть положительными. 6
Выбор и обоснование методов решений предполагаемой модели
Задача нелинейного программирования В общем виде задача нелинейного программирования состоит в определении максимального минимального значения функции 1 при условии, что все ее переменные удовлетворяют соотношениям 2 где f и g некоторые неизвестные функции n переменных, а — заданные числа. Здесь имеется в виду что в результате решения задачи будет определена точка, координаты которой удовлетворяют соотношениям 2 8, 251. 6.2 Задача выпуклого программирования.
Метод множителей Лагранжа Рассмотрим задачу нелинейного программирования 3 Для решения сформулированной задачи в такой общей постановке не существует универсальных методов.
Однако для отдельных классов задач, в которых сделаны дополнительные ограничения относительно свойств функций и, разработаны эффективные методы их решения. В частности, ряд таких методов имеется для решения задач нелинейного программирования, при условии, что — выпуклая вогнутая функция и область допустимых решений выпуклая.
Опираясь на некоторые выводы теории нелинейного программирования, можно дать математические условия оптимальности для модели 3. С задачей нелинейного программирования связывается так называемая функция Лагранжа, которая имеет вид где — множители Лагранжа. Необходимые условия экстремума запишутся Задача, состоящая в определении максимального минимального значения функции 4 при ограничениях 5 где — отрицательно положительно-полуопределенная квадратичная форма, называется задачей квадратического программирования.
Функция Лагранжа является оптимальной оценкой дохода 12. Целевая функция Лагранжа для задачи минимизации риска при фиксированном уровне доходности записывается следующим образом. Портфель, минимизирующий риск, находится, если положить для всех акций i. Эти условия первого порядка определяют систему уравнений, линейную по весовым коэффициентам портфеля или по конкретным суммам вложений и множителям Лагранжа и поэтому решаемую с помощью матричных методов с возможностью использования стандартных пакетов.
Например, целевая функция для задачи с тремя типами акций записывается так 6.3 Градиентные методы Используя градиентные методы, можно найти решение любой задачи нелинейного программирования. Однако в общем случае применение этих методов позволяет найти точку локального экстремума. Поэтому более целесообразно использовать градиентные методы для нахождения решения задач выпуклого программирования, в которых всякий локальный экстремум является одновременно и глобальным.
Функция двух переменных представляет собой поверхность, где точка максимума соответствует пику, а точка минимума впадине. Переменные соответствуют начальным условиям точке, в которой находим оптимальное значение целевой функции. 6.4
Геометрическая интерпретация решения задачи квадратического программирования
Геометрическая интерпретация состоит в постепенном перемещении целевой функции в пределах ограничений. 7
Анализ полученных выходных данных
Исходя из заданных ограничений на уровень доходности предположим, что банк-инвестор планирует получить не менее 0,08 рублей на каждый вложенный рубль инвестиций, а так же при условии, что банк инвестирует сумму 2.581.241,9 руб. с целью увеличения собственного капитала, минимизируем дисперсию дохода.
Результаты решения задачи в поиске решения представлены в Приложении II, Табл. 2.4. Найдена оптимальная структура портфеля ценных бумаг при заданных начальных условиях. Если мы сравним структуру оптимального и начального портфеля см Приложение I, Табл. 1.2, то можно сделать некоторые
выводы. Рис. 3 Начальная структура портфеля Как было сказано ранее, приходится выбирать между доходностью и риском.
Можно заметить см. рис. 4, что в оптимальный портфель входят в основном активы с низким уровнем доходности. Однако и риск такого портфеля минимален. Множители Лагранжа в Отчете по устойчивости для нелинейных задач выполняют функцию двойственной оценки и показывают, на сколько изменится целевая функция риск при изменении доходности портфеля или величины инвестиций на 1 ед. Так, в данном случае при увеличении доходности портфеля на 1 риск дисперсия дохода возрастет на 38,46 . При увеличении объема инвестиций на 1 руб риск соответственно снизится 0,1 ед. При проведении параметрического анализа рассматривались структуры нескольких оптимальных портфелей при различных уровнях ожидаемых доходностей.
В частности, нами были рассмотрены структуры оптимальных портфелей при ожидаемой доходности 0,5 1 1,5 2 2,5 см. Приложение II, Табл. 2.8. Рис. 4 Оптимальная структура портфеля при уровне доходности 0,8 Очевидно, что при росте совокупной доходности портфеля возрастает и риск, т.е. дисперсия дохода.
Анализ так же показывает, что чем выше ожидаемая доходность портфеля, тем менее он диверсифицирован. Оптимальный с точки зрения диверсификации и риска портфель имеет доходность в диапазоне 0,8 0,9. Приложение I Таблица 1.1 Прогнозная доходность по акциям компаний Расчет ожидаемой доходности портфеля Таблица 1.2 Расчет начальной стоимости ценных бумаг и портфеля Таблица 1.3 Вычисление ожидаемой стоимости портфеля Таблица 1.4 Вычисление ожидаемой доходности портфеля ценных бумаг Приложение II Экономико-математическая модель задачи Таблица 2.1 Расчет дисперсии и среднегодового уровня доходности Таблица 2.2 Расчет ковариационной матрицы Таблица 2.3 Математическая модель задачи оптимизации портфеля ценных бумаг Таблица 2.4 Отчет по результатам Таблица 2.5 Отчет по устойчивости Таблица 2.7 Отчет по пределам Таблица 2.8 Параметрический анализ решения задачи Рис. 5 Структура оптимальных портфелей при различных уровнях ожидаемой доходности Расширенная модель задачи Запишем расширенную модель задачи.
Целевая функция. Значения ковариаций доходностей ценных бумаг, входящих в портфель, приведены в Приложении II, Табл. 2.2. При ограничениях Литература 1. А.Н. Буренин.
Рынок ценных бумаг и производные финансовые инструменты Уч. Пособие. М. ФКК 1998. 352 с. 2. Дубров А.М Лагоша Б.А Хрусталев Е.Ю. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе Учеб. Пособие Под ред. Б.А. Лагоши.
М. Финансы и статистика, 1999. 176с. с ил. 3. Мельников Р. Оптимизация рискового портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом РЦБ. 2000 20 179. с.54 56. 4. Фомин Г.П. Методы и модели линейного программирования в коммерческой деятельности. 5. Шарп У Александер Г Бейли Дж. Инвестиции. М. Инфра- М 1999. 6. Васильева В.А. Формирование оптимальной модели стратегии развития коммерческих банков.
Бухгалтерия и банки 7. Фондовые рынки. Курсы акций российских эмитентов на 1.03.01. по данным информационного агентства Reuters Коммерсантъ. 2001 38. с.6. 8. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах Учеб. Пособие для студентов эконом. спец. вузов. М. Высш. шк 1986. 319 с ил. 9. Суслов И.П. Общая теория статистики. Учеб. пособие. Изд. 2-е, перераб. и доп. М Статистика, 1978. 10. Третьяков В. Фондовый рынок в 2000г. Тенденции и перспективы Банковское дело 2001 1 с. 5 10. 11. The McGraw-Hill Pocket Guide to Business Finance, by Siegel, Shim, and Hartman 1992. 12. Ковалев В.В. Введение в финансовый менеджмент.
Финансы и статистика, 2001. 768 с. ил. 13. Дж. О Брайен, С. Ширивастава. Финансовый анализ и торговля ценными бумагами FAST Пер. с англ. М. Дело LTD, 1995. 208с. 14. Берзон Н.И. и др. Фондовый рынок. Учебное пособие для высших учебных заведений экономического профиля. М. Вита-Пресс, 1998. 400 с. 15. Коттл С Мюррей Р. Ф Блок Ф.Е. Анализ ценных бумаг Грэма и Додда Пер. с англ. М. ЗАО Олимп — Бизнес 2000. 704 с. 16. Татьянников В. Как ведут себя измерители рисков на российском фондовом рынке Рынок ценных бумаг 21 204 2001 с.57.
