Помощь студентам, абитуриентам и школьникам

Консультации и учебные материалы для разработки диссертации, дипломной работы ,курсовой работы, контрольной работы, реферата, отчета по практике, чертежа, эссе и любого другого вида студенческих работ.

Пример дипломной работы по прикладной математике: Функциональный метод решения неравенств

Раздел: Дипломная работа

Содержание

Введение

Основная часть. Решение неравенств с использованием свойств функции

§ 1 Линейные неравенства

§ 2 Квадратичные неравенства

§ 3 Иррациональные неравенства

§ 4 Показательные неравенства

§ 5 Логарифмические неравенства

§ 6 Некоторые лжепреобразования

Заключение

Литература

Выдержка из текста работы

  • Введение
    • Глава 1. Психолого-педагогические обоснования
      • 1.1 Закономерности обучения и дидактические принципы
        • 1.1.1 Принцип сознательности и активности
        • 1.1.2 Принцип наглядности обучения
        • 1.1.3 Принцип систематичности и последовательности
        • 1.1.4 Принцип научности
        • 1.1.5 Принцип связи теории с практикой14
        • 1.1.6 Принцип доступности
        • 1.1.7 Принцип прочности
      • 1.2 Психолого-педагогическая характеристика учащихся основной и старшей школы
        • 1.2.1 Воздействие центральной нервной системы на восприятие информации
        • 1.2.2 Особенности памяти и мышления
        • 1.2.3 Роль способностей
        • 1.2.4 Эмоции. Мотивы деятельности. Внимание
        • 1.2.5 Закономерности восприятия речевой и визуальной информации
    • 1.3 Методические обоснования
    • 1.4 Обзор учебной литературы
      • 1.4.1 Содержание нормативных документов и программно-методических материалов
        • 1.4.2 Обзор учебников
    • Глава 2. Ориентировочная основа учебной деятельности в процессе решения неравенств методом интервалов
      • 2.1 Сущность решения неравенств
      • 2.1.1 Поэтапное формирование умения решать неравенства методом интервалов
        • 2.1.2 Квадратные неравенства
        • 2.1.3 Рациональные неравенства
        • 2.1.4 Иррациональные неравенства
        • 2.1.5 Показательные и логарифмические неравенства
        • 2.1.6 Неравенства, содержащие тригонометрические функции
    • 2.2 Система заданий
      • 2.2.1 Решение квадратных неравенств
        • 2.2.2 Решение рациональных неравенств
        • 2.2.3 Решение неравенств, содержащих модуль
        • 2.2.4 Решение иррациональных неравенств
        • 2.2.5 Решение показательных и логарифмических неравенств
        • 2.2.6 Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции
  • 3.1 Обобщенный метод интервалов
    • 3.2 Неравенства с двумя неизвестными
    • 3.3 Система заданий на обобщенный метод интервалов
      • 3.3.1 Решение неравенств смешанного типа
        • 3.3.2 Решение неравенств с параметрами
        • 3.3.3 Решение неравенств с двумя неизвестными
    • Заключение
    • Библиография

1.1 Закономерности обучения и дидактические принципы

Дидактика стремится прежде всего открывать объективные законы, отражающие существенные и необходимые связи между явлениями и факторами обучения. Эти законы дают учителям понимание общей картины объективного развития дидактических процессов.

Дидактические принципы (принципы дидактики) — это основные положения, определяющие содержание, организационные формы и методы учебного процесса в соответствии с его общими целями и закономерностями. В принципах обучения выражаются нормативные основы обучения, взятого в его конкретно-историческом виде (М.А. Данилов). Выступая как категории дидактики, принципы обучения характеризуют способы использования законов и закономерностей в соответствии с намеченными целями.

История дидактики характеризуется настойчивым стремлением исследователей выявить общие принципы обучения и на их основе сформулировать те важнейшие требования, соблюдая которые учителя могли бы достигать высоких и прочных результатов в обучении школьников. Становление теоретических основ дидактики, выявление сущности дидактических категорий закономерности, принципа, правила проходили в упорной борьбе взглядов.

Однако в ходе дискуссии было доказано, что принципы обучения определяются целями воспитания и имеют исторический характер, некоторые принципы утрачивают свое значение и сходят с педагогической сцены. Происходит перестройка содержания принципов, сохранивших свое значение в новых условиях, и появляются новые принципы, в которых отражаются новые требования общества к обучению.

Принципы обучения выступают в органическом единстве, образуя некоторую концепцию дидактического процесса, которую может представить как систему, компонентами которой они являются.

Ушинский К.Д. определил необходимые условия хорошего обучения так: своевременность, постепенность, органичность, постоянство, твердость усвоения, ясность, самодеятельность учащихся, отсутствие чрезмерной напряженности и чрезмерной легкости, правильность. К дидактическим принципам он также относил: сознательность и активность обучения; наглядность; последовательность; прочность знаний и навыков.

Многочисленны попытки разработать систему дидактических принципов в работах исследователей нового времени. Их анализ позволяет выделить в качестве основополагающих, общепризнанных следующие:

сознательности и активности;

наглядности;

систематичности и последовательности;

прочности;

научности;

доступности;

связи теории с практикой.

Эти принципы составляют систему дидактических принципов, к рассмотрению которых мы и переходим, оставаясь в рамках темы данной работы.

1.1.1 Принцип сознательности и активности

В основе данного принципа лежат установленные наукой закономерные положения: подлинную сущность человеческого образования составляют глубоко и самостоятельно осмысленные знания, приобретаемые путем интенсивного напряжения собственной умственной деятельности; сознательное усвоение знаний учащимися зависит от ряда условий и факторов: мотивов обучения, уровня и характера познавательной активности учащихся, организации учебно-воспитательного процесса и управления познавательной деятельностью учащихся, применяемых учителем методов и средств обучения и др.; собственная познавательная активность школьника является важным фактором обучаемости и оказывает решающее влияние на темп, глубину и прочность овладения учебным материалом.

Практическая реализация принципа сознательности и активности обучения подразумевает под собой:

Ясное понимание целей и задач предстоящей работы — необходимое условие сознательного обучения: перед началом изучения новой темы, например, нового вида неравенств (а лучше сделать неотъемлемой частью каждого урока) в начале занятия доводить до сознания учащихся цели и задачи будущей работы.

Обучение следует построить таким образом, чтобы учащийся понимал, что, почему и как нужно делать, и никогда механически не выполнял учебных действий, предварительно и глубоко не осознав их. Каждый раз при обращении к методу интервалов следует акцентировать внимание на рациональности его применения, при возможности — рассматривать другие способы решения.

Обучая, следует использовать все виды и формы познавательной деятельности, объединять анализ с синтезом, индукцию с дедукцией, сопоставление с противопоставлением, чаще применять аналогию: чем младше учащиеся, тем чаще следует начинать с индукции. Подробнее об этом будет рассказано в п. 1. 2.

Следует обеспечивать понимание учащимися смысла каждого слова, предложения, понятия: раскрывайте их, опираясь на знания и опыт учащихся, используйте образные сравнения. Не вводите понятий, на обстоятельное раскрытие которых вы не рассчитываете. В начале каждого урока при решении неравенств, следует вспоминать основные преобразования, формулы, которые будут использоваться в дальнейшем, проговаривать алгоритм метода интервалов.

Используйте силу взаимообучения учащихся. Обеспечивайте надлежащие условия для развития коллективных форм поиска правильного ответа. То, что говорит товарищ, нередко воспринимается лучше и легче, чем объяснение учителя, а потому не объясняйте того, что могут объяснить товарищам ваши лучшие ученики.

На воспитание активности не жалейте ни времени, ни усилий. Помните, что сегодняшний активный ученик — завтрашний активный член общества.

То, что учащимся неизвестно логически увязывайте с известным: где нет логической связи между усвоенными и усваиваемыми знаниями, там нет сознательного обучения. По этому при переходе к решению более сложного неравенства, следует решить пример уже известного типа, постепенно повышая сложность. И акцентируйте внимание на связи предыдущего задания с настоящим.

Не забывайте, что главное не предмет, которому вы обучаете а личность, которую вы формируете. Учите и воспитывайте так, чтобы учащийся не был «дополнением» к учебному предмету, но наоборот — субъектом его активного освоения. Помните, что не предмет формирует личность, а учитель своей деятельностью, связанной с изучением предмета.

Ставьте обучаемых в ситуации, требующие от них обнаружения и объяснения расхождений между наблюдаемыми фактами и имеющимся знанием. Также давайте примеры на внимательность (как пример 8 (глава2)), показывая что не надо ко всему подходить одинаково, даже к подобным заданиям. Может оказаться (как пример 8), что на вопрос о наличии решения можно ответить сразу отрицательно.

Обучение станет более успешным, если каждое правило сопровождается оптимальным количеством примеров, чтобы стало достаточно ясно, как разнообразно его применение. На интересующую нас тему во 2ой и 3ей главах данной работы можно подобрать необходимый материал.

Учите находить и различать главное и второстепенное в изучаемом, выделяйте главное, добивайтесь прежде всего понимания и усвоения главного. Вводите оптимальное количество примеров, но так, чтобы они не затмили сущность главного.

Ничему не следует учить, опираясь на один авторитет, но всему учить при помощи доказательств, основанных на чувствах и разуме. При решении какого-либо неравенства не надо навязывать свой способ решения. Дайте время учащимся обдумать ход решения, метод решения ученики должны выбирать самостоятельно осознанно, тек же, как при необходимости, обосновывать рациональность выбранного метода

Помогайте учащимся овладевать наиболее продуктивными методами учебно-познавательной деятельности, учите их учиться.

Контролируйте факторы, отвлекающие внимание учащихся от объекта изучения, как внутренние (рассеянность мысли, занятия посторонними делами на уроке и т.п.), так и внешние (опоздания, нарушение дисциплины и т.п.), устраняйте неблагоприятно действующие причины из учебно-воспитательного процесса. Также следует учитывать темперамент и знать возрастные особенности учащихся, т. е. воплощать в жизнь подходы личностно-ориентированного обучения.

Следует как можно чаще использовать вопрос «почему», чтобы научить учащихся мыслить причинно: понимание причинно-следственных связей — непременное условие развивающего обучения.

Успех придёт там, где всё, что преподаётся, так обосновано доказательствами и аргументами, что не остаётся места ни сомнению, ни забвению. Помните, что по настоящему знает не тот, кто пересказывает, а тот, кто применяет на практике.

Постоянно изучайте и используйте индивидуальные интересы своих учащихся, развивайте и направляйте их таким способом, чтобы они согласовывались с личными и общественными потребностями.

Шире используйте в обучении практические ситуации, требуйте от учащихся самостоятельного видения, понимания и осмысления различий между наблюдаемыми в жизни фактами и их научным объяснением. Утверждение о том, что неравенства являются моделями многих физических явлений и процессов, следует иллюстрировать примерами и давать возможность учащимся придумывать их самим. Можно решать задачи на составление неравенств.

Обучайте так, чтобы знания приобрели силу убеждения и руководства к действию.

Приучайте учащихся думать и действовать самостоятельно. Не допускайте подсказывания, пересказывания и копирования.

Творческое мышление развивайте всесторонним анализом проблем, познавательные задачи решайте несколькими логически различающимися способами, чаще практикуйте творческие задания.

Мастерство задавать вопросы и выслушивать ответы — одно из важных условий стимулирования и поддержания активности. Какой вопрос — такой ответ, как учитель слушает ученика — так ученик слушает учителя.

1.1.2 Принцип наглядности обучения

Это один из самых известных и интуитивно понятных принципов обучения, использующийся с древнейших времён. Закономерное обоснование данного принципа получено сравнительно недавно. В основе его лежат следующие строго зафиксированные научные закономерности: органы чувств человека обладают разной чувствительностью к внешним раздражителям, у подавляющего большинства людей наибольшей чувствительностью обладают органы зрения; пропускная способность каналов связи от рецепторов к Ц.Н.С. различная: оптического канала связи — 1,6 Ч 106 бит/сек; акустического — 0,32 Ч 106 бит/сек; тактильного — 0,13 Ч 106 бит/сек; Это означает, что органы зрения «пропускают» в мозг почти в 5 раз больше информации, чем органы слуха, и почти в 13 раз больше чем тактильные органы; информация, поступающая в мозг из органов зрения (по оптическому каналу), не требует значительного перекодирования, она запечатляется в памяти человека легко, быстро и прочно.

Практика обучения выработала большое количество правил, раскрывающих применение принципа наглядности. Напомним некоторые из них.

Следует использовать в обучении тот факт, что запоминание ряда предметов, представленных в натуре (на картинках или моделях), происходит лучше, легче и быстрее, чем запоминание того же ряда, представленного в словесной форме, устной или письменной. Этот принцип активно используется при решении неравенств методом интервалов. Наглядное изображение координатной оси и корней на ней помогает осознать принцип совершаемых действий, расположение знаков и проч.

Помните — дитя мыслит формами, красками, звуками, ощущениями вообще: отсюда необходимость наглядного обучения, которое строится не на отвлеченных понятиях и словах, а на конкретных образах, непосредственно воспринимаемых ребёнком. Особо важно визуальное восприятие в начале изучения неравенств, т.е. в 7, 8 классе. Но и на дальнейших этапах формирования данного метода оно играет значительную роль.

Золотое правило учащих: всё, что только можно, представлять для восприятия чувствами, а именно: видимое — для восприятия зрением, слышимое — слухом, запахи — обонянием и т.п. Никогда не ограничивайтесь наглядностью — наглядность не цель, а средство обучения, развития мышления учащихся. При выполнении построения координатной оси, требуйте от учащихся комментирования выполняемых действий. Как уже было сказано, развивая речь «внешнюю» мы развиваем и «внутреннюю», т.е. мышление.

Обучая и воспитывая, не забывайте, что понятия и абстрактные положения доходят до сознания ученика легче, когда они подкрепляются конкретными фактами, примерами и образами. Начиная с простых примеров, добивайтесь выполнения правильных чертежей, отрабатывайте привычку их использования.

Следует использовать наглядность не только для иллюстрации, но и в качестве самостоятельного источника знаний для создания проблемных ситуаций. Современная наглядность позволяет организовывать эффективную поисковую и исследовательскую работу учащихся. Возможны задания на восстановление неравенства по множеству его решений (изображенных на числовой оси), на первых порах, в самом начале знакомства с неравенствами и нанесением их решений на числовую ось целесообразны задания на запись изображенного на числовой оси множества, т.н. «чтение чертежа», подобные задания можно найти в тематическом сборнике задач по алгебре Денищевой Л.О. [13].

Обучая и воспитывая, помните, что наглядные пособия способствуют образованию наиболее отчётливых и правильных представлений об изучаемых предметах и явлениях. Используйте различные виды наглядности, но не увлекайтесь чрезмерным количеством наглядных пособий: это рассеивает внимание учащихся и мешает воспринимать главное. Используйте наглядность, активизируйте чувственный опыт учащихся, опора на ранее сложившиеся представления конкретизирует и иллюстрирует изучаемые понятия.

Старайтесь сами изготовлять вместе с учащимися наглядные пособия: лучше всего то пособие, которое изготовлено самими учащимися. Никогда не показывайте того, чего сами хорошо не знаете; старательно готовьте наглядность к применению.

Научно обоснованно применяйте современные средства наглядности: учебное телевидение, видеозаписи, кодослайды, полиэкранную проекцию и др.; в совершенстве владейте техническими средствами обучения, методикой их использования. Применяя наглядные средства, воспитывайте у учащихся внимание, наблюдательность, культуру мышления, конструктивное творчество, интерес к учению. Используйте наглядность. как одно из средств связи с жизнью.

С возрастом учащихся предметная наглядность должна всё более уступать место символической; при этом предметом особой заботы учителя должна быть адекватность понимания сущности явления и его наглядного представления. Если на числовой оси три промежутка с чередующимися знаками — это ещё не значит, что график функции будет параболой. По этому поводу целесообразно привести пример. Например, начертить числовую ось с тремя промежутками с чередующимися знаками и задать вопрос о виде графика. Так можно проверить понимание смысла иллюстрации число (что в методе интервалов рисунок выполняется лишь для выяснения знаков функции).

Помните, что наглядность — сильнодействующее средство, которое при невнимательном или неумелом использовании может увести учащихся от решения главной задачи, подменить цель ярким средством!

При чрезмерном увлечении наглядностью она становится препятствием на пути глубокого овладения знаниями, тормозом развития абстрактного мышления, понимания сущности общих и всеобщих закономерностей.

1.1.3 Принцип систематичности и последовательности

Универсальным средством и главным способом формирования системы научных знаний является определённым образом организованное обучение; система научных знаний создаётся в той последовательности, которая определяется внутренней логикой учебного материала и познавательными возможностями учащихся; процесс обучения, состоящий из отдельных шагов, протекает тем успешнее и приносит тем большие результаты, чем меньше в нём перерывов, нарушений последовательности, неуправляемых моментов, если систематически не упражнять навыки, то они утрачиваются; если не приучать учащихся к логическому мышлению, то они постоянно будут испытывать затруднения в своей мыслительной деятельности; если не соблюдать системы и последовательности в обучении, то процесс развития учащихся замедляется. Данная работа фактически является руководством по систематичному изучению неравенств в школе.

В практической деятельности принцип систематичности и последовательности обучения реализуется путём соблюдения многих правил обучения, важными среди которых являются следующие.

Используйте схемы, планы, чтобы обеспечить усвоение учащимися системы знаний. Разделяйте содержание учебного материала на логически завершённые части (шаги), последовательно их реализуйте, приучайте к этому учащихся.

Не ставьте на уроке ни одного вопроса, не вносите в план ни одного пункта, на основательное раскрытие и рассмотрение которого не рассчитываете. Не допускайте нарушение системы как в содержании, так и в способах обучения, а если система нарушена, немедленно ликвидируйте пробелы, чтобы предупредить неуспеваемость.

Учебный предмет — уменьшенная копия науки. Покажите учащимся её систему, формируйте понятие о своём предмете как о частице науки, реальной действительности. Постоянно используйте межпредметные связи, чаще напоминайте о том, что неравенства — это явления и процессы, описанные математическим языком.

Помните, то, что является элементарным и простым исторически и логически, часто оказывается самым трудным для сознательного усвоения: поэтому с особой тщательностью внедряйте логику науки и исторического процесса в сознание учащихся.

Следует обеспечивать преемственность как в содержании, так и в методах обучения между начальными и средними, средними и старшими классами. Используйте передовые достижения методики обучения: составляйте со своими учащимися опорные конспекты, структурно-логические схемы учебного материала, облегчающий процесс усвоения знаний.

Чаще повторяйте и совершенствуйте ранее усвоенное, чтобы обеспечить систематичность и последовательность в обучении. Переходя к новым видам неравенств, опирайтесь на уже изученные, перед началом решения нового материала, решите один из изученных. Напомните учащимся, что они что-то подобное уже делали.

Ничего не следует добавлять к объяснению нового материала, кроме того, что вступает в ассоциативные связи легко, просто, естественно. Идеи, искусственно вплетённые в тему урока (образовательные, развивающие, воспитательные), снижают его ценность. Учитывая это, планируйте усвоение важнейших идей на весь период учебно-воспитательного процесса в соответствии с содержанием обучения и возможностями учащихся.

К кратким и обобщающим повторениям нужно прибегать не только в начале урока, когда обычно обобщают ранее изученный материал, и не только при его окончании — но и после изложения отдельных частных вопросов.

Проводить повторение изученного следует не только в начале урока для проверки уровня усвоения и не только в конце урока с целью закрепления полученной информации, но также и по завершении каждого логически законченного отрезка обучения в ходе урока. При переходе к решению каждого следующего примера не надо жалеть времени на вспоминание и проговаривание используемых правил, формул и т.п. Также, следует можно проводить сравнение однотипных примеров, обсуждать в чем их отличие и схожесть.

Учитель любого предмета должен следить за способом и формой выражения мысли учащимися, педагог в независимости от специальности должен способствовать развитию речи. Развивая речь «внешнюю», мы развиваем и «внутреннюю», упорядочивая мысли, и мыслительный процесс в целом.

Не жалея времени и сил, необходимо приучать учащихся к самостоятельному труду, постепенно усложняя его и создавая возможности для самостоятельного решения все более трудных задач. Лучше помочь ученику, а не решить за него. Задавая наводящие вопросы, постепенно подводя его к ответу, следует указать ему на его успех, на возможности и перспективы в дальнейшем, конечно, при условии работы.

Не стоит забывать, что понимание системы требует логики, а формирование её — также чувств и эмоций. Обучайте энергично, с подъемом, используя различные яркие факты из жизни: понятия объясняют, образы влекут, стимулы побуждают к действию.

В конце каждого раздела необходимо проводить уроки обобщения и систематизации, связывая, и обращая внимание ещё раз на общие моменты для только пройденных типов неравенств и для изучавшихся ранее. Требуйте от учащихся усвоения системы знаний, умений и навыков по каждому разделу и по всей программе. Будьте наблюдательным, приучайте своих учащихся постоянно систематически и целенаправленно наблюдать и видеть существенное в явлениях, предметах, человеческих отношениях.

Помните, что сформировавшаяся система знаний — важнейшее средство предотвращения их забывания. Забытые знания быстро восстанавливаются в системе, без неё — с большим трудом. Не забывайте совет Я.А. Каменского: все должно вестись в неразрывной последовательности, так, чтобы все сегодняшнее закрепляло вчерашнее и пролагало дорогу для завтрашнего.

1.1.4 Принцип научности

Принцип научности обучения, как известно, требует, чтобы учащимся на каждом шагу их обучения предлагались для усвоения подлинные, прочно установленные наукой знания и при этом использовались методы обучения, по своему характеру приближающиеся к методам изучаемой науки. В основе принципа научности лежит ряд положений, играющих роль закономерных начал: мир познаваем, и человеческие знания, проверенные практикой, дают объективно верную картину развития мира; наука в жизни человека играет все более важную роль, поэтому школьное образование направлено на усвоение научных знаний, вооружение подрастающих поколений системой знаний об объективной действительности; научность обучения обеспечивается прежде всего содержанием школьного образования, строгим соблюдением принципов его формирования; научность обучения, действенность приобретенных знаний зависят от соответствия учебных планов и программ уровню социального и научно-технического прогресса, подкрепления приобретенных знаний практикой, от межпредметных связей.

Практика прогрессивных дидактических систем выработала ряд правил реализации данного принципа:

Реализуя принцип научности, следует в процессе обучения руководствоваться новейшими достижениями педагогики, психологии, методики преподавания математики, передового педагогического опыта. Настойчиво внедряйте в практику рекомендации по научной организации педагогического труда. Учитывая новейшие достижения, разумно используйте логику не только индуктивного, но и дедуктивного обучения, даже в начальной школе смелее вводите абстракции, позволяющие глубже понять конкретное. Старайтесь, однако, избегать абстракций, которые не получают полного определения в рамках школьного курса. Не следует, например, абстрагироваться до уровня высшей математики, рассказывая о квадратных неравенствах.

Необходимо воспитывать у учащихся диалектический подход к изучаемым предметам, явлениям, формировать элементы научного диалектического мышления. Раскрывайте логику учебного предмета, обеспечивающую с первых шагов его изучения надежную основу для подведения к новым научным понятиям. Каждое нововведенное научное понятие систематически повторяйте, применяйте и используйте на всем протяжении учебного курса, ибо что не упражняется, то забывается.

При любом подходящем случае проводите ознакомление с биографиями выдающихся ученых, их вкладом в развитие науки. Применяйте новейшую научную терминологию, не пользуйтесь устаревшими терминами, будьте в курсе самых последних научных достижений в области математики. В связи с все увеличивающимся потоком научной информации главное внимание уделяйте ключевым проблемам науки, раскрывайте перед учащимися основные идеи научных достижений, приучайте их следить за научной информацией, поощряйте коллективное обсуждение научно-технических и социальных проблем.

Поощряйте исследовательскую работу школьников. Найдите возможность ознакомить их с техникой экспериментальной и опытнической работы, алгоритмами решения изобретательских задач, обработкой справочных материалов, архивных документов. Дайте учащемуся возможность пережить радость открытия, чувство успеха, удовлетворенности от познавательного напряжения.

Добивайтесь, чтобы учащиеся усваивали новые понятия и термины в единстве с научными теориями, законами. Остерегайтесь неоднозначных и фальшивых фраз, которые могут стать причиной нездоровых представлений. В школе, особенно второй ступени, нельзя допускать произвольного, искаженного толкования учащимися сказанного учителем. Это, конечно, не значит, что не следует развивать детскую фантазию, остроту мыслей. Но серьёзные вещи должны восприниматься серьезно и однозначно.

1.1.5 Принцип связи теории с практикой

Основой данного принципа является центральное положение классической философии и современной гносеологии, согласно которому точка зрения жизни, практики — первая и основная точка зрения познания.

Рассматриваемый принцип опирается на многие философские, педагогические и психологические положения, играющие роль закономерных начал: эффективность и качество обучения проверяются, подтверждаются и направляются практикой; практика — критерий истины, источник познавательной деятельности и область приложения результатов обучения; правильно поставленное воспитание вытекает из самой жизни, практики, неразрывно с ней связано, готовит подрастающее поколение к активной преобразующей деятельности; эффективность формирования личности зависит от включения ее в трудовую деятельность и определяется содержанием, видами,. формами и направленностью последней; эффективность связи обучения с жизнью, теории с практикой зависит от содержания образования, организации учебно-воспитательного процесса, применяемых форм и методов обучения, времени, отводимого на трудовую и политехническую подготовку, а также от возрастных особенностей учащихся; чем совершеннее система трудовой и производительной деятельности учащихся, в которой реализуется связь теории с практикой, тем выше качество их подготовки; чем лучше поставлены производительный труд и профориентация школьников, тем успешнее идет их адаптация к условиям современного производства; чем выше уровень политехнизма на школьных уроках, тем действеннее знания учащихся; чем больше приобретаемые учащимися знания в своих узловых моментах воздействуют с жизнью, применяются в практике, используются для преобразования окружающих процессов и явлений, тем выше сознательность обучения и интерес к нему.

Практическая реализация принципа связи обучения с жизнью основана на творческом соблюдении ряда правил, впитывающих в себя теоретические выводы и опыт лучших школьных коллективов.

Общественно-исторической практикой доказывайте необходимость научных знаний, изучаемых в школе. Обучайте так, чтобы учащийся и понимал, и чувствовал , что обучение является для него жизненной необходимостью. Приводите примеры из личного опыта, когда вам понадобились знания, полученные в школе, так же приводите обратные примеры — когда могли бы помочь вам какие-либо сведения из школьного курса, и вы жалели об обнаружившихся пробелах. Обучая, идите от знаний к жизни и от жизни к знаниям: связь «знания — жизнь» необходима. Помните, что ваша задача состоит не только в передаче знаний по своему учебному предмету, а всесторонняя подготовка школьников к будущей самостоятельной жизни и формирование их как развитых личностей и полноценных членов общества.

Постоянно, глубоко и убедительно раскрывайте перед учащимися диалектическую связь теории с практикой. Покажите, что наука развивается под влиянием практических потребностей, приводите конкретные примеры, раскрывайте перед учащимися страницы борьбы человечества за облегчение труда, роль научных знаний в этом процессе.

Настойчиво приучайте учащихся проверять и применять свои знания на практике. Используйте окружающую действительность и как источник знаний, и как область их практического применения. Не должно быть ни одного урока, ни одного занятия, на которых бы учащийся не знал жизненного значения своей работы. Всемерно используйте связь школы и производства. Особенно полезным это будет в классах с профориентацией, когда дети уже определились с выбором будущей профессии. Составляйте и решайте со своими учащимися задачи и упражнения на основе производственных достижений, привлекайте к их анализу и проверке производственников. Связывайте сами обучение с перспективами развития народного хозяйства своего города, области, станы. Осуществляйте профориентацию, основываясь на перспективных разработках.

Проблемно-поисковые и исследовательские задания — лучшее средство связи теории с практикой: широко используйте их в различных сочетаниях. Воспитывайте у учащихся положительное и сознательное отношение к труду, показывайте личный пример такого отношения. Общественно полезный труд учащихся организуйте так, чтобы он сопровождался самостоятельными наблюдениями и размышлениями, возбуждал вопросы, стимулировал потребность больше узнать, стремление разобраться в непонятном. В обучении используйте материалы и примеры общественно полезного труда учащихся, их опытнической деятельности, работы лагерей труда и отдыха и т.д. не забывайте, что труд учащихся должен быть подчинен учебным и воспитательным целям.

Помогайте учащимся овладеть теорией и практикой научно организованного труда, учите их применять наиболее продуктивные и экономичные методы, анализировать, программировать и прогнозировать свою деятельность. Решение неравенств методом интервалов является здесь иллюстрацией выполнения работы по алгоритму. Учите подходить к жизненным задачам не хаотично, а организовывать свою деятельность, пошагово планировать. Развивайте, закрепляйте и переносите на другие виды деятельности успехи учащихся в одном виде деятельности: через эпизодический успех — к постоянным достижениям.

Воспитывайте стремление к постоянному улучшению своих результатов, развивайте соревновательность. В учебно-воспитательном процессе следует соединить умственную деятельность с практической, в процессе которой усваивается 80-85% знаний. Находите возможности знакомить школьников с рационализаторским движением. Поощряйте их попытки что-то усовершенствовать, улучшить, изменить: если позволяют условия, проведите конкурсы юных изобретателей, непременно внедрите в школе хотя бы одну идею, предложенную учащимися, воспитывайте на этом примере других. Используйте связь обучения с жизнью как стимул для самообразования.

Внеклассную работу по своему предмету вы сделаете тем привлекательней для учащихся, чем теснее свяжете ее с решением интересных для школьников практических задач. Принципиальная критика, объективность перед самим собой, требовательность к себе, критический анализ своих поступков — путь к самосовершенствованию. Когда учитель говорит: «Сегодня весь класс работал плохо», он должен добавить «и я — тоже».

1.1.6 Принцип доступности

Принцип доступности обучения вытекает из требований, выработанных многовековой практикой обучения, с одной стороны, закономерностей возрастного развития учащихся, организации и осуществления дидактического процесса в соответствии с уровнем развития учащихся, с другой.

В основе принципа доступности лежит закон тезауруса: доступным для человека является лишь о, что соответствует его тезаурусу. Латинское слово tesaurus означает «сокровище». В переносном значении под этим понимается объем накопленных человеком знаний, умений, способов мышления.

Можно указать, и на другие закономерности, лежащие в основе принципа доступности: доступность обучения определяется возрастными особенностями школьников и зависит от их индивидуальных особенностей, которые подробнее будут рассмотрены в следующем пункте; доступность обучения зависит и от организации учебного процесса, применяемых учителем методов обучения и связана с условиями протекания процесса обучения; доступность обучения определяется его предысторией; чем выше уровень умственного развития школьников и имеющийся у них запас представлений и понятий, тем успешнее они могут продвинуться вперед при изучении новых знаний; постепенное нарастание трудностей обучения и приучение к их преодолению положительно влияют на развитие учащихся и формирование их моральных качеств; обучение на оптимальном уровне трудности положительно влияет на темпы и эффективность обучения, качество знаний.

Известны классические правила, относящиеся к практической реализации принципа доступности, сформулированные ещё Я.А. Каменским: от легкого к трудному, от известного к неизвестному, от простого к сложному. Теория и практика современного обучения расширяют перечень обязательных для реализации правил доступного обучения.

Не забывайте наставления Я.А. Коменского: всё, подлежащее изучению, должно быть распределено сообразно ступеням возраста так, чтобы предполагалось для изучения только то, что доступно восприятию в каждом возрасте. В седьмом классе едва ли будет иметь смысл демонстрация решения показательного неравенства. Помните также, что умы учащихся должны быть подготовлены к изучению какого-либо предмета. Необходимо учитывать возрастные особенности учащихся, но так, чтобы содержание и способы обучения несколько опережали их развитие.

В процессе обучения обязательно учитывайте индивидуальную обучаемость каждого учащегося, объединяйте в дифференцированные подгруппы учащихся с одинаковой успеваемостью. Учебный процесс следует вести в оптимальном темпе, но так, чтобы не задерживать сильных и развивать быстроту действия у средних и слабых.

Обучая, следует исходить из уровня подготовленности и развития учащихся, учтите, опираясь на их возможности. Изучайте и учитывайте их жизненный опыт, интересы, особенности развития. Например, в классах с углубленным изучением химии, целесообразно приводить неравенства, являющиеся моделями химических процессов.

Обучение требует известной напряженности. Когда она отсутствует, учащиеся отвыкают работать в полную силу. Темпы обучения, установленные самими учащимися, как правило, ниже возможных и посильных для них. В соответствии с конкретными условиями устанавливайте оптимальные темпы, при необходимости изменяйте их.

Используйте новейшие достижения педагогики и психологии: конкретные знания, умения формируйте с помощью маленьких шагов, обобщение — с помощью увеличенных шагов. Для доступности широко используйте аналогию, сравнение, сопоставление, противопоставление (подробнее об этом будет сказано в пункте методических обоснований): дайте толчок мысли учащихся, покажите им, что даже самые сложные знания доступны для понимания.

Облегчайте учащимся усвоение понятий, сопоставляя их с противоположными или им противоречащими. Введение каждого нового понятия должно не только логически вытекать из поставленной задачи, но быть подготовлено всем предшествующим ходом обучения. При изучении нового и сложного материала привлекайте сильных учащихся, а при закреплении — средних и слабых.

Наиболее трудными для понимания и усвоения учащимися являются закономерности развития общества, фундаментальные законы природы. Учителя всех учебных предметов должны вносить посильный вклад в процесс формирования методологических знаний: для этого иллюстрируйте примерами своего учебного предмета многообразное проявление общих и всеобщих закономерностей.

Торопитесь медленно! Не форсируйте без нужды процесс обучения, не стремитесь к быстрому успеху: педагогические возможности снижения барьера доступности не безграничны. Не принимайте мимолетный проблеск мысли учащегося за свершившийся акт познания, используйте его как начало познания.

Доступность так же, как и убедительность, и эмоциональность, зависят от ясности изложения и речи учителя: четко и однозначно формулируйте понятия, избегайте монотонности, обучайте образно, используя яркие факты, примеры из жизни, литературы, особенно эффективным это будет в классах с гуманитарным уклоном.

Не увеличивайте длительность монологов: тонко чувствуйте, что необходимо объяснить, а что учащиеся поймут самостоятельно, не объясняйте того, что может быть легко усвоено самими учащимися. На первом этапе обучения изучайте не весь объем знаний, а лишь основное, чтобы учащиеся основательно усвоили главное, затем при закреплении вводите новые примеры, факты, уточняющие изученное.

Доступность связана с работоспособностью: развивая и тренируя работоспособность, приучайте школьников осуществлять все более длительную и интенсивную мыслительную деятельность. Повышая работоспособность — снижаем барьер доступности обучения.

Реализуя принцип доступности, главное внимание уделяйте управлению познавательной деятельностью учащихся: плохой учитель сообщает истину, оставляя ее недоступной для понимания, хороший учитель ее находит, делая доступным процесс нахождения. Но доступность не означает легкость обучения, и функция учителя вовсе не в том, чтобы бесконечно облегчать труд учащихся по самостоятельному добыванию, осмыслению и усвоению знаний: помочь, направить, непонятное раскрыть через понятное, дать кончик нити для самостоятельного анализа, ободрить — это и есть будни доступного обучения.

Принцип прочности

Данный принцип подытоживает теоретические поиски ученых и практический опыт многих поколений учителей по обеспечению прочного усвоения знаний. В нем закреплены эмпирические и теоретические закономерности: усвоение содержания образования и развитие познавательных сил учащихся — две взаимосвязанные стороны процесса обучения; прочность усвоения учащимися учебного материала зависит не только от объективных факторов: содержания и структуры этого материала, но также и от субъективного отношения учащихся к данному учебному материалу, обучению, учителю.

Прочность усвоения знаний учащимися обуславливается организацией обучения; память учащихся носит избирательный характер: чем важнее и интереснее для них тот или иной учебный материал, тем прочнее этот материал закрепляется и дольше сохраняется.

Процесс прочного усвоения знаний является очень сложным. В последнее время его изучение принесло новые результаты. В ряде исследований показано, например, что во многих случаях непроизвольное запоминание является даже более продуктивным, чем произвольное. Это вносит определенные изменения в практику обучения, поскольку традиционно считалось (и не без оснований) что обучение должно основываться на произвольном запоминании, и в соответствии с этим были с формулированы практические правила обучения. Современное понимание механизмов учебной деятельности, приводящих к прочному усвоению знаний, позволяет добавить к традиционным и некоторые новые правила обучения.

В современном обучении мышление главенствует над памятью. Следует экономить силы учащихся не растрачивать их на запоминание малоценных знаний, не допускать перегрузки памяти в ущерб мышлению. Препятствуйте закреплению в памяти неправильно воспринятого или того, что учащийся не понял. Запоминать учащийся должен сознательно усвоенное, хорошо осмысленное. Чтобы освободить учащихся от заучивания материала имеющего вспомогательный характер, приучайте их пользоваться различными справочниками- словарями, энциклопедиями и проч.

Интенсифицируя непроизвольное запоминание учащихся, не давайте прямых заданий или прямых указаний: лучше заинтересуйте учащихся, время от времени “подогревайте” возникший интерес. Материал, требующий запоминания, должен быть заключен в короткие ряды: то, что мы должны носить в своей памяти, не должно иметь обширных размеров. Из подлежащих запоминанию рядов исключайте все, что учащийся сам легко может прибавить.

Помните, что забывание изученного наиболее интенсивно идет сразу после обучения, поэтому время и частота повторений должны быть согласованы с психологическими закономерностями забывания. Частота повторения должна соответствовать ходу кривой забывания. Наибольшее количество повторений требуется сразу же после ознакомления учащихся с новым материалом, т.е. в момент максимальной потери информации, после чего это количество повторений должно постепенно снижаться, но не исчезать полностью.

Не приступайте к изучению нового, предварительно не сформировав двух важнейших качеств: интереса и положительного отношения к нему. Следите за логикой подачи учебного материала. Знания и убеждения, логически связанные между собой, усваиваются прочнее, чем разрозненные сведения.

Следует контролировать внутренние факторы (рассеянность, занятия посторонней деятельностью и т.д.), отвлекающие внимание учащихся. Приручайте каждого ученика работать в соответствии с его возможностями, но в то же время в полную силу. Боритесь с ленью, формируйте оптимальный темпо-ритм деятельности. Если выяснится, что темпы обучения снизились, следует немедленно установить причину. Наиболее распространенные причины: потеря (или отсутствие) интереса к учебному процессу и усталость, ищите пути к их восстановлению. Не интенсифицируйте обучение искусственно. Не злоупотребляйте произвольным вниманием учащихся, без необходимости не перегружайте его, не увлекайтесь прямыми заданиями и указаниями. Как будет указано в психологических обоснованиях данной работы, старайтесь использовать непроизвольное внимание. Приучайте учащихся прислушиваться к вашим словам. О наиболее интересных для них вещах говорите сдержанно. Практикуйте на уроках увлекательные «отклонения», «домашние заготовки», экспромты. Знайте меру. Вместо очередной «нотации» — притча, легенда, басня, шутка — учащиеся вас поймут.

Опирайтесь на установленный наукой факт: важной формой упрочнения знаний является их самостоятельное повторение учащимися. Поэтому шире используйте, умело направляйте процессы взаимообучения. Часто те качества, которые длительное время не может сформировать учитель, легко и быстро формируются путем взаимообучения.

Развивайте память учащихся: учите их пользоваться различными приемами, облегчающими запоминание. Используйте дифференцированный подход к учебному материалу. Постоянно заботьтесь о сознательном, глубоком и прочном усвоении каждым учащимся не всего, что изучается, а главного: прочно усвоенное, оно станет надежной основой дальнейшего обучения.

Не приступайте к изучению нового, предварительно не обеспечив наличия положительных мотивов и стимулов. Помните: знание, насильственно внедренное в душу ребенка, непрочно. Следует следить за логикой обучения, ибо прочность знаний, логически увязанных между собой, всегда превышает прочность усвоения разрозненных, малосвязанных между собой знаний. Переходя к изучению нового вида неравенств, следует обращать внимание учащихся на связь с пройденными темами: со свойствами изучаемой функции, с алгоритмом, применявшимся для решения изученных типов неравенств.

Для прочного усвоения применяйте яркое, эмоциональное изложение; наглядные пособия, технические средства, дидактические игры, учебные дискуссии, проблемно-поисковое обучение. Так как прочность запоминания информации, приобретенной в форме логических структур выше, чем прочность разрозненных знаний, закреплять следует знания, представленные в логически целостных структурах.

Проводите повторение и закрепление изученного так, чтобы активизировать не только память, но и мышление, и чувства школьников. Работая над осознанием и закреплением знаний, расширяйте их объем, вводя новые примеры, уточняющие обобщения, яркие иллюстрации. Не следует проводить повторение изученного по той же схеме, что и изучение: предоставьте возможность учащимся рассматривать материал с разных сторон, под разными углами зрения. Имеет смысл решать один пример различными способами. Предоставьте учащимся право выбора метода решения каждого неравенства, конечно при учете того, что школьник сможет обосновать рациональность выбранного им метода.

Не давайте легких и однообразных видов работы: они мало развивают и быстро утомляют. Упражнения подбирайте так, чтобы они имели смысл. Выполнение упражнений, решение задач дают эффект, если требуют активного размышления, поиска рационального решения, проверки результатов путем сопоставления с данными условия. Перед упражнением четко укажите, что и как надо делать, какие требования будут предъявлены к результатам работы; проведите пробные упражнения. Во время упражнений предупреждайте усталость учащихся и не доводите их до переутомления.

Необходимо осуществлять контроль за факторами, связанными с оценкой труда учащихся: последовательно формируйте сознательное и ответственное отношение к любой деятельности, приучайте учащихся контролировать процесс и результаты своего труда. Важной формой упрочнения знаний является самостоятельное повторение учащимися, организуйте его и поощряйте. Не разрешайте учащимся пропускать занятия, уклоняться от уроков или бездельничать на них — это неминуемо приведет к снижению прочности знаний, умений.

Применяйте современные научно обоснованные виды, средства и методы контроля, пользуйтесь диагностическими способами выявления и измерения сдвигов в развитии учащихся: только так можно определить эффективность обучения, целенаправленно добивается его результативности.

Перейдем теперь к рассмотрению психологических особенностей учащихся, которые несомненно следует учитывать для успешного протекания учебного процесса.

1.2 Психолого-педагогическая характеристика учащихся основной и старшей школы

Психофизиологические закономерности восприятия информации

Существуют психофизиологические закономерности восприятия, усвоения и запоминания информации, обусловленные природой человека, и наша задача проанализировать их. Нельзя не согласится с К.Г. Марквардтом, сказавшим: «Надо понять, что если педагоги сами не разберутся в началах психологии, а будут ждать готовых решений от специалистов-психологов, то не будут найдены необходимые решения для совершенствования учебного процесса».

1.2.1 Воздействие центральной нервной системы на восприятие информации

Восприятие и усвоение информации зависит от функциональных особенностей центральной нервной системы. По определению Павлова И.П. существует четыре классических типа центральной нервной системы, а соответственно 4 типа темперамента.

1. Холерик — быстро возбуждающийся, горячий, энергичный человек. Его реакция мгновенна, молниеносна, не редко превышает необходимые действия. Может быстро и легко переключатся с одного вида деятельности на другой, после отдыха быстро включается в работу. Однако после работы, как и после конфликта, не в состоянии сразу успокоиться, поскольку склонность к возбуждению у него сильнее, чем к торможению. Воспитание такого человека необходимо строить так, чтобы укрепить в нем процесс торможения, выработать умение сдерживать свои реакции на окружающее.

2. Сангвиник — подвижный, жизнерадостный, живой, увлекающийся человек. В нем гармонично сочетаются тормозные и двигательные функции. Его реакция быстрая, четкая, рациональная. Сангвиник способен активно и деятельно работать, быстро переключатся с одного эмоционального состояния на другое, легко переходить от отдыха к работе, и наоборот. Он умеет найти выход из трудных положений, способен ставить перед собой и решать сложные задачи.

3. Флегматику свойственна невозмутимость, граничащая с хладнокровием. Человек с медленной восприимчивостью и слабой активностью, трудно раздражающийся, терпеливый и хладнокровный. У флегматика процесс возбуждения ослаблен, а процесс торможения усилен. Его реакции замедлены. Характерной его особенностью является основательность и неторопливость. «Флегматик медленно входит в начатое дело, но обязательно доводит его до конца. Оказавшись в роли начальника, он будет руководить спокойно и равномерно. Но без соответствующего воспитания флегматика будет многое раздражать: например, быстрота, с какой его коллеги принимают решения» (Васильева З.А., Люблинская С.М. Резервы здоровья. Л.: Медицина, 1980, с. 54), требования срочных перестроек, пересмотров, отчётов и т.п. для него могут оказаться непосильными и темпы, которых требуют обстоятельства. «В домашней обстановке флегматика может огорчить самое безобидное предложение жены, требующее быстрой перемены планов: например, сразу после прихода с работы пойти в кино или театр. В этих случаях, зная особенности темперамента мужа, жене следовало бы заранее предупредить его о своих планах. Если флегматик после работы собрался читать газету, то его будет раздражать возня детей, их просьба погулять или поиграть с ними» (см. там же).

Исследуя влияние темперамента на процесс адаптации и изучая причины отсева, в каунасских вузах пришли к выводу, что студенты с флегматическим темпераментом адаптируются хуже всего (по данным республиканской научной — методической конференции в Каунасе «Социально-педагогические и психологические проблемы адаптации студентов». Октябрь — ноябрь 1977).

4. Меланхолик — человек, склонный к угнетённому настроению и мрачным мыслям. У меланхолика — слабые нервные процессы, т.е. процесс возбуждения и процесс торможения снижены. Он теряется в сложных ситуациях и не всегда может найти выход из трудного положения. Крайне неохотно принимают ответственные решения, быстро устаёт от физической и умственной работы. Ему нужен более длительный отдых после дневных трудов. Меланхолик тяжелее переносит различные неприятности и заболевания, он легко раним. Для него нужны более упорядоченные условия жизни. Он может удачно вписываться в социальную среду при условии грамотной оценки и правильного отношения к нему со стороны окружающих.

Естественно, в жизни указанные типы темпераментов в чистом виде встречаются крайне редко. Речь идёт о преобладании тех или иных типологических особенностей, которые являются ведущими и основными при восприятии, усвоении и запоминании информации.

Организуя процесс обучения, используя, работу учащихся в парах мы должны помнить, что сангвиники проще общаться с холериком, флегматику и холерику ужиться друг с другом очень трудно. С холериком лучше вести занятия в быстром темпе, оперировать крупными, блоками, быстро переключаться с одного вида работы на другой. При этом необходимо помнить о разумно распределённом повторении, так как быстро усвоенное так же легко уходит из памяти.

Лицам с выраженными тормозными процессами лучше вводить материал неторопливо, основательно, на глубину. У таких людей однажды усвоенный материал, как правило не забывается или процесс забывания идёт медленно. По данным Теплова Б.М., медленность возникновения и прекращения нервных процессов, свойственная флегматикам, является основой прочности запоминания.

Зная типы нервной системы, преподаватель имеет возможность учитывать особенности личности ученика при опросе.

Стрессовые обстоятельства усиливают те или иные типологические проявления, т.е. холерик может стать еще более безудержным, флегматик еще более заторможенным. Резкое противодействие не вызывает их коррекцию, а наоборот, усиливает стрессовое проявление их характера. Лучше в подобных случаях не замечать избыточных проявлений темперамента, а доброжелательно и спокойно помогать ученику придти в себя.

Таким образом, на восприятие, усвоение и запоминание в значительной степени влияют тип центральной нервной системы и учет ее особенностей преподавателем. Не стоит обижаться, если кое-кто из учеников воспринимает вашу информацию не так, как бы вам хотелось. Он не виноват, многое зависит от его типа нервной системы.

1.2.2 Особенности памяти и мышления

Восприятие и усвоение информации зависит от особенностей памяти и мышления.

«Наблюдается любопытный парадокс, с одной стороны, и стар и млад жалуются на нехватку памяти, а с другой, это установили многие психологи, мы все пользуемся только небольшой частью своей памяти. В среднем у человека на службе лишь 3-8% памяти, а остальные не используются. Да, не используются при ее острой нехватке» (Шишаков В. Что я могу? Работница 1976, №1, стр.8-9). Память у нас огромная. Какие неисчерпаемые возможности таятся в этой кладовой, показывают случаи выдающейся памяти. Некоторые музыканты запоминают большие произведения, услышав их лишь раз. Некоторые организаторы знают по именам и в лицо тысячи людей (говорят, Цицерон знал каждого из своих трех тысяч воинов). Психологам известны сотни и сотни примеров выдающейся памяти, и в основе этого феномена часто лежат не только природные задатки, но и постоянные тренировки, произвольные и непроизвольные, большие нагрузки на память.

Различают четыре вида памяти: оперативную, кратковременную, переходную и долговременную. Оперативная память обеспечивает удержание в памяти части сообщения в течение 6-12 с. Ею пользуются, например, при слушании и конспектировании лекции. Кратковременная память (15-20 с) обеспечивает узнавание (вот почему тесты, основанные на принципе выбора, не получили широкого распространения и высокой оценки преподавателей, в их основе лежит проверка кратковременной памяти). Переходная (промежуточная) память длится от 5 мин до 24 ч. Индивидуальная, пожизненная, долговременная память обеспечивает общий культурный уровень человека. Эти четыре вида памяти являются показателями прочности памяти.

Структура памяти по К.Г. Марквардту, складывается из следующих звеньев: поступление информации, запечатление, хранение, воспроизведение, использование полученной информации. Психологи различают три типа памяти: зрительную, слуховую, моторную и два способа запоминания: произвольное и непроизвольное.

Экспериментально — психологические исследования памяти ведущими советскими психологами В.А. Артемьевым, А.А. Смирновым и др. показали, что осмысленное запоминание значительно экономичнее неосмысленного.

Из общей психологии и физиологии высшей нервной деятельности известно, что непроизвольное в нашем поведении характеризуется следующими признаками:

отсутствием заранее поставленной цели;

отсутствием волевого усилия;

отсутствием осознания правила действия;

непосредственной целостностью, синтетическим планом действия;

малой утомляемостью;

повышением интереса;

увеличением объёма внимания;

усилением способности удержания;

обострением способности подражания;

своеобразием воспроизведения;

Всё это приводит к мысли, что непроизвольность действия положительна, так как улучшает ряд психических процессов. Однако «на самом деле учащемуся, переведённому на непроизвольные действия, нанесён серьёзный ущерб, так как он лишился возможности действовать как подлинно человеческое существо, всегда ставящее цель, напрягающее волю для её достижения и осознающее производимые им действия. Именно поэтому организм учащегося мобилизовал более простые процессы: интерес, внимание, запоминание, и воспроизведение» (Артёмов В.А. психология обучения иностранным языкам. М.: Просвещение, 1969)

«Современный человек всё делает главным образом произвольно. Начиная с перехода улицы в Москве и кончая поведением в кабине космонавта. Если и имеется у человека что-то непроизвольное, то оно или имеет биологический, а не общественный характер, или же является следствием длительного производственного труда, в результате чего произвольное действие стало автоматическим, привычным и в этом смысле непроизвольным» (Артёмов В.А. Психология обучения иностранным языкам. М.: Просвещение, 1969)

1.2.3 Роль способностей

На восприятии информации сказываются, естественно, способности человека, т.е. психические особенности человека. В психологии идут разногласия по поводу человеческих способностей. Одни считают, что со способностями рождаются, что они не изменяются. Советские психологи считали, что способности во многом зависят от окружения, обучения, воспитания и самовоспитания. Сейчас в психологии доказано, что и профессиональные способности развиваются, как и всякие другие. Для этого нужны три момента: интерес, поле деятельности, т.е. совокупность условий для развития профессиональных способностей, и активность. В современной психологии способность понимается как сформированная познавательная деятельность.

Что касается способностей учащихся, то они бывают минимальные, средние и максимальные. Хорошо, если преподаватель знаком с данными психологии (или возрастной психологии) относительно способностей и их развития в каждом возрасте.

Скрытые возможности таятся во всех областях нашей психики — во внимании, мышлении, в способности к какому-то конкретному занятию: рисованию, пению, искусству. Это подтвердили специальные исследования, специальные опыты учёных. Конечно, далеко не каждый сможет стать Пифагором, но научиться решать задачи способен каждый.

Наши ощущения и восприятия тоже могут служить нам лучше, чем служат. Известно, например, что человеческий глаз различает в среднем 2-3 оттенка черного цвета. У работниц, которые окрашивают ткани в черный цвет, эта различительная способность развита несколько сильнее: они улавливают 3-4 оттенка. Но вот психологи начали заниматься с группой работниц по особой программе и добились, чтобы они стали разделять до 20 оттенков черного цвета. Как видим, способности развиваются. Возможности зрительной памяти следует не только учитывать, но и активно использовать. Метод интервалов в этом плане является хорошей иллюстрацией.

Однако одних способностей для достижения положительных результатов ещё мало. Преподавателям известно, что встречаются способные ученики, но лодыри. Вот им-то и необходимо показать, что огромную роль в получении знаний, формировании умений играют не только способности, но и труд, т.е. то, чего им так не хватает. Об этом свидетельствует анкетирование учащихся. Среди прочих в анкете был вопрос, что они считают главными качествами человека. Ответы были разными: честность, доброта, порядочность и прочее, но ни один из школьников не назвал трудолюбие. А между тем, не всё человеческое дано нам с рождения. Его приобретают в деле, в действии, в труде.

Гениальные, талантливые люди отличаются тем, что постоянно погружены в предмет своей деятельности. Они не выходят из этого состояния. Например, Э. Грига удаляли из класса за то, что он постоянно выстукивал на парте такты какой-то мелодии; в 15 лет он стал учеником Лейпцигской консерватории, а впоследствии стал всемирно известным норвежским композитором. Талантливые люди сами утверждают, что талант — это способности плюс труд. Но не только это. Т. Эдисон утверждал, что талант — это 98 потения и 2 вдохновения. А вдохновение, как известно, связано с эмоциями. Рассмотрим их.

1.2.4 Эмоции. Мотивы деятельности. Внимание

Сигналом о том, насколько человек продвинулся вперед в приобретении знаний и формировании умений, являются эмоции. Неслучайно психологи говорят, что чувство неудовлетворенности собой — это стимул к совершенствованию. Чувства нельзя тренировать, как память или волю. Их можно развивать.

Мы, преподаватели, не всегда осознаем, что сами формируем у наших учеников многообразие чувств и выражений: улыбкой, покачиванием головы, насупливанием бровей, лукавой или иронической улыбкой, всем своим видом. Антон Семенович Макаренко не случайно акцентировал внимание на внешности педагога, выражении его лица, интонации голоса, походке, одежде. Но, кроме проявления своих чувств, важно сознавать условия и для проявления чувств учащихся, только в их проявлении они могут развиваться. Развиваясь, они становятся мотивами поступков, побудителями действий, т.е. потребностью, а она возникает при ощущении недостатка чего-либо. Различают биологические и духовные потребности. Мотивы, как известно, бывают внутренними и внешними. Наиболее продуктивны внутренние мотивы, так как они основаны на интересе, на чем-то важном и необходимом для человека. Избирательность интересов во многом определяет установки, мотивы и цели обучения и учения. Школьники поступают в институт, побуждаемые мотивами обретения товарищей, друзей, поиска знаний, смысла труда (жизни).

Внешние мотивы имеют обычно малую перспективу, например, что-то выучить, чтобы просто сдать экзамен, не выглядеть хуже других и т.п. Иногда внешний мотив (например, сдача экзаменов) может рассматриваться учениками как препятствие к достижению своей цели (например, родители согласны на приобретение чего-либо при условии отсутствия трок в четверти). Осознание нужности предстоящей темы также положительно сказывается на возникновении внутренней мотивации.

Задача преподавателя — развивать внутренние мотивы познавательной деятельности учащихся. Но как Наблюдение показывает, что тут помогает следующая психофизиологическая закономерность: механизм восприятия, усвоения, запоминания и развития познавательной деятельности студентов строится по принципу действия рекламы: внимание интерес желание действие.

Психологами установлено, что внимание — это концентрация психической деятельности на определенном объекте и отвлечение от всего постороннего. Как известно, существует непроизвольное, произвольное и послепроизвольное внимание. Как привлечь внимание?

Непроизвольное внимание возникает само собой под действием сильных раздражителей (резкий или слабый свет, запах; громкий или тихий звук) и новых впечатлений (не так, как в школе; новая форма, структура, содержание информации). Поэтому следует использовать различные виды деятельности на уроках, приводить интересные примеры. Но не стоит ориентироваться только на него. Большое значение в процессе обучения также играет произвольное внимание.

Произвольное внимание возникает на основе усилия воли. Оно требует высокого сознания, осознанности. Поскольку оно требует усилий от человека, то является утомительным. Трудно заставить человека быть внимательным более 20 минут. Это важно знать преподавателю и не злоупотреблять произвольным вниманием, а использовать и непроизвольное, если это возможно. Оно будет более устойчивым, если вызвано всем тем, что находится в области интересов учащихся или обещает принести им практическую пользу. Обучение без интереса практически не происходит. Анатоль Франс сказал: «Искусство преподавания не что иное, как искусство пробуждать любопытство юных душ и затем удовлетворять его. А любопытство живет лишь в счастливых. Знания, которые навязывают силой, душат разум. Для того чтобы переварить знания, их надо проглотить с интересом».

Послепроизвольное внимание идет от произвольного. Сначала человек принуждает себя слушать, а потом у него пробуждаются интерес и желание самому заниматься делом. Успех возможен тогда, когда ученик хочет заниматься. По доброй воле человек работает лучше, чем из-под палки. «Охота — пуще неволи». Надо пробудить желание работы. Только успех возбуждает желание работать. Но чтобы он захотел, нужен психологически благоприятный климат на уроке, т.е. такие условия, когда ему хочется слушать, нравится выполнять задания, когда он чувствует внимание преподавателя и товарищей к себе, не ощущает дискомфорта из-за плохой подготовки (чувство неловкости или стыда за свои плохие знания, хотя он, например, взрослее всех в классе и т.д.). Дискомфортные условия не способствуют продвижению вперед. Только будучи уверенным, что ученик сможет ответить хорошо, можно опрашивать его при участии и внимании всего класса.

Поскольку на внимание влияют эмоции, надо заботится о возникновении положительных эмоций у учащихся. Этому должен способствовать и внешний вид, и содержание учебного материала. Замечено, что школьники испытывают внутреннее сопротивление при необходимости работать по учебнику и вообще противятся слову «надо». Это тоже одна из психофизиологических закономерностей восприятия информации, существующая объективно независимо от человека. Вот почему необходима педагогика сотрудничества, а не авторитарная, построенная на императиве, командах, приказах. Советы и рекомендации больше способствуют развитию познавательной деятельности студентов, чем обязательные задания со строгим и неуклонным контролем их выполнения. Подход: «хочет — может — должен» лучше «срабатывает», чем «должен — может — хочет».

1.2.5 Закономерности восприятия речевой и визуальной информации.

В конце 50-х на Западе возникла теория Inteligent eye — «разумный глаз», представители которой утверждают, что глаз развил мозг. В основе этой теории лежат наблюдения, результаты исследования, полученные психологами.

Психолог Б.Г. Ананьев подчеркивает, что восприятие через зрительную систему идет на трех уровнях: ощущение, восприятие и представление, а через слуховую систему — только на уровне представления. Это значит, что при чтении информация воспринимается лучше, чем «со слуха». 20% поступающей слуховой информации может потеряться, так как, во-первых, мысли текут в 8-10 раз быстрее, чем речь; во-вторых, есть отвлекающие факторы (реакция на внешние раздражители) и через каждые 5-10 с мозг «отключается», так как срабатывают защитные свойства мозга. Именно поэтому требуется повторение одной и той же информации разными способами и лексическими средствами. В.Ф. Шаталов, как помните, повторял одно и то же не менее трех раз, широко используя наглядность. Более 400 лет существует педагогика, а в ней дидактический принцип наглядности обучения, но теперь он получил теоретическое, научное обоснование.

Комбинированное же воздействие визуальной и аудиоинформации дает наилучшие результаты, так как органы зрения и слуха увеличивают коэффициенты раздражителей, воздействуют на долговременную память.

В визуальной информации есть свои закономерности. Например, вертикальная линия считывается дольше, чем горизонтальная, хотя они одинаковы по длине. Отсюда следует, что текст, напечатанный в столбик, считывается медленнее, чем тот же текст, напечатанный в строчку более широким планом. Поле чтения при горизонтальном варианте увеличивается, текст читается быстрее. Хотя существует и противоположная точка зрения: при широком поле чтения, глаз делает больше регрессий, а это замедляет чтение. Психологи утверждают, что для быстрого и четкого считывания информации нужно, чтобы промежутки между ними равнялись единице информации. Это стоит учитывать, делая записи на доске.

Зрение требует группировки информации. Психологи утверждают, что вертикально нужно давать нечетное число перечислений, которое запоминает человек. Это приблизительно 7 наименований. Четное число вертикально записанных перечислений запоминается хуже.

Величина букв играет немаловажную роль в визуальной информации. Психологи определили величину букв для комфортного и предельного зрения. Чтобы установить размер букв, которыми нужно писать на доске в данном классе, можно измерить длину аудитории шагами и разделить это число на 4, т.е. буква высотой в 1 см будет видна на расстоянии 4 шагов.

Американские исследователи определили, что лучше всего запоминается информация, расположенная на доске в правом верхнем углу. Ей принадлежит 33% нашего внимания. Одной из важных психофизиологических закономерностей является закономерность запоминания по теории ряда: начало и конец запоминаются лучше, чем середина.

На восприятии информации сказывается и сама организация учебного процесса, занятия, индивидуальное и коллективное творчество. Часто ученик поймет материал лучше, если объяснит его другому.

Чрезвычайно важно проанализировать весь учебный материал в плане выявления возможных связей между его частями, о чем уже много говорилось в предыдущем пункте. Схема организации и предъявления материала включает в себя три звена, взаимообусловленных и тесно связанных между собой: набор изученных ранее элементов материала; главное содержание целенаправленной деятельности школьника на занятии; и элементы учебного материала, который лишь впоследствии должен стать основным, а пока как бы предвосхищает часть будущего материала. В методике это называется пропедевтикой. Перейдем теперь к более глубокому изучению методики преподавания интересующей нас темы.

1.3 Методические обоснования

Методика преподавания математики в средней школе, как и другие предметные методики, возникла с целью поиска педагогически целесообразных путей и способов изложения учебного материала.

В данной работе рассмотрим методику обучения математике как самостоятельную научную область с собственным предметом, методами исследования и концепциями. При разработке данной методической концепции были учтены новые образовательные идеи (гуманизация, гуманитаризация образования, личностная направленность обучения), общеобразовательные стандарты. Изложение материала построим в контексте системного анализа и деятельностного подхода, что проявляется в системном представлении методических феноменов, выделение их компонентов, установлении взаимосвязей между ними, конструировании деятельности, адекватной изучаемым понятиям и способам деятельности.

Деятельностный подход как одна из составляющих методологии методики обучения математике выступает в форме деятельностной природы математического знания. Реализация этого подхода предполагает понимание знания как деятельности и её результата. Ученик не только усваивать готовые выводы, но и принимать участие в их открывании, обосновании, формулировке. Поэтому большое внимание уделим формированию эвристик в обучении математике. С выведением математики за рамки ее логической формы, с развитием представления о ней как о деятельности возрастает роль эвристической составляющей в математическом образовании школьников, что обусловливает проблему обучения в эвристической деятельности.

Термин «эвристика» понимается в различных значениях: 1) специальные методы, используемые в процессе открытия нового (эвристические методы); 2) наука, изучающая продуктивное творческое мышление (эвристическая деятельность); 3) восходящий к Сократу метод обучения (так называемые сократические беседы). Есть и другие точки зрения на сущность эвристики. Так, предлагается понимать под эвристикой направленность деятельности человека, ориентированную на создание им субъективно или объективно нового и значимого продукта. В данном контексте эвристика отождествляется с мотивом творческой деятельности. Предлагается понимать под эвристикой и любой совет — как искать решение задачи. Мы термин «эвристика» будем использовать в основном в первом значении. Под эвристикой понимаем всякий способ, применение которого может привести к отысканию нужного метода решения задачи.

Формирование базовых эвристик, основой которых являются действия выведения следствий, преобразования требования задачи в равносильное ему, составления промежуточных задач, выходит за рамки изучаемого в данной работе вопроса. Поэтому скажем лишь, что знакомство с такими эвристиками осуществляется в процессе развития этого материала. Например, при введении понятия числового промежутка и принадлежности ему числа, которые активно используются при решении неравенств методом интервалов и считаются уже выработанными навыками.

К эвристическим приёмам можно отнести приём элементарных задач, применение которого можно будет увидеть в данной работе. Его суть различные авторы трактуют по-разному. Для одних она заключается в использовании простейших упражнений для формирования навыков применения отдельных теорем, определений, аксиом. Другие усматривают её в поэлементном формировании сложного умения.

Методы научного познания в математике

К общенаучным методам познания относятся аналогия, наблюдение и опыт, анализ и синтез, индукция и индукция, обобщение, абстрагирование, конкретизация. Методы познания выступают как элементы содержания образования — с одной стороны, и как приёмы мышления — с другой. Обладая высокой эвристичностью, методы научного познания широко используются в обучении математике.

Аналогия. Под аналогией понимают сходство предметов в каких либо свойствах, признаках или отношениях. Умозаключение по аналогии — это такое умозаключение, в результате которого делается вывод о том, что исследуемый предмет, возможно, имеет ещё один признак Х, поскольку остальные известные нам признаки этого предмета сходны с признаками другого предмета, обладающего, кроме того, и признаком Х. В качестве предмета могут выступать объекты, явления, процессы и т.д.

Анализ деятельности применения аналогии в различных конкретных ситуациях позволил выделить следующие действия:

1) составлять аналоги различных заданных объектов и отношений;

2) находить соответственные элементы в заданных аналогичных ситуациях;

3) составлять задачу, аналогичную заданной, т.е. задачу, имеющую с данной сходное условие или заключение;

4) проводить рассуждение при решении задачи по аналогии с решением сходной задачи.

Анализ и синтез. Широкое применение при формировании понятий и решении задач находит анализ и синтез. Анализ — логический приём состоящий в том, что изучаемый предмет мысленно расчленяется на составные элементы, каждый из которых затем исследуется в отдельности. Синтез — мысленное соединение частей предмета, расчлененного в процессе анализа, установление взаимодействия и связей частей и познание этого предмета как единого целого. Синтез всегда связан с анализом. В нашем мышлении существует аналитико — синтетический метод, в котором анализ и синтез взаимно проникают друг в друга, сочетаясь в диалектическом единстве. В процессе формирования понятия анализ используется при выделении существенных признаков понятия, которые затем объединяются и образуют содержание понятия.

Особенно велика роль анализа при решении нетривиальных неравенств методом интервалов. Например, требуется решить неравенство (его решение будет рассмотрено во второй главе данной работы). Оно является показательным и метод интервалов к нему применить на прямую нельзя. Но замечаем что и, сделав замену переменных, получаем квадратное неравенство, которое уже можно решать методом интервалов.

Рассуждения можно вести по-разному: отправляясь от данных, устанавливая связи между ними, идти к искомым (синтетический путь) или, отправляясь от искомых, устанавливая связи между искомыми и данными, идти к данным (аналитический путь).

Наблюдение и опыт. Индукция и дедукция. В обучении математике существенная роль принадлежит и таким методам познания, как наблюдение и опыт, индукция и дедукция. В процессе наблюдения и опыта устанавливается некоторое представление об исследуемом объекте, а результаты служат посылками для индуктивных выводов. В частности, вывод о знаке при прохождении через чётные корни делается как обобщение вычислений и построения кривой знаков выполняемых учащимися.

Вопросы, что вы подметили, какой вывод можно сделать и т.д., должны постоянно сопровождать изучение материала. Но следует иметь в виду, что выводы, сделанные по индукции, т.е. на основании определённого числа наблюдений, не исчерпывающих всех частных случаев, являются правдоподобными, но недостоверными. История математики знает случаи, когда выводы, сделанные по индукции одним учёным, опровергались другими.

Термин «дедукция» используется для обозначения метода рассуждений, заключающегося в переходе от общего к частному. Термин «дедукция» употребляется и в смысле перехода от знания более общих положений к знанию менее общих.

Обобщение и конкретизация. Формирование определенных типов мышления учащихся Методологические принципы формирования эмпирических и теоретических типов мышления явно и неявно реализуется в каждом разделе школьного курса математики. Содержательно-методическая линия решения неравенств может быть разработана на базе развитых в школьном курсе математики функциональной линии и линии уравнений и неравенств с переменной. Тип мышления формирующийся в задачах должен развивать те способы обобщения и абстрагирования, которые используются в процессе образования понятий, разработки методов исследования функций и связанных с ними уравнений и неравенств.

Метод интервалов в значительной степени обусловлен средствами соответствующих функций. Эта закономерность вытекает из глубокой связи функциональной линии уравнений и неравенств. Итак, понятие функции выступает в форме теоретического понятия, которое «служит способом выведения особенных и единичных явлений из всеобщей основы» (Давыдов В.В. Теория развивающего обучения — М. — 1996 — с. 67) Развертывание понятие функции осуществляется посредством выделения классов функций, обладающих общностью аналитического способа задания, сходными особенностями графиков.

Исследование конкретных классов функций и насыщение общего понятия функции «сопутствующими» свойствами реализует положение теории развивающего обучения о том, что «систематическое развертывание знаний о предмете не только исключает, а наоборот, предполагает постоянное насыщение исходных понятий (абстрактного) все новыми и новыми чертами, особенностями — возвращение к предыдущему с позиции последующего (движение от абстрактного к конкретному)». (Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении -М. — 1972 — с. 377).

В условиях реального учебного процесса сформированность у учащихся обобщения и абстрагирования, свойственных теоретическому типу мышления определяется как системой заданий предлагаемых в учебниках, так и внутренней направленностью учителя на выработку именно такого типа мышления.

В процессе решения неравенств осуществляется усвоение учащимися как свойств определенного класса функций, так и общих свойств функции. В этой связи вполне естественным является представление о том, что обобщение и абстрагирование будут развиваться и при развертывании линии уравнений и неравенств. Однако линия уравнений и неравенств тесно связана и с другими содержательно-методическими линиями школьного курса (числовой, тождественных преобразований, алгоритмической и пр.); оперирующими чувственно данными, внешними свойствами единичных объектов, решающими задачи их классификации по внешним признакам. Тем самым, с позиций соотношения эмпирического и теоретического типов мышления уравнения и неравенства с переменной занимают промежуточное значение между функциональной линией, линией алгоритмов и тождественных преобразований. Это положение отражено в спектре задач: «в итоге изучения материала линии уравнений и неравенств учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных задач, но и научиться использовать логические средства для обоснования решения в условиях, когда это необходимо». (Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: учебное пособие для студентов педагогических институтов по физико-математическим специальностям/ А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и другие; Сост.: В.И. Мишин — М. — 1987 — с. 115).

Фактически метод интервалов реализует положение о том, что «Всякое, в том числе и математическое обобщение опирается на сопоставление частных случаев и постепенное выделение общего, причем должна быть обеспечена широкая вариация несущественных признаков при инвариантности существенных» (Колягин Ю.Н., Луканкин Г.А. и другие, Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики М. — 1977 — с. 237).

С позиции формирования теоретического типа мышления главная ценность в методе интервалов представляют не частные эвристические приемы и методы (несомненно важные и значимые), а рассмотрение процесса решения конкретного неравенства с позиции общих понятий, общего метода, их закономерные и особенные проявления в данном случае. В результате процесс решения неравенств с набором общих и особенных факторов из самоцели превращается в реальный момент становления теоретического мышления.

В теории развивающего обучения способ восхождения от абстрактного к конкретному разработан достаточно глубоко. Однако во всякой новой области восхождение осуществляется в своеобразной форме, подчиненной внутренним закономерностям, и проявляющийся через многие опосредующие звенья. Поэтому «при восхождении не может быть простого формального подведения (подгонки) частных явлений под общее, под закон» (Давыдов В.В. Виды обобщений в обучении М. — 1972 — с. 313).

Решение каждого конкретного неравенства означает исследование всех типов соответствующих частных неравенств, отличающихся друг от друга внешним видом, множеством решений, перечнем равносильных преобразований. Но на начальном этапе исследования конкретное неравенство выступает как нерасчлененная целостность.

В процессе абстрагирования свойств, общих всем конкретным неравенствам создается формальная целостность — понятие неравенства f(x)>0 как начальный этап восхождения от абстрактного к конкретному.

Введенная система понятий в своей внутренней взаимосвязи позволяет выделить структурные компоненты исходной целостности в виде областей однотипности и соответствующих им общих решений совокупности решений частных неравенств.

Установленная сущность отношений между понятиями реализуется в виде общего способа классификации частных неравенств по типам — метода интервалов (где первым пунктом в исходном неравенстве из уравнения находятся нули и точки разрыва; и т. д.), к рассмотрению которого мы и переходим. Начнем с ним знакомство с обзора существующих учебников и нормативных документов.

1.4 Обзор учебной литературы

1.4.1 Содержание нормативных документов и программно-методических материалов

В объяснительной записке к программе для общеобразовательных учреждений, одной из целей изучения курса алгебры в VII-IX классах обозначено: усвоение аппарата уравнений и неравенств как основного средства математического моделирования прикладных задач. Основной целью изучения курса алгебры в X-XI классах является систематическое изучение функций, но также обозначено формирование умения применять преобразования тригонометрических, логарифмических и показательных выражений к решению соответствующих уравнений и неравенств.

В требованиях к математической подготовке учащихся в V-IX классах указано одним из умений, определяющих уровень обязательной подготовки по методической линии «числа и вычисления», сравнивать числа, упорядочивать в несложных случаях наборы чисел, понимать связь «больше», «меньше» с расположением точек на координатной прямой, изображать числа точками на координатной прямой. Изучение программного материала по методической линии «уравнения» дает возможность учащимся освоить основные приемы решения рациональных уравнений, неравенств и систем. В уровень обязательной подготовки включены требования: правильно употреблять термины «неравенство», «система», «решение системы»; понимать их в тексте, в речи учителя, понимать формулировки заданий «решить неравенство, систему»; уметь решать линейные неравенства с одной переменной и их системы. Уровень обязательной подготовки по этой же методической линии для X-XI классов определяется требованием: применять метод интервалов для решения несложных рациональных неравенств, а также, решать простейшие показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.

В содержание обучения VII-IX классов включены числовые неравенства и их свойства; почленное сложение и умножение числовых неравенств; линейные неравенства с одной переменной и их системы; неравенства второй степени с одной переменной. В X-XI классах: неравенства с одной переменной; решение неравенств методом интервалов; показательные и логарифмические неравенства; уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, простейшие уравнения, неравенства и системы с параметрами.

В программе для классов с углубленным изучением математики дополнительно к содержанию базового курса включены неравенства с переменными, геометрическая интерпретация линейных неравенств с двумя переменными и их систем; метод интервалов; и доказательства неравенств — для VII-IX классов; для X- I классов: тригонометрические, показательные, логарифмические неравенства и системы; основные виды и методы их решения; обобщенный метод интервалов для решения неравенств; иррациональные неравенства (последние два пункта обозначены звездочкой); доказательства неравенств; [некоторые классические неравенства]; системы уравнений и неравенств; применение графиков к решению уравнений, неравенств, систем; уравнения, неравенства и системы с параметром; методы решения; уравнения и неравенства, не решаемые стандартными методами.

Обязательный минимум содержания образования по математике также включает в себя числовые неравенства и их свойства; линейные неравенства с одной переменной и их системы; квадратные неравенства с одной переменной.

По примерному планированию учебного материала (для учебника Ю.Н. Макарычева и др.) систематическое изучение неравенств в основной школе начинается в 8 классе. При 119 уроках за год на тему “неравенства” отводится 19 уроков (при 102 уроках за год — 18 часов), которые включают в себя темы: числовые неравенства и их свойства, сложение и умножение числовых неравенств, решение неравенств с одной переменной и решение систем неравенств с одной переменной. А также две контрольные работы по данным темам. В 9 классе в тему «квадратичная функция» (21 урок) включены темы: решение неравенств второй степени с одной переменной и решение неравенств методом интервалов (на обе темы — 7 уроков). И, хотя отдельной контрольной работы по этой теме не предусмотрено, в последующую — включены два (из пяти) задания на проверку усвоения данных тем. В старшей школе, в примерном планировании на 10 класс (по учебнику А.Н. Колмогорова и др.), отведено два урока на решение простейших тригонометрических неравенств (и одно задание по теме в контрольной работе); в 11 классе — 4 урока на общую тему: решение показательных уравнений и неравенств, решение систем уравнений, содержащих показательную функцию; и 6 уроков на аналогичную тему по логарифмам. Также по обеим темам включено по одному заданию (непосредственно на решение неравенств) в соответствующих контрольных работах. И в двухчасовой обобщающей контрольной работе по итогам 11 класса предложено одно задание на логарифмическое неравенство.

Проведенный анализ программно — методических материалов и нормативных документов показывает, что тема “неравенства” (в частности, и тема “метод интервалов”) включена в обязательные для изучения темы базового курса алгебры, что еще раз показывает ее важность и актуальность данной работы в целом.

Теперь рассмотрим содержание учебников по курсу алгебры и начал анализа.

1.4.2 Обзор учебников

Мною были рассмотрены:

Комплект книг для изучения алгебры в общеобразовательных учреждениях А.Г. Мордковича и др. с 7 по 11 класс, который представляет собой набор учебник-задачник для каждого класса и пособие «алгебра тесты 7-9»;

Тема «неравенства» впервые встречается в конце 8 класса, где рассматриваются свойства числовых неравенств, решение линейных и квадратных неравенств. Решение последних рассматривается сначала методом параболы на примерах, на основе которых выводится алгоритм, и, далее под рубрикой «узнаете далее» он (пока на примерах) обобщается в метод интервалов. В задачнике за 8 класс присутствует множество примеров на решение квадратных неравенств (но без указания способа решения). Два аналогичных задания в теме «неравенства» содержит сборник тестов (ориентированный на определенный уровень обязательных результатов), и одно — включено в итоговый тест за восьмой класс.. Девятый класс начинается с главы «Рациональные неравенства и их системы», где дублируются сведения 8-го класса, и далее вводится понятие «метод интервалов» как упомянутый выше и применяемый для решения рациональных неравенств. Ниже приводится 8 разобранных примеров, на которых рассматриваются возможные нюансы (такие как включение/исключение корней числителя и знаменателя из множества решений, чередование знаков, четные корни и т.п.). В задачнике приведена обширная система заданий на решение различных рациональных неравенств. В тест по теме «неравенства» входит два задания на решение квадратных неравенств и два — на решение рациональных (одно из которых с параметром).

В учебнике «Алгебра и начала анализа 10-11» в главах касающихся тригонометрии неравенства не встречаются. В теме «показательная и логарифмическая функции» решение неравенств опирается на известные свойства этих функций, разбирается ряд примеров, в которых иллюстрируется метод замены переменных, сведения неравенств к рациональным неравенствам а также к их системам, и, как возможный вариант, рассматривается дальнейшее решение методом интервалов. После прохождения основных тем курса (тригонометрия; производная и первообразная; степенная (вскользь упоминается об основных методах решения иррациональных неравенств (которые приводят их рациональным)), показательная и логарифмическая функции) идет отдельной заключительной главой тема «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств», в которой идет речь о принципиальных вопросах, связанных с решением неравенств с одной переменной (таких как понятие равносильности и равносильные преобразования, системы и совокупности неравенств и их решения); также приводится 6 разобранных примеров, каждый из которых решен несколькими способами. Метод же интервалов впрямую здесь не используется и не упоминается.

Комплект учебников по алгебре 7-11 для общеобразовательных учреждений Ш.А. Алимова и др., а также методических пособий для данных учебников «Изучение алгебры 7-9» и «Изучение алгебры и начал анализа 10-11» Федоровой Н.Е. и Ткачевой М.В.;

Тема «неравенства» впервые встречается в начале 8 класса, где рассматриваются основные свойства числовых неравенств, решение линейных неравенств и их систем, а также решение линейных неравенств, содержащих модуль. Метод интервалов вводится в заключительной главе 8 класса «квадратные неравенства» после решения их методом параболы. Вводится метод интервалов на примере решения квадратного неравенства, далее примерами же обобщается для рациональных и дробно-рациональных неравенств больших степеней, которые могут быть представлены в виде произведения линейных множителей. Четкого алгоритма в учебнике не обозначено. Упражнения на повторение курса алгебры 8 класса присутствуют задания на решение линейных неравенств и их систем, неравенств содержащих модуль, квадратных неравенств, и отдельным блоком идет ряд заданий непосредственно на применение метода интервалов. В 9 классе тема неравенств затрагивается лишь однажды: в главе «степенная функция» в параграфе «неравенства и уравнения, содержащие степень» разобран способ решения иррациональных неравенств путем возведения в степень (другими словами, приведения его к рациональному неравенству, хотя в дальнейшем решении метод интервалов не упоминается).

В курсе алгебры 10-11 указано, что решение показательных неравенств часто сводится к решению стандартных неравенств данного типа, на примерах разбирается метод замены переменной. Решение логарифмических неравенств вводится на примерах; заключается в переходе к более простому (рациональному — прим. автора) неравенству или системе неравенств (однако, в дальнейшем решении метод интервалов не упоминается). И к логарифмическим и к показательным неравенствам прилагается система упражнений. Последний раз неравенства в данном курсе встречаются в главе «тригонометрические уравнения и неравенства», задания в которой ограничиваются простейшими тригонометрическими неравенствами. В задания для повторения кура алгебры включены рациональные, дробно-рациональные, с модулем, логарифмические, показательные, неравенства, а также несколько неравенств смешанного типа.

Комплект учебников по алгебре для общеобразовательных учреждений «Алгебра 7», «Алгебра 8», «Алгебра 9» Муравина К.С. ,Муравина Г.К., Дорофеева Г.В. и «Алгебра и начала анализа 10-11» Башмакова М.И.;

В данной серии учебников способ решения неравенств методом интервалов впервые встречается в 9 классе одновременно с первым знакомством учащихся с неравенствами. Данной теме предшествуют линейные неравенства и решение систем линейных неравенств с одной переменной. В данном учебнике он тесно связывается с решением целых алгебраических уравнений (уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований приводятся к виду f(x)=0, где f(x) — многочлен стандартного вида). Говорится о том, что умения найти корни многочлена достаточно для решения целых алгебраических неравенств (вида f(x)>0) и далее метод интервалов рассматривается на двух примерах. В первом рассматривается рациональное неравенство и приводится подробное описание действий. Второй — на решение дробно-рационального неравенства по конкретному алгоритму: 1. Найдем нули числителя и знаменателя дроби; 2. Отметим найденные значения на координатной прямой (обращая внимание на то, что нуль знаменателя не является решением неравенства); 3. Определим знаки выражения на образовавшихся интервалах; и 4. Запишем ответ (в учебнике он записывается в виде простейших неравенств). Далее следует дифференцированная система упражнений, в которую включены задания на прямое применение алгоритма, примеры в которые входят множители второй степени, а также множители, стоящие под знаком модуля. В главе «повторение и обобщение» за курс 9 класса по теме «неравенства» входят системы упражнений на определение знака рациональных и дробно-рациональных выражений, на нахождение области определения выражений, содержащих корни; на решение систем неравенств и на решение квадратных неравенств. Решение иррациональных неравенств в данном курсе отдельно не рассматривается.

В курсе алгебры 10-11 по Башмакову также встречается метод интервалов в первой же главе «Функции и графики». Следует заметить, что весь учебник разбит на главы, каждая из которых начинается тестом на проверку готовности по ранее изученным темам и таблицей результатов изучения по трем уровням: А, Б и В. В подтаблице результатов изучения «применение алгоритмов» по теме метод интервалов в уровне А обозначено: решение линейных, квадратичных и дробно-линейных неравенств. Уровень Б: решение рациональных неравенств. Уровень В: Решение неравенств, требующих преобразований. В главу «Тригонометрические функции» в данном учебнике решение неравенств не входит; Глава «Показательная и логарифмическая функции» включает решение неравенств, используя свойства, описанные мной в I главе данной работы, и с помощью введения новой переменной. В подтаблице результатов изучения «овладение теорией» по теме уравнения и неравенства в уровне А обозначено: решение простейших показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Уровень Б: Различные приемы преобразований показательных и логарифмических уравнений и неравенств к простейшему виду. В уровень В по данной теме неравенства не входят. В систему упражнений входят задачи на решение показательных и логарифмических неравенств от простейших до тех, над которыми необходимо производить преобразования. Последний раз неравенства встречаются в завершающей главе «Уравнения и неравенства», где также упоминается метод интервалов. В данной главе не приводится таблица результатов изучения, зато в тесте на проверку готовности «Поиск плана решения» предложено интересное, на мой взгляд, задание: Для каждого неравенства выбрать наиболее рациональный первый шаг в решении:

а) записать область допустимых значений;

б) сделать преобразования;

в) сделать замену переменной;

г) нарисовать графики функций.

И далее предложено 10 примеров, содержащих логарифмы, корни, показательные и тригонометрические функции. Содержание же главы по теме неравенства состоит в описании общих приемов решения неравенств и приведения разобранных примеров. В первую очередь отмечается то, что решение любых неравенств сводится к решению стандартных неравенств, которые были рассмотрены в предыдущих главах, а также помогает разложение на множители. А решение неравенства вида >0 можно представить в виде совокупности систем, но если множители являются линейными или произведениями линейных, то проще применить метод интервалов, который сильно сокращает количество вычислений.

Комплект учебников 7-11 по алгебре для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики Виленкина Н.Я. и др.;

Тема «неравенства» в данном курсе впервые встречается в середине 8 класса в параграфе «неравенства и приближенные вычисления», где рассматриваются основные свойства числовых неравенств. Решение же неравенств выделено отдельной главой, завершающей 8 класс. В этой главе последовательно рассматриваются неравенства первой степени, квадратные (их решение сразу основывается на разложении на множители); дробно — линейные (сначала только вида , решение которых сводится к решению квадратных путем умножения дроби на знаменатель, и его дальнейшее отбрасывание как положительное выражение); системы неравенств с одним неизвестным (представляющих собой системы ранее изученных неравенств); далее решение всех вышеупомянутых неравенств обобщается в пункте «метод промежутков», который вводится на примерах; и завершает курс алгебра8 пункт «неравенства и системы неравенств с двумя переменными», идея решения которых вначале иллюстрируется на примере, и далее дается описание решения подобных задач в общем виде: чтобы изобразить наглядно решение какого-нибудь неравенства, нужно сначала заменить знак неравенства знаком равенства и начертить линию, имеющую полученное уравнение. Эта линия делит плоскость на части. В каждой части следует выбрать пробную точку и подставить ее координаты в неравенство. Если получится верное числовое неравенство, то вся часть, содержащая данную точку, принадлежит решению (граница части — лишь в случае нестрого неравенства). Объединяя все такие части, получим наглядное изображение решения неравенства.

В начале 10 класса также встречается метод интервалов в главе «рациональные выражения. Уравнения и неравенства с одной переменной» в пункте «решение неравенств». Здесь идет повторение уже изученного материала, сам метод интервалов описывается в общем виде и более детально обосновывается. Прилагается система упражнений особо не отличающаяся от заданий в других учебниках, поэтому не будем останавливаться на ней подробнее. Далее имеется пункт на решение неравенств, содержащих знак модуля (этот пункт также не отличается содержанием от других рассмотренных здесь учебников). Глава по тригонометрии содержит пункты «решение простейших тригонометрических неравенств» и «решение тригонометрических неравенств». В последнем указано, что: в более общем случае тригонометрические неравенства, как и алгебраические, решаются методом интервалов, который описан далее для общего случая и затем разобран на примерах. В курсе 11 класса рассматриваются показательные и логарифмические неравенства, решение которых основывается на известных свойствах (см. выше). Решение иррациональных неравенств осуществляется путем возведения в степень (при учете знаков правой и левой части неравенств). Также в данном учебнике присутствуют пункты «решение рациональных неравенств с параметрами» (содержание материала учебника в целом совпадает с изложенным во второй главе данной работы, поэтому не будем сейчас заострять на этом внимание); «решение иррациональных неравенств с параметрами», которое происходит по алгоритму решения иррациональных неравенств только с добавлением дополнительных условий. Также, в курсе за 11 класс в главе «Многочлены от нескольких переменных. Системы уравнений и неравенств» повторяется материал, пройденный в 8 классе.

метод интервал произвольный неравенство

2.1 Сущность решения неравенств

Уравнения, неравенства и системы уравнений и неравенств являются математическими моделями очень многих физических и иных явлений. Поэтому решение различных практических задач сводится к решению уравнений, неравенств и их систем.

Неравенства в различных учебниках определяются несколько по-разному. Однако более важно усвоить не те или иные определения, а основные признаки этих понятий:

1. Всякое неравенство есть задача.

2. Записью этой задачи является неравенство с переменной (переменными). Заметим, что раньше вместо «переменная» говорили «неизвестная».

3. Неравенство — это такая задача, в которой требуется найти значения этой переменной (или переменных).

4. Искомые значения переменной (переменных), которые нужно найти в задаче — неравенстве, должны быть такими, чтобы, будучи подставлены вместо переменной (переменных) в неравенство, они обращали его в истинное высказывание (верное неравенство).

Эти значения переменной (переменных), удовлетворяющие неравенству, называются решениями неравенства. Решить неравенство с переменной — значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Помните, что слово «решение» обозначает также и процесс отыскания решения. Так что каждый раз следует отдать себе отчет, о каком смысле слова «решение» идет речь. В чем же смысл решения (как процесса) неравенства? Рассмотрим пока неравенства с одной переменной. Всякое неравенство можно записать, как было указано, в виде неравенства с переменной. Следовательно, всякое неравенство имеет вид: (1), где знак ? обозначает один из следующих: >, <, или .Здесь и суть некоторые выражения (функции) от одной переменной х. Притом одно из них, т.е. или , может представлять собой некоторую постоянную функцию (число), в частности, нуль.Областью определения неравенства (1) называется общая область определения функций и .

Простейшим неравенством считается неравенство вида х?а (2) или двойное неравенство вида a?x?b (3) , где а и b — некоторые числа. Это неравенство считается простейшим потому, что оно есть и запись задачи (найти значения, удовлетворяющие этому неравенству), и запись ответа задачи, так как решением простейшего неравенства является числовой промежуток. Так, неравенству x>a соответствует промежуток (а; +); неравенству соответствует промежуток (-; a], а неравенству a<x<b соответствует промежуток (a; b) и т.д.

Сведение неравенства (1) к неравенствам простейшего вида производится с помощью правил равносильности неравенств. Напомним, что равносильными неравенствами считаются такие два неравенства, множества решений которых совпадают на множестве чисел, на котором рассматривается решение неравенств; в частности, неравенства равносильны, если оба не имеют решений. Это значит, что всякое решение первого неравенства удовлетворяет и второму неравенству и, обратно, всякое решение второго неравенства удовлетворяет и первому.

В математике установлены правила (теоремы), позволяющие преобразовывать данное неравенство в ему равносильное. Приведем все эти правила (без доказательств, так как это не является целью данной работы, а лишь средством), для сохранения научной обоснованности нижеследующих действий. Будем считать все эти теоремы известными фактами и их использование сформированными умениями и навыками.

Для преобразований неравенств используются такие правила:

· Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному;

· Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному;

· Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному;

· Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному;

На практике иногда еще бывают полезны теоремы, являющиеся обобщениями двух последних:

· Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной положительные значения, то получится неравенство, равносильное данному;

· Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной отрицательные значения, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному;

Теперь рассмотрим факты, полезные при решении отдельных видов неравенств.

2.1.1 Поэтапное формирование умения решать неравенства методом интервалов

В зависимости от учебника, по которому проходит изучение курса алгебры может варьироваться место рассматриваемой темы, способ введения данной темы, количество отведенных часов и пр. Поэтому мы остановимся на основных моментах, опираясь на которые можно будет разработать план изложения материала для каждого отдельного учебника, приняв во внимание тот факт, что сведения, изложенные в пункте 2.1.1. считаются уже известными. Т.е., например, умение решать линейные неравенства и их системы является уже сформированным к моменту изучения квадратных неравенств.

2.1.2 Квадратные неравенства

Решение квадратных неравенств — это традиционно обособленная часть исследования свойств квадратичной функции. Так, например, задача о решении неравенства может быть переформулирована как задача о нахождении промежутков, на которых функция принимает положительные значения, и легко решается с помощью эскиза графика. Поэтому этот способ решения квадратных неравенств представлен во многих учебниках как основной.

Вместе с тем, рассматривается и другой способ решения неравенства — разложением квадратного трёхчлена на множители и сведением неравенства к решению двух систем линейных неравенств. Этот способ фактически является строгим обоснованием графического способа. При решении системы линейных неравенств целесообразно пользоваться наглядным изображением решений каждого из неравенств системы на числовой оси.

Метод интервалов позволяет решать более сложные неравенства, когда левая часть неравенства — многочлен любой степени, представленный в виде простых множителей, или когда левая часть — дробь, у которой числитель и знаменатель — многочлены, и эти многочлены можно разложить на множители (правая часть неравенства равна нулю).

Метод интервалов основан на том, что графиком многочлена является некоторая непрерывная кривая, которая несколько раз пересекает ось Ох, и при этом, как правило, знак значения многочлена меняется на противоположный. Представление многочлена в виде простых множителей определяет и точки пересечения его с осью Ох, и интервалы знакопостоянства. Последовательный перебор знаков при переходе от одного интервала к другому позволяет установить промежутки, составляющие решение данного неравенства. Рассмотрим рациональные неравенства подробнее.

2.1.3 Рациональные неравенства

Основными рациональными неравенствами являются линейные, системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной. Всякое линейное неравенство, а также системы линейных неравенств легко сводятся к одному из простейших неравенств, а совокупности линейных неравенств — к одному или совокупности нескольких простейших. Здесь возможны следующие случаи.

Линейные неравенства с одной переменной всегда с помощью тождественных преобразований обеих частей неравенства сводятся к неравенству вида , а затем и к неравенству . Дальнейшее решение зависит не только от значений коэффициентов в левой и правой частях неравенства, но и от смысла знака *.

Например, неравенство или выполняется при любом значении х, и, следовательно, его решением является вся область , а неравенство или не выполняется ни при каком значении х, и, следовательно, это неравенство не имеет решений.

Системы линейных неравенств с одной переменной одного и того же смысла всегда можно заменить одним простейшим неравенством того же смысла. Например, система равносильна неравенству Заметим, что 5 есть наибольшее из чисел, стоящих в правых частях простейших неравенств данной системы.

Системы неравенств с одной переменной разного смысла или же приводятся к одному простейшему неравенству (двойному), или же противоречивы и не имеют решения. Например, система равносильна системе двух систем: . Последняя система равносильна такой системе: А эта система противоречива и не имеет решений.

Совокупности линейных неравенств, очевидно, всегда можно свести к совокупности простейших неравенств.

Что касается нелинейных рациональных неравенств с одной переменной, то они с помощью особых преобразований и приведенных ниже двух теоремах, сводятся к линейным неравенствам.

Теорема 1. Если в системе неравенств одно из них удовлетворяется при всех значениях переменной (такое неравенство иногда называют тождественно — истинным), то отбросив его, получим систему, равносильную исходной.

Следствие. Если в неравенстве множитель f(x) такой, что f(x)>0 при всех , то этот множитель можно отбросить, т.е. исходное неравенство равносильно неравенству .

Теорема 2. Неравенство или равносильно соответственно неравенству или .

Заметим, что если неравенство нестрогое, то эта теорема верна лишь при некоторых дополнительных условиях. Например, неравенство равносильно неравенству при условии, что

Решение нелинейных рациональных неравенств можно производить в такой последовательности:

1-й ш а г. Все члены неравенства переносим в одну сторону (например, в левую), с тем чтобы правая сторона неравенства была равна нулю.

2-й шаг. Если левая часть неравенства есть дробное выражение, то приводим его к виду дроби, которую на основе теоремы 2 заменяем произведением многочленов, стоящих в числителе и знаменателе дроби.

3-й ша г. Многочлены, если их степень больше первой, разлагаем на линейные множители или квадратные с отрицательным дискриминантом.

4-й шаг. Отбрасываем все множители, значение которых положительно при всех значениях переменной. Здесь можно использовать следующую теорему:

Теорема. Если дискриминант квадратного трехчлена ax2+bx+c отрицателен, а старший коэффициент а положителен, то при всех значениях х выполняется неравенство

ax2+bx+c>0.

Дальнейшее решение возможно несколькими способами. Можно заменить данное неравенство совокупностью систем линейных неравенств, рассуждая таким образом. Например, в левой части после выполнения шагов 1 — 4 получилось неравенство:

Очевидно, это будет тогда, когда или все сомножители положительны, или один положителен, а остальные два отрицательны. Это утверждение можно записать как совокупность соответствующих систем неравенств, решив которые, получим решение исходного неравенства, конечно, при учете дополнительных условий.

Однако такой способ очень громоздок. Более удобен так называемый способ промежутков, который еще называют методом интервалов. Состоит он в следующем. Найдем корни левой части неравенства, т.е. те значения переменной, при которых каждый из множителей левой части обращается в нуль. Далее следует изобразить их на числовой оси, при этом если неравенство строгое, то изобразить их в виде пустых кружочков. Если же неравенство нестрогое, то в виде заштрихованных кружочков. Также пустыми кружочками следует нанести точки, соответствующие дополнительным условиям. Точки, соответствующие корням левой части неравенства, разбивают всю прямую на области. Теперь необходимо рассмотреть знак левой части в каждой из этих областей. Сделаем это для общего случая.

Пусть левая часть представлена в виде:

где Q(x) действительных корней не имеет и либо положителен, либо отрицателен при всех .Положим, для определенности, что Q(x)>0. Тогда при x>c1 все сомножители в разложении * положительны и P(x)>0. Если с1 — корень четной кратности (k1 — нечетное), то при c2 < x < c1 все сомножители в разложении * , за исключением первого, положительны и P(x)<0. В этом случае говорят, что многочлен P(x) меняет свой знак при переходе через корень c1. Если же c1 — корень четной кратности (k1 — четное), то все сомножители ( в том числе и первый) при c2 < x < c1 положительны и, следовательно, P(x)>0. В этом случае говорят, что многочлен P(x) не меняет своего знака при переходе через корень c1.

Аналогичным образом, используя разложение (*), нетрудно убедиться, что при переходе через корень c2 многочлен P(x) меняет знак, если k2 нечетно, и не меняет знака, при четном k2.

Рассмотренное свойство многочленов используется для решения неравенств методом интервалов. Чтобы найти все решения неравенства P(x)>0, достаточно знать действительные корни многочлена P(x), их кратности и знак многочлена P(x) в произвольно выбранной точке x0, не совпадающей с корнем многочлена.

Итак, процесс решения рациональных неравенств методом интервалов разбивается на следующие шаги:

1) Нахождение корней числителя и знаменателя по — отдельности (особые точки неравенства). Подробно на этом пункте мы не останавливаемся. Будем считать это действие (как и последующие) уже сформированным навыком.

После этого следует разложить числитель и знаменатель на множители; отбросить строго положительные или неотрицательные множители так, чтобы множество решений не изменилось. В то же время, производить эти операции не обязательно, так как для выполнения последующих шагов достаточно знать лишь особые точки.

2) Нанесение особых точек неравенства на числовую ось.

Этими точками числовая ось разбивается на промежутки: интервалы и два луча (полубесконечные интервалы), на каждом из которых левая часть неравенства имеет определенный знак. Это следует из свойства непрерывной функции сохранять знак внутри каждого промежутка, на которые разбивается ее область определения корнями функции.

3) Определение знаков левой части неравенства на полученных промежутках (интервалах).

Для этой цели можно использовать следующие правила и свойства (одно или их комбинации):

— правило отдельной точки: внутри рассматриваемого промежутка берется какая-нибудь отдельная «удобная» точка и в этой точке определяется знак левой части неравенства, который сохраняется на всем промежутке (по свойству сохранения знака непрерывной функции);

— свойство кратности особой точки: если особая точка неравенства имеет нечетную кратность, т.е. является корнем нечетной кратности для числителя или для знаменателя или для числителя и знаменателя в совокупности, то при переходе через эту точку знак левой части неравенства меняется. Если особая точка имеет четную кратность, то при переходе через нее знак левой части неравенства не меняется;

— правило большого числа: в предположении, что неизвестная переменная есть большое положительное или большое по абсолютной величине отрицательное число, определяется знак левой части неравенства, который имеет место на первом справа или слева промежутке (луче).

4) Выяснение принадлежности особых точек множеству решений неравенства.

Если неравенство строгое (> или <), то все особые точки не принадлежат множеству решений неравенства и отмечаются на числовой оси маленьким кружочком («выколотой» точкой). Если неравенство нестрогое ( или ), то особые точки, являющиеся корнями только числителя, принадлежат множеству решений неравенства и отмечаются жирной точкой, а корни знаменателя множеству решений не принадлежат.

5) Выбор промежутков, на которых знаки соответствуют неравенству, и запись ответа.

Замечание 1. Если правая часть неравенства не равна нулю, то перенося ее влево и приводя дроби к общему знаменателю, надо сначала записать неравенство в стандартной форме (1).

Замечание 2. Не ставьте лишние (отличные от особых) точки на числовой оси. Это может привести к путанице при определении знаков.

Замечание3. При нанесении особых точек на числовую ось необязательно соблюдение масштаба. Важно только соблюдение порядка следования этих точек друг за другом.

2.1.4 Иррациональные неравенства

Под иррациональным неравенством понимается неравенство, в котором неизвестные величины стоят под знаком радикала. Решение таких неравенств обычно состоит в том, что с помощью некоторых преобразований их заменяют равносильными им рациональными уравнениями, неравенствами или системами уравнений и неравенств (зачастую смешанными системами, т.е. такими, в которые входят как уравнения, так и неравенства), и дальнейшее решение может идти по шагам, изложенным выше. Этими преобразованиями является, кроме замены переменных (введение новых переменных) и разложения на множители, еще и возвышение обеих частей неравенства в одну и ту же степень. Однако, при этом надо следить за равносильностью переходов от одного неравенства к другому. При бездумном возведении в степень корни неравенства могут одновременно и теряться, и приобретаться. Например, возведя в квадрат верное неравенство -1<2, мы получим верное неравенство 1<4; из верного неравенства -5<2 получается уже неверное неравенство 25<4;из неверного неравенства 1<-2 получим верное неравенство 1<4; наконец, из неверного неравенства 5<2 получим неверное неравенство 25<4. Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств!

Однако верно основное используемое здесь утверждение: если обе части неравенства неотрицательны, то оно равносильно неравенству, полученному из него почленным возведением в степень.

При решении неравенств таким способом нужно следить, чтобы не приобрести посторонних решений. Поэтому полезно там, где это возможно, находить область определения неравенства, а также область возможных значений решений.

2.1.5 Показательные и логарифмические неравенства

Решению показательных и логарифмических неравенств предшествует изучение свойств соответствующих функций; выполнение множества заданий на преобразования показательных и логарифмических выражений; решение уравнений, содержащих логарифмы и переменные в показателе степени. Решение простейших неравенств, которыми считаются

где означает одно из неравенств <,>,.

Все эти умения мы будем считать сформированными, и перейдем к рассмотрению более сложных неравенств для решения которых применим метод интервалов.

Дело в том, что обычно данная тема вводится как абсолютно новая, опирающаяся лишь на изученные ранее свойства этих функций. Целесообразно, на мой взгляд, связывать её и с решением неравенств в целом (т.е. с уже известным алгоритмом). Стоит заметить, что на прямую метод интервалов использовать нельзя. Но решение разнообразных показательных и логарифмических неравенств производится на основе следующих правил:

Если a>1, то ,

Если 0<a<1, то.

Если a>1, то

Если 0<a<1, то

Где знак означает противоположный по значению знаку .

Пользуясь которыми показательные и логарифмические неравенства обычно сводят к рациональным, которые уже можно решать описанным выше методом интервалов.

2.1.6 Неравенства, содержащие тригонометрические функции

Данная тема плохо освещена в учебной литературе, а в некоторых учебниках вообще вынесена за рамки изучаемого курса (о чем уже говорилось в I главе данной работы). Из тригонометрических неравенств рассматриваются, как правило, только простейшие типа

и проч.

Тогда как задания, представленные в практической части, относящейся к данному пункту, встречаются в сборниках конкурсных задач, в сборниках для абитуриентов и материалах для вступительных экзаменов на технические факультеты ВУЗов. Т.е. данный материал не входит в обязательный для изучения в основной и старшей школе, но является полезным.

Метод интервалов особенно эффективен при решении неравенств, содержащих тригонометрические функции. При решении этим методом чисто тригонометрических неравенств вместо числовой оси удобно использовать числовую окружность, которая корнями соответствующих тригонометрических уравнений (числителя и знаменателя) разбивается на дуги, играющие ту же роль, что и интервалы на числовой оси. На этих дугах тригонометрическое выражение, соответствующее решаемому неравенству, имеет постоянные знаки, для определения которых можно использовать правило отдельной «удобной» точки и свойство кратности корней. Часто для определения самих дуг вовсе не надо находить все (бесконечное) множество корней соответствующих уравнений; достаточно из этих уравнений найти значения основных тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса, котангенса) и на числовой окружности отметить точки, соответствующие этим значениям.

Использовать числовую окружность непосредственно для решения исходного тригонометрического неравенства метод интервалов можно, если все функции, через которые записано неравенство, имеют основной (наименьший положительный) период или , где m — некоторое целое положительное число. Если основной период этих функций больше или , то следует сначала произвести замену переменных, а затем использовать числовую окружность.

Если неравенство содержит как тригонометрические, так и другие функции, то для решения его методом интервалов следует использовать числовую ось.

2.2 Система заданий

Практически любое неравенство можно решать методом интервалов, хотя это не всегда выгодно. Например, при решении линейного неравенства < 0 методом интервалов надо выполнять больше операций, чем при решении традиционным способом: 2x < 3 x<3/2. В то же время, немало однотипных неравенств (иррациональных, с модулями, логарифмических, показательных), которые выгодно и удобно решать методом интервалов. К их мы рассмотрению мы и переходим.

2.2.1 Решение квадратных неравенств

На начальных уроках в устную работу можно включить задания следующего содержания:

1. какой знак при х = — 2 имеет выражение:

1) x + 4; x + 1; (x + 4)(x + 1);

2) x — 7; x + 2; (x — 7)(x + 2)?

3. Какой знак имеет выражение x — 3; x — 8; (x — 3)(x — 8) при 3 < x < 8?

4. При каком значении х значение функции y = x — 5; y = x + 6; y = 4x — 2 меняет свой знак с «+» на «-»?

5. При каких значениях двучленов x + 1 и x + 5 имеют одинаковые знаки?

После разбора подобных заданий можно переходить к решению неравенств типа

(x + 2)(x +5)>0; 2x2 — x <0; x2 — 2x -12 <0; x3 — 16x>0; и т.п.

Сколько неравенств каждого типа понадобиться решить зависит от конкретного случая. Следует обсудить можно учащимися вопрос о том, в каких точках будет менять знак выражение, представляющее собой произведение трех линейных множителей (например, x(x — 3)(x + 2)) и более.

Приведем пример решения квадратного неравенства методом интервалов:

Пример 1. Решить неравенство методом интервалов

Решение. Найдем корни уравнения

Поэтому

Точки (см. рис.) разбивают числовую ось на три промежутка:

Эти промежутки называются интервалами. Двигаясь вдоль числовой оси справа налево, видим, что на интервале трехчлен принимает положительные значения, так как в этом случае оба множителя х — 1 и х — 3 положительны.

На следующем интервале этот трехчлен принимает отрицательные значения и, таким образом, при переходе через точку х = 3 меняет знак. Это происходит потому, что в произведении при переходе через точку х = 3 первый множитель х — 1 не меняет знак, а второй х — 3 меняет знак.

При переходе через точку х = 1 трехчлен снова меняет знак, так как в произведении первый множитель х — 1 меняет знак, а второй х — 3 не меняет.

Итак, при движении по числовой оси справа налево от одного интервала к соседнему знаки произведения чередуются.

Таким образом, задачу о знаке квадратного трехчлена можно решить следующим образом:

1. Отмечаем на числовой оси корни соответствующего уравнения. Они разбивают числовую ось на интервалы;

2. Замечаем какое значение исходный трехчлен принимает на крайнем левом промежутке и расставляем его знаки на остальных интервалах в порядке чередования;

3. Выбираем промежутки, соответствующие исходному неравенству;

4. Записываем ответ.

Пользуясь данным алгоритмом решаются квадратные неравенства методом интервалов. Знание его, а также умение применять на практике является необходимым условием для дальнейшего изучения интересуемой нас темы. К тому же, примеры на решение квадратного неравенства входят в задания контрольных работ по теме «квадратные неравенства», о чем уже было сказано в I главе настоящей работы. Перейдем теперь к рассмотрению более сложных рациональных неравенств, степеней выше второй.

2.2.2 Решение рациональных неравенств

Пример 2. решить неравенство:

Решение: Находя корни x1 = — 2, x2 = 3 уравнения x2 — x — 6 = 0 и разложив левую часть неравенства на множители, имеем:

Отбросив неотрицательные множители (x+2)2 , x2 и сократив числитель и знаменатель на множитель (x — 1), получим:

При этом надо учесть, что x = — 2 является решением, а x = 0, x = 1 не являются решениями исходного неравенства, т.е. оно эквивалентно совокупности

Решим последнее неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой (Рис.1) корни числителя x = 2, x = 3 (жирно, так как неравенство нестрогое) и корень знаменателя x = -1 (маленьким кружочком).

  • Рис. 1
  • По правилу большого числа, считая x большим положительным числом (например, x = 100), найдем знак левой части неравенства: . Следовательно, на всем промежутке (3,+) левая часть неравенства имеет знак плюс. Так как все отмеченные точки для последнего неравенства являются критическими точками кратности 1, то при переходе через них левая часть неравенства меняет знак. Распределение и кривая этих знаков изображены на рис.1.
  • Выберем промежутки, соответствующие знаку плюс, и заштрихуем их. После этого отметим жирно точку x = — 2 — решение исходного неравенства и выколотыми точки x = 0, x = 1 (рис.2).

Рис. 2

Ответ:

x {-2} (- 1; 0) (0; 1) (1; 2] [3; + ).

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Разложив квадратичные функции на линейные множители, получим

Не отбрасывая ни один множитель, отметим на числовой оси все особые точки неравенства: корни числителя x = — 2, x = — , x = , и корни знаменателя , x = — 2, x = — 1, x = 1 (двукратный). Точки x = — и x = отмечаются жирно, так как они являются корнями только числителя, а все остальные точки — «выколотыми» (рис. 3).

Рис. 3

На промежутке (, +) все множители числителя и знаменателя дроби положительны, поэтому она на этом промежутке имеет знак плюс. Особые точки x = — 2, x = 1 имеют кратность 2 (на рисунке, чтобы не забыть, они подчеркнуты двумя черточками), а остальные точки имеют кратность 1, поэтому знак дроби при переходе через точки x = — 2, x = 1 не меняется, а при переходе через остальные точки меняется. Кривая знаков и промежутки, соответствующие рассматриваемому неравенству (), изображены на рисунке 3.

Ответ:

x (-; — 2) (- 2; — ] (- 1; 1) (1; ].

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Перенося левую часть неравенства в правую и находя общий знаменатель, получим

Разделив обе части неравенства на -3 (при этом изменится знак неравенства), получим

Особыми точками неравенства являются: x = 2 — двукратный корень числителя и x = — 1, x = 1/3 — корни знаменателя. Отметим их на числовой оси и определим знаки дроби (рис. 4).

Рис. 4

Ответ:

x(- 1; 1/3) {2} .

2.2.3 Решение неравенств, содержащих модуль

Одним из видов рациональных неравенств являются неравенства с модулем. Рассмотрим применение к ним метода интервалов на практике.

Пример 5. Решить неравенство

Решение. Для сравнения приведем решение двумя методами.

1. Метод интервалов. ОДЗ есть вся числовая ось, что можно и не указывать. Корни уравнения

Рис. 5

Приведем неравенство к стандартному виду

При x = 0 левая часть последнего неравенства равна -10, поэтому она в интервале

(-) имеет знак минус, а в остальных интервалах ее знаки чередуются, так как все корни имеют кратность 1. Решение неравенства изображено на рис.5.

2. Метод раскрытия модулей. Поскольку корнями многочленов и являются числа -1; 2 и -4; 3 соответственно, то числовая ось точками x = -4, x = -1, x = 2, x = 3 разбивается на пять промежутков, на каждом из которых указанные многочлены имеют определенные знаки. В соответствии со сказанным неравенство (9) равносильно совокупности следующих пяти систем:

Объединяя решения всех пяти систем, получим множество решений исходного неравенства, изображенное на рис.5.

Ответ:

Пример 6. Решить неравенство

Решение. ОДЗ: x .

Корни уравнения

Знаки левой части неравенства изображены на рис.6.

Рис. 6

Ответ:

Пример 7. Решить неравенство

Решение. ОДЗ: x .

Корни уравнения

Заметим, что x = 1 является особой точкой кратности 2 (на рис.7 она подчеркнута двумя черточками).

Рис. 7

По правилу большого числа левая часть неравенства на промежутках (-; -1) и (1; +) имеет знак плюс. При переходе через точку x = 1 ее знак не меняется, а при переходе через точки x = 0, x = — 1 — меняется.

Ответ:

2.2.4 Решение иррациональных неравенств

Приступая к решению иррациональных неравенств следует обратить внимание учащихся на то, что полезно находить область определения неравенства, а также область допустимых значений. Важность этой процедуры можно иллюстрировать примером:

Пример 8. Решить неравенство

Решение. Приступая к решению, обращаем внимание на то, что левая часть неравенства есть разность двух корней, при этом при любых значениях х , а поэтому и , следовательно, эта разность всегда отрицательна и не может быть больше неотрицательного значения корня. Значит, это неравенство не имеет решения.

Пример 9. Решить неравенство

Решение. ОДЗ:

Уравнение имеет единственный корень x = 3. Отметим его на числовой оси и найдем знаки левой части приведенного неравенства

на промежутках, на которые разбивается ОДЗ точкой x = 3. При большом x (например, x = 100) имеем знак минус, при x = 0 — знак плюс.

Ответ:

Пример 10. Решить неравенство

Решение. Для сравнения приведем решение двумя методами.

1. Метод интервалов. Найдем ОДЗ:

Найдем корни числителя.

= 1 — 2x (3)

1 — x = 1 — 4x + 4x2 4x2 — 3x = 0 x1 = 0, x2 = 3/4.

Подставив найденные значения x в уравнение (3), определяем, что x = 0 является, а x = 3/4 не является корнем уравнения.

На числовой оси дугообразной кривой выделим ОДЗ (рис. 8) и в пределах ОДЗ отметим корень числителя x = 0 (жирно, так как неравенство нестрогое) и корень знаменателя x = — 1 (маленьким кружочком). Точку x = 1, являющуюся концом ОДЗ, сначала, до выяснения ее принадлежности множеству решений неравенства отметим короткой вертикальной черточкой.

Рис. 8

Найдем знаки дроби (2) на полученных промежутках. По правилу большого числа, считая x большим по величине отрицательным числом (например, x= — 100), найдем ее знак на самом левом промежутке: Так как точки x = — 1, x = 0 являются корнями кратности 1, то при переходе через них знак дроби меняется (рис.5).

Проверим принадлежность точки x = 1 множеству решений неравенства. Подставив значение x = 1 в неравенство, получим — верное числовое равенство. Значит, x = 1 — решение неравенства и теперь точку x = 1 отметим жирно.

2. Метод сведения к совокупности систем
Неравенство равносильно совокупности
Ответ:

Очевидно, что последнее решение более громоздко и нерационально: в таком обилии совокупностей и систем можно запутаться, к тому же, при решении приходится одно и то же неравенство дублировать для нескольких систем, что приводит к излишнему нагромождению.

Заметим еще, что знаки левой части неравенства (2) можно было бы найти по правилу отдельной точки:

При x = — 2 имеем — положительное число; при x = — 0,5 имеем — отрицательное число; при x = 0,5 имеем — положительное число.

Таким образом, на промежутках (-; — 1) и (0; 1) имеем знак плюс, а на промежутке (- 1; 0) — знак минус (рис. 8).

Пример 11. Решить неравенство

Решение: ОДЗ:

Найдем корни уравнения
Сделав проверку, определяем, что x = — 1 не является, а x = 2 является корнем уравнения (4).

На числовой оси выделим ОДЗ и отметим точку x = 2. Концы ОДЗ: x = — 2, x = 3 отметим пока короткой вертикальной черточкой (рис. 9).

Рис. 9
Приведем неравенство к стандартному виду

При x = 0 имеем — отрицательное число; при x = 2,5 имеем — положительное число. Значит, в интервале (- 2; 2) имеем знак минус, а в интервале (2; 3) — знак плюс.

Подставив в исходное неравенство значения x = — 2 и x = 3, определяем, что оно при x = — 2 не выполняется, а при x = 3 выполняется, после чего точку x = 3 отметим жирно, а точку x = — 2 — кружком.

Ответ:

Обращаем внимание на то, что x = 3 является решением неравенства, хотя само неравенство строгое. Объяснение этому дает график левой части неравенства (5), изображенный схематично на рис. 10.

Рис. 10

Пример 12. Решить неравенство
Решение. ОДЗ:

Возводя обе части уравнения

в квадрат до тех пор, пока не освободимся от радикалов, получим:

Сделав проверку, определяем, что x = — 7/ 2 не является, а x = 3/ 2 является корнем уравнения (6).

Отметим точку x = 3/ 2 на числовой оси в пределах ОДЗ и найдем знаки левой части приведенного неравенства:

на полученных промежутках (рис.11).

Рис. 11

При x = 100 имеем — отрицательное число, поэтому на промежутке (3/ 2; + ) имеем знак минус, а в интервале (1; 3/ 2) — знак плюс.

При x = 1 исходное неравенство не выполняется.

Ответ:

Пример 13. Решить неравенство

Решение. ОДЗ определяется неравенствами которые должны выполняться одновременно. Отсюда

Найдем корни уравнения

Будем возводить обе части уравнения в квадрат до тех пор, пока не освободимся от радикалов.

Сделав проверку, убеждаемся, что x = 2 — корень уравнения (7). Если для последнего уравнения (x — 2) 2 = 0 он является корнем кратности 2, то такое утверждение по отношению к исходному уравнению (7) будет, вообще говоря, неверным, так как при возведении в четные степени кратность корня может измениться.

На числовой оси выделим ОДЗ и отметим точку x = 2 (рис.12).
Рис.12
Приведем неравенство к стандартному виду

и определим знаки левой его части на полученных промежутках. По правилу большого числа на промежутке ( 2; + ) получим знак минус. Например, при x = 100 имеем:

Так как кратность корня x = 2 в данном случае неизвестна, то для определения знака будем использовать правило отдельной точки. При x = 1,9 имеем: . Следовательно, на интервале (9/ 5; 2) имеем знак плюс.

Подставив x = 9/ 5 в исходное неравенство, убеждаемся, что оно выполняется. Значит, x = 9/ 5 — решение с решениями, полученными методом интервалов.

Ответ:

В качестве дополнительного упражнения может решить примеры 6, 7 другими методами и сравнить эти решения с решениями, полученными методом интервалов.

Пример 14. Решить неравенство

Решение. ОДЗ: и знаменатель .

Корни знаменателя: x2 +2 x — 3=0 x1 = — 3, x2 = 1.

Корни знаменателя:

На числовой оси выделим луч x — 3 (Рис. 13), отметим вертикальной черточкой точку x = — 3 и маленьким кружочком точку x = 1 — особую точку кратности 2, так как она является как корнем числителя, так и знаменателя.

Рис. 13

По правилу большого числа на промежутке ( 1; + ) дробь имеет знак При переходе через особую точку x = 1 кратности 2 этот знак не меняется.

Подставив x = — 3 в неравенство, получим Значит, x = — 3 — решение неравенства, поэтому теперь точку x = — 3 отметим жирно.

Ответ: x = — 3.

Пример 15. Решить неравенство

Решение. Перенося правую часть влево, получим

  • (8)
  • ОДЗ:
  • Корни числителя:
  • На числовой оси выделим лучи (рис.14) и отметим точки x = -1, x = 4 (сначала черточками), x = -2 (кружочком), x = — 8/ 7 (жирно).
  • Рис.14
  • При x = 5 имеем — отрицательное число. Так как на промежутке (4; +) нет критических точек, то на всем промежутке дробь (8) имеет знак минус. Считая x большим по величине отрицательным числом, найдем знак на промежутке (-; -2). Далее знаки чередуются. Заметим, что интервал (-1; 4) в ОДЗ не входит, поэтому здесь знак дроби не определяется.
  • Подставив в исходное неравенство значения x = -1 и x = 4, в обеих случаях получим Значит, эти значения x входят в множество решений неравенства.
  • Ответ:

2.2.5 Решение показательных и логарифмических неравенств

Пример 16. Решить неравенство

Решение. Перенося правую часть влево и находя общий знаменатель, получим

(10)

Для сравнения решим полученное неравенство двумя методами.

1. Метод интервалов. Найдем особые точки:

Отметив их на числовой оси, найдем знаки дроби. По правилу большого числа на промежутке (1; + ) имеем знак плюс, а на остальных промежутках знаки чередуются (рис.15).

Рис. 15

2. Метод замены переменной.. Обозначив , получим неравенство

(11)

решение которого все равно найдем методом интервалов (рис.16): или

Рис.16

Таким образом, неравенство (10) равносильно совокупности

Сравнивая приведенные методы решения, замечаем, что при применении метода интервалов непосредственно к неравенству (10) из процесса решения исключаются промежуточные этапы сведения этого неравенства к рациональному неравенству (11) и обратного перехода от переменной у к переменной х.

Ответ:

Пример 17. Решить неравенство

Решение. Обозначив 3х=у, найдем корни уравнения

На числовой оси отметим точку x = 1 (рис.17) и найдем знаки левой части неравенства (17).

Рис. 17

Ответ:

Пример 18. Решить неравенство

Решение. Для сравнения приведем два метода решения.

1. Метод интервалов. ОДЗ:

Найдем корни уравнения

Оба значения х1 и х2 входят в ОДЗ.

На числовой оси выделим ОДЗ и отметим точки х1 и х2 (рис.18). Эти точки, как корни уравнения, отмечаются жирно, а концы ОДЗ — маленькими кружочками, так как они не входят в ОДЗ.

Рис.18

Найдем знаки приведенного неравенства

на полученных промежутках. При x = 3 имеем log 45 -1 — положительное число. Значит, на самом правом интервале имеем знак плюс. Далее, при переходе через особые точки, в том числе и точку x = 0, знак меняется (рис.18). Это объясняется формулой

согласно которой точки, где основание (в нашем случае ), обладают теми же свойствами, что и корни знаменателя дроби.

2. Метод сведения к совокупности систем. Неравенство равносильно совокупности следующих двух систем:

откуда

откуда

Объединение найденных решений изображено на рис.18.

Ответ:

Пример 19. Решить неравенство

Решение. ОДЗ:

Корнями уравнения

являются

x1 = ОДЗ,

эти корни, распределение знаков левой части приведенного неравенства

и решение неравенства изображены на рис.19.

Рис. 19

Ответ:

Пример 20. Решить неравенство

Решение.

ОДЗ:

Уравнение имеет единственный корень x = 1.

ОДЗ, этот корень, распределение знаков левой части приведенного неравенства

и решение неравенства изображены на рис.20.

Рис. 20

Ответ:

2.2.6 Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции

Пример 21. Решить неравенство

Решение. Рассмотрим уравнение

На числовой окружности отметим точки, соответствующие найденным значениям косинус-функции (рис.21). Для этого вовсе не надо выписывать все множество решений уравнений и Достаточно на оси косинусов (оси абсцисс) отметить точки 0, -1/2 и, поставив перпендикуляр, найти нужные точки на окружности.

Рис.21

При x = 0 имеем 1+1+1 — положительное число. Следовательно, на правой полуокружности левая часть неравенства имеет положительный знак, а на остальных дугах знаки чередуются, так как все корни имеют кратность 1.

Ответ:

Пример 22. Решить неравенство

( 16 )

Решение. Из уравнения находим

Найденным значениям синуса на числовой окружности соответствуют три точки, разбивающие окружность на три дуги (рис.22).

Рис. 22

При x = 0 и левая часть неравенства равна 1, а при x = — она равна -2. Значит, на дуге она имеет знак минус, а на оставшихся двух дугах — знак плюс.

Ответ:

Следует обратить внимание на то, что при переходе через точку x = , т.е. при sin x = 1 знак левой части неравенства (16) не меняется, хотя эта точка для уравнения является корнем кратности 1. Подобная ситуация имеет место и в случаях, когда sin x = 1 или Это обусловлено тем, что всегда , поэтому точки, в которых или , играют роль особых точек кратности 2: при переходе через такие точки знак соответствующей тригонометрической функции не меняется.

Пример 23. Решить неравенство

Решение. ОДЗ:

На числовой окружности отметим маленькими кружочками точки

и жирно точки, в которых или

Рис. 23

При левая часть неравенства равна т.е. на дуге она имеет знак минус, а на остальных дугах знаки чередуются (рис. 23).

Ответ:

Пример 24. Решить неравенство

Решение. Найдем значения основных тригонометрических функций, при которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.

На числовой окружности отметим точки, в которых и на полученных дугах найдем знаки левой части неравенства. При этом будем учитывать, что точки, в которых sin x = 0, являются корнями числителя кратности 2, поэтому они принадлежат множеству решений неравенства и, кроме того, знак левой части неравенства при переходе через эти точки не меняется (убедиться в этом можно, определив знаки по правилу отдельной точки, взяв, например, точки x = -, x = и т.д.).

Рис. 24

Учитывая, что изображенное на рис. 24 множество решений неравенства является периодическим с основным периодом , получаем

Ответ:

Пример 25. Решить неравенство

Решение. Найдем корни числителя

и корни знаменателя

которые являются также корнями числителя, т.е. особыми точками кратности 2. С учетом этого, предварительно определив знак левой части неравенства при , расставим знаки на дугах числовой окружности, на которые она разбивается корнями числителя и знаменателя.

Рис. 25

Из рис. 25 видно, что множество решений неравенства является периодическим с основным периодом .

Ответ:

Пример 26. Решить неравенство

Решение. Левая часть неравенства является периодической функцией с основным периодом 4, поэтому для решения неравенства использовать числовую окружность непосредственно невозможно.

Сделаем замену Тогда получим неравенство (17)

левая часть которого является периодической функцией уже с основным периодом 2. Решим ее методом интервалов, используя окружность изменения переменной t.

Найдем корни числителя и знаменателя.

Рис. 26

Найденные корни отметим на числовой окружности и найдем знаки левой части неравенства (17) на полученных дугах. Так как при t = 0 левая часть этого неравенства равна 1, то на дуге она имеет знак плюс, а на остальных дугах ее знаки чередуются (рис. 26).

Записав решение неравенства (17) и заменив t на x/2, получим

Ответ:

Пример 27. Решить неравенство

Решение. ОДЗ: Часть числовой окружности, соответствующую ОДЗ, изобразим сплошной дугой (рис. 27), а остальную часть — пунктирной (для этого саму окружность сначала надо изобразить пунктирно). Концы ОДЗ сначала отметим короткими черточками.

Найдем корни уравнения

В пределах ОДЗ отметим точку, в которой одновременно и на полученных двух дугах найдем знаки левой части неравенства

Рис. 27

При имеем положительное число. Следовательно, на большой дуге имеем знак плюс, а на маленькой — знак минус. Подставив значения и в неравенство, убеждаемся, что при оно выполняется, а при не выполняется, после чего точку на числовой окружности отметим жирно, а точку — маленьким кружочком.

Ответ:

3.1 Обобщенный метод интервалов

Описанный выше метод интервалов с небольшими изменениями и дополнениями может быть использован для решения не только рациональных, но и произвольных неравенств видов

где f(x) , g(x) — непрерывные функции, а символ есть одно из неравенств:, <, , >. Применительно к таким неравенствам этот метод, называемый еще обобщенным методом интервалов, включает в себя следующие операции.

0. Нахождение области определения левой части неравенства (кратко ОДЗ), кроме, быть может, без учета корней знаменателя.

1. Нахождение корней числителя, и, быть может, знаменателя.

2. Нанесение найденных корней на числовую ось, причем только в пределах ОДЗ.

3. Определение знаков левой части неравенства на полученных промежутках.

4. Выяснение принадлежности концов полученных промежутков (особых точек) множеству решений неравенства.

5. Выбор промежутков, соответствующих знаку неравенства, и запись ответа.

Рассмотрим данную схему обобщенного метода интервалов более подробно и сравним ее с описанной выше схемой метода интервалов.

Прежде всего, решение неравенства данным методом начинается с нахождения ОДЗ, что, как правило, не делается при решении рациональных неравенств, так как их область определения совпадает со всей числовой осью, кроме корней знаменателя, которые как раз и не учитываются. Чтобы не нарушить соответствие пунктов обсуждаемого и описанного ранее методов, первая операция обобщенного метода интервалов пронумерована цифрой ноль. Иногда из соображений удобства (а именно, ради краткости) при нахождении ОДЗ можно корни знаменателя не учитывать. Тогда они должны находиться в последующем.

В случае, когда область определения неравенства совпадает с числовой осью, за исключением конечного числа точек, являющихся корнями знаменателя, ОДЗ можно и не указывать. Так поступают, например, при решении рациональных неравенств.

При решении нерациональных неравенств после нахождения корней числителя и знаменателя разлагать левую часть неравенства на множители, вообще говоря, нельзя. Например, функцию нельзя заменить множителем x — 1, хотя значение x = 1 является корнем уравнения = 0.

Если при решении рациональных неравенств на числовую ось наносятся все корни числителя и знаменателя, то при решении нерациональных неравенств эти корни наносятся только в пределах ОДЗ, которую удобно выделить с помощью дугообразной кривой. Иногда может случиться, что все корни числителя и знаменателя лежат вне ОДЗ (тогда множество решений неравенства либо совпадет с ОДЗ, либо пусто) или в ОДЗ лежат лишь некоторые корни. Только эти корни и концы ОДЗ будут особыми точками неравенства.

Пункты 3-5 обобщенного метода интервалов полностью повторяют соответствующие пункты описанного раньше метода интервалов.

Для определения знаков произвольной непрерывной функции так же можно использовать все правила и свойства, используемые для определения знаков рациональной функции. Из этих правил наиболее надежным является правило отдельной точки. В случае каких — либо сомнений в отношении определяемого знака левой части неравенства, особенно, на начальной стадии освоения метода рекомендуется использовать это правило. При решении многих неравенств показ знаков левой части неравенства с помощью волнообразной кривой, зачастую загромождающей рисунок, неудобно и нецелесообразно.

Особое внимание следует уделить концам промежутков ОДЗ, которые не являются корнями ни числителя, ни знаменателя. Такие точки могут как принадлежать, так и не принадлежать множеству решений неравенства, что надо выяснить дополнительно, подставив их значения в неравенство. До такого исследования эти точки можно отмечать короткой вертикальной черточкой. Например, для функции lg (x — 1) точка x = 1 не принадлежит ее области определения (1; +), поэтому при решении неравенств, содержащих эту функцию, точка x = 1 обязательно не принадлежит множеству решений неравенства и сразу же отмечается маленьким кружочком. В то же время, для функции точка x = 1 принадлежит ее области определения [1; +), поэтому при решении неравенств, содержащих эту функцию, принадлежность точки x = 1 множеству решений неравенства надо проверять дополнительно, подставив значение x = 1 в неравенство.

3.2 Неравенства с двумя неизвестными

Метод интервалов без существенных изменений переносится с числовой оси на координатную плоскость, а также на пространства трех и более измерений. При этом роль особых точек на координатной плоскости играют «особые» линии, а роль промежутков — области. Эти линии делят область определения функции двух переменных на «более мелкие» области, в каждой из которых непрерывная функция сохраняет знак. Для нахождения этого знака достаточно взять в рассматриваемой области какую-нибудь отдельную «удобную» точку и найти знак функции в выбранной точке, который сохраняется во всей области. При переходе через критические линии знак функции, как правило, меняется. Случаи, когда знак меняется, аналогичны случаям критических точек четной кратности.

Схема исследования неравенств с двумя неизвестными методом областей аналогична схеме решения неравенств с одной неизвестной методом интервалов.

3.3 Система заданий на обобщенный метод интервалов

3.3.1Решение неравенств смешанного типа

Преимущества метода интервалов особенно ярко проявляются при решении неравенств, содержащих разные функции.

Пример 28. Решить неравенство

(13)

Решение. Для сравнения приведем решение двумя методами.

1. Метод интервалов. Найдем ОДЗ:

Найдем по — отдельности корни числителя и знаменателя.

На числовой оси дугообразной кривой выделим ОДЗ и в пределах ОДЗ отметим корень числителя x = — 2 и корень знаменателя x = 1 (маленькими кружочками, так как неравенство строгое). Точку x = — 3, являющуюся концом ОДЗ, сначала, до выяснения ее принадлежности множеству решений исходного неравенства отметим короткой вертикальной черточкой. Корень знаменателя x = — 11/3 не входит в ОДЗ, поэтому он вовсе не отмечается.

Рис. 28

Найдем знаки левой части неравенства (дроби) на полученных промежутках. По правилу большого числа, считая x большим положительным числом (например, x = 100), найдем знак дроби на самом правом промежутке: Так как точки x = 1, x = 2 являются корнями кратности 1, то при переходе через них знак дроби меняется (рис.28).

Проверим принадлежность точки x = — 3 множеству решений неравенства, для чего, подставив значение x = — 3 в исходное неравенство, получим 1>0 — верное числовое неравенство. Следовательно, точка x = — 3 принадлежит множеству решений неравенства, поэтому теперь отметим ее жирно.

2. Метод сведения к двум системам. Неравенство равносильно совокупности

Решим каждую систему в отдельности.

Нанося полученные решения на числовую ось (рис.29), найдем решение первой системы:

Рис. 29

Решением второй системы будет (рис.30):

Рис. 30

Объединяя найденные решения двух систем, получим

Ответ:

Сравнение приведенных методов решения неравенства (13) предоставляем читателю.

При использовании метода интервалов в правильности найденных знаков левой части неравенства (13) можно лишний раз убедиться, определив их еще по правилу отдельной точки:

При x = -2,5 имеем — положительное число;

При x = 0 имеем — отрицательное число;

При x = 2 имеем — положительное число.

Таким образом, на промежутках (-3; -2) и (1; +) имеем знак плюс, а на промежутке (-2; 1) — знак минус, что соответствует рис.30.

Пример 29. Решить неравенство

(14)

Решение. ОДЗ:

Возводя обе части в квадрат, решим уравнение

Сделав проверку, определяем, что x1 не является, а x2 является корнем уравнения.

На числовой оси выделим ОДЗ (рис.31), отметим корень x = 3 и на полученных промежутках найдем знаки левой части неравенства

Рис. 31

При x = 4 имеем — положительное число;

При x = 2,5 имеем — отрицательное число;

При x = -3 имеем — отрицательное число;

При исходное неравенство не выполняется.

Ответ:

Пример 30. Решить неравенство

Решение ОДЗ:

Раскрывая модуль со знаками плюс, минус и возводя обе части полученных уравнений в квадрат (при таких действиях могут появиться лишь «посторонние» корни), найдем корни числителя:

(15)

откуда x1 = -2, x2 = 0. Сделав проверку, убеждаемся, что оба значения x1 и x2 являются корнями уравнения (15), причем x = 0 является также корнем знаменателя, т.е. особой точкой кратности 2.

На числовой оси отметим ОДЗ, особые точки (рис.32) и найдем знаки левой части неравенства.

Рис. 32

При x = 1 дробь имеет знак При переходе через особую точку x = 0 кратности 2 знак дроби не измениться, а при переходе через точку x = -1 — изменится. Оба конца ОДЗ x = -2 и x = 2 принадлежат множеству решений неравенства, что проверяется непосредственной подстановкой их в неравенство.

Ответ:

Пример 31. Решить неравенство

Решение ОДЗ:

Корни множителей:

Рис. 33

При большом по величине отрицательном x имеем знак Далее знаки чередуются (рис.33).

Ответ:

Пример 32. Решить неравенство

Решение. ОДЗ: и знаменатель

Корни числителя:

Корни знаменателя:

Таким образом,

Рис.34

Ответ: .

На основании рис.34 легко решить также неравенства

которые имеют одно и тоже множество решений

Пример 33. Решить неравенство

Решение.

ОДЗ:

Корни множителей:

Для первого множителя, обозначив имеем:

Рис. 35

При большом x левая часть неравенства имеет знак Далее знаки чередуются (рис.35). Кроме того, значение x = — 1/2, как корень одного из множителей, является решением неравенства.

Ответ:

Пример 34. Решить неравенство

Решение. ОДЗ: и знаменатель Обозначив , найдем корни числителя:

Корни знаменателя:

Таким образом, x = 2 является особой точкой кратности 2, поэтому левая часть неравенства, которая при большом х имеет знак плюс, на всех промежутках также имеет знак плюс (рис.36). Следовательно, единственным решением неравенства будет значение х = -2, являющееся корнем только числителя и входящее в ОДЗ.

Рис. 36

Ответ:

Пример 35. Решить неравенство

Решение. ОДЗ (без учета корней знаменателя):

Для нахождения корней числителя, приведя первый логарифм к основанию 3, получим

Корни знаменателя:

Найденные корни отметим на числовой оси в пределах ОДЗ (рис.37) и найдем знаки левой части неравенства. При больших по величине , как положительных, так и отрицательных х левая часть неравенства имеет знак минус. В этом лишний раз можно убедиться, взяв, например x = 4 и x = — 4. Далее знаки чередуются.

Рис. 37

Ответ:

Пример 36. Решить неравенство

Решение ОДЗ:

Замечаем, что x = 0 — корень уравнения Так как функция — возрастающая, а — убывающая, то первый множитель числителя других корней не имеет. Решить уравнение

Таким образом, x = 0 — корень числителя кратности 2. С учетом этого левая часть неравенства, которая при больших по величине отрицательных x имеет знак на остальных промежутках имеет знаки, указанные на рис. 38.

Рис.38

Ответ:

Пример 37. Решить неравенство

Решение ОДЗ:

Найдем корни уравнения

НА числовой оси выделим ОДЗ, в ее пределах отметим найденные корни и на полученных интервалах найдем знаки левой части неравенства (рис. 39), взяв в качестве контрольной точки x = 0, в которой имеем знак минус. Значения x = -1 и x = 6, как корни уравнения , являются также решениями неравенства.

Рис. 39

Ответ:

Пример 38. Решить неравенство

Решение ОДЗ (без учета корней знаменателя):

Корни числителя:

Корни знаменателя:

Отметив найденные корни на числовой оси в пределах ОДЗ, найдем знаки левой части неравенства на полученных интервалах. При x = 0 имеем lg 16 — 1 — положительное число. Значит, на интервале имеем знак плюс, а на остальных интервалах — чередующиеся знаки (рис. 40).

Рис. 40

Ответ:

Пример 39. Решить неравенство

Решение. ОДЗ:

Решим уравнение

Отметив найденные корни на числовой оси в пределах ОДЗ и учитывая, что при левая часть неравенстваимеет знак плюс, расставим ее знаки на других промежутках (рис.41). Значение x = -3, как решение уравнения x + 3 = 0 , является также решением неравенства.

Рис. 41

Ответ:

Пример 40. Решить неравенство

Решение. ОДЗ: и знаменатель

Корни числителя:

причем значения является корнями кратности 2 (на рис.42 они подчеркнуты дважды).

Корни знаменателя:

Рис. 42

При левая часть неравенства имеет знак С учетом этого и с учетом кратности корней расставим знаки левой части неравенства на полученных промежутках.

Ответ:

Пример 41. Решить неравенство

Решение. Найдя корни совокупности уравнений

отметим их на числовой оси (рис. 43).

Рис. 43

При x = 0 левая часть неравенства имеет знак плюс. Значит, на интервале имеем знак плюс, а на остальных интервалах — чередующиеся знаки.

Ответ:

Пример 42. Решить неравенство

Решение. ОДЗ: и знаменатель

Корни числителя:

Корни знаменателя:

Отметив найденные корни на числовой оси в пределах отрезка [-1; 1] и учитывая, что при x = 0 левая часть неравенства имеет знак минус, расставим ее знаки на полученных промежутках (рис. 44).

Рис. 44

Значение x = -1, как корень знаменателя, неравенству не удовлетворяет, а значение x = 1 — удовлетворяет, что проверяется непосредственно.

Ответ:

3.3.2 Решение неравенств с параметрами

Пример 43. Для всех значений параметра а решить неравенство

Решение. На числовой оси отметим точки x = 2а , x = 3 — а и найдем знаки левой части неравенства на полученных промежутках.

Возможны случаи:

Тогда имеем три промежутка, на которых знаки левой части неравенства чередуются (рис. 45).Следовательно,

  • Рис. 45
  • 2.
  • Тогда будет единственной критической точкой кратности 2, при переходе через которую знак левой части неравенства не меняется (рис. 46). Следовательно, решением неравенства будет являться x = 2.
  • Рис. 46
  • 3. Тогда (рис. 47)
  • Рис. 47
  • Ответ:
  • если а < 1, то
  • если а = 1, то
  • если а > 1, то
  • Пример 44. Для всех значений параметра а решить неравенство

Решение. Разложив знаменатель на линейные множители, получим

Чтобы решить это неравенство методом интервалов, надо на числовой оси отметить точки

Возможны случаи:

  • Рис. 48
  • 2.
  • Рис. 49
  • 3.
  • Рис. 50
  • 4.
  • Рис. 51
  • 5.
  • Рис. 52
  • На основании рисунков 48 — 52 имеем
  • Ответ:
  • если а < 0, то
  • если а = 0, то
  • если 0 < а < 5, то
  • если а = 5, то
  • если а > 5, то
  • Пример 45. Для всех значений параметра а решить неравенство

Решение. ОДЗ:

Найдем корни числителя:

В зависимости от значения x = 1 — a возможны случаи.

В данном случае точка x = 1 — a в ОДЗ не входит, поэтому вовсе не отмечается (рис. 53).

  • Рис. 53
  • По правилу большого числа на промежутке (0; +) левая часть неравенства имеет знак минус, который меняется при переходе через точку x = 0 . Подставив значение x = -1 в неравенство, убеждаемся, что оно является решением неравенства.
  • 2.
  • Этот случай отличается от предыдущего только тем, что точка x = -1, как корень знаменателя, не входит в множество решений неравенства (рис. 54).
  • Рис. 54
  • 3.
  • Тогда корни числителя и знаменателя разбивают ОДЗ на три промежутка, на которых знаки левой части неравенства чередуются (рис. 55). Значение x = -1 неравенству не удовлетворяет.
  • Рис. 55
  • 4.
  • Тогда x = 0 является особой точкой кратности 2. Она разбивает ОДЗ на два промежутка, на которых обеих, а также в точке x = -1 левая часть неравенства имеет знак минус (рис. 56).
  • Рис. 56
  • 5.
  • Рис. 57
  • На основании рисунков 53 — 57, объединяя случаи 2 и 3, получаем
  • Ответ:
  • если а > 2, то
  • если 1 < а 2, то
  • если а = 1, то ;
  • если а < 1, то
  • Пример 46. Для всех значений параметра а решить неравенство

Решение. ОДЗ (без учета корней знаменателя):

Корни числителя:

Корни знаменателя:

В зависимости от порядка расположения точки x = 2 относительно точек x = а и x = а + 3 возможны случаи.

  • Рис. 58
  • 2.
  • Рис. 59
  • 3.
  • Рис. 60
  • 4.
  • Рис. 61
  • На основании рисунков 58-61 имеем
  • Ответ:
  • если а 2, то
  • если — 1 < а < 2, то
  • если а = — 1, то
  • если а < — 1, то

3.3.3 Решение неравенств с двумя неизвестными

Пример 47. На координатной плоскости изобразить множество точек (x, y), координаты которых удовлетворяют неравенству

Решение. На координатной плоскости нарисуем линии, определяемые равенствами

которые разбивают плоскость на несколько областей. При x = 1, y =0 левая часть неравенства равна -1. Следовательно, в области, содержащей точку (1; 0), она имеет знак минус, а в остальных областях ее знаки чередуются (можно убедиться в этом дополнительно вычислив знак левой части неравенства в отдельных «удобных» точках каждой области).

  • Рис.62
  • Ответ: заштрихованные области на рис. 62
  • Пример 48. На координатной плоскости изобразить множество точек (x, y), координаты которых удовлетворяют неравенству

Решение. Нарисуем штрихами линии

  • Рис.63
  • При x = 1, y = 0 левая часть приведенного неравенства имеет знак плюс, в соответствии с чем ее знаки распределяются по областям так, как на рисунке.
  • Ответ: заштрихованные области на рис. 63.
  • Пример 49. На координатной плоскости изобразить множество точек (x, y), координаты которых удовлетворяют неравенству

Решение. Нарисовав график функции

и отобразив ее «верхнюю» часть симметрично относительно оси абсцисс, получим линию (рис. 64), определяемую уравнением

  • Рис.64
  • При x = 0, y = 0 левая часть неравенства имеет знак минус. Следовательно, в области, содержащей точку (0; 0), она имеет знак минус, а в остальных двух областях — знак плюс.
  • Ответ: заштрихованные области на рис. 64 и луч
  • Пример 50. На координатной плоскости изобразить множество точек (x, y), координаты которых удовлетворяют неравенству

Решение. ОДЗ: и

В верхней полуплоскости нарисуем линии, определяемые условиями:

  • Рис. 65
  • При x = 0, y = 1 и в соответствующей области дробь имеет знак плюс, который меняется при переходе через особые линии. Непосредственной проверкой убеждаемся, что при y = 0, неравенство выполняется.
  • Ответ: заштрихованные области на рис. 65.
  • Пример 51. На координатной плоскости изобразить множество точек (x, y), координаты которых удовлетворяют неравенству

Решение. ОДЗ:

В пределах ОДЗ нарисуем линии

которые разбивают ОДЗ на шесть областей. При x = -1, y = 2; x = 1, y = 2 и в соответствующих областях левая часть неравенства имеет знак плюс, который при переходе через критические линии меняется. В тоже время, при переходе через луч x = 0, y > 0 он не меняется (убедится в этом можно, взяв в примыкающих к лучу областях отдельные точки).

  • Рис. 66
  • Ответ: заштрихованные три области на рис. 66 (кроме луча )
  • Пример 52. На координатной плоскости изобразить множество точек (x, y), координаты которых удовлетворяют неравенству

Решение

Нарисовав графики функций

и учитывая, что в области, содержащей точку x = 0, y = 0, дробь имеет знак плюс, расставим ее знаки в остальных областях.

  • Рис. 67
  • Ответ: заштрихованные четыре области на рис. 67.
  • Пример 53. На координатной плоскости изобразить множество точек (x, y), координаты которых удовлетворяют неравенству
  • где [x] — целая часть числа x.

Решение. Особые линии y = [x], y = 1/ x2 и распределение знаков левой части неравенства в областях, на которые делится плоскость этими линиями, приведены на рис.68.

  • Рис. 68

Заключение

Данная работа содержит психолого-педагогические, методические и теоретические обоснования универсальности метода интервалов, а так же набор решений задач на различные виды неравенств, который помещен в настоящую работу как практическое подтверждение возможности применения метода интервалов к решению неравенств в основной и старшей школе.

В проведённом исследовании, посвящённом теме «применение метода интервалов к решению неравенств в основной и старшей школе» был изучен имеющий отношение к теме материал и получены следующие результаты:

Проанализирована психолого-педагогическая литература по теме дипломной работы, изучены психолого-педагогические особенности учащихся средней и старшей школы и даны педагогические обоснования данной теме.

Изучена методическая литература по интересующей нас теме.

Проведен анализ существующих программ и комплектов учебников с 7 по 11 класс по теме дипломной работы, и определена теоретическая база для решения неравенств методом интервалов в основной и старшей школе.

Приведены практические подтверждения универсальности метода интервалов применительно к неравенствам курса алгебры общеобразовательной школы. (Всего в настоящей работе приведено 53 разобранные задачи); и создана ориентировочная основа учебной деятельности в процессе решения неравенств методом интервалов.

Проведено обобщение метода интервалов для решения произвольных неравенств, (представленных в виде композиции непрерывных функций, а также для неравенств с параметрами и неравенств с двумя переменными), иллюстрированное примерами.

Таким образом, достигнуты цели, поставленные в дипломной работе, а именно: проведено обобщение метода интервалов для решения неравенств, изучаемых в основной и старшей школе; обоснована его универсальность. Дополнительным итогом работы является создание банка решений задач.

Библиография

Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.-3-е изд. — М.: Просвещение, 1996. — 239 с.: ил.

Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1995. — 223 с.: ил.

Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 254 с.: ил.

Алгебра: для 8 кл.: учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. Математики/Виленкин, Н.Я., Виленкин А.Н., Сурвилло Г.С. и др. Под ред. Н.Я. Виленкина. — 2-е изд. — М.: Просвещение, АО «Московские учебники»,1997. -256 с.: ил.

Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа 10-11 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учеб. заведений. — 2-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2000. — 400 с.: ил.

Басова, Н.В.: Педагогика и практическая психология. — Ростов н/Д.: Феникс, 2000. — 416 с.

Васильева, В.А. и др. Методическое пособие для поступающих в вузы. В.А. Васильева, Т.Д. Кудрина, Р.Н. Молодожникова — М.: Изд-во МАИ, 1991. -304 с.: ил.

Виленкин, Н.Я. и др.,: Алгебра и математический анализ для 10 кл.: учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики/ Н.Я Виленкин,. О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд; — 6-е изд. — М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 1999.-336 с.: ил.

Виленкин, Н.Я. и др.,: Алгебра и математический анализ для 11 кл.: учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики/ Н.Я Виленкин,. О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд; — 7-е изд. — М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 1999.-288 с.: ил.

Горнштейн, П.И, Мерзляк А.Г: Решение задач по математике из сборника задач под редакцией М.И. Сканави, главы VI-IX группы Б. — Киев: Техника, 1992. — 320 с.

Горбачев, В.И.: диссертация «технология развивающего обучения в курсе алгебры средней школы» — Брянск, 2000

Гусев, В.А., Мордкович, А. Г. Математика: справочные материалы: Кн. для учащихся. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1990. — 416 с.

Денищева, Л.О. и др. Алгебра: Тематический сборник задач: 8кл. Л.О. Денищева Н.В. Карюхина, Т.М. Михеева М. — М. — Вербум, 2002. — 144 с.

Егоров, А., Раббот, Ж. Иррациональные неравенства. Урок.// Математика. — 2002 — № 15. — С. 13-14.

Егоров, А., Раббот, Ж. Некоторые логарифмические неравенства. Урок.// Математика. — 2002 — № 33. — С. 30-32.

Изучение алгебры в 7-9 кл.: Кн. для учителя / Ю.М Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева и др. — М.: Просвещение, 2002. -287 с.: ил.

Кривоногов, В. Квадратные неравенства// Математика. — 2002 — № 3. — 16-22 янв. — С.15-17.

Куланин, Е.Д., Федин, С.Н. Математика. Варианты вступительных экзаменов. Финансово-экономические специальности. — М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998. — 160 с., илл. — (Домашний репетитор).

Мордкович, А.Г.: Алгебра. Учеб. для 7 кл. общеобразоват. шк. — М.: Мнемозина, 1997. — 160 с.: ил.

Мордкович, А.Г. и др. Алгебра. 7 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений/ А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская -3-е изд., доработ. — М. Мнемозина, 2000. — 160 с.: ил.

Мордкович, А.Г.: Алгебра. 8 кл .: Учеб. для. общеобразоват. учреждений. — 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001.- 223 с.: ил.

Мордкович, А.Г. и др. Алгебра. 8 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений/ А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская -3-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2001. — 239 с.: ил.

Мордкович, А.Г.: Алгебра. 9 кл .: Учеб. для. общеобразоват. учреждений. — 3-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2001.- 192 с.: ил.

Мордкович, А.Г. и др. Алгебра. 9 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений/ А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская -3-е изд., испр. — М. Мнемозина, 2001. — 143 с.: ил.

Мордкович, А.Г., Е.Е. Тульчинская: Алгебра: Тесты для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений. — М.: Мнемозина, 2000. -127 с.: ил.

Мордкович, А.Г.: Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч. 1: учебник для общеобразоват. учреждений. — 3-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2002. — 375 с.: ил.

Мордкович, А.Г., Тульчинская, Е.Е.: Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Контрольные работы для общеобразоват. учреждений. — М.: Мнемозина, 2000. — 62 с.

Муравин, К.С. и др. Алгебра.7 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений/ К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В Дорофеев. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Дрофа, 1998. — 240 с.: ил.

Муравин, К.С. и др. Алгебра.8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений/ К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В Дорофеев. — 3-е изд., стереотип. — М.: Дрофа,2000. — 208 с.: ил.

Муравин, К.С. и др. Алгебра.9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений/ К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В Дорофеев. — М.: Дрофа,2000. — 240 с.: ил.

Назаретов, А.П., Пигарев Б.П. Математика. Универсальный сборник заданий и их решений для абитуриентов вузов. — М.: РИПОЛ КЛАССИК, 1999. — 736 с.

Обухова, Л.Ф. Возрастная психология. Учебное пособие. — М.: Педагогическое общество России, 2000. — 448 с.

Подласый, И.П. Педагогика. Новый курс: Учеб. для студ. высш. учеб. заведений: В 2 кн. — М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2001. — Кн.1: Общие основы. Процесс обучения. -576 с.: ил.

Подласый, И.П. Педагогика. Новый курс: Учебник для студ. Пед. Вузов: В 2 кн. — М.: Гуманит. Изд. Центр ВЛАДОС, 2000. — Кн.2: Процесс воспитания. — 256 с.: ил.

Пособие по математике для поступающих в ВУЗы/ А.Д. Кутасов, Т.С. Пиголкина В.И. Чехлов и др.; под ред. Г.Н. Яковлева. — М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. Литературы,1981. — 607 с.: ил.

Примерное планирование учебного материала и контрольные работы по математике 5-11. В.И Жохов, Г.Д. Карташева, Л.Б. Крайнева, С.М. Саакян -М.: Вербум-М, 2001. — 208с.

Программно-методические материалы. Математика. 5-11кл.: Сборник нормативных документов/ сост. Г.М. Кузнецова: М.: Дрофа, 1999. -192 с.

Саранцев, Г.И.: Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов математика. спец. пед. вузов и ун-тов. — М.: Просвещение, 2002.- -224 с.: ил.

Сборник дипломных работ. В.И. Глизбург, Л.О. Денищева, А.Е. Захарова и др.; — М.: Интеллект-центр, 2003. — 64с.

Сильвестров, В.В.: Обобщенный метод интервалов: учеб. пособие. — Чебоксары: изд-во Чувашского университета, 1998. — 80 с.

Токарева Л. Применение тригонометрических неравенств и функций к решению прикладных задач. 10-11 класс// Математика. — 2002 — № 47 — С. 23-26.

Федорова, Н.Е., Ткачева, М.В.: Изучение алгебры и начал анализа в 10-11 кл. — М. Просвещение, 2003. -205 с.: ил.

Фридман, Л.М. Турецкий, Е. Н. Как научиться решать задачи: пособие для учащихся. -2-е изд., перераб. и доп. — М.: Просвещение, 1984. — 175 с., ил.

Цыпкин, А.Г. Справочник по математике для средней школы/ под ред. С.А. Степанова. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. — 400 с.: ил.

Размещено на